xralrple2 - Mathbox for Glauco Siliprandi

	Mathbox for Glauco Siliprandi		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > xralrple2		Structured version Visualization version GIF version

Theorem xralrple2 45962

Description: Show that 𝐴 is less than 𝐵 by showing that there is no positive bound on the difference. A variant on xralrple 13231. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
xralrple2.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
xralrple2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ^*)
xralrple2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))

**Assertion**
Ref	Expression
xralrple2	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵 Allowed substitution hint: 𝜑(𝑥)

Proof of Theorem xralrple2 Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xralrple2.x	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		nfv 1941	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐴 ≤ 𝐵
3	1, 2	nfan 1926	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)
4		xralrple2.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ^*)
5	4	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
6		icossxr 13459	. . . . . . 7 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ^*
7		xralrple2.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
8	7	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
9	6, 8	sselid 3943	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
10		1red 11209	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 1 ∈ ℝ)
11		rpre 13025	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ⁺ → 𝑥 ∈ ℝ)
12	11	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝑥 ∈ ℝ)
13	10, 12	readdcld 11238	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (1 + 𝑥) ∈ ℝ)
14		rge0ssre 13483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
15	14, 7	sselid 3943	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
16	15	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝐵 ∈ ℝ)
17	13, 16	remulcld 11239	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∈ ℝ)
18	17	rexrd 11259	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∈ ℝ^*)
19	18	adantlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∈ ℝ^*)
20		simplr 780	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ≤ 𝐵)
21	15	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝐵 ∈ ℝ)
22		1red 11209	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ⁺ → 1 ∈ ℝ)
23	22, 11	readdcld 11238	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ⁺ → (1 + 𝑥) ∈ ℝ)
24	23	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (1 + 𝑥) ∈ ℝ)
25		0xr 11256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ^*
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,)+∞) → 0 ∈ ℝ^*)
27		pnfxr 11263	. . . . . . . . . . 11 ⊢ +∞ ∈ ℝ^*
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,)+∞) → +∞ ∈ ℝ^*)
29		id 23	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,)+∞) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
30		icogelb 13423	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ^* ∧ +∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ 𝐵)
31	26, 28, 29, 30	syl3anc 1396	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ 𝐵)
32	7, 31	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
33	32	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 0 ≤ 𝐵)
34		id 23	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ⁺ → 𝑥 ∈ ℝ⁺)
35	22, 34	ltaddrpd 13093	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ⁺ → 1 < (1 + 𝑥))
36	22, 23, 35	ltled 11358	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ⁺ → 1 ≤ (1 + 𝑥))
37	36	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 1 ≤ (1 + 𝑥))
38	21, 24, 33, 37	lemulge12d 12153	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝐵 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵))
39	5, 9, 19, 20, 38	xrletrd 13187	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵))
40	39	ex 417	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝑥 ∈ ℝ⁺ → 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)))
41	3, 40	ralrimi 3269	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵))
42	41	ex 417	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 → ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)))
43	4	ad3antrrr 742	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
44		id 23	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 = 0 → 𝐵 = 0)
45		0red 11211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 = 0 → 0 ∈ ℝ)
46	44, 45	eqeltrd 2869	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 = 0 → 𝐵 ∈ ℝ)
47	46	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 = 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
48		rpre 13025	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ⁺ → 𝑦 ∈ ℝ)
49	48	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 = 0) → 𝑦 ∈ ℝ)
50	47, 49	readdcld 11238	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 = 0) → (𝐵 + 𝑦) ∈ ℝ)
51	50	rexrd 11259	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 = 0) → (𝐵 + 𝑦) ∈ ℝ^*)
52	51	adantll 726	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐵 + 𝑦) ∈ ℝ^*)
53	25	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝐵 = 0) → 0 ∈ ℝ^*)
54		1rp 13020	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℝ⁺
55	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) → 1 ∈ ℝ⁺)
56		id 23	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) → ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵))
57		oveq2 7419	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 1 → (1 + 𝑥) = (1 + 1))
58	57	oveq1d 7426	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 1 → ((1 + 𝑥) · 𝐵) = ((1 + 1) · 𝐵))
59	58	breq2d 5125	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) ↔ 𝐴 ≤ ((1 + 1) · 𝐵)))
60	59	rspcva 3588	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) → 𝐴 ≤ ((1 + 1) · 𝐵))
61	55, 56, 60	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) → 𝐴 ≤ ((1 + 1) · 𝐵))
62		1p1e2 12364	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 + 1) = 2
63	62	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) → (1 + 1) = 2)
64	63	oveq1d 7426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) → ((1 + 1) · 𝐵) = (2 · 𝐵))
65	61, 64	breqtrd 5141	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) → 𝐴 ≤ (2 · 𝐵))
66	65	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 ≤ (2 · 𝐵))
