xralrple2 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem xralrple2 45338

Description: Show that 𝐴 is less than 𝐵 by showing that there is no positive bound on the difference. A variant on xralrple 13107. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
xralrple2.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
xralrple2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ^*)
xralrple2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))

**Assertion**
Ref	Expression
xralrple2	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵 Allowed substitution hint: 𝜑(𝑥)

Proof of Theorem xralrple2 Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xralrple2.x	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		nfv 1914	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐴 ≤ 𝐵
3	1, 2	nfan 1899	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)
4		xralrple2.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ^*)
5	4	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
6		icossxr 13335	. . . . . . 7 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ^*
7		xralrple2.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
8	7	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
9	6, 8	sselid 3933	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
10		1red 11116	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 1 ∈ ℝ)
11		rpre 12902	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ⁺ → 𝑥 ∈ ℝ)
12	11	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝑥 ∈ ℝ)
13	10, 12	readdcld 11144	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (1 + 𝑥) ∈ ℝ)
14		rge0ssre 13359	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
15	14, 7	sselid 3933	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
16	15	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝐵 ∈ ℝ)
17	13, 16	remulcld 11145	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∈ ℝ)
18	17	rexrd 11165	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∈ ℝ^*)
19	18	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∈ ℝ^*)
20		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ≤ 𝐵)
21	15	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝐵 ∈ ℝ)
22		1red 11116	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ⁺ → 1 ∈ ℝ)
23	22, 11	readdcld 11144	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ⁺ → (1 + 𝑥) ∈ ℝ)
24	23	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (1 + 𝑥) ∈ ℝ)
25		0xr 11162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ^*
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,)+∞) → 0 ∈ ℝ^*)
27		pnfxr 11169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ +∞ ∈ ℝ^*
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,)+∞) → +∞ ∈ ℝ^*)
29		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,)+∞) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
30		icogelb 13299	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ^* ∧ +∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ 𝐵)
31	26, 28, 29, 30	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ 𝐵)
32	7, 31	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
33	32	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 0 ≤ 𝐵)
34		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ⁺ → 𝑥 ∈ ℝ⁺)
35	22, 34	ltaddrpd 12970	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ⁺ → 1 < (1 + 𝑥))
36	22, 23, 35	ltled 11264	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ⁺ → 1 ≤ (1 + 𝑥))
37	36	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 1 ≤ (1 + 𝑥))
38	21, 24, 33, 37	lemulge12d 12063	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝐵 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵))
39	5, 9, 19, 20, 38	xrletrd 13064	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵))
40	39	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝑥 ∈ ℝ⁺ → 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)))
41	3, 40	ralrimi 3227	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵))
42	41	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 → ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)))
43	4	ad3antrrr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
44		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 = 0 → 𝐵 = 0)
45		0red 11118	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 = 0 → 0 ∈ ℝ)
46	44, 45	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 = 0 → 𝐵 ∈ ℝ)
47	46	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 = 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
48		rpre 12902	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ⁺ → 𝑦 ∈ ℝ)
49	48	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 = 0) → 𝑦 ∈ ℝ)
50	47, 49	readdcld 11144	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 = 0) → (𝐵 + 𝑦) ∈ ℝ)
51	50	rexrd 11165	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 = 0) → (𝐵 + 𝑦) ∈ ℝ^*)
52	51	adantll 714	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐵 + 𝑦) ∈ ℝ^*)
53	25	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝐵 = 0) → 0 ∈ ℝ^*)
54		1rp 12897	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℝ⁺
55	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) → 1 ∈ ℝ⁺)
56		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) → ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵))
57		oveq2 7357	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 1 → (1 + 𝑥) = (1 + 1))
58	57	oveq1d 7364	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 1 → ((1 + 𝑥) · 𝐵) = ((1 + 1) · 𝐵))
59	58	breq2d 5104	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) ↔ 𝐴 ≤ ((1 + 1) · 𝐵)))
60	59	rspcva 3575	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) → 𝐴 ≤ ((1 + 1) · 𝐵))
61	55, 56, 60	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) → 𝐴 ≤ ((1 + 1) · 𝐵))
62		1p1e2 12248	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 + 1) = 2
63	62	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) → (1 + 1) = 2)
64	63	oveq1d 7364	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) → ((1 + 1) · 𝐵) = (2 · 𝐵))
65	61, 64	breqtrd 5118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) → 𝐴 ≤ (2 · 𝐵))
66	65	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 ≤ (2 · 𝐵))
67		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐵 = 0)
