Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0uzfsumgt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0uzfsumgt 45891
Description: If a real number is smaller than a generalized sum of nonnegative reals, then it is smaller than some finite subsum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0uzfsumgt.p 𝑘𝜑
sge0uzfsumgt.h (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
sge0uzfsumgt.z 𝑍 = (ℤ𝐾)
sge0uzfsumgt.b ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
sge0uzfsumgt.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
sge0uzfsumgt.l (𝜑𝐶 < (Σ^‘(𝑘𝑍𝐵)))
Assertion
Ref Expression
sge0uzfsumgt (𝜑 → ∃𝑚𝑍 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑚   𝐶,𝑚   𝑘,𝐾,𝑚   𝑘,𝑍,𝑚   𝜑,𝑚
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sge0uzfsumgt
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0uzfsumgt.p . . 3 𝑘𝜑
2 sge0uzfsumgt.z . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝐾)
32fvexi 6904 . . . 4 𝑍 ∈ V
43a1i 11 . . 3 (𝜑𝑍 ∈ V)
5 sge0uzfsumgt.b . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
6 sge0uzfsumgt.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
7 sge0uzfsumgt.l . . 3 (𝜑𝐶 < (Σ^‘(𝑘𝑍𝐵)))
81, 4, 5, 6, 7sge0gtfsumgt 45890 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵)
9 sge0uzfsumgt.h . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
1093ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) → 𝐾 ∈ ℤ)
11 elpwinss 44474 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑥𝑍)
12113ad2ant2 1131 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) → 𝑥𝑍)
13 elinel2 4191 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
14133ad2ant2 1131 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) → 𝑥 ∈ Fin)
1510, 2, 12, 14uzfissfz 44767 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) → ∃𝑚𝑍 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚))
166ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → 𝐶 ∈ ℝ)
17 nfv 1909 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)
181, 17nfan 1894 . . . . . . . . . . . 12 𝑘(𝜑𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚))
19 fzfid 13965 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → (𝐾...𝑚) ∈ Fin)
20 simpr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚))
2119, 20ssfid 9285 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → 𝑥 ∈ Fin)
22 simpll 765 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝜑)
2320sselda 3973 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑘 ∈ (𝐾...𝑚))
24 rge0ssre 13460 . . . . . . . . . . . . . 14 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
25 fzssuz 13569 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾...𝑚) ⊆ (ℤ𝐾)
2625, 2sseqtrri 4011 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾...𝑚) ⊆ 𝑍
27 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (𝐾...𝑚) → 𝑘 ∈ (𝐾...𝑚))
2826, 27sselid 3971 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (𝐾...𝑚) → 𝑘𝑍)
2928, 5sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
3024, 29sselid 3971 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)) → 𝐵 ∈ ℝ)
3122, 23, 30syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
3218, 21, 31fsumreclf 45023 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → Σ𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℝ)
3332adantlr 713 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → Σ𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℝ)
34 fzfid 13965 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐾...𝑚) ∈ Fin)
351, 34, 30fsumreclf 45023 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵 ∈ ℝ)
3635ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵 ∈ ℝ)
37 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → 𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵)
3830adantlr 713 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)) → 𝐵 ∈ ℝ)
39 0xr 11286 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ*
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)) → 0 ∈ ℝ*)
41 pnfxr 11293 . . . . . . . . . . . . . . 15 +∞ ∈ ℝ*
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)) → +∞ ∈ ℝ*)
43 icogelb 13402 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ 𝐵)
4440, 42, 29, 43syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)) → 0 ≤ 𝐵)
4544adantlr 713 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)) → 0 ≤ 𝐵)
4618, 19, 38, 45, 20fsumlessf 45024 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → Σ𝑘𝑥 𝐵 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵)
4746adantlr 713 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → Σ𝑘𝑥 𝐵 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵)
4816, 33, 36, 37, 47ltletrd 11399 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚)) → 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵)
4948ex 411 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) → (𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚) → 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵))
5049adantr 479 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) ∧ 𝑚𝑍) → (𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚) → 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵))
51503adantl2 1164 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) ∧ 𝑚𝑍) → (𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚) → 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵))
5251reximdva 3158 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) → (∃𝑚𝑍 𝑥 ⊆ (𝐾...𝑚) → ∃𝑚𝑍 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵))
5315, 52mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵) → ∃𝑚𝑍 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵)
54533exp 1116 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → (𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵 → ∃𝑚𝑍 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵)))
5554rexlimdv 3143 . 2 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘𝑥 𝐵 → ∃𝑚𝑍 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵))
568, 55mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑚𝑍 𝐶 < Σ𝑘 ∈ (𝐾...𝑚)𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wnf 1777  wcel 2098  wrex 3060  Vcvv 3463  cin 3940  wss 3941  𝒫 cpw 4599   class class class wbr 5144  cmpt 5227  cfv 6543  (class class class)co 7413  Fincfn 8957  cr 11132  0cc0 11133  +∞cpnf 11270  *cxr 11272   < clt 11273  cle 11274  cz 12583  cuz 12847  [,)cico 13353  ...cfz 13511  Σcsu 15659  Σ^csumge0 45809
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9460  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-rp 13002  df-ico 13357  df-icc 13358  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-seq 13994  df-exp 14054  df-hash 14317  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-clim 15459  df-sum 15660  df-sumge0 45810
This theorem is referenced by:  hoidmvlelem3  46044
  Copyright terms: Public domain W3C validator