Theorem indfsd 32929

Description: The indicator function of a finite set has finite support. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
indfsd.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
indfsd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑂)
indfsd.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
indfsd	⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) finSupp 0)

Proof of Theorem indfsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6848	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) ∈ V)
2		c0ex 11128	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
4		indfsd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
5		indfsd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑂)
6		indf 32913	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1})
7	4, 5, 6	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1})
8	7	ffund 6665	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun ((𝟭‘𝑂)‘𝐴))
9		indsupp 32928	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) supp 0) = 𝐴)
10	4, 5, 9	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) supp 0) = 𝐴)
11		indfsd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
12	10, 11	eqeltrd 2835	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) supp 0) ∈ Fin)
13	1, 3, 8, 12	isfsuppd 9271	1 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) finSupp 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3439   ⊆ wss 3900  {cpr 4581   class class class wbr 5097  ⟶wf 6487  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358   supp csupp 8102  Fincfn 8885   finSupp cfsupp 9266  0cc0 11028  1c1 11029  𝟭cind 32908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-supp 8103  df-fsupp 9267  df-ind 32909

This theorem is referenced by:  gsumind  33405  esplympl  33704