Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0uzfsumgt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0uzfsumgt 45745
Description: If a real number is smaller than a generalized sum of nonnegative reals, then it is smaller than some finite subsum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0uzfsumgt.p 𝑘𝜑
sge0uzfsumgt.h (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
sge0uzfsumgt.z 𝑍 = (ℤ𝐾)
sge0uzfsumgt.b ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
sge0uzfsumgt.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
sge0uzfsumgt.l (𝜑𝐶 < (Σ^‘(𝑘𝑍𝐵)))
Assertion
Ref Expression
sge0uzfsumgt (𝜑 → ∃𝑚𝑍 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑚   𝐶,𝑚   𝑘,𝐾,𝑚   𝑘,𝑍,𝑚   𝜑,𝑚
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sge0uzfsumgt
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0uzfsumgt.p . . 3 𝑘𝜑
2 sge0uzfsumgt.z . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝐾)
32fvexi 6905 . . . 4 𝑍 ∈ V
43a1i 11 . . 3 (𝜑𝑍 ∈ V)
5 sge0uzfsumgt.b . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
6 sge0uzfsumgt.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
7 sge0uzfsumgt.l . . 3 (𝜑𝐶 < (Σ^‘(𝑘𝑍𝐵)))
81, 4, 5, 6, 7sge0gtfsumgt 45744 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵)
9 sge0uzfsumgt.h . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
1093ad2ant1 1131 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) → 𝐾 ∈ ℤ)
11 elpwinss 44326 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑥𝑍)
12113ad2ant2 1132 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) → 𝑥𝑍)
13 elinel2 4192 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
14133ad2ant2 1132 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) → 𝑥 ∈ Fin)
1510, 2, 12, 14uzfissfz 44621 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) → ∃𝑚𝑍 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚))
166ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → 𝐶 ∈ ℝ)
17 nfv 1910 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)
181, 17nfan 1895 . . . . . . . . . . . 12 𝑘(𝜑𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚))
19 fzfid 13956 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → (𝐾...𝑚) ∈ Fin)
20 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚))
2119, 20ssfid 9281 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → 𝑥 ∈ Fin)
22 simpll 766 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝜑)
2320sselda 3978 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑘 ∈ (𝐾...𝑚))
24 rge0ssre 13451 . . . . . . . . . . . . . 14 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
25 fzssuz 13560 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾...𝑚) ⊆ (ℤ𝐾)
2625, 2sseqtrri 4015 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾...𝑚) ⊆ 𝑍
27 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (𝐾...𝑚) → 𝑘 ∈ (𝐾...𝑚))
2826, 27sselid 3976 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (𝐾...𝑚) → 𝑘𝑍)
2928, 5sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
3024, 29sselid 3976 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)) → 𝐵 ∈ ℝ)
3122, 23, 30syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
3218, 21, 31fsumreclf 44877 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → Σ𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℝ)
3332adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → Σ𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℝ)
34 fzfid 13956 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐾...𝑚) ∈ Fin)
351, 34, 30fsumreclf 44877 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵 ∈ ℝ)
3635ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵 ∈ ℝ)
37 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → 𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵)
3830adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)) → 𝐵 ∈ ℝ)
39 0xr 11277 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ*
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)) → 0 ∈ ℝ*)
41 pnfxr 11284 . . . . . . . . . . . . . . 15 +∞ ∈ ℝ*
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)) → +∞ ∈ ℝ*)
43 icogelb 13393 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ 𝐵)
4440, 42, 29, 43syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)) → 0 ≤ 𝐵)
4544adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)) → 0 ≤ 𝐵)
4618, 19, 38, 45, 20fsumlessf 44878 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → Σ𝑘𝑥 𝐵 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵)
4746adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → Σ𝑘𝑥 𝐵 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵)
4816, 33, 36, 37, 47ltletrd 11390 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵)
4948ex 412 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) → (𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚) → 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵))
5049adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) ∧ 𝑚𝑍) → (𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚) → 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵))
51503adantl2 1165 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) ∧ 𝑚𝑍) → (𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚) → 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵))
5251reximdva 3163 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) → (∃𝑚𝑍 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚) → ∃𝑚𝑍 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵))
5315, 52mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) → ∃𝑚𝑍 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵)
54533exp 1117 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → (𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵 → ∃𝑚𝑍 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵)))
5554rexlimdv 3148 . 2 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵 → ∃𝑚𝑍 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵))
568, 55mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑚𝑍 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wnf 1778  wcel 2099  wrex 3065  Vcvv 3469  cin 3943  wss 3944  𝒫 cpw 4598   class class class wbr 5142  cmpt 5225  cfv 6542  (class class class)co 7414  Fincfn 8953  cr 11123  0cc0 11124  +∞cpnf 11261  *cxr 11263   < clt 11264  cle 11265  cz 12574  cuz 12838  [,)cico 13344  ...cfz 13502  Σcsu 15650  Σ^csumge0 45663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9451  df-oi 9519  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-rp 12993  df-ico 13348  df-icc 13349  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-seq 13985  df-exp 14045  df-hash 14308  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-clim 15450  df-sum 15651  df-sumge0 45664
This theorem is referenced by:  hoidmvlelem3  45898
  Copyright terms: Public domain W3C validator