Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fsumge0cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumge0cl 42212
Description: The finite sum of nonnegative reals is a nonnegative real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumge0cl.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumge0cl.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
fsumge0cl (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumge0cl
StepHypRef Expression
1 0xr 10681 . . 3 0 ∈ ℝ*
21a1i 11 . 2 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
3 pnfxr 10688 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
43a1i 11 . 2 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
5 fsumge0cl.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
6 rge0ssre 12838 . . . . 5 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
7 fsumge0cl.b . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
86, 7sseldi 3916 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
95, 8fsumrecl 15087 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
109rexrd 10684 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ*)
111a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ∈ ℝ*)
123a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → +∞ ∈ ℝ*)
13 icogelb 12780 . . . 4 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ 𝐵)
1411, 12, 7, 13syl3anc 1368 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
155, 8, 14fsumge0 15146 . 2 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘𝐴 𝐵)
169ltpnfd 12508 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 < +∞)
172, 4, 10, 15, 16elicod 12779 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wcel 2112   class class class wbr 5033  (class class class)co 7139  Fincfn 8496  cr 10529  0cc0 10530  +∞cpnf 10665  *cxr 10667  cle 10669  [,)cico 12732  Σcsu 15038
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-ico 12736  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-clim 14841  df-sum 15039
This theorem is referenced by:  sge0iunmptlemre  43051
  Copyright terms: Public domain W3C validator