Theorem sge0uzfsumgt 42725

Description: If a real number is smaller than a generalized sum of nonnegative reals, then it is smaller than some finite subsum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0uzfsumgt.p	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
sge0uzfsumgt.h	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
sge0uzfsumgt.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝐾)
sge0uzfsumgt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
sge0uzfsumgt.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
sge0uzfsumgt.l	⊢ (𝜑 → 𝐶 < (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
sge0uzfsumgt	⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ 𝑍 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑚   𝐶,𝑚   𝑘,𝐾,𝑚   𝑘,𝑍,𝑚   𝜑,𝑚

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sge0uzfsumgt

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0uzfsumgt.p	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		sge0uzfsumgt.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝐾)
3	2	fvexi 6683	. . . 4 ⊢ 𝑍 ∈ V
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ V)
5		sge0uzfsumgt.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
6		sge0uzfsumgt.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
7		sge0uzfsumgt.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)))
8	1, 4, 5, 6, 7	sge0gtfsumgt 42724	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵)
9		sge0uzfsumgt.h	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
10	9	3ad2ant1 1129	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) → 𝐾 ∈ ℤ)
11		elpwinss 41309	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ 𝑍)
12	11	3ad2ant2 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) → 𝑥 ⊆ 𝑍)
13		elinel2 4172	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
14	13	3ad2ant2 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) → 𝑥 ∈ Fin)
15	10, 2, 12, 14	uzfissfz 41592	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) → ∃𝑚 ∈ 𝑍 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚))
16	6	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → 𝐶 ∈ ℝ)
17		nfv 1911	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)
18	1, 17	nfan 1896	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚))
19		fzfid 13340	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → (𝐾...𝑚) ∈ Fin)
20		simpr 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚))
21	19, 20	ssfid 8740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → 𝑥 ∈ Fin)
22		simpll 765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝜑)
23	20	sselda 3966	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝑘 ∈ (𝐾...𝑚))
24		rge0ssre 12843	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
25		fzssuz 12947	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾...𝑚) ⊆ (ℤ≥‘𝐾)
26	25, 2	sseqtrri 4003	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾...𝑚) ⊆ 𝑍
27		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐾...𝑚) → 𝑘 ∈ (𝐾...𝑚))
28	26, 27	sseldi 3964	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐾...𝑚) → 𝑘 ∈ 𝑍)
29	28, 5	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
30	24, 29	sseldi 3964	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)) → 𝐵 ∈ ℝ)
31	22, 23, 30	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
32	18, 21, 31	fsumreclf 41855	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℝ)
33	32	adantlr 713	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℝ)
34		fzfid 13340	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐾...𝑚) ∈ Fin)
35	1, 34, 30	fsumreclf 41855	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵 ∈ ℝ)
36	35	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵 ∈ ℝ)
37		simplr 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵)
38	30	adantlr 713	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)) → 𝐵 ∈ ℝ)
39		0xr 10687	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℝ*
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)) → 0 ∈ ℝ*)
41		pnfxr 10694	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)) → +∞ ∈ ℝ*)
43		icogelb 12787	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ 𝐵)
44	40, 42, 29, 43	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)) → 0 ≤ 𝐵)
45	44	adantlr 713	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)) → 0 ≤ 𝐵)
46	18, 19, 38, 45, 20	fsumlessf 41856	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵)
47	46	adantlr 713	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵)
48	16, 33, 36, 37, 47	ltletrd 10799	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵)
49	48	ex 415	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) → (𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚) → 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵))
50	49	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚) → 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵))
51	50	3adantl2 1163	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚) → 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵))
52	51	reximdva 3274	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) → (∃𝑚 ∈ 𝑍 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚) → ∃𝑚 ∈ 𝑍 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵))
53	15, 52	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) → ∃𝑚 ∈ 𝑍 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵)
54	53	3exp 1115	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → (𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 → ∃𝑚 ∈ 𝑍 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵)))
55	54	rexlimdv 3283	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 → ∃𝑚 ∈ 𝑍 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵))
56	8, 55	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ 𝑍 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533  Ⅎwnf 1780   ∈ wcel 2110  ∃wrex 3139  Vcvv 3494   ∩ cin 3934   ⊆ wss 3935  𝒫 cpw 4538   class class class wbr 5065   ↦ cmpt 5145  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155  Fincfn 8508  ℝcr 10535  0cc0 10536  +∞cpnf 10671  ℝ^*cxr 10673   < clt 10674   ≤ cle 10675  ℤcz 11980  ℤ_≥cuz 12242  [,)cico 12739  ...cfz 12891  Σcsu 15041  Σ^{^}csumge0 42643

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-inf2 9103  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-oadd 8105  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-sup 8905  df-oi 8973  df-card 9367  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-rp 12389  df-ico 12743  df-icc 12744  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13429  df-hash 13690  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-clim 14844  df-sum 15042  df-sumge0 42644

This theorem is referenced by:  hoidmvlelem3  42878