xralrple2 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem xralrple2 42783

Description: Show that 𝐴 is less than 𝐵 by showing that there is no positive bound on the difference. A variant on xralrple 12868. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
xralrple2.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
xralrple2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ^*)
xralrple2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))

**Assertion**
Ref	Expression
xralrple2	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵 Allowed substitution hint: 𝜑(𝑥)

Proof of Theorem xralrple2 Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xralrple2.x	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		nfv 1918	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐴 ≤ 𝐵
3	1, 2	nfan 1903	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)
4		xralrple2.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ^*)
5	4	ad2antrr 722	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
6		icossxr 13093	. . . . . . 7 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ^*
7		xralrple2.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
8	7	ad2antrr 722	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
9	6, 8	sselid 3915	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
10		1red 10907	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 1 ∈ ℝ)
11		rpre 12667	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ⁺ → 𝑥 ∈ ℝ)
12	11	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝑥 ∈ ℝ)
13	10, 12	readdcld 10935	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (1 + 𝑥) ∈ ℝ)
14		rge0ssre 13117	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
15	14, 7	sselid 3915	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
16	15	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝐵 ∈ ℝ)
17	13, 16	remulcld 10936	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∈ ℝ)
18	17	rexrd 10956	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∈ ℝ^*)
19	18	adantlr 711	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∈ ℝ^*)
20		simplr 765	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ≤ 𝐵)
21	15	ad2antrr 722	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝐵 ∈ ℝ)
22		1red 10907	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ⁺ → 1 ∈ ℝ)
23	22, 11	readdcld 10935	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ⁺ → (1 + 𝑥) ∈ ℝ)
24	23	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (1 + 𝑥) ∈ ℝ)
25		0xr 10953	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ^*
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,)+∞) → 0 ∈ ℝ^*)
27		pnfxr 10960	. . . . . . . . . . 11 ⊢ +∞ ∈ ℝ^*
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,)+∞) → +∞ ∈ ℝ^*)
29		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,)+∞) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
30		icogelb 13059	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ^* ∧ +∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ 𝐵)
31	26, 28, 29, 30	syl3anc 1369	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ 𝐵)
32	7, 31	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
33	32	ad2antrr 722	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 0 ≤ 𝐵)
34		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ⁺ → 𝑥 ∈ ℝ⁺)
35	22, 34	ltaddrpd 12734	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ⁺ → 1 < (1 + 𝑥))
36	22, 23, 35	ltled 11053	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ⁺ → 1 ≤ (1 + 𝑥))
37	36	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 1 ≤ (1 + 𝑥))
38	21, 24, 33, 37	lemulge12d 11843	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝐵 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵))
39	5, 9, 19, 20, 38	xrletrd 12825	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵))
40	39	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝑥 ∈ ℝ⁺ → 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)))
41	3, 40	ralrimi 3139	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵))
42	41	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 → ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)))
43	4	ad3antrrr 726	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
44		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 = 0 → 𝐵 = 0)
45		0red 10909	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 = 0 → 0 ∈ ℝ)
46	44, 45	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 = 0 → 𝐵 ∈ ℝ)
47	46	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 = 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
48		rpre 12667	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ⁺ → 𝑦 ∈ ℝ)
49	48	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 = 0) → 𝑦 ∈ ℝ)
50	47, 49	readdcld 10935	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 = 0) → (𝐵 + 𝑦) ∈ ℝ)
51	50	rexrd 10956	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 = 0) → (𝐵 + 𝑦) ∈ ℝ^*)
52	51	adantll 710	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐵 + 𝑦) ∈ ℝ^*)
53	25	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝐵 = 0) → 0 ∈ ℝ^*)
54		1rp 12663	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℝ⁺
55	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) → 1 ∈ ℝ⁺)
56		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) → ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵))
57		oveq2 7263	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 1 → (1 + 𝑥) = (1 + 1))
58	57	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 1 → ((1 + 𝑥) · 𝐵) = ((1 + 1) · 𝐵))
59	58	breq2d 5082	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) ↔ 𝐴 ≤ ((1 + 1) · 𝐵)))
60	59	rspcva 3550	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) → 𝐴 ≤ ((1 + 1) · 𝐵))
61	55, 56, 60	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) → 𝐴 ≤ ((1 + 1) · 𝐵))
62		1p1e2 12028	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 + 1) = 2
63	62	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) → (1 + 1) = 2)
64	63	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) → ((1 + 1) · 𝐵) = (2 · 𝐵))
65	61, 64	breqtrd 5096	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) → 𝐴 ≤ (2 · 𝐵))
66	65	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 ≤ (2 · 𝐵))
67		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐵 = 0)
