xralrple2 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem xralrple2 46187

Description: Show that 𝐴 is less than 𝐵 by showing that there is no positive bound on the difference. A variant on xralrple 13260. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
xralrple2.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
xralrple2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ^*)
xralrple2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))

**Assertion**
Ref	Expression
xralrple2	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵 Allowed substitution hint: 𝜑(𝑥)

Proof of Theorem xralrple2 Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xralrple2.x	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		nfv 1947	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐴 ≤ 𝐵
3	1, 2	nfan 1932	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)
4		xralrple2.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ^*)
5	4	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
6		icossxr 13488	. . . . . . 7 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ^*
7		xralrple2.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
8	7	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
9	6, 8	sselid 3929	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
10		1red 11236	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 1 ∈ ℝ)
11		rpre 13054	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ⁺ → 𝑥 ∈ ℝ)
12	11	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝑥 ∈ ℝ)
13	10, 12	readdcld 11265	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (1 + 𝑥) ∈ ℝ)
14		rge0ssre 13512	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
15	14, 7	sselid 3929	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
16	15	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝐵 ∈ ℝ)
17	13, 16	remulcld 11266	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∈ ℝ)
18	17	rexrd 11286	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∈ ℝ^*)
19	18	adantlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∈ ℝ^*)
20		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ≤ 𝐵)
21	15	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝐵 ∈ ℝ)
22		1red 11236	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ⁺ → 1 ∈ ℝ)
23	22, 11	readdcld 11265	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ⁺ → (1 + 𝑥) ∈ ℝ)
24	23	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (1 + 𝑥) ∈ ℝ)
25		0xr 11283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ^*
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,)+∞) → 0 ∈ ℝ^*)
27		pnfxr 11290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ +∞ ∈ ℝ^*
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,)+∞) → +∞ ∈ ℝ^*)
29		id 23	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,)+∞) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
30		icogelb 13452	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ^* ∧ +∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ 𝐵)
31	26, 28, 29, 30	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ 𝐵)
32	7, 31	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
33	32	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 0 ≤ 𝐵)
34		id 23	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ⁺ → 𝑥 ∈ ℝ⁺)
35	22, 34	ltaddrpd 13122	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ⁺ → 1 < (1 + 𝑥))
36	22, 23, 35	ltled 11385	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ⁺ → 1 ≤ (1 + 𝑥))
37	36	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 1 ≤ (1 + 𝑥))
38	21, 24, 33, 37	lemulge12d 12180	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝐵 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵))
39	5, 9, 19, 20, 38	xrletrd 13216	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵))
40	39	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝑥 ∈ ℝ⁺ → 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)))
41	3, 40	ralrimi 3260	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵))
42	41	ex 418	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 → ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)))
43	4	ad3antrrr 743	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
44		id 23	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 = 0 → 𝐵 = 0)
45		0red 11238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 = 0 → 0 ∈ ℝ)
46	44, 45	eqeltrd 2860	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 = 0 → 𝐵 ∈ ℝ)
47	46	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 = 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
48		rpre 13054	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ⁺ → 𝑦 ∈ ℝ)
49	48	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 = 0) → 𝑦 ∈ ℝ)
50	47, 49	readdcld 11265	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 = 0) → (𝐵 + 𝑦) ∈ ℝ)
51	50	rexrd 11286	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 = 0) → (𝐵 + 𝑦) ∈ ℝ^*)
52	51	adantll 727	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐵 + 𝑦) ∈ ℝ^*)
53	25	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝐵 = 0) → 0 ∈ ℝ^*)
54		1rp 13049	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℝ⁺
55	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) → 1 ∈ ℝ⁺)
56		id 23	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) → ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵))
57		oveq2 7422	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 1 → (1 + 𝑥) = (1 + 1))
58	57	oveq1d 7429	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 1 → ((1 + 𝑥) · 𝐵) = ((1 + 1) · 𝐵))
59	58	breq2d 5115	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) ↔ 𝐴 ≤ ((1 + 1) · 𝐵)))
60	59	rspcva 3574	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) → 𝐴 ≤ ((1 + 1) · 𝐵))
61	55, 56, 60	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) → 𝐴 ≤ ((1 + 1) · 𝐵))
62		1p1e2 12391	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 + 1) = 2
63	62	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) → (1 + 1) = 2)
64	63	oveq1d 7429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) → ((1 + 1) · 𝐵) = (2 · 𝐵))
65	61, 64	breqtrd 5131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) → 𝐴 ≤ (2 · 𝐵))
66	65	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 ≤ (2 · 𝐵))
