Theorem sge0ad2en 47165

Description: The value of the infinite geometric series 2↑-1 + 2↑-2 +... , multiplied by a constant. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
sge0ad2en.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))

Assertion

Ref	Expression
sge0ad2en	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / (2↑𝑛)))) = 𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝜑,𝑛

Proof of Theorem sge0ad2en

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1944	. 2 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
2		0xr 11251	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ*)
4		pnfxr 11258	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → +∞ ∈ ℝ*)
6		rge0ssre 13478	. . . . . . 7 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
7		sge0ad2en.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
8	6, 7	sselid 3935	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
10		2re 12310	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ)
12		nnnn0 12506	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
13	12	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
14	11, 13	reexpcld 14195	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2↑𝑛) ∈ ℝ)
15		2cnd 12314	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
16		2ne0 12342	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
17	16	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 2 ≠ 0)
18	13	nn0zd 12611	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℤ)
19	15, 17, 18	expne0d 14184	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2↑𝑛) ≠ 0)
20	9, 14, 19	redivcld 12038	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
21	20	rexrd 11254	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ*)
22		2rp 13016	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ+
23	22	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ+)
24	23, 18	rpexpcld 14279	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2↑𝑛) ∈ ℝ+)
25	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
26	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
27		icogelb 13418	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ 𝐴)
28	25, 26, 7, 27	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
29	28	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐴)
30	9, 24, 29	divge0d 13095	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐴 / (2↑𝑛)))
31	20	ltpnfd 13141	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 / (2↑𝑛)) < +∞)
32	3, 5, 21, 30, 31	elicod 13417	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 / (2↑𝑛)) ∈ (0[,)+∞))
33		1zzd 12620	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
34		nnuz 12896	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
35	8	recnd 11232	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
36		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / (2↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / (2↑𝑛)))
37	36	geo2lim 15925	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / (2↑𝑛)))) ⇝ 𝐴)
38	35, 37	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / (2↑𝑛)))) ⇝ 𝐴)
39	1, 32, 33, 34, 38	sge0isummpt 47164	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / (2↑𝑛)))) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11093  ℝcr 11094  0cc0 11095  1c1 11096   + caddc 11098  +∞cpnf 11235  ℝ^*cxr 11237   ≤ cle 11239   / cdiv 11866  ℕcn 12228  2c2 12290  ℕ₀cn0 12499  ℝ⁺crp 13011  [,)cico 13369  seqcseq 14033  ↑cexp 14093   ⇝ cli 15531  Σ^{^}csumge0 47096

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-rp 13012  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-clim 15535  df-rlim 15536  df-sum 15734  df-sumge0 47097

This theorem is referenced by:  ovnsubaddlem1  47304  ovolval5lem1  47386