68		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ≤ (2 · 𝐵) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 ≤ (2 · 𝐵))
69		oveq2 7263	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 = 0 → (2 · 𝐵) = (2 · 0))
70		2cnd 11981	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 = 0 → 2 ∈ ℂ)
71	70	mul01d 11104	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 = 0 → (2 · 0) = 0)
72	69, 71	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 = 0 → (2 · 𝐵) = 0)
73	72	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ≤ (2 · 𝐵) ∧ 𝐵 = 0) → (2 · 𝐵) = 0)
74	68, 73	breqtrd 5096	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ≤ (2 · 𝐵) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 ≤ 0)
75	66, 67, 74	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 ≤ 0)
76	75	ad4ant24 750	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 ≤ 0)
77		rpgt0 12671	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ⁺ → 0 < 𝑦)
78	77	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 = 0) → 0 < 𝑦)
79		oveq1 7262	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐵 + 𝑦) = (0 + 𝑦))
80	79	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 = 0) → (𝐵 + 𝑦) = (0 + 𝑦))
81	48	recnd 10934	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ⁺ → 𝑦 ∈ ℂ)
82	81	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 = 0) → 𝑦 ∈ ℂ)
83	82	addid2d 11106	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 = 0) → (0 + 𝑦) = 𝑦)
84	80, 83	eqtr2d 2779	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 = 0) → 𝑦 = (𝐵 + 𝑦))
85	78, 84	breqtrd 5096	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 = 0) → 0 < (𝐵 + 𝑦))
86	85	adantll 710	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝐵 = 0) → 0 < (𝐵 + 𝑦))
87	43, 53, 52, 76, 86	xrlelttrd 12823	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 < (𝐵 + 𝑦))
88	43, 52, 87	xrltled 12813	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦))
89		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ¬ 𝐵 = 0) → ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺))
90	15	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
91		0red 10909	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 0) → 0 ∈ ℝ)
92	32	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 0) → 0 ≤ 𝐵)
93	44	necon3bi 2969	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝐵 = 0 → 𝐵 ≠ 0)
94	93	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 0) → 𝐵 ≠ 0)
95	91, 90, 92, 94	leneltd 11059	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 0) → 0 < 𝐵)
96	90, 95	elrpd 12698	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 0) → 𝐵 ∈ ℝ⁺)
97	96	ad4ant14 748	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ¬ 𝐵 = 0) → 𝐵 ∈ ℝ⁺)
98		simplr 765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → 𝑦 ∈ ℝ⁺)
99		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → 𝐵 ∈ ℝ⁺)
100	98, 99	rpdivcld 12718	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → (𝑦 / 𝐵) ∈ ℝ⁺)
101		simpll 763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵))
102		oveq2 7263	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑦 / 𝐵) → (1 + 𝑥) = (1 + (𝑦 / 𝐵)))
103	102	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑦 / 𝐵) → ((1 + 𝑥) · 𝐵) = ((1 + (𝑦 / 𝐵)) · 𝐵))
104	103	breq2d 5082	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑦 / 𝐵) → (𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) ↔ 𝐴 ≤ ((1 + (𝑦 / 𝐵)) · 𝐵)))
105	104	rspcva 3550	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 / 𝐵) ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) → 𝐴 ≤ ((1 + (𝑦 / 𝐵)) · 𝐵))
106	100, 101, 105	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ≤ ((1 + (𝑦 / 𝐵)) · 𝐵))
107	106	adantlll 714	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ≤ ((1 + (𝑦 / 𝐵)) · 𝐵))
108		1cnd 10901	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → 1 ∈ ℂ)
109	81	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → 𝑦 ∈ ℂ)
110		rpcn 12669	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ⁺ → 𝐵 ∈ ℂ)
111	110	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → 𝐵 ∈ ℂ)
112		rpne0 12675	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ⁺ → 𝐵 ≠ 0)
113	112	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → 𝐵 ≠ 0)
114	109, 111, 113	divcld 11681	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → (𝑦 / 𝐵) ∈ ℂ)
115	108, 114, 111	adddird 10931	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → ((1 + (𝑦 / 𝐵)) · 𝐵) = ((1 · 𝐵) + ((𝑦 / 𝐵) · 𝐵)))
116	111	mulid2d 10924	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
117	109, 111, 113	divcan1d 11682	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → ((𝑦 / 𝐵) · 𝐵) = 𝑦)
118	116, 117	oveq12d 7273	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → ((1 · 𝐵) + ((𝑦 / 𝐵) · 𝐵)) = (𝐵 + 𝑦))
119		eqidd 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → (𝐵 + 𝑦) = (𝐵 + 𝑦))
120	115, 118, 119	3eqtrd 2782	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → ((1 + (𝑦 / 𝐵)) · 𝐵) = (𝐵 + 𝑦))
121	120	adantll 710	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → ((1 + (𝑦 / 𝐵)) · 𝐵) = (𝐵 + 𝑦))
122	107, 121	breqtrd 5096	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦))
123	89, 97, 122	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ¬ 𝐵 = 0) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦))
124	88, 123	pm2.61dan 809	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦))
125	124	ralrimiva 3107	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) → ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦))
126		xralrple 12868	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦)))
127	4, 15, 126	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦)))
128	127	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦)))
129	125, 128	mpbird 256	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐵)
130	129	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵))
131	42, 130	impbid 211	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 395 = wceq 1539 Ⅎwnf 1787 ∈ wcel 2108 ≠ wne 2942 ∀wral 3063 class class class wbr 5070 (class class class)co 7255 ℂcc 10800 ℝcr 10801 0cc0 10802 1c1 10803 + caddc 10805 · cmul 10807 +∞cpnf 10937 ℝ^*cxr 10939 < clt 10940 ≤ cle 10941 / cdiv 11562 2c2 11958 ℝ⁺crp 12659 [,)cico 13010

