Theorem indfsd 32950

Description: The indicator function of a finite set has finite support. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
indfsd.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
indfsd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑂)
indfsd.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
indfsd	⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) finSupp 0)

Proof of Theorem indfsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6849	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) ∈ V)
2		c0ex 11126	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
4		indfsd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
5		indfsd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑂)
6		indf 32934	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1})
7	4, 5, 6	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1})
8	7	ffund 6666	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun ((𝟭‘𝑂)‘𝐴))
9		indsupp 32949	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) supp 0) = 𝐴)
10	4, 5, 9	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) supp 0) = 𝐴)
11		indfsd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
12	10, 11	eqeltrd 2836	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) supp 0) ∈ Fin)
13	1, 3, 8, 12	isfsuppd 9269	1 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) finSupp 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   ⊆ wss 3901  {cpr 4582   class class class wbr 5098  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   supp csupp 8102  Fincfn 8883   finSupp cfsupp 9264  0cc0 11026  1c1 11027  𝟭cind 32929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-supp 8103  df-fsupp 9265  df-ind 32930

This theorem is referenced by:  gsumind  33426  esplympl  33725