Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0uzfsumgt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0uzfsumgt 46400
Description: If a real number is smaller than a generalized sum of nonnegative reals, then it is smaller than some finite subsum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0uzfsumgt.p 𝑘𝜑
sge0uzfsumgt.h (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
sge0uzfsumgt.z 𝑍 = (ℤ𝐾)
sge0uzfsumgt.b ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
sge0uzfsumgt.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
sge0uzfsumgt.l (𝜑𝐶 < (Σ^‘(𝑘𝑍𝐵)))
Assertion
Ref Expression
sge0uzfsumgt (𝜑 → ∃𝑚𝑍 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑚   𝐶,𝑚   𝑘,𝐾,𝑚   𝑘,𝑍,𝑚   𝜑,𝑚
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sge0uzfsumgt
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0uzfsumgt.p . . 3 𝑘𝜑
2 sge0uzfsumgt.z . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝐾)
32fvexi 6921 . . . 4 𝑍 ∈ V
43a1i 11 . . 3 (𝜑𝑍 ∈ V)
5 sge0uzfsumgt.b . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
6 sge0uzfsumgt.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
7 sge0uzfsumgt.l . . 3 (𝜑𝐶 < (Σ^‘(𝑘𝑍𝐵)))
81, 4, 5, 6, 7sge0gtfsumgt 46399 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵)
9 sge0uzfsumgt.h . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
1093ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) → 𝐾 ∈ ℤ)
11 elpwinss 44989 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑥𝑍)
12113ad2ant2 1133 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) → 𝑥𝑍)
13 elinel2 4212 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
14133ad2ant2 1133 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) → 𝑥 ∈ Fin)
1510, 2, 12, 14uzfissfz 45276 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) → ∃𝑚𝑍 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚))
166ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → 𝐶 ∈ ℝ)
17 nfv 1912 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)
181, 17nfan 1897 . . . . . . . . . . . 12 𝑘(𝜑𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚))
19 fzfid 14011 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → (𝐾...𝑚) ∈ Fin)
20 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚))
2119, 20ssfid 9299 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → 𝑥 ∈ Fin)
22 simpll 767 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝜑)
2320sselda 3995 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑘 ∈ (𝐾...𝑚))
24 rge0ssre 13493 . . . . . . . . . . . . . 14 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
25 fzssuz 13602 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾...𝑚) ⊆ (ℤ𝐾)
2625, 2sseqtrri 4033 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾...𝑚) ⊆ 𝑍
27 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (𝐾...𝑚) → 𝑘 ∈ (𝐾...𝑚))
2826, 27sselid 3993 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (𝐾...𝑚) → 𝑘𝑍)
2928, 5sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
3024, 29sselid 3993 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)) → 𝐵 ∈ ℝ)
3122, 23, 30syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
3218, 21, 31fsumreclf 45532 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → Σ𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℝ)
3332adantlr 715 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → Σ𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℝ)
34 fzfid 14011 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐾...𝑚) ∈ Fin)
351, 34, 30fsumreclf 45532 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵 ∈ ℝ)
3635ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵 ∈ ℝ)
37 simplr 769 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → 𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵)
3830adantlr 715 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)) → 𝐵 ∈ ℝ)
39 0xr 11306 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ*
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)) → 0 ∈ ℝ*)
41 pnfxr 11313 . . . . . . . . . . . . . . 15 +∞ ∈ ℝ*
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)) → +∞ ∈ ℝ*)
43 icogelb 13435 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ 𝐵)
4440, 42, 29, 43syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)) → 0 ≤ 𝐵)
4544adantlr 715 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)) → 0 ≤ 𝐵)
4618, 19, 38, 45, 20fsumlessf 45533 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → Σ𝑘𝑥 𝐵 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵)
4746adantlr 715 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → Σ𝑘𝑥 𝐵 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵)
4816, 33, 36, 37, 47ltletrd 11419 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵)
4948ex 412 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) → (𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚) → 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵))
5049adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) ∧ 𝑚𝑍) → (𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚) → 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵))
51503adantl2 1166 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) ∧ 𝑚𝑍) → (𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚) → 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵))
5251reximdva 3166 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) → (∃𝑚𝑍 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚) → ∃𝑚𝑍 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵))
5315, 52mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) → ∃𝑚𝑍 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵)
54533exp 1118 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → (𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵 → ∃𝑚𝑍 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵)))
5554rexlimdv 3151 . 2 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵 → ∃𝑚𝑍 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵))
568, 55mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑚𝑍 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wnf 1780  wcel 2106  wrex 3068  Vcvv 3478  cin 3962  wss 3963  𝒫 cpw 4605   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  cr 11152  0cc0 11153  +∞cpnf 11290  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  cz 12611  cuz 12876  [,)cico 13386  ...cfz 13544  Σcsu 15719  Σ^csumge0 46318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-sumge0 46319
This theorem is referenced by:  hoidmvlelem3  46553
  Copyright terms: Public domain W3C validator