Theorem indfsd 32804

Description: The indicator function of a finite set has finite support. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
indfsd.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
indfsd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑂)
indfsd.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
indfsd	⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) finSupp 0)

Proof of Theorem indfsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6831	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) ∈ V)
2		c0ex 11097	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
4		indfsd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
5		indfsd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑂)
6		indf 32791	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1})
7	4, 5, 6	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1})
8	7	ffund 6650	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun ((𝟭‘𝑂)‘𝐴))
9		indsupp 32803	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) supp 0) = 𝐴)
10	4, 5, 9	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) supp 0) = 𝐴)
11		indfsd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
12	10, 11	eqeltrd 2828	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) supp 0) ∈ Fin)
13	1, 3, 8, 12	isfsuppd 9244	1 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) finSupp 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3433   ⊆ wss 3899  {cpr 4575   class class class wbr 5088  ⟶wf 6472  ‘cfv 6476  (class class class)co 7340   supp csupp 8084  Fincfn 8863   finSupp cfsupp 9239  0cc0 10997  1c1 10998  𝟭cind 32786

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5214  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-1cn 11055  ax-icn 11056  ax-addcl 11057  ax-addrcl 11058  ax-mulcl 11059  ax-mulrcl 11060  ax-i2m1 11065  ax-1ne0 11066  ax-rnegex 11068  ax-rrecex 11069  ax-cnre 11070

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4940  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-id 5508  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-supp 8085  df-fsupp 9240  df-ind 32787

This theorem is referenced by:  gsumind  33278  esplympl  33556