Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0ad2en Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0ad2en 41285
Description: The value of the infinite geometric series 2↑-1 + 2↑-2 +... , multiplied by a constant. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
sge0ad2en.1 (𝜑𝐴 ∈ (0[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
sge0ad2en (𝜑 → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / (2↑𝑛)))) = 𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝜑,𝑛

Proof of Theorem sge0ad2en
StepHypRef Expression
1 nfv 2009 . 2 𝑛𝜑
2 0xr 10340 . . . 4 0 ∈ ℝ*
32a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ*)
4 pnfxr 10346 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
54a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → +∞ ∈ ℝ*)
6 rge0ssre 12484 . . . . . . 7 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
7 sge0ad2en.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ (0[,)+∞))
86, 7sseldi 3759 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
98adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
10 2re 11346 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
1110a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ)
12 nnnn0 11546 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
1312adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
1411, 13reexpcld 13232 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (2↑𝑛) ∈ ℝ)
15 2cnd 11350 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
16 2ne0 11383 . . . . . . 7 2 ≠ 0
1716a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 2 ≠ 0)
1813nn0zd 11727 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℤ)
1915, 17, 18expne0d 13221 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (2↑𝑛) ≠ 0)
209, 14, 19redivcld 11107 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
2120rexrd 10343 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ*)
22 2rp 12033 . . . . . 6 2 ∈ ℝ+
2322a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ+)
2423, 18rpexpcld 13239 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (2↑𝑛) ∈ ℝ+)
252a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
264a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
27 icogelb 12427 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ 𝐴)
2825, 26, 7, 27syl3anc 1490 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
2928adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐴)
309, 24, 29divge0d 12110 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐴 / (2↑𝑛)))
3120ltpnfd 12155 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 / (2↑𝑛)) < +∞)
323, 5, 21, 30, 31elicod 12426 . 2 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 / (2↑𝑛)) ∈ (0[,)+∞))
33 1zzd 11655 . 2 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
34 nnuz 11923 . 2 ℕ = (ℤ‘1)
358recnd 10322 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
36 eqid 2765 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / (2↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / (2↑𝑛)))
3736geo2lim 14890 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / (2↑𝑛)))) ⇝ 𝐴)
3835, 37syl 17 . 2 (𝜑 → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / (2↑𝑛)))) ⇝ 𝐴)
391, 32, 33, 34, 38sge0isummpt 41284 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / (2↑𝑛)))) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937   class class class wbr 4809  cmpt 4888  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192  +∞cpnf 10325  *cxr 10327  cle 10329   / cdiv 10938  cn 11274  2c2 11327  0cn0 11538  +crp 12028  [,)cico 12379  seqcseq 13008  cexp 13067  cli 14500  Σ^csumge0 41216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-pm 8063  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-rp 12029  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-clim 14504  df-rlim 14505  df-sum 14702  df-sumge0 41217
This theorem is referenced by:  ovnsubaddlem1  41424  ovolval5lem1  41506
  Copyright terms: Public domain W3C validator