Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0uzfsumgt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0uzfsumgt 45861
Description: If a real number is smaller than a generalized sum of nonnegative reals, then it is smaller than some finite subsum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0uzfsumgt.p 𝑘𝜑
sge0uzfsumgt.h (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
sge0uzfsumgt.z 𝑍 = (ℤ𝐾)
sge0uzfsumgt.b ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
sge0uzfsumgt.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
sge0uzfsumgt.l (𝜑𝐶 < (Σ^‘(𝑘𝑍𝐵)))
Assertion
Ref Expression
sge0uzfsumgt (𝜑 → ∃𝑚𝑍 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑚   𝐶,𝑚   𝑘,𝐾,𝑚   𝑘,𝑍,𝑚   𝜑,𝑚
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sge0uzfsumgt
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0uzfsumgt.p . . 3 𝑘𝜑
2 sge0uzfsumgt.z . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝐾)
32fvexi 6916 . . . 4 𝑍 ∈ V
43a1i 11 . . 3 (𝜑𝑍 ∈ V)
5 sge0uzfsumgt.b . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
6 sge0uzfsumgt.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
7 sge0uzfsumgt.l . . 3 (𝜑𝐶 < (Σ^‘(𝑘𝑍𝐵)))
81, 4, 5, 6, 7sge0gtfsumgt 45860 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵)
9 sge0uzfsumgt.h . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
1093ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) → 𝐾 ∈ ℤ)
11 elpwinss 44444 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑥𝑍)
12113ad2ant2 1131 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) → 𝑥𝑍)
13 elinel2 4198 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
14133ad2ant2 1131 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) → 𝑥 ∈ Fin)
1510, 2, 12, 14uzfissfz 44737 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) → ∃𝑚𝑍 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚))
166ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → 𝐶 ∈ ℝ)
17 nfv 1909 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)
181, 17nfan 1894 . . . . . . . . . . . 12 𝑘(𝜑𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚))
19 fzfid 13978 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → (𝐾...𝑚) ∈ Fin)
20 simpr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚))
2119, 20ssfid 9298 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → 𝑥 ∈ Fin)
22 simpll 765 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝜑)
2320sselda 3982 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑘 ∈ (𝐾...𝑚))
24 rge0ssre 13473 . . . . . . . . . . . . . 14 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
25 fzssuz 13582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾...𝑚) ⊆ (ℤ𝐾)
2625, 2sseqtrri 4019 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾...𝑚) ⊆ 𝑍
27 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (𝐾...𝑚) → 𝑘 ∈ (𝐾...𝑚))
2826, 27sselid 3980 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (𝐾...𝑚) → 𝑘𝑍)
2928, 5sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
3024, 29sselid 3980 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)) → 𝐵 ∈ ℝ)
3122, 23, 30syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
3218, 21, 31fsumreclf 44993 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → Σ𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℝ)
3332adantlr 713 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → Σ𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℝ)
34 fzfid 13978 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐾...𝑚) ∈ Fin)
351, 34, 30fsumreclf 44993 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵 ∈ ℝ)
3635ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵 ∈ ℝ)
37 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → 𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵)
3830adantlr 713 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)) → 𝐵 ∈ ℝ)
39 0xr 11299 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ*
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)) → 0 ∈ ℝ*)
41 pnfxr 11306 . . . . . . . . . . . . . . 15 +∞ ∈ ℝ*
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)) → +∞ ∈ ℝ*)
43 icogelb 13415 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ 𝐵)
4440, 42, 29, 43syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)) → 0 ≤ 𝐵)
4544adantlr 713 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)) → 0 ≤ 𝐵)
4618, 19, 38, 45, 20fsumlessf 44994 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → Σ𝑘𝑥 𝐵 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵)
4746adantlr 713 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → Σ𝑘𝑥 𝐵 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵)
4816, 33, 36, 37, 47ltletrd 11412 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵)
4948ex 411 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) → (𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚) → 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵))
5049adantr 479 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) ∧ 𝑚𝑍) → (𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚) → 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵))
51503adantl2 1164 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) ∧ 𝑚𝑍) → (𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚) → 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵))
5251reximdva 3165 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) → (∃𝑚𝑍 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚) → ∃𝑚𝑍 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵))
5315, 52mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) → ∃𝑚𝑍 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵)
54533exp 1116 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → (𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵 → ∃𝑚𝑍 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵)))
5554rexlimdv 3150 . 2 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵 → ∃𝑚𝑍 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵))
568, 55mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑚𝑍 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wnf 1777  wcel 2098  wrex 3067  Vcvv 3473  cin 3948  wss 3949  𝒫 cpw 4606   class class class wbr 5152  cmpt 5235  cfv 6553  (class class class)co 7426  Fincfn 8970  cr 11145  0cc0 11146  +∞cpnf 11283  *cxr 11285   < clt 11286  cle 11287  cz 12596  cuz 12860  [,)cico 13366  ...cfz 13524  Σcsu 15672  Σ^csumge0 45779
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472  df-sum 15673  df-sumge0 45780
This theorem is referenced by:  hoidmvlelem3  46014
  Copyright terms: Public domain W3C validator