Theorem sge0uzfsumgt 46755

Description: If a real number is smaller than a generalized sum of nonnegative reals, then it is smaller than some finite subsum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0uzfsumgt.p	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
sge0uzfsumgt.h	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
sge0uzfsumgt.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝐾)
sge0uzfsumgt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
sge0uzfsumgt.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
sge0uzfsumgt.l	⊢ (𝜑 → 𝐶 < (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
sge0uzfsumgt	⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ 𝑍 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑚   𝐶,𝑚   𝑘,𝐾,𝑚   𝑘,𝑍,𝑚   𝜑,𝑚

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sge0uzfsumgt

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0uzfsumgt.p	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		sge0uzfsumgt.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝐾)
3	2	fvexi 6849	. . . 4 ⊢ 𝑍 ∈ V
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ V)
5		sge0uzfsumgt.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
6		sge0uzfsumgt.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
7		sge0uzfsumgt.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)))
8	1, 4, 5, 6, 7	sge0gtfsumgt 46754	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵)
9		sge0uzfsumgt.h	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
10	9	3ad2ant1 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) → 𝐾 ∈ ℤ)
11		elpwinss 45361	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ 𝑍)
12	11	3ad2ant2 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) → 𝑥 ⊆ 𝑍)
13		elinel2 4155	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
14	13	3ad2ant2 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) → 𝑥 ∈ Fin)
15	10, 2, 12, 14	uzfissfz 45638	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) → ∃𝑚 ∈ 𝑍 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚))
16	6	ad2antrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → 𝐶 ∈ ℝ)
17		nfv 1916	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)
18	1, 17	nfan 1901	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚))
19		fzfid 13900	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → (𝐾...𝑚) ∈ Fin)
20		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚))
21	19, 20	ssfid 9173	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → 𝑥 ∈ Fin)
22		simpll 767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝜑)
23	20	sselda 3934	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝑘 ∈ (𝐾...𝑚))
24		rge0ssre 13376	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
25		fzssuz 13485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾...𝑚) ⊆ (ℤ≥‘𝐾)
26	25, 2	sseqtrri 3984	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾...𝑚) ⊆ 𝑍
27		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐾...𝑚) → 𝑘 ∈ (𝐾...𝑚))
28	26, 27	sselid 3932	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐾...𝑚) → 𝑘 ∈ 𝑍)
29	28, 5	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
30	24, 29	sselid 3932	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)) → 𝐵 ∈ ℝ)
31	22, 23, 30	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
32	18, 21, 31	fsumreclf 45889	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℝ)
33	32	adantlr 716	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℝ)
34		fzfid 13900	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐾...𝑚) ∈ Fin)
35	1, 34, 30	fsumreclf 45889	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵 ∈ ℝ)
36	35	ad2antrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵 ∈ ℝ)
37		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵)
38	30	adantlr 716	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)) → 𝐵 ∈ ℝ)
39		0xr 11183	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℝ*
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)) → 0 ∈ ℝ*)
41		pnfxr 11190	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)) → +∞ ∈ ℝ*)
43		icogelb 13316	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ 𝐵)
44	40, 42, 29, 43	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)) → 0 ≤ 𝐵)
45	44	adantlr 716	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)) → 0 ≤ 𝐵)
46	18, 19, 38, 45, 20	fsumlessf 45890	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵)
47	46	adantlr 716	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵)
48	16, 33, 36, 37, 47	ltletrd 11297	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵)
49	48	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) → (𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚) → 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵))
50	49	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚) → 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵))
51	50	3adantl2 1169	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚) → 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵))
52	51	reximdva 3150	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) → (∃𝑚 ∈ 𝑍 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚) → ∃𝑚 ∈ 𝑍 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵))
53	15, 52	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) → ∃𝑚 ∈ 𝑍 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵)
54	53	3exp 1120	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → (𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 → ∃𝑚 ∈ 𝑍 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵)))
55	54	rexlimdv 3136	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 → ∃𝑚 ∈ 𝑍 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵))
56	8, 55	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ 𝑍 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3061  Vcvv 3441   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  𝒫 cpw 4555   class class class wbr 5099   ↦ cmpt 5180  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  Fincfn 8887  ℝcr 11029  0cc0 11030  +∞cpnf 11167  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170   ≤ cle 11171  ℤcz 12492  ℤ_≥cuz 12755  [,)cico 13267  ...cfz 13427  Σcsu 15613  Σ^{^}csumge0 46673

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-inf2 9554  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-oi 9419  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-rp 12910  df-ico 13271  df-icc 13272  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-seq 13929  df-exp 13989  df-hash 14258  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163  df-clim 15415  df-sum 15614  df-sumge0 46674

This theorem is referenced by:  hoidmvlelem3  46908