Theorem esplympl 34064

Description: Elementary symmetric polynomials are polynomials. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
esplympl.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
esplympl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
esplympl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
esplympl.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
esplympl.1	⊢ 𝑀 = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
esplympl	⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) ∈ 𝑀)

Distinct variable group:   ℎ,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑅(ℎ)   𝐾(ℎ)   𝑀(ℎ)

Proof of Theorem esplympl

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6897	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
2		esplympl.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
3		ovex 7449	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
4	2, 3	rabex2 5309	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ V
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
6		esplympl.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
7		esplympl.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8		esplympl.k	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
9	2, 6, 7, 8	esplyfval 34060	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) = ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))))
10	9	eqcomd 2768	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))) = ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾))
11		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
12	11	zrhrhm 21725	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
13		zringbas 21667	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
14		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
15	13, 14	rhmf 20627	. . . . . . 7 ⊢ ((ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
16	7, 12, 15	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
17	2, 6, 7, 8	esplylem 34063	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ⊆ 𝐷)
18		indf 12251	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ⊆ 𝐷) → ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})):𝐷⟶{0, 1})
19	5, 17, 18	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})):𝐷⟶{0, 1})
20		0zd 12630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
21		1zzd 12652	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
22	20, 21	prssd 4786	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {0, 1} ⊆ ℤ)
23	19, 22	fssd 6724	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})):𝐷⟶ℤ)
24	16, 23	fcod 6732	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))):𝐷⟶(Base‘𝑅))
25	10, 24	feq1dd 6689	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾):𝐷⟶(Base‘𝑅))
26	1, 5, 25	elmapdd 8843	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷))
27		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
28	2	psrbasfsupp 34008	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
29		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
30	27, 14, 28, 29, 6	psrbas 22150	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷))
31	26, 30	eleqtrrd 2865	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
32		fvexd 6897	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ V)
33		zex 12627	. . . . 5 ⊢ ℤ ∈ V
34	33	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℤ ∈ V)
35		indf1o 33297	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼–1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝐼))
36		f1of 6821	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼–1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝐼) → (𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼⟶({0, 1} ↑m 𝐼))
37	6, 35, 36	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼⟶({0, 1} ↑m 𝐼))
38	37	ffund 6711	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Fun (𝟭‘𝐼))
39	6	pwexd 5348	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝐼 ∈ V)
40		ssrab2 4031	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ⊆ 𝒫 𝐼
41	40	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ⊆ 𝒫 𝐼)
42	39, 41	ssexd 5293	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ∈ V)
43		hashcl 14422	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
44	6, 43	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
45	8	nn0zd 12643	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
46		bccl 14388	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐼) ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((♯‘𝐼)C𝐾) ∈ ℕ0)
47	44, 45, 46	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐼)C𝐾) ∈ ℕ0)
48		hashbc 14520	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((♯‘𝐼)C𝐾) = (♯‘{𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))
49	6, 45, 48	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐼)C𝐾) = (♯‘{𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))
50	49	eqcomd 2768	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) = ((♯‘𝐼)C𝐾))
51		hashvnfin 14426	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ∈ V ∧ ((♯‘𝐼)C𝐾) ∈ ℕ0) → ((♯‘{𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) = ((♯‘𝐼)C𝐾) → {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ∈ Fin))
52	51	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ ((({𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ∈ V ∧ ((♯‘𝐼)C𝐾) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘{𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) = ((♯‘𝐼)C𝐾)) → {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ∈ Fin)
53	42, 47, 50, 52	syl21anc 851	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ∈ Fin)
54		imafi 9288	. . . . . 6 ⊢ ((Fun (𝟭‘𝐼) ∧ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ∈ Fin) → ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∈ Fin)
55	38, 53, 54	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∈ Fin)
56	5, 17, 55	indfsd 33301	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})) finSupp 0)
57		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
58	11, 57	zrh0 21727	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((ℤRHom‘𝑅)‘0) = (0g‘𝑅))
59	7, 58	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅)‘0) = (0g‘𝑅))
60	32, 20, 19, 16, 22, 5, 34, 56, 59	fsuppcor 9377	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))) finSupp (0g‘𝑅))
61	9, 60	eqbrtrd 5131	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) finSupp (0g‘𝑅))
62		eqid 2762	. . 3 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑅) = (𝐼 mPoly 𝑅)
63		esplympl.1	. . 3 ⊢ 𝑀 = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
64	62, 27, 29, 57, 63	mplelbas 22206	. 2 ⊢ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) ∈ 𝑀 ↔ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) finSupp (0g‘𝑅)))
65	31, 61, 64	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) ∈ 𝑀)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3414  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902  𝒫 cpw 4560  {cpr 4589   class class class wbr 5107   “ cima 5662   ∘ ccom 5663  Fun wfun 6531  ⟶wf 6533  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   ↑_m cmap 8829  Fincfn 8955   finSupp cfsupp 9334  0cc0 11127  1c1 11128  𝟭cind 12245  ℕ₀cn0 12531  ℤcz 12618  Ccbc 14368  ♯chash 14396  Basecbs 17305  0_gc0g 17528  Ringcrg 20373   RingHom crh 20611  ℤ_ringczring 21660  ℤRHomczrh 21713   mPwSer cmps 22120   mPoly cmpl 22122  eSymPolycesply 34053

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-addf 11206  ax-mulf 11207

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-oadd 8462  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-dju 9909  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-ind 12246  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-rp 13045  df-fz 13564  df-seq 14068  df-fac 14340  df-bc 14369  df-hash 14397  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-starv 17361  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-unif 17369  df-0g 17530  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-mhm 18892  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-mulg 19192  df-subg 19247  df-ghm 19342  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-ring 20375  df-cring 20376  df-rhm 20614  df-subrng 20709  df-subrg 20733  df-cnfld 21587  df-zring 21661  df-zrh 21717  df-psr 22125  df-mