Theorem sge0uzfsumgt 46449

Description: If a real number is smaller than a generalized sum of nonnegative reals, then it is smaller than some finite subsum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0uzfsumgt.p	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
sge0uzfsumgt.h	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
sge0uzfsumgt.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝐾)
sge0uzfsumgt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
sge0uzfsumgt.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
sge0uzfsumgt.l	⊢ (𝜑 → 𝐶 < (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
sge0uzfsumgt	⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ 𝑍 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑚   𝐶,𝑚   𝑘,𝐾,𝑚   𝑘,𝑍,𝑚   𝜑,𝑚

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sge0uzfsumgt

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0uzfsumgt.p	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		sge0uzfsumgt.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝐾)
3	2	fvexi 6875	. . . 4 ⊢ 𝑍 ∈ V
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ V)
5		sge0uzfsumgt.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
6		sge0uzfsumgt.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
7		sge0uzfsumgt.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)))
8	1, 4, 5, 6, 7	sge0gtfsumgt 46448	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵)
9		sge0uzfsumgt.h	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
10	9	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) → 𝐾 ∈ ℤ)
11		elpwinss 45050	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ 𝑍)
12	11	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) → 𝑥 ⊆ 𝑍)
13		elinel2 4168	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
14	13	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) → 𝑥 ∈ Fin)
15	10, 2, 12, 14	uzfissfz 45329	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) → ∃𝑚 ∈ 𝑍 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚))
16	6	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → 𝐶 ∈ ℝ)
17		nfv 1914	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)
18	1, 17	nfan 1899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚))
19		fzfid 13945	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → (𝐾...𝑚) ∈ Fin)
20		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚))
21	19, 20	ssfid 9219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → 𝑥 ∈ Fin)
22		simpll 766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝜑)
23	20	sselda 3949	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝑘 ∈ (𝐾...𝑚))
24		rge0ssre 13424	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
25		fzssuz 13533	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾...𝑚) ⊆ (ℤ≥‘𝐾)
26	25, 2	sseqtrri 3999	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾...𝑚) ⊆ 𝑍
27		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐾...𝑚) → 𝑘 ∈ (𝐾...𝑚))
28	26, 27	sselid 3947	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐾...𝑚) → 𝑘 ∈ 𝑍)
29	28, 5	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
30	24, 29	sselid 3947	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)) → 𝐵 ∈ ℝ)
31	22, 23, 30	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
32	18, 21, 31	fsumreclf 45581	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℝ)
33	32	adantlr 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℝ)
34		fzfid 13945	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐾...𝑚) ∈ Fin)
35	1, 34, 30	fsumreclf 45581	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵 ∈ ℝ)
36	35	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵 ∈ ℝ)
37		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵)
38	30	adantlr 715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)) → 𝐵 ∈ ℝ)
39		0xr 11228	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℝ*
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)) → 0 ∈ ℝ*)
41		pnfxr 11235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)) → +∞ ∈ ℝ*)
43		icogelb 13364	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ 𝐵)
44	40, 42, 29, 43	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)) → 0 ≤ 𝐵)
45	44	adantlr 715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)) → 0 ≤ 𝐵)
46	18, 19, 38, 45, 20	fsumlessf 45582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵)
47	46	adantlr 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵)
48	16, 33, 36, 37, 47	ltletrd 11341	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵)
49	48	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) → (𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚) → 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵))
50	49	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚) → 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵))
51	50	3adantl2 1168	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚) → 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵))
52	51	reximdva 3147	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) → (∃𝑚 ∈ 𝑍 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚) → ∃𝑚 ∈ 𝑍 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵))
53	15, 52	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) → ∃𝑚 ∈ 𝑍 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵)
54	53	3exp 1119	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → (𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 → ∃𝑚 ∈ 𝑍 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵)))
55	54	rexlimdv 3133	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 → ∃𝑚 ∈ 𝑍 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵))
56	8, 55	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ 𝑍 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3054  Vcvv 3450   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917  𝒫 cpw 4566   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Fincfn 8921  ℝcr 11074  0cc0 11075  +∞cpnf 11212  ℝ^*cxr 11214   < clt 11215   ≤ cle 11216  ℤcz 12536  ℤ_≥cuz 12800  [,)cico 13315  ...cfz 13475  Σcsu 15659  Σ^{^}csumge0 46367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15461  df-sum 15660  df-sumge0 46368

This theorem is referenced by:  hoidmvlelem3  46602