68		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ≤ (2 · 𝐵) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 ≤ (2 · 𝐵))
69		oveq2 7357	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 = 0 → (2 · 𝐵) = (2 · 0))
70		2cnd 12206	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 = 0 → 2 ∈ ℂ)
71	70	mul01d 11315	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 = 0 → (2 · 0) = 0)
72	69, 71	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 = 0 → (2 · 𝐵) = 0)
73	72	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ≤ (2 · 𝐵) ∧ 𝐵 = 0) → (2 · 𝐵) = 0)
74	68, 73	breqtrd 5118	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ≤ (2 · 𝐵) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 ≤ 0)
75	66, 67, 74	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 ≤ 0)
76	75	ad4ant24 754	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 ≤ 0)
77		rpgt0 12906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ⁺ → 0 < 𝑦)
78	77	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 = 0) → 0 < 𝑦)
79		oveq1 7356	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐵 + 𝑦) = (0 + 𝑦))
80	79	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 = 0) → (𝐵 + 𝑦) = (0 + 𝑦))
81	48	recnd 11143	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ⁺ → 𝑦 ∈ ℂ)
82	81	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 = 0) → 𝑦 ∈ ℂ)
83	82	addlidd 11317	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 = 0) → (0 + 𝑦) = 𝑦)
84	80, 83	eqtr2d 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 = 0) → 𝑦 = (𝐵 + 𝑦))
85	78, 84	breqtrd 5118	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 = 0) → 0 < (𝐵 + 𝑦))
86	85	adantll 714	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝐵 = 0) → 0 < (𝐵 + 𝑦))
87	43, 53, 52, 76, 86	xrlelttrd 13062	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 < (𝐵 + 𝑦))
88	43, 52, 87	xrltled 13052	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦))
89		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ¬ 𝐵 = 0) → ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺))
90	15	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
91		0red 11118	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 0) → 0 ∈ ℝ)
92	32	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 0) → 0 ≤ 𝐵)
93	44	necon3bi 2951	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝐵 = 0 → 𝐵 ≠ 0)
94	93	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 0) → 𝐵 ≠ 0)
95	91, 90, 92, 94	leneltd 11270	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 0) → 0 < 𝐵)
96	90, 95	elrpd 12934	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 0) → 𝐵 ∈ ℝ⁺)
97	96	ad4ant14 752	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ¬ 𝐵 = 0) → 𝐵 ∈ ℝ⁺)
98		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → 𝑦 ∈ ℝ⁺)
99		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → 𝐵 ∈ ℝ⁺)
100	98, 99	rpdivcld 12954	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → (𝑦 / 𝐵) ∈ ℝ⁺)
101		simpll 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵))
102		oveq2 7357	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑦 / 𝐵) → (1 + 𝑥) = (1 + (𝑦 / 𝐵)))
103	102	oveq1d 7364	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑦 / 𝐵) → ((1 + 𝑥) · 𝐵) = ((1 + (𝑦 / 𝐵)) · 𝐵))
104	103	breq2d 5104	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑦 / 𝐵) → (𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) ↔ 𝐴 ≤ ((1 + (𝑦 / 𝐵)) · 𝐵)))
105	104	rspcva 3575	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 / 𝐵) ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) → 𝐴 ≤ ((1 + (𝑦 / 𝐵)) · 𝐵))
106	100, 101, 105	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ≤ ((1 + (𝑦 / 𝐵)) · 𝐵))
107	106	adantlll 718	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ≤ ((1 + (𝑦 / 𝐵)) · 𝐵))
108		1cnd 11110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → 1 ∈ ℂ)
109	81	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → 𝑦 ∈ ℂ)
110		rpcn 12904	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ⁺ → 𝐵 ∈ ℂ)
111	110	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → 𝐵 ∈ ℂ)
112		rpne0 12910	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ⁺ → 𝐵 ≠ 0)
113	112	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → 𝐵 ≠ 0)
114	109, 111, 113	divcld 11900	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → (𝑦 / 𝐵) ∈ ℂ)
115	108, 114, 111	adddird 11140	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → ((1 + (𝑦 / 𝐵)) · 𝐵) = ((1 · 𝐵) + ((𝑦 / 𝐵) · 𝐵)))
116	111	mullidd 11133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
117	109, 111, 113	divcan1d 11901	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → ((𝑦 / 𝐵) · 𝐵) = 𝑦)
118	116, 117	oveq12d 7367	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → ((1 · 𝐵) + ((𝑦 / 𝐵) · 𝐵)) = (𝐵 + 𝑦))
119		eqidd 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → (𝐵 + 𝑦) = (𝐵 + 𝑦))
120	115, 118, 119	3eqtrd 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → ((1 + (𝑦 / 𝐵)) · 𝐵) = (𝐵 + 𝑦))
121	120	adantll 714	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → ((1 + (𝑦 / 𝐵)) · 𝐵) = (𝐵 + 𝑦))
122	107, 121	breqtrd 5118	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦))
123	89, 97, 122	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ¬ 𝐵 = 0) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦))
124	88, 123	pm2.61dan 812	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦))
125	124	ralrimiva 3121	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) → ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦))
126		xralrple 13107	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦)))
127	4, 15, 126	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦)))
128	127	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦)))
129	125, 128	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐵)
130	129	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵))
131	42, 130	impbid 212	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 = wceq 1540 Ⅎwnf 1783 ∈ wcel 2109 ≠ wne 2925 ∀wral 3044 class class class wbr 5092 (class class class)co 7349 ℂcc 11007 ℝcr 11008 0cc0 11009 1c1 11010 + caddc 11012 · cmul 11014 +∞cpnf 11146 ℝ^*cxr 11148 < clt 11149 ≤ cle 11150 / cdiv 11777 2c2 12183 ℝ⁺crp 12893 [,)cico 13250