67		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐵 = 0)
68		simpl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ≤ (2 · 𝐵) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 ≤ (2 · 𝐵))
69		oveq2 7419	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 = 0 → (2 · 𝐵) = (2 · 0))
70		2cnd 12319	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 = 0 → 2 ∈ ℂ)
71	70	mul01d 11409	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 = 0 → (2 · 0) = 0)
72	69, 71	eqtrd 2804	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 = 0 → (2 · 𝐵) = 0)
73	72	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ≤ (2 · 𝐵) ∧ 𝐵 = 0) → (2 · 𝐵) = 0)
74	68, 73	breqtrd 5141	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ≤ (2 · 𝐵) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 ≤ 0)
75	66, 67, 74	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 ≤ 0)
76	75	ad4ant24 766	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 ≤ 0)
77		rpgt0 13029	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ⁺ → 0 < 𝑦)
78	77	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 = 0) → 0 < 𝑦)
79		oveq1 7418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐵 + 𝑦) = (0 + 𝑦))
80	79	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 = 0) → (𝐵 + 𝑦) = (0 + 𝑦))
81	48	recnd 11237	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ⁺ → 𝑦 ∈ ℂ)
82	81	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 = 0) → 𝑦 ∈ ℂ)
83	82	addlidd 11411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 = 0) → (0 + 𝑦) = 𝑦)
84	80, 83	eqtr2d 2805	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 = 0) → 𝑦 = (𝐵 + 𝑦))
85	78, 84	breqtrd 5141	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 = 0) → 0 < (𝐵 + 𝑦))
86	85	adantll 726	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝐵 = 0) → 0 < (𝐵 + 𝑦))
87	43, 53, 52, 76, 86	xrlelttrd 13185	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 < (𝐵 + 𝑦))
88	43, 52, 87	xrltled 13175	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦))
89		simpl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ¬ 𝐵 = 0) → ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺))
90	15	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
91		0red 11211	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 0) → 0 ∈ ℝ)
92	32	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 0) → 0 ≤ 𝐵)
93	44	necon3bi 2990	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝐵 = 0 → 𝐵 ≠ 0)
94	93	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 0) → 𝐵 ≠ 0)
95	91, 90, 92, 94	leneltd 11364	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 0) → 0 < 𝐵)
96	90, 95	elrpd 13057	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 0) → 𝐵 ∈ ℝ⁺)
97	96	ad4ant14 764	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ¬ 𝐵 = 0) → 𝐵 ∈ ℝ⁺)
98		simplr 780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → 𝑦 ∈ ℝ⁺)
99		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → 𝐵 ∈ ℝ⁺)
100	98, 99	rpdivcld 13077	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → (𝑦 / 𝐵) ∈ ℝ⁺)
101		simpll 778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵))
102		oveq2 7419	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑦 / 𝐵) → (1 + 𝑥) = (1 + (𝑦 / 𝐵)))
103	102	oveq1d 7426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑦 / 𝐵) → ((1 + 𝑥) · 𝐵) = ((1 + (𝑦 / 𝐵)) · 𝐵))
104	103	breq2d 5125	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑦 / 𝐵) → (𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) ↔ 𝐴 ≤ ((1 + (𝑦 / 𝐵)) · 𝐵)))
105	104	rspcva 3588	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 / 𝐵) ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) → 𝐴 ≤ ((1 + (𝑦 / 𝐵)) · 𝐵))
106	100, 101, 105	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ≤ ((1 + (𝑦 / 𝐵)) · 𝐵))
107	106	adantlll 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ≤ ((1 + (𝑦 / 𝐵)) · 𝐵))
108		1cnd 11202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → 1 ∈ ℂ)
109	81	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → 𝑦 ∈ ℂ)
110		rpcn 13027	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ⁺ → 𝐵 ∈ ℂ)
111	110	adantl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → 𝐵 ∈ ℂ)
112		rpne0 13033	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ⁺ → 𝐵 ≠ 0)
113	112	adantl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → 𝐵 ≠ 0)
114	109, 111, 113	divcld 11991	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → (𝑦 / 𝐵) ∈ ℂ)
115	108, 114, 111	adddird 11234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → ((1 + (𝑦 / 𝐵)) · 𝐵) = ((1 · 𝐵) + ((𝑦 / 𝐵) · 𝐵)))
116	111	mullidd 11227	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
117	109, 111, 113	divcan1d 11992	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → ((𝑦 / 𝐵) · 𝐵) = 𝑦)
118	116, 117	oveq12d 7429	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → ((1 · 𝐵) + ((𝑦 / 𝐵) · 𝐵)) = (𝐵 + 𝑦))
119		eqidd 2770	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → (𝐵 + 𝑦) = (𝐵 + 𝑦))
120	115, 118, 119	3eqtrd 2808	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → ((1 + (𝑦 / 𝐵)) · 𝐵) = (𝐵 + 𝑦))
121	120	adantll 726	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → ((1 + (𝑦 / 𝐵)) · 𝐵) = (𝐵 + 𝑦))
122	107, 121	breqtrd 5141	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦))
123	89, 97, 122	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ¬ 𝐵 = 0) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦))
124	88, 123	pm2.61dan 824	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦))
125	124	ralrimiva 3163	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) → ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦))
126		xralrple 13231	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦)))
127	4, 15, 126	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦)))
128	127	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦)))
129	125, 128	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐵)
130	129	ex 417	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵))
131	42, 130	impbid 215	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 400 = wceq 1567 Ⅎwnf 1810 ∈ wcel 2149 ≠ wne 2964 ∀wral 3085 class class class wbr 5113 (class class class)co 7411 ℂcc 11098 ℝcr 11099 0cc0 11100 1c1 11101 + caddc 11103 · cmul 11105 +∞cpnf 11240 ℝ^*cxr 11242 < clt 11243 ≤ cle 11244 / cdiv 11871 2c2 12295 ℝ⁺crp 13016 [,)cico 13374

