Theorem indfsd 32928

Description: The indicator function of a finite set has finite support. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
indfsd.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
indfsd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑂)
indfsd.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
indfsd	⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) finSupp 0)

Proof of Theorem indfsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6856	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) ∈ V)
2		c0ex 11138	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
4		indfsd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
5		indfsd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑂)
6		indf 12165	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1})
7	4, 5, 6	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1})
8	7	ffund 6673	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun ((𝟭‘𝑂)‘𝐴))
9		indsupp 32927	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) supp 0) = 𝐴)
10	4, 5, 9	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) supp 0) = 𝐴)
11		indfsd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
12	10, 11	eqeltrd 2837	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) supp 0) ∈ Fin)
13	1, 3, 8, 12	isfsuppd 9279	1 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) finSupp 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890  {cpr 4570   class class class wbr 5086  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367   supp csupp 8110  Fincfn 8893   finSupp cfsupp 9274  0cc0 11038  1c1 11039  𝟭cind 12159

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-supp 8111  df-fsupp 9275  df-ind 12160

This theorem is referenced by:  gsumind  33405  esplympl  33711