Theorem sge0uzfsumgt 47259

Description: If a real number is smaller than a generalized sum of nonnegative reals, then it is smaller than some finite subsum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0uzfsumgt.p	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
sge0uzfsumgt.h	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
sge0uzfsumgt.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝐾)
sge0uzfsumgt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
sge0uzfsumgt.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
sge0uzfsumgt.l	⊢ (𝜑 → 𝐶 < (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
sge0uzfsumgt	⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ 𝑍 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑚   𝐶,𝑚   𝑘,𝐾,𝑚   𝑘,𝑍,𝑚   𝜑,𝑚

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sge0uzfsumgt

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0uzfsumgt.p	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		sge0uzfsumgt.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝐾)
3	2	fvexi 6896	. . . 4 ⊢ 𝑍 ∈ V
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ V)
5		sge0uzfsumgt.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
6		sge0uzfsumgt.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
7		sge0uzfsumgt.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)))
8	1, 4, 5, 6, 7	sge0gtfsumgt 47258	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵)
9		sge0uzfsumgt.h	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
10	9	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) → 𝐾 ∈ ℤ)
11		elpwinss 45870	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ 𝑍)
12	11	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) → 𝑥 ⊆ 𝑍)
13		elinel2 4151	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
14	13	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) → 𝑥 ∈ Fin)
15	10, 2, 12, 14	uzfissfz 46143	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) → ∃𝑚 ∈ 𝑍 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚))
16	6	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → 𝐶 ∈ ℝ)
17		nfv 1947	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)
18	1, 17	nfan 1932	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚))
19		fzfid 14039	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → (𝐾...𝑚) ∈ Fin)
20		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚))
21	19, 20	ssfid 9242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → 𝑥 ∈ Fin)
22		simpll 779	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝜑)
23	20	sselda 3934	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝑘 ∈ (𝐾...𝑚))
24		rge0ssre 13511	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
25		fzssuz 13622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾...𝑚) ⊆ (ℤ≥‘𝐾)
26	25, 2	sseqtrri 3983	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾...𝑚) ⊆ 𝑍
27		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐾...𝑚) → 𝑘 ∈ (𝐾...𝑚))
28	26, 27	sselid 3932	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐾...𝑚) → 𝑘 ∈ 𝑍)
29	28, 5	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
30	24, 29	sselid 3932	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)) → 𝐵 ∈ ℝ)
31	22, 23, 30	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
32	18, 21, 31	fsumreclf 46393	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℝ)
33	32	adantlr 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℝ)
34		fzfid 14039	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐾...𝑚) ∈ Fin)
35	1, 34, 30	fsumreclf 46393	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵 ∈ ℝ)
36	35	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵 ∈ ℝ)
37		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵)
38	30	adantlr 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)) → 𝐵 ∈ ℝ)
39		0xr 11283	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℝ*
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)) → 0 ∈ ℝ*)
41		pnfxr 11290	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)) → +∞ ∈ ℝ*)
43		icogelb 13451	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ 𝐵)
44	40, 42, 29, 43	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)) → 0 ≤ 𝐵)
45	44	adantlr 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)) → 0 ≤ 𝐵)
46	18, 19, 38, 45, 20	fsumlessf 46394	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵)
47	46	adantlr 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵)
48	16, 33, 36, 37, 47	ltletrd 11397	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵)
49	48	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) → (𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚) → 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵))
50	49	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚) → 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵))
51	50	3adantl2 1186	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚) → 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵))
52	51	reximdva 3177	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) → (∃𝑚 ∈ 𝑍 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚) → ∃𝑚 ∈ 𝑍 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵))
53	15, 52	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) → ∃𝑚 ∈ 𝑍 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵)
54	53	3exp 1137	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → (𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 → ∃𝑚 ∈ 𝑍 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵)))
55	54	rexlimdv 3163	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 → ∃𝑚 ∈ 𝑍 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵))
56	8, 55	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ 𝑍 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3088  Vcvv 3453   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  𝒫 cpw 4560   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Fincfn 8955  ℝcr 11126  0cc0 11127  +∞cpnf 11267  ℝ^*cxr 11269   < clt 11270   ≤ cle 11271  ℤcz 12618  ℤ_≥cuz 12890  [,)cico 13402  ...cfz 13563  Σcsu 15775  Σ^{^}csumge0 47177

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13045  df-ico 13406  df-icc 13407  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-seq 14068  df-exp 14128  df-hash 14397  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-clim 15577  df-sum 15776  df-sumge0 47178

This theorem is used by:  hoidmvlelem3  47412