Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xralrple2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xralrple2 42382
 Description: Show that 𝐴 is less than 𝐵 by showing that there is no positive bound on the difference. A variant on xralrple 12644. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
xralrple2.x 𝑥𝜑
xralrple2.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
xralrple2.b (𝜑𝐵 ∈ (0[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
xralrple2 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem xralrple2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xralrple2.x . . . . 5 𝑥𝜑
2 nfv 1915 . . . . 5 𝑥 𝐴𝐵
31, 2nfan 1900 . . . 4 𝑥(𝜑𝐴𝐵)
4 xralrple2.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
54ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ*)
6 icossxr 12869 . . . . . . 7 (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
7 xralrple2.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ (0[,)+∞))
87ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
96, 8sseldi 3892 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ*)
10 1red 10685 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
11 rpre 12443 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
1211adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
1310, 12readdcld 10713 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 + 𝑥) ∈ ℝ)
14 rge0ssre 12893 . . . . . . . . . . 11 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
1514, 7sseldi 3892 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
1615adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
1713, 16remulcld 10714 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∈ ℝ)
1817rexrd 10734 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∈ ℝ*)
1918adantlr 714 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∈ ℝ*)
20 simplr 768 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴𝐵)
2115ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
22 1red 10685 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ)
2322, 11readdcld 10713 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+ → (1 + 𝑥) ∈ ℝ)
2423adantl 485 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 + 𝑥) ∈ ℝ)
25 0xr 10731 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
2625a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ (0[,)+∞) → 0 ∈ ℝ*)
27 pnfxr 10738 . . . . . . . . . . 11 +∞ ∈ ℝ*
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ (0[,)+∞) → +∞ ∈ ℝ*)
29 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ (0[,)+∞) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
30 icogelb 12835 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ 𝐵)
3126, 28, 29, 30syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ 𝐵)
327, 31syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
3332ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝐵)
34 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+)
3522, 34ltaddrpd 12510 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → 1 < (1 + 𝑥))
3622, 23, 35ltled 10831 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+ → 1 ≤ (1 + 𝑥))
3736adantl 485 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ≤ (1 + 𝑥))
3821, 24, 33, 37lemulge12d 11621 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵))
395, 9, 19, 20, 38xrletrd 12601 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵))
4039ex 416 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝑥 ∈ ℝ+𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)))
413, 40ralrimi 3144 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵))
4241ex 416 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐵 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)))
434ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 ∈ ℝ*)
44 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 = 0 → 𝐵 = 0)
45 0red 10687 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 = 0 → 0 ∈ ℝ)
4644, 45eqeltrd 2852 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 = 0 → 𝐵 ∈ ℝ)
4746adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ+𝐵 = 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
48 rpre 12443 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ)
4948adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ+𝐵 = 0) → 𝑦 ∈ ℝ)
5047, 49readdcld 10713 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ+𝐵 = 0) → (𝐵 + 𝑦) ∈ ℝ)
5150rexrd 10734 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ+𝐵 = 0) → (𝐵 + 𝑦) ∈ ℝ*)
5251adantll 713 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐵 + 𝑦) ∈ ℝ*)
5325a1i 11 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝐵 = 0) → 0 ∈ ℝ*)
54 1rp 12439 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ+
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) → 1 ∈ ℝ+)
56 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵))
57 oveq2 7163 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 1 → (1 + 𝑥) = (1 + 1))
5857oveq1d 7170 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 1 → ((1 + 𝑥) · 𝐵) = ((1 + 1) · 𝐵))
5958breq2d 5047 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 1 → (𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) ↔ 𝐴 ≤ ((1 + 1) · 𝐵)))
6059rspcva 3541 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) → 𝐴 ≤ ((1 + 1) · 𝐵))
6155, 56, 60syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) → 𝐴 ≤ ((1 + 1) · 𝐵))
62 1p1e2 11804 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 + 1) = 2
6362a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) → (1 + 1) = 2)
6463oveq1d 7170 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) → ((1 + 1) · 𝐵) = (2 · 𝐵))
6561, 64breqtrd 5061 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) → 𝐴 ≤ (2 · 𝐵))
6665adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 ≤ (2 · 𝐵))
67 simpr 488 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐵 = 0)
68 simpl 486 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ≤ (2 · 𝐵) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 ≤ (2 · 𝐵))
69 oveq2 7163 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 = 0 → (2 · 𝐵) = (2 · 0))
70 2cnd 11757 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 = 0 → 2 ∈ ℂ)
7170mul01d 10882 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 = 0 → (2 · 0) = 0)