67		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐵 = 0)
68		simpl 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ≤ (2 · 𝐵) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 ≤ (2 · 𝐵))
69		oveq2 7422	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 = 0 → (2 · 𝐵) = (2 · 0))
70		2cnd 12346	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 = 0 → 2 ∈ ℂ)
71	70	mul01d 11436	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 = 0 → (2 · 0) = 0)
72	69, 71	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 = 0 → (2 · 𝐵) = 0)
73	72	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ≤ (2 · 𝐵) ∧ 𝐵 = 0) → (2 · 𝐵) = 0)
74	68, 73	breqtrd 5131	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ≤ (2 · 𝐵) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 ≤ 0)
75	66, 67, 74	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 ≤ 0)
76	75	ad4ant24 767	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 ≤ 0)
77		rpgt0 13058	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ⁺ → 0 < 𝑦)
78	77	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 = 0) → 0 < 𝑦)
79		oveq1 7421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐵 + 𝑦) = (0 + 𝑦))
80	79	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 = 0) → (𝐵 + 𝑦) = (0 + 𝑦))
81	48	recnd 11264	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ⁺ → 𝑦 ∈ ℂ)
82	81	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 = 0) → 𝑦 ∈ ℂ)
83	82	addlidd 11438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 = 0) → (0 + 𝑦) = 𝑦)
84	80, 83	eqtr2d 2796	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 = 0) → 𝑦 = (𝐵 + 𝑦))
85	78, 84	breqtrd 5131	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 = 0) → 0 < (𝐵 + 𝑦))
86	85	adantll 727	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝐵 = 0) → 0 < (𝐵 + 𝑦))
87	43, 53, 52, 76, 86	xrlelttrd 13214	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 < (𝐵 + 𝑦))
88	43, 52, 87	xrltled 13204	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦))
89		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ¬ 𝐵 = 0) → ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺))
90	15	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
91		0red 11238	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 0) → 0 ∈ ℝ)
92	32	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 0) → 0 ≤ 𝐵)
93	44	necon3bi 2981	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝐵 = 0 → 𝐵 ≠ 0)
94	93	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 0) → 𝐵 ≠ 0)
95	91, 90, 92, 94	leneltd 11391	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 0) → 0 < 𝐵)
96	90, 95	elrpd 13086	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 0) → 𝐵 ∈ ℝ⁺)
97	96	ad4ant14 765	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ¬ 𝐵 = 0) → 𝐵 ∈ ℝ⁺)
98		simplr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → 𝑦 ∈ ℝ⁺)
99		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → 𝐵 ∈ ℝ⁺)
100	98, 99	rpdivcld 13106	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → (𝑦 / 𝐵) ∈ ℝ⁺)
101		simpll 779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵))
102		oveq2 7422	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑦 / 𝐵) → (1 + 𝑥) = (1 + (𝑦 / 𝐵)))
103	102	oveq1d 7429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑦 / 𝐵) → ((1 + 𝑥) · 𝐵) = ((1 + (𝑦 / 𝐵)) · 𝐵))
104	103	breq2d 5115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑦 / 𝐵) → (𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) ↔ 𝐴 ≤ ((1 + (𝑦 / 𝐵)) · 𝐵)))
105	104	rspcva 3574	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 / 𝐵) ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) → 𝐴 ≤ ((1 + (𝑦 / 𝐵)) · 𝐵))
106	100, 101, 105	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ≤ ((1 + (𝑦 / 𝐵)) · 𝐵))
107	106	adantlll 731	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ≤ ((1 + (𝑦 / 𝐵)) · 𝐵))
108		1cnd 11229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → 1 ∈ ℂ)
109	81	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → 𝑦 ∈ ℂ)
110		rpcn 13056	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ⁺ → 𝐵 ∈ ℂ)
111	110	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → 𝐵 ∈ ℂ)
112		rpne0 13062	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ⁺ → 𝐵 ≠ 0)
113	112	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → 𝐵 ≠ 0)
114	109, 111, 113	divcld 12018	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → (𝑦 / 𝐵) ∈ ℂ)
115	108, 114, 111	adddird 11261	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → ((1 + (𝑦 / 𝐵)) · 𝐵) = ((1 · 𝐵) + ((𝑦 / 𝐵) · 𝐵)))
116	111	mullidd 11254	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
117	109, 111, 113	divcan1d 12019	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → ((𝑦 / 𝐵) · 𝐵) = 𝑦)
118	116, 117	oveq12d 7432	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → ((1 · 𝐵) + ((𝑦 / 𝐵) · 𝐵)) = (𝐵 + 𝑦))
119		eqidd 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → (𝐵 + 𝑦) = (𝐵 + 𝑦))
120	115, 118, 119	3eqtrd 2799	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → ((1 + (𝑦 / 𝐵)) · 𝐵) = (𝐵 + 𝑦))
121	120	adantll 727	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → ((1 + (𝑦 / 𝐵)) · 𝐵) = (𝐵 + 𝑦))
122	107, 121	breqtrd 5131	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦))
123	89, 97, 122	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ¬ 𝐵 = 0) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦))
124	88, 123	pm2.61dan 825	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦))
125	124	ralrimiva 3154	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) → ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦))
126		xralrple 13260	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦)))
127	4, 15, 126	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦)))
128	127	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦)))
129	125, 128	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐵)
130	129	ex 418	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵))
131	42, 130	impbid 215	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 = wceq 1570 Ⅎwnf 1816 ∈ wcel 2145 ≠ wne 2955 ∀wral 3076 class class class wbr 5103 (class class class)co 7414 ℂcc 11125 ℝcr 11126 0cc0 11127 1c1 11128 + caddc 11130 · cmul 11132 +∞cpnf 11267 ℝ^*cxr 11269 < clt 11270 ≤ cle 11271 / cdiv 11898 2c2 12322 ℝ⁺crp 13045 [,)cico 13403