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1822 ax-4 1836 ax-5 1937 ax-6 1994 ax-7 2035 ax-8 2151 ax-9 2159 ax-10 2182 ax-11 2198 ax-12 2219 ax-ext 2741 ax-sep 5261 ax-nul 5271 ax-pow 5337 ax-pr 5405 ax-un 7733 ax-cnex 11156 ax-resscn 11157 ax-1cn 11158 ax-icn 11159 ax-addcl 11160 ax-addrcl 11161 ax-mulcl 11162 ax-mulrcl 11163 ax-mulcom 11164 ax-addass 11165 ax-mulass 11166 ax-distr 11167 ax-i2m1 11168 ax-1ne0 11169 ax-1rid 11170 ax-rnegex 11171 ax-rrecex 11172 ax-cnre 11173 ax-pre-lttri 11174 ax-pre-lttrn 11175 ax-pre-ltadd 11176 ax-pre-mulgt0 11177 ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 401 df-or 861 df-3or 1102 df-3an 1103 df-tru 1570 df-fal 1580 df-ex 1807 df-nf 1811 df-sb 2098 df-mo 2573 df-eu 2603 df-clab 2748 df-cleq 2761 df-clel 2844 df-nfc 2918 df-ne 2965 df-nel 3071 df-ral 3086 df-rex 3096 df-rmo 3376 df-reu 3377 df-rab 3424 df-v 3465 df-sbc 3754 df-csb 3862 df-dif 3916 df-un 3918 df-in 3920 df-ss 3930 df-pss 3933 df-nul 4295 df-if 4493 df-pw 4569 df-sn 4595 df-pr 4597 df-op 4601 df-uni 4877 df-iun 4962 df-br 5114 df-opab 5178 df-mpt 5197 df-tr 5223 df-id 5557 df-eprel 5562 df-po 5570 df-so 5571 df-fr 5615 df-we 5617 df-xp 5668 df-rel 5669 df-cnv 5670 df-co 5671 df-dm 5672 df-rn 5673 df-res 5674 df-ima 5675 df-pred 6303 df-ord 6364 df-on 6365 df-lim 6366 df-suc 6367 df-iota 6493 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-riota 7368 df-ov 7414 df-oprab 7415 df-mpo 7416 df-om 7863 df-1st 7986 df-2nd 7987 df-frecs 8278 df-wrecs 8309 df-recs 8358 df-rdg 8397 df-er 8694 df-en 8944 df-dom 8945 df-sdom 8946 df-sup 9402 df-inf 9403 df-pnf 11245 df-mnf 11246 df-xr 11247 df-ltxr 11248 df-le 11249 df-sub 11443 df-neg 11444 df-div 11872 df-nn 12234 df-2 12303 df-n0 12505 df-z 12592 df-uz 12863 df-q 12973 df-rp 13017 df-ico 13378

This theorem is referenced by: hoidmvlelem5 47205

W3C validator