7269, 71eqtrd 2793 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 = 0 → (2 · 𝐵) = 0)
7372adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ≤ (2 · 𝐵) ∧ 𝐵 = 0) → (2 · 𝐵) = 0)
7468, 73breqtrd 5061 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ≤ (2 · 𝐵) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 ≤ 0)
7566, 67, 74syl2anc 587 . . . . . . . . 9 ((∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 ≤ 0)
7675ad4ant24 753 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 ≤ 0)
77 rpgt0 12447 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑦)
7877adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ+𝐵 = 0) → 0 < 𝑦)
79 oveq1 7162 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 = 0 → (𝐵 + 𝑦) = (0 + 𝑦))
8079adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ+𝐵 = 0) → (𝐵 + 𝑦) = (0 + 𝑦))
8148recnd 10712 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℂ)
8281adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℝ+𝐵 = 0) → 𝑦 ∈ ℂ)
8382addid2d 10884 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ+𝐵 = 0) → (0 + 𝑦) = 𝑦)
8480, 83eqtr2d 2794 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ+𝐵 = 0) → 𝑦 = (𝐵 + 𝑦))
8578, 84breqtrd 5061 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ+𝐵 = 0) → 0 < (𝐵 + 𝑦))
8685adantll 713 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝐵 = 0) → 0 < (𝐵 + 𝑦))
8743, 53, 52, 76, 86xrlelttrd 12599 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 < (𝐵 + 𝑦))
8843, 52, 87xrltled 12589 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦))
89 simpl 486 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ¬ 𝐵 = 0) → ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+))
9015adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
91 0red 10687 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 0) → 0 ∈ ℝ)
9232adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 0) → 0 ≤ 𝐵)
9344necon3bi 2977 . . . . . . . . . . 11 𝐵 = 0 → 𝐵 ≠ 0)
9493adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 0) → 𝐵 ≠ 0)
9591, 90, 92, 94leneltd 10837 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 0) → 0 < 𝐵)
9690, 95elrpd 12474 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 0) → 𝐵 ∈ ℝ+)
9796ad4ant14 751 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ¬ 𝐵 = 0) → 𝐵 ∈ ℝ+)
98 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
99 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 (((∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ+)
10098, 99rpdivcld 12494 . . . . . . . . . 10 (((∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 𝐵) ∈ ℝ+)
101 simpll 766 . . . . . . . . . 10 (((∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵))
102 oveq2 7163 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑦 / 𝐵) → (1 + 𝑥) = (1 + (𝑦 / 𝐵)))
103102oveq1d 7170 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑦 / 𝐵) → ((1 + 𝑥) · 𝐵) = ((1 + (𝑦 / 𝐵)) · 𝐵))
104103breq2d 5047 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑦 / 𝐵) → (𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) ↔ 𝐴 ≤ ((1 + (𝑦 / 𝐵)) · 𝐵)))
105104rspcva 3541 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 / 𝐵) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) → 𝐴 ≤ ((1 + (𝑦 / 𝐵)) · 𝐵))
106100, 101, 105syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (((∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ ((1 + (𝑦 / 𝐵)) · 𝐵))
107106adantlll 717 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ ((1 + (𝑦 / 𝐵)) · 𝐵))
108 1cnd 10679 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℂ)
10981adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℂ)
110 rpcn 12445 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ)
111110adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
112 rpne0 12451 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ≠ 0)
113112adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≠ 0)
114109, 111, 113divcld 11459 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 𝐵) ∈ ℂ)
115108, 114, 111adddird 10709 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → ((1 + (𝑦 / 𝐵)) · 𝐵) = ((1 · 𝐵) + ((𝑦 / 𝐵) · 𝐵)))
116111mulid2d 10702 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
117109, 111, 113divcan1d 11460 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝑦 / 𝐵) · 𝐵) = 𝑦)
118116, 117oveq12d 7173 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → ((1 · 𝐵) + ((𝑦 / 𝐵) · 𝐵)) = (𝐵 + 𝑦))
119 eqidd 2759 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐵 + 𝑦) = (𝐵 + 𝑦))
120115, 118, 1193eqtrd 2797 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → ((1 + (𝑦 / 𝐵)) · 𝐵) = (𝐵 + 𝑦))
121120adantll 713 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((1 + (𝑦 / 𝐵)) · 𝐵) = (𝐵 + 𝑦))
122107, 121breqtrd 5061 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦))
12389, 97, 122syl2anc 587 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ¬ 𝐵 = 0) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦))
12488, 123pm2.61dan 812 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦))
125124ralrimiva 3113 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦))
126 xralrple 12644 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦)))
1274, 15, 126syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦)))
128127adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦)))
129125, 128mpbird 260 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) → 𝐴𝐵)
130129ex 416 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) → 𝐴𝐵))
13142, 130impbid 215 1 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ∀wral 3070   class class class wbr 5035  (class class class)co 7155  ℂcc 10578  ℝcr 10579  0cc0 10580  1c1 10581   + caddc 10583   · cmul 10585  +∞cpnf 10715  ℝ*cxr 10717   < clt 10718   ≤ cle 10719   / cdiv 11340  2c2 11734  ℝ+crp 12435  [,)cico 12786 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657  ax-pre-sup 10658 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-er 8304  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-sup 8944  df-inf 8945  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-div 11341  df-nn 11680  df-2 11742  df-n0 11940  df-z 12026  df-uz 12288  df-q 12394  df-rp 12436  df-ico 12790 This theorem is referenced by:  hoidmvlelem5  43632
 Copyright terms: Public domain W3C validator