Theorem sge0ad2en 47440

Description: The value of the infinite geometric series 2↑ -1 + 2↑ -2 +... , multiplied by a constant. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
sge0ad2en.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))

Assertion

Ref	Expression
sge0ad2en	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / (2↑𝑛)))) = 𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝜑,𝑛

Proof of Theorem sge0ad2en

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1947	. 2 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
2		0xr 11356	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ*)
4		pnfxr 11363	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → +∞ ∈ ℝ*)
6		rge0ssre 13587	. . . . . . 7 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
7		sge0ad2en.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
8	6, 7	sselid 3929	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
10		2re 12417	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ)
12		nnnn0 12613	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
13	12	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
14	11, 13	reexpcld 14306	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2↑𝑛) ∈ ℝ)
15		2cnd 12421	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
16		2ne0 12449	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
17	16	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 2 ≠ 0)
18	13	nn0zd 12718	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℤ)
19	15, 17, 18	expne0d 14295	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2↑𝑛) ≠ 0)
20	9, 14, 19	redivcld 12145	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
21	20	rexrd 11359	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ*)
22		2rp 13125	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ+
23	22	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ+)
24	23, 18	rpexpcld 14391	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2↑𝑛) ∈ ℝ+)
25	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
26	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
27		icogelb 13527	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ 𝐴)
28	25, 26, 7, 27	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
29	28	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐴)
30	9, 24, 29	divge0d 13204	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐴 / (2↑𝑛)))
31	20	ltpnfd 13250	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 / (2↑𝑛)) < +∞)
32	3, 5, 21, 30, 31	elicod 13526	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 / (2↑𝑛)) ∈ (0[,)+∞))
33		1zzd 12727	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
34		nnuz 13004	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
35	8	recnd 11337	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
36		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / (2↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / (2↑𝑛)))
37	36	geo2lim 16044	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / (2↑𝑛)))) ⇝ 𝐴)
38	35, 37	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / (2↑𝑛)))) ⇝ 𝐴)
39	1, 32, 33, 34, 38	sge0isummpt 47439	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / (2↑𝑛)))) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203  +∞cpnf 11340  ℝ^*cxr 11342   ≤ cle 11344   / cdiv 11973  ℕcn 12335  2c2 12397  ℕ₀cn0 12606  ℝ⁺crp 13120  [,)cico 13478  seqcseq 14144  ↑cexp 14204   ⇝ cli 15651  Σ^{^}csumge0 47371

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-pm 8850  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-clim 15655  df-rlim 15656  df-sum 15854  df-sumge0 47372

This theorem is used by:  ovnsubaddlem1  47579  ovolval5lem1  47661