Theorem sge0ad2en 47037

Description: The value of the infinite geometric series 2↑-1 + 2↑-2 +... , multiplied by a constant. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
sge0ad2en.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))

Assertion

Ref	Expression
sge0ad2en	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / (2↑𝑛)))) = 𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝜑,𝑛

Proof of Theorem sge0ad2en

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1941	. 2 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
2		0xr 11256	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ*)
4		pnfxr 11263	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → +∞ ∈ ℝ*)
6		rge0ssre 13483	. . . . . . 7 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
7		sge0ad2en.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
8	6, 7	sselid 3943	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
10		2re 12315	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ)
12		nnnn0 12511	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
13	12	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
14	11, 13	reexpcld 14199	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2↑𝑛) ∈ ℝ)
15		2cnd 12319	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
16		2ne0 12347	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
17	16	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 2 ≠ 0)
18	13	nn0zd 12616	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℤ)
19	15, 17, 18	expne0d 14188	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2↑𝑛) ≠ 0)
20	9, 14, 19	redivcld 12043	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
21	20	rexrd 11259	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ*)
22		2rp 13021	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ+
23	22	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ+)
24	23, 18	rpexpcld 14283	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2↑𝑛) ∈ ℝ+)
25	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
26	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
27		icogelb 13423	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ 𝐴)
28	25, 26, 7, 27	syl3anc 1396	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
29	28	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐴)
30	9, 24, 29	divge0d 13100	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐴 / (2↑𝑛)))
31	20	ltpnfd 13146	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 / (2↑𝑛)) < +∞)
32	3, 5, 21, 30, 31	elicod 13422	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 / (2↑𝑛)) ∈ (0[,)+∞))
33		1zzd 12625	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
34		nnuz 12901	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
35	8	recnd 11237	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
36		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / (2↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / (2↑𝑛)))
37	36	geo2lim 15929	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / (2↑𝑛)))) ⇝ 𝐴)
38	35, 37	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / (2↑𝑛)))) ⇝ 𝐴)
39	1, 32, 33, 34, 38	sge0isummpt 47036	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / (2↑𝑛)))) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   class class class wbr 5113   ↦ cmpt 5196  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℂcc 11098  ℝcr 11099  0cc0 11100  1c1 11101   + caddc 11103  +∞cpnf 11240  ℝ^*cxr 11242   ≤ cle 11244   / cdiv 11871  ℕcn 12233  2c2 12295  ℕ₀cn0 12504  ℝ⁺crp 13016  [,)cico 13374  seqcseq 14037  ↑cexp 14097   ⇝ cli 15535  Σ^{^}csumge0 46968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9610  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9402  df-inf 9403  df-oi 9472  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-rp 13017  df-ico 13378  df-icc 13379  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-fl 13825  df-seq 14038  df-exp 14098  df-hash 14367  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-clim 15539  df-rlim 15540  df-sum 15738  df-sumge0 46969

This theorem is referenced by:  ovnsubaddlem1  47176  ovolval5lem1  47258