Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fsumge0cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumge0cl 43821
Description: The finite sum of nonnegative reals is a nonnegative real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumge0cl.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumge0cl.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
fsumge0cl (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumge0cl
StepHypRef Expression
1 0xr 11203 . . 3 0 ∈ ℝ*
21a1i 11 . 2 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
3 pnfxr 11210 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
43a1i 11 . 2 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
5 fsumge0cl.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
6 rge0ssre 13374 . . . . 5 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
7 fsumge0cl.b . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
86, 7sselid 3943 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
95, 8fsumrecl 15620 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
109rexrd 11206 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ*)
111a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ∈ ℝ*)
123a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → +∞ ∈ ℝ*)
13 icogelb 13316 . . . 4 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ 𝐵)
1411, 12, 7, 13syl3anc 1372 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
155, 8, 14fsumge0 15681 . 2 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘𝐴 𝐵)
169ltpnfd 13043 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 < +∞)
172, 4, 10, 15, 16elicod 13315 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wcel 2107   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  Fincfn 8884  cr 11051  0cc0 11052  +∞cpnf 11187  *cxr 11189  cle 11191  [,)cico 13267  Σcsu 15571
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9578  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9379  df-oi 9447  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-rp 12917  df-ico 13271  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-seq 13908  df-exp 13969  df-hash 14232  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-clim 15371  df-sum 15572
This theorem is referenced by:  sge0iunmptlemre  44663
  Copyright terms: Public domain W3C validator