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2147 ax-9 2155 ax-10 2178 ax-11 2194 ax-12 2213 ax-ext 2732 ax-sep 5251 ax-nul 5263 ax-pow 5330 ax-pr 5398 ax-un 7737 ax-cnex 11183 ax-resscn 11184 ax-1cn 11185 ax-icn 11186 ax-addcl 11187 ax-addrcl 11188 ax-mulcl 11189 ax-mulrcl 11190 ax-mulcom 11191 ax-addass 11192 ax-mulass 11193 ax-distr 11194 ax-i2m1 11195 ax-1ne0 11196 ax-1rid 11197 ax-rnegex 11198 ax-rrecex 11199 ax-cnre 11200 ax-pre-lttri 11201 ax-pre-lttrn 11202 ax-pre-ltadd 11203 ax-pre-mulgt0 11204 ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2564 df-eu 2594 df-clab 2739 df-cleq 2752 df-clel 2835 df-nfc 2909 df-ne 2956 df-nel 3062 df-ral 3077 df-rex 3087 df-rmo 3365 df-reu 3366 df-rab 3413 df-v 3452 df-sbc 3740 df-csb 3848 df-dif 3902 df-un 3904 df-in 3906 df-ss 3916 df-pss 3919 df-nul 4280 df-if 4483 df-pw 4559 df-sn 4585 df-pr 4587 df-op 4591 df-uni 4868 df-iun 4953 df-br 5104 df-opab 5168 df-mpt 5187 df-tr 5213 df-id 5550 df-eprel 5555 df-po 5563 df-so 5564 df-fr 5608 df-we 5610 df-xp 5661 df-rel 5662 df-cnv 5663 df-co 5664 df-dm 5665 df-rn 5666 df-res 5667 df-ima 5668 df-pred 6299 df-ord 6360 df-on 6361 df-lim 6362 df-suc 6363 df-iota 6489 df-fun 6535 df-fn 6536 df-f 6537 df-f1 6538 df-fo 6539 df-f1o 6540 df-fv 6541 df-riota 7371 df-ov 7417 df-oprab 7418 df-mpo 7419 df-om 7864 df-1st 7987 df-2nd 7988 df-frecs 8281 df-wrecs 8312 df-recs 8361 df-rdg 8400 df-er 8699 df-en 8956 df-dom 8957 df-sdom 8958 df-sup 9415 df-inf 9416 df-pnf 11272 df-mnf 11273 df-xr 11274 df-ltxr 11275 df-le 11276 df-sub 11470 df-neg 11471 df-div 11899 df-nn 12261 df-2 12330 df-n0 12532 df-z 12619 df-uz 12891 df-q 13001 df-rp 13046 df-ico 13407

This theorem is used by: hoidmvlelem5 47430

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