Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xralrple2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xralrple2 44064
Description: Show that ๐ด is less than ๐ต by showing that there is no positive bound on the difference. A variant on xralrple 13184. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
xralrple2.x โ„ฒ๐‘ฅ๐œ‘
xralrple2.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
xralrple2.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž))
Assertion
Ref Expression
xralrple2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค ((1 + ๐‘ฅ) ยท ๐ต)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต
Allowed substitution hint:   ๐œ‘(๐‘ฅ)

Proof of Theorem xralrple2
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xralrple2.x . . . . 5 โ„ฒ๐‘ฅ๐œ‘
2 nfv 1918 . . . . 5 โ„ฒ๐‘ฅ ๐ด โ‰ค ๐ต
31, 2nfan 1903 . . . 4 โ„ฒ๐‘ฅ(๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)
4 xralrple2.a . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
54ad2antrr 725 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
6 icossxr 13409 . . . . . . 7 (0[,)+โˆž) โŠ† โ„*
7 xralrple2.b . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž))
87ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž))
96, 8sselid 3981 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)
10 1red 11215 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
11 rpre 12982 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
1211adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
1310, 12readdcld 11243 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (1 + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
14 rge0ssre 13433 . . . . . . . . . . 11 (0[,)+โˆž) โŠ† โ„
1514, 7sselid 3981 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
1615adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
1713, 16remulcld 11244 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ((1 + ๐‘ฅ) ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
1817rexrd 11264 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ((1 + ๐‘ฅ) ยท ๐ต) โˆˆ โ„*)
1918adantlr 714 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ((1 + ๐‘ฅ) ยท ๐ต) โˆˆ โ„*)
20 simplr 768 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)
2115ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
22 1red 11215 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
2322, 11readdcld 11243 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (1 + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
2423adantl 483 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (1 + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
25 0xr 11261 . . . . . . . . . . 11 0 โˆˆ โ„*
2625a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†’ 0 โˆˆ โ„*)
27 pnfxr 11268 . . . . . . . . . . 11 +โˆž โˆˆ โ„*
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†’ +โˆž โˆˆ โ„*)
29 id 22 . . . . . . . . . 10 (๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†’ ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž))
30 icogelb 13375 . . . . . . . . . 10 ((0 โˆˆ โ„* โˆง +โˆž โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
3126, 28, 29, 30syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
327, 31syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
3332ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
34 id 22 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„+)
3522, 34ltaddrpd 13049 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ 1 < (1 + ๐‘ฅ))
3622, 23, 35ltled 11362 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ 1 โ‰ค (1 + ๐‘ฅ))
3736adantl 483 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ 1 โ‰ค (1 + ๐‘ฅ))
3821, 24, 33, 37lemulge12d 12152 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ต โ‰ค ((1 + ๐‘ฅ) ยท ๐ต))
395, 9, 19, 20, 38xrletrd 13141 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โ‰ค ((1 + ๐‘ฅ) ยท ๐ต))
4039ex 414 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ด โ‰ค ((1 + ๐‘ฅ) ยท ๐ต)))
413, 40ralrimi 3255 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค ((1 + ๐‘ฅ) ยท ๐ต))
4241ex 414 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค ((1 + ๐‘ฅ) ยท ๐ต)))
434ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค ((1 + ๐‘ฅ) ยท ๐ต)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐ต = 0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
44 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (๐ต = 0 โ†’ ๐ต = 0)
45 0red 11217 . . . . . . . . . . . 12 (๐ต = 0 โ†’ 0 โˆˆ โ„)
4644, 45eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . 11 (๐ต = 0 โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
4746adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต = 0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
48 rpre 12982 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
4948adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต = 0) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
5047, 49readdcld 11243 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐ต + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
5150rexrd 11264 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐ต + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„*)
