Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0uzfsumgt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0uzfsumgt 42155
Description: If a real number is smaller than a generalized sum of nonnegative reals, then it is smaller than some finite subsum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0uzfsumgt.p 𝑘𝜑
sge0uzfsumgt.h (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
sge0uzfsumgt.z 𝑍 = (ℤ𝐾)
sge0uzfsumgt.b ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
sge0uzfsumgt.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
sge0uzfsumgt.l (𝜑𝐶 < (Σ^‘(𝑘𝑍𝐵)))
Assertion
Ref Expression
sge0uzfsumgt (𝜑 → ∃𝑚𝑍 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑚   𝐶,𝑚   𝑘,𝐾,𝑚   𝑘,𝑍,𝑚   𝜑,𝑚
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sge0uzfsumgt
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0uzfsumgt.p . . 3 𝑘𝜑
2 sge0uzfsumgt.z . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝐾)
32fvexi 6513 . . . 4 𝑍 ∈ V
43a1i 11 . . 3 (𝜑𝑍 ∈ V)
5 sge0uzfsumgt.b . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
6 sge0uzfsumgt.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
7 sge0uzfsumgt.l . . 3 (𝜑𝐶 < (Σ^‘(𝑘𝑍𝐵)))
81, 4, 5, 6, 7sge0gtfsumgt 42154 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵)
9 sge0uzfsumgt.h . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
1093ad2ant1 1113 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) → 𝐾 ∈ ℤ)
11 elpwinss 40728 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑥𝑍)
12113ad2ant2 1114 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) → 𝑥𝑍)
13 elinel2 4062 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
14133ad2ant2 1114 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) → 𝑥 ∈ Fin)
1510, 2, 12, 14uzfissfz 41021 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) → ∃𝑚𝑍 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚))
166ad2antrr 713 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → 𝐶 ∈ ℝ)
17 nfv 1873 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)
181, 17nfan 1862 . . . . . . . . . . . 12 𝑘(𝜑𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚))
19 fzfid 13156 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → (𝐾...𝑚) ∈ Fin)
20 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚))
2119, 20ssfid 8536 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → 𝑥 ∈ Fin)
22 simpll 754 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝜑)
2320sselda 3859 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑘 ∈ (𝐾...𝑚))
24 rge0ssre 12660 . . . . . . . . . . . . . 14 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
25 fzssuz 12764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾...𝑚) ⊆ (ℤ𝐾)
2625, 2sseqtr4i 3895 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾...𝑚) ⊆ 𝑍
27 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (𝐾...𝑚) → 𝑘 ∈ (𝐾...𝑚))
2826, 27sseldi 3857 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (𝐾...𝑚) → 𝑘𝑍)
2928, 5sylan2 583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
3024, 29sseldi 3857 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)) → 𝐵 ∈ ℝ)
3122, 23, 30syl2anc 576 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
3218, 21, 31fsumreclf 41286 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → Σ𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℝ)
3332adantlr 702 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → Σ𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℝ)
34 fzfid 13156 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐾...𝑚) ∈ Fin)
351, 34, 30fsumreclf 41286 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵 ∈ ℝ)
3635ad2antrr 713 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵 ∈ ℝ)
37 simplr 756 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → 𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵)
3830adantlr 702 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)) → 𝐵 ∈ ℝ)
39 0xr 10487 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ*
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)) → 0 ∈ ℝ*)
41 pnfxr 10494 . . . . . . . . . . . . . . 15 +∞ ∈ ℝ*
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)) → +∞ ∈ ℝ*)
43 icogelb 12604 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ 𝐵)
4440, 42, 29, 43syl3anc 1351 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)) → 0 ≤ 𝐵)
4544adantlr 702 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)) → 0 ≤ 𝐵)
4618, 19, 38, 45, 20fsumlessf 41287 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → Σ𝑘𝑥 𝐵 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵)
4746adantlr 702 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → Σ𝑘𝑥 𝐵 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵)
4816, 33, 36, 37, 47ltletrd 10600 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵)
4948ex 405 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) → (𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚) → 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵))
5049adantr 473 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) ∧ 𝑚𝑍) → (𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚) → 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵))
51503adantl2 1147 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) ∧ 𝑚𝑍) → (𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚) → 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵))
5251reximdva 3220 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) → (∃𝑚𝑍 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚) → ∃𝑚𝑍 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵))
5315, 52mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) → ∃𝑚𝑍 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵)
54533exp 1099 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → (𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵 → ∃𝑚𝑍 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵)))
5554rexlimdv 3229 . 2 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵 → ∃𝑚𝑍 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵))
568, 55mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑚𝑍 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wnf 1746  wcel 2050  wrex 3090  Vcvv 3416  cin 3829  wss 3830  𝒫 cpw 4422   class class class wbr 4929  cmpt 5008  cfv 6188  (class class class)co 6976  Fincfn 8306  cr 10334  0cc0 10335  +∞cpnf 10471  *cxr 10473   < clt 10474  cle 10475  cz 11793  cuz 12058  [,)cico 12556  ...cfz 12708  Σcsu 14903  Σ^csumge0 42073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-inf2 8898  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-se 5367  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-isom 6197  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-oadd 7909  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-sup 8701  df-oi 8769  df-card 9162  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-rp 12205  df-ico 12560  df-icc 12561  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-seq 13185  df-exp 13245  df-hash 13506  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-abs 14456  df-clim 14706  df-sum 14904  df-sumge0 42074
This theorem is referenced by:  hoidmvlelem3  42308
  Copyright terms: Public domain W3C validator