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1799 ax-4 1813 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2139 ax-11 2156 ax-12 2173 ax-ext 2709 ax-sep 5218 ax-nul 5225 ax-pow 5283 ax-pr 5347 ax-un 7566 ax-cnex 10858 ax-resscn 10859 ax-1cn 10860 ax-icn 10861 ax-addcl 10862 ax-addrcl 10863 ax-mulcl 10864 ax-mulrcl 10865 ax-mulcom 10866 ax-addass 10867 ax-mulass 10868 ax-distr 10869 ax-i2m1 10870 ax-1ne0 10871 ax-1rid 10872 ax-rnegex 10873 ax-rrecex 10874 ax-cnre 10875 ax-pre-lttri 10876 ax-pre-lttrn 10877 ax-pre-ltadd 10878 ax-pre-mulgt0 10879 ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 844 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1784 df-nf 1788 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2716 df-cleq 2730 df-clel 2817 df-nfc 2888 df-ne 2943 df-nel 3049 df-ral 3068 df-rex 3069 df-reu 3070 df-rmo 3071 df-rab 3072 df-v 3424 df-sbc 3712 df-csb 3829 df-dif 3886 df-un 3888 df-in 3890 df-ss 3900 df-pss 3902 df-nul 4254 df-if 4457 df-pw 4532 df-sn 4559 df-pr 4561 df-tp 4563 df-op 4565 df-uni 4837 df-iun 4923 df-br 5071 df-opab 5133 df-mpt 5154 df-tr 5188 df-id 5480 df-eprel 5486 df-po 5494 df-so 5495 df-fr 5535 df-we 5537 df-xp 5586 df-rel 5587 df-cnv 5588 df-co 5589 df-dm 5590 df-rn 5591 df-res 5592 df-ima 5593 df-pred 6191 df-ord 6254 df-on 6255 df-lim 6256 df-suc 6257 df-iota 6376 df-fun 6420 df-fn 6421 df-f 6422 df-f1 6423 df-fo 6424 df-f1o 6425 df-fv 6426 df-riota 7212 df-ov 7258 df-oprab 7259 df-mpo 7260 df-om 7688 df-1st 7804 df-2nd 7805 df-frecs 8068 df-wrecs 8099 df-recs 8173 df-rdg 8212 df-er 8456 df-en 8692 df-dom 8693 df-sdom 8694 df-sup 9131 df-inf 9132 df-pnf 10942 df-mnf 10943 df-xr 10944 df-ltxr 10945 df-le 10946 df-sub 11137 df-neg 11138 df-div 11563 df-nn 11904 df-2 11966 df-n0 12164 df-z 12250 df-uz 12512 df-q 12618 df-rp 12660 df-ico 13014

This theorem is referenced by: hoidmvlelem5 44027

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