5251adantll 713 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค ((1 + ๐‘ฅ) ยท ๐ต)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐ต + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„*)
5325a1i 11 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค ((1 + ๐‘ฅ) ยท ๐ต)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐ต = 0) โ†’ 0 โˆˆ โ„*)
54 1rp 12978 . . . . . . . . . . . . . 14 1 โˆˆ โ„+
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค ((1 + ๐‘ฅ) ยท ๐ต) โ†’ 1 โˆˆ โ„+)
56 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค ((1 + ๐‘ฅ) ยท ๐ต) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค ((1 + ๐‘ฅ) ยท ๐ต))
57 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (1 + ๐‘ฅ) = (1 + 1))
5857oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ((1 + ๐‘ฅ) ยท ๐ต) = ((1 + 1) ยท ๐ต))
5958breq2d 5161 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐ด โ‰ค ((1 + ๐‘ฅ) ยท ๐ต) โ†” ๐ด โ‰ค ((1 + 1) ยท ๐ต)))
6059rspcva 3611 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค ((1 + ๐‘ฅ) ยท ๐ต)) โ†’ ๐ด โ‰ค ((1 + 1) ยท ๐ต))
6155, 56, 60syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค ((1 + ๐‘ฅ) ยท ๐ต) โ†’ ๐ด โ‰ค ((1 + 1) ยท ๐ต))
62 1p1e2 12337 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 + 1) = 2
6362a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค ((1 + ๐‘ฅ) ยท ๐ต) โ†’ (1 + 1) = 2)
6463oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . 12 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค ((1 + ๐‘ฅ) ยท ๐ต) โ†’ ((1 + 1) ยท ๐ต) = (2 ยท ๐ต))
6561, 64breqtrd 5175 . . . . . . . . . . 11 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค ((1 + ๐‘ฅ) ยท ๐ต) โ†’ ๐ด โ‰ค (2 ยท ๐ต))
6665adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค ((1 + ๐‘ฅ) ยท ๐ต) โˆง ๐ต = 0) โ†’ ๐ด โ‰ค (2 ยท ๐ต))
67 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค ((1 + ๐‘ฅ) ยท ๐ต) โˆง ๐ต = 0) โ†’ ๐ต = 0)
68 simpl 484 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โ‰ค (2 ยท ๐ต) โˆง ๐ต = 0) โ†’ ๐ด โ‰ค (2 ยท ๐ต))
69 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ต = 0 โ†’ (2 ยท ๐ต) = (2 ยท 0))
70 2cnd 12290 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ต = 0 โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
7170mul01d 11413 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ต = 0 โ†’ (2 ยท 0) = 0)
7269, 71eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 (๐ต = 0 โ†’ (2 ยท ๐ต) = 0)
7372adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โ‰ค (2 ยท ๐ต) โˆง ๐ต = 0) โ†’ (2 ยท ๐ต) = 0)
7468, 73breqtrd 5175 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โ‰ค (2 ยท ๐ต) โˆง ๐ต = 0) โ†’ ๐ด โ‰ค 0)
7566, 67, 74syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค ((1 + ๐‘ฅ) ยท ๐ต) โˆง ๐ต = 0) โ†’ ๐ด โ‰ค 0)
7675ad4ant24 753 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค ((1 + ๐‘ฅ) ยท ๐ต)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐ต = 0) โ†’ ๐ด โ‰ค 0)
77 rpgt0 12986 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โ†’ 0 < ๐‘ฆ)
7877adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต = 0) โ†’ 0 < ๐‘ฆ)
79 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . 12 (๐ต = 0 โ†’ (๐ต + ๐‘ฆ) = (0 + ๐‘ฆ))
8079adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐ต + ๐‘ฆ) = (0 + ๐‘ฆ))
8148recnd 11242 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
8281adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต = 0) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
8382addlidd 11415 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต = 0) โ†’ (0 + ๐‘ฆ) = ๐‘ฆ)
8480, 83eqtr2d 2774 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต = 0) โ†’ ๐‘ฆ = (๐ต + ๐‘ฆ))
8578, 84breqtrd 5175 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต = 0) โ†’ 0 < (๐ต + ๐‘ฆ))
8685adantll 713 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค ((1 + ๐‘ฅ) ยท ๐ต)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐ต = 0) โ†’ 0 < (๐ต + ๐‘ฆ))
8743, 53, 52, 76, 86xrlelttrd 13139 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค ((1 + ๐‘ฅ) ยท ๐ต)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐ต = 0) โ†’ ๐ด < (๐ต + ๐‘ฆ))
8843, 52, 87xrltled 13129 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค ((1 + ๐‘ฅ) ยท ๐ต)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐ต = 0) โ†’ ๐ด โ‰ค (๐ต + ๐‘ฆ))
89 simpl 484 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค ((1 + ๐‘ฅ) ยท ๐ต)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ยฌ ๐ต = 0) โ†’ ((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค ((1 + ๐‘ฅ) ยท ๐ต)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+))
9015adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = 0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
91 0red 11217 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = 0) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
9232adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = 0) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
9344necon3bi 2968 . . . . . . . . . . 11 (ยฌ ๐ต = 0 โ†’ ๐ต โ‰  0)
9493adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = 0) โ†’ ๐ต โ‰  0)
9591, 90, 92, 94leneltd 11368 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = 0) โ†’ 0 < ๐ต)
