Theorem sge0ad2en 46446

Description: The value of the infinite geometric series 2↑-1 + 2↑-2 +... , multiplied by a constant. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
sge0ad2en.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))

Assertion

Ref	Expression
sge0ad2en	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / (2↑𝑛)))) = 𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝜑,𝑛

Proof of Theorem sge0ad2en

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1914	. 2 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
2		0xr 11308	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ*)
4		pnfxr 11315	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → +∞ ∈ ℝ*)
6		rge0ssre 13496	. . . . . . 7 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
7		sge0ad2en.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
8	6, 7	sselid 3981	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
10		2re 12340	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ)
12		nnnn0 12533	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
13	12	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
14	11, 13	reexpcld 14203	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2↑𝑛) ∈ ℝ)
15		2cnd 12344	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
16		2ne0 12370	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
17	16	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 2 ≠ 0)
18	13	nn0zd 12639	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℤ)
19	15, 17, 18	expne0d 14192	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2↑𝑛) ≠ 0)
20	9, 14, 19	redivcld 12095	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
21	20	rexrd 11311	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ*)
22		2rp 13039	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ+
23	22	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ+)
24	23, 18	rpexpcld 14286	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2↑𝑛) ∈ ℝ+)
25	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
26	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
27		icogelb 13438	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ 𝐴)
28	25, 26, 7, 27	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
29	28	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐴)
30	9, 24, 29	divge0d 13117	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐴 / (2↑𝑛)))
31	20	ltpnfd 13163	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 / (2↑𝑛)) < +∞)
32	3, 5, 21, 30, 31	elicod 13437	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 / (2↑𝑛)) ∈ (0[,)+∞))
33		1zzd 12648	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
34		nnuz 12921	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
35	8	recnd 11289	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
36		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / (2↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / (2↑𝑛)))
37	36	geo2lim 15911	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / (2↑𝑛)))) ⇝ 𝐴)
38	35, 37	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / (2↑𝑛)))) ⇝ 𝐴)
39	1, 32, 33, 34, 38	sge0isummpt 46445	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / (2↑𝑛)))) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158  +∞cpnf 11292  ℝ^*cxr 11294   ≤ cle 11296   / cdiv 11920  ℕcn 12266  2c2 12321  ℕ₀cn0 12526  ℝ⁺crp 13034  [,)cico 13389  seqcseq 14042  ↑cexp 14102   ⇝ cli 15520  Σ^{^}csumge0 46377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-sumge0 46378

This theorem is referenced by:  ovnsubaddlem1  46585  ovolval5lem1  46667