Theorem sge0uzfsumgt 47186

Description: If a real number is smaller than a generalized sum of nonnegative reals, then it is smaller than some finite subsum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0uzfsumgt.p	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
sge0uzfsumgt.h	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
sge0uzfsumgt.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝐾)
sge0uzfsumgt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
sge0uzfsumgt.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
sge0uzfsumgt.l	⊢ (𝜑 → 𝐶 < (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
sge0uzfsumgt	⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ 𝑍 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑚   𝐶,𝑚   𝑘,𝐾,𝑚   𝑘,𝑍,𝑚   𝜑,𝑚

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sge0uzfsumgt

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0uzfsumgt.p	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		sge0uzfsumgt.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝐾)
3	2	fvexi 6895	. . . 4 ⊢ 𝑍 ∈ V
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ V)
5		sge0uzfsumgt.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
6		sge0uzfsumgt.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
7		sge0uzfsumgt.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)))
8	1, 4, 5, 6, 7	sge0gtfsumgt 47185	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵)
9		sge0uzfsumgt.h	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
10	9	3ad2ant1 1150	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) → 𝐾 ∈ ℤ)
11		elpwinss 45797	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ 𝑍)
12	11	3ad2ant2 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) → 𝑥 ⊆ 𝑍)
13		elinel2 4154	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
14	13	3ad2ant2 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) → 𝑥 ∈ Fin)
15	10, 2, 12, 14	uzfissfz 46070	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) → ∃𝑚 ∈ 𝑍 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚))
16	6	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → 𝐶 ∈ ℝ)
17		nfv 1943	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)
18	1, 17	nfan 1928	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚))
19		fzfid 14016	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → (𝐾...𝑚) ∈ Fin)
20		simpr 489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚))
21	19, 20	ssfid 9227	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → 𝑥 ∈ Fin)
22		simpll 778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝜑)
23	20	sselda 3936	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝑘 ∈ (𝐾...𝑚))
24		rge0ssre 13489	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
25		fzssuz 13600	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾...𝑚) ⊆ (ℤ≥‘𝐾)
26	25, 2	sseqtrri 3985	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾...𝑚) ⊆ 𝑍
27		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐾...𝑚) → 𝑘 ∈ (𝐾...𝑚))
28	26, 27	sselid 3934	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐾...𝑚) → 𝑘 ∈ 𝑍)
29	28, 5	sylan2 604	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
30	24, 29	sselid 3934	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)) → 𝐵 ∈ ℝ)
31	22, 23, 30	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
32	18, 21, 31	fsumreclf 46320	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℝ)
33	32	adantlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℝ)
34		fzfid 14016	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐾...𝑚) ∈ Fin)
35	1, 34, 30	fsumreclf 46320	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵 ∈ ℝ)
36	35	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵 ∈ ℝ)
37		simplr 780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵)
38	30	adantlr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)) → 𝐵 ∈ ℝ)
39		0xr 11262	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℝ*
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)) → 0 ∈ ℝ*)
41		pnfxr 11269	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)) → +∞ ∈ ℝ*)
43		icogelb 13429	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ 𝐵)
44	40, 42, 29, 43	syl3anc 1397	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)) → 0 ≤ 𝐵)
45	44	adantlr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)) → 0 ≤ 𝐵)
46	18, 19, 38, 45, 20	fsumlessf 46321	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵)
47	46	adantlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵)
48	16, 33, 36, 37, 47	ltletrd 11376	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵)
49	48	ex 417	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) → (𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚) → 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵))
50	49	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚) → 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵))
51	50	3adantl2 1185	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚) → 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵))
52	51	reximdva 3177	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) → (∃𝑚 ∈ 𝑍 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚) → ∃𝑚 ∈ 𝑍 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵))
53	15, 52	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) → ∃𝑚 ∈ 𝑍 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵)
54	53	3exp 1136	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → (𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 → ∃𝑚 ∈ 𝑍 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵)))
55	54	rexlimdv 3163	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 → ∃𝑚 ∈ 𝑍 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵))
56	8, 55	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ 𝑍 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   = wceq 1569  Ⅎwnf 1812   ∈ wcel 2142  ∃wrex 3088  Vcvv 3454   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  𝒫 cpw 4561   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5191  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  Fincfn 8941  ℝcr 11105  0cc0 11106  +∞cpnf 11246  ℝ^*cxr 11248   < clt 11249   ≤ cle 11250  ℤcz 12597  ℤ_≥cuz 12868  [,)cico 13380  ...cfz 13541  Σcsu 15744  Σ^{^}csumge0 47104

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-inf2 9608  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-rp 13023  df-ico 13384  df-icc 13385  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-seq 14045  df-exp 14105  df-hash 14374  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294  df-clim 15546  df-sum 15745  df-sumge0 47105

This theorem is used by:  hoidmvlelem3  47339