9690, 95elrpd 13013 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = 0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
9796ad4ant14 751 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค ((1 + ๐‘ฅ) ยท ๐ต)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ยฌ ๐ต = 0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
98 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค ((1 + ๐‘ฅ) ยท ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„+)
99 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค ((1 + ๐‘ฅ) ยท ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
10098, 99rpdivcld 13033 . . . . . . . . . 10 (((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค ((1 + ๐‘ฅ) ยท ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ฆ / ๐ต) โˆˆ โ„+)
101 simpll 766 . . . . . . . . . 10 (((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค ((1 + ๐‘ฅ) ยท ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค ((1 + ๐‘ฅ) ยท ๐ต))
102 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ / ๐ต) โ†’ (1 + ๐‘ฅ) = (1 + (๐‘ฆ / ๐ต)))
103102oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ / ๐ต) โ†’ ((1 + ๐‘ฅ) ยท ๐ต) = ((1 + (๐‘ฆ / ๐ต)) ยท ๐ต))
104103breq2d 5161 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ / ๐ต) โ†’ (๐ด โ‰ค ((1 + ๐‘ฅ) ยท ๐ต) โ†” ๐ด โ‰ค ((1 + (๐‘ฆ / ๐ต)) ยท ๐ต)))
105104rspcva 3611 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฆ / ๐ต) โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค ((1 + ๐‘ฅ) ยท ๐ต)) โ†’ ๐ด โ‰ค ((1 + (๐‘ฆ / ๐ต)) ยท ๐ต))
106100, 101, 105syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค ((1 + ๐‘ฅ) ยท ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โ‰ค ((1 + (๐‘ฆ / ๐ต)) ยท ๐ต))
107106adantlll 717 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค ((1 + ๐‘ฅ) ยท ๐ต)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โ‰ค ((1 + (๐‘ฆ / ๐ต)) ยท ๐ต))
108 1cnd 11209 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
10981adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
110 rpcn 12984 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ต โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
111110adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
112 rpne0 12990 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ต โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ต โ‰  0)
113112adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ต โ‰  0)
114109, 111, 113divcld 11990 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ฆ / ๐ต) โˆˆ โ„‚)
115108, 114, 111adddird 11239 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ((1 + (๐‘ฆ / ๐ต)) ยท ๐ต) = ((1 ยท ๐ต) + ((๐‘ฆ / ๐ต) ยท ๐ต)))
116111mullidd 11232 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (1 ยท ๐ต) = ๐ต)
117109, 111, 113divcan1d 11991 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐‘ฆ / ๐ต) ยท ๐ต) = ๐‘ฆ)
118116, 117oveq12d 7427 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ((1 ยท ๐ต) + ((๐‘ฆ / ๐ต) ยท ๐ต)) = (๐ต + ๐‘ฆ))
119 eqidd 2734 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ต + ๐‘ฆ) = (๐ต + ๐‘ฆ))
120115, 118, 1193eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ((1 + (๐‘ฆ / ๐ต)) ยท ๐ต) = (๐ต + ๐‘ฆ))
121120adantll 713 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค ((1 + ๐‘ฅ) ยท ๐ต)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ((1 + (๐‘ฆ / ๐ต)) ยท ๐ต) = (๐ต + ๐‘ฆ))
122107, 121breqtrd 5175 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค ((1 + ๐‘ฅ) ยท ๐ต)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โ‰ค (๐ต + ๐‘ฆ))
12389, 97, 122syl2anc 585 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค ((1 + ๐‘ฅ) ยท ๐ต)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ยฌ ๐ต = 0) โ†’ ๐ด โ‰ค (๐ต + ๐‘ฆ))
12488, 123pm2.61dan 812 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค ((1 + ๐‘ฅ) ยท ๐ต)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โ‰ค (๐ต + ๐‘ฆ))
125124ralrimiva 3147 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค ((1 + ๐‘ฅ) ยท ๐ต)) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + ๐‘ฆ))
126 xralrple 13184 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + ๐‘ฆ)))
1274, 15, 126syl2anc 585 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + ๐‘ฆ)))
128127adantr 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค ((1 + ๐‘ฅ) ยท ๐ต)) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + ๐‘ฆ)))
129125, 128mpbird 257 . . 3 ((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค ((1 + ๐‘ฅ) ยท ๐ต)) โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)
130129ex 414 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค ((1 + ๐‘ฅ) ยท ๐ต) โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต))
13142, 130impbid 211 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค ((1 + ๐‘ฅ) ยท ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542  โ„ฒwnf 1786   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  โˆ€wral 3062   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115  +โˆžcpnf 11245  โ„*cxr 11247   < clt 11248   โ‰ค cle 11249   / cdiv 11871  2c2 12267  โ„+crp 12974  [,)cico 13326
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-ico 13330
This theorem is referenced by:  hoidmvlelem5  45315
  Copyright terms: Public domain W3C validator