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2701 ax-sep 5235 ax-nul 5245 ax-pow 5304 ax-pr 5371 ax-un 7671 ax-cnex 11065 ax-resscn 11066 ax-1cn 11067 ax-icn 11068 ax-addcl 11069 ax-addrcl 11070 ax-mulcl 11071 ax-mulrcl 11072 ax-mulcom 11073 ax-addass 11074 ax-mulass 11075 ax-distr 11076 ax-i2m1 11077 ax-1ne0 11078 ax-1rid 11079 ax-rnegex 11080 ax-rrecex 11081 ax-cnre 11082 ax-pre-lttri 11083 ax-pre-lttrn 11084 ax-pre-ltadd 11085 ax-pre-mulgt0 11086 ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2708 df-cleq 2721 df-clel 2803 df-nfc 2878 df-ne 2926 df-nel 3030 df-ral 3045 df-rex 3054 df-rmo 3343 df-reu 3344 df-rab 3395 df-v 3438 df-sbc 3743 df-csb 3852 df-dif 3906 df-un 3908 df-in 3910 df-ss 3920 df-pss 3923 df-nul 4285 df-if 4477 df-pw 4553 df-sn 4578 df-pr 4580 df-op 4584 df-uni 4859 df-iun 4943 df-br 5093 df-opab 5155 df-mpt 5174 df-tr 5200 df-id 5514 df-eprel 5519 df-po 5527 df-so 5528 df-fr 5572 df-we 5574 df-xp 5625 df-rel 5626 df-cnv 5627 df-co 5628 df-dm 5629 df-rn 5630 df-res 5631 df-ima 5632 df-pred 6249 df-ord 6310 df-on 6311 df-lim 6312 df-suc 6313 df-iota 6438 df-fun 6484 df-fn 6485 df-f 6486 df-f1 6487 df-fo 6488 df-f1o 6489 df-fv 6490 df-riota 7306 df-ov 7352 df-oprab 7353 df-mpo 7354 df-om 7800 df-1st 7924 df-2nd 7925 df-frecs 8214 df-wrecs 8245 df-recs 8294 df-rdg 8332 df-er 8625 df-en 8873 df-dom 8874 df-sdom 8875 df-sup 9332 df-inf 9333 df-pnf 11151 df-mnf 11152 df-xr 11153 df-ltxr 11154 df-le 11155 df-sub 11349 df-neg 11350 df-div 11778 df-nn 12129 df-2 12191 df-n0 12385 df-z 12472 df-uz 12736 df-q 12850 df-rp 12894 df-ico 13254

This theorem is referenced by: hoidmvlelem5 46584

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