Theorem sge0ad2en 47262

Description: The value of the infinite geometric series 2↑-1 + 2↑-2 +... , multiplied by a constant. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
sge0ad2en.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))

Assertion

Ref	Expression
sge0ad2en	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / (2↑𝑛)))) = 𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝜑,𝑛

Proof of Theorem sge0ad2en

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1947	. 2 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
2		0xr 11283	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ*)
4		pnfxr 11290	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → +∞ ∈ ℝ*)
6		rge0ssre 13512	. . . . . . 7 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
7		sge0ad2en.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
8	6, 7	sselid 3929	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
10		2re 12342	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ)
12		nnnn0 12538	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
13	12	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
14	11, 13	reexpcld 14230	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2↑𝑛) ∈ ℝ)
15		2cnd 12346	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
16		2ne0 12374	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
17	16	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 2 ≠ 0)
18	13	nn0zd 12643	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℤ)
19	15, 17, 18	expne0d 14219	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2↑𝑛) ≠ 0)
20	9, 14, 19	redivcld 12070	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
21	20	rexrd 11286	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ*)
22		2rp 13050	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ+
23	22	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ+)
24	23, 18	rpexpcld 14314	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2↑𝑛) ∈ ℝ+)
25	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
26	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
27		icogelb 13452	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ 𝐴)
28	25, 26, 7, 27	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
29	28	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐴)
30	9, 24, 29	divge0d 13129	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐴 / (2↑𝑛)))
31	20	ltpnfd 13175	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 / (2↑𝑛)) < +∞)
32	3, 5, 21, 30, 31	elicod 13451	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 / (2↑𝑛)) ∈ (0[,)+∞))
33		1zzd 12652	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
34		nnuz 12929	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
35	8	recnd 11264	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
36		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / (2↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / (2↑𝑛)))
37	36	geo2lim 15967	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / (2↑𝑛)))) ⇝ 𝐴)
38	35, 37	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / (2↑𝑛)))) ⇝ 𝐴)
39	1, 32, 33, 34, 38	sge0isummpt 47261	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / (2↑𝑛)))) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℂcc 11125  ℝcr 11126  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130  +∞cpnf 11267  ℝ^*cxr 11269   ≤ cle 11271   / cdiv 11898  ℕcn 12260  2c2 12322  ℕ₀cn0 12531  ℝ⁺crp 13045  [,)cico 13403  seqcseq 14068  ↑cexp 14128   ⇝ cli 15574  Σ^{^}csumge0 47193

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-inf2 9623  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-er 8699  df-pm 8832  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13046  df-ico 13407  df-icc 13408  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-fl 13856  df-seq 14069  df-exp 14129  df-hash 14398  df-cj 15189  df-re 15190  df-im 15191  df-sqrt 15325  df-abs 15326  df-clim 15578  df-rlim 15579  df-sum 15777  df-sumge0 47194

This theorem is used by:  ovnsubaddlem1  47401  ovolval5lem1  47483