Theorem indfsd 33052

Description: The indicator function of a finite set has finite support. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
indfsd.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
indfsd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑂)
indfsd.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
indfsd	⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) finSupp 0)

Proof of Theorem indfsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6882	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) ∈ V)
2		c0ex 11184	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
4		indfsd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
5		indfsd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑂)
6		indf 12211	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1})
7	4, 5, 6	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1})
8	7	ffund 6696	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun ((𝟭‘𝑂)‘𝐴))
9		indsupp 33051	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) supp 0) = 𝐴)
10	4, 5, 9	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) supp 0) = 𝐴)
11		indfsd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
12	10, 11	eqeltrd 2863	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) supp 0) ∈ Fin)
13	1, 3, 8, 12	isfsuppd 9310	1 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) finSupp 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ⊆ wss 3905  {cpr 4585   class class class wbr 5101  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396   supp csupp 8140  Fincfn 8927   finSupp cfsupp 9305  0cc0 11084  1c1 11085  𝟭cind 12205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-id 5543  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-supp 8141  df-fsupp 9306  df-ind 12206

This theorem is referenced by:  gsumind  33534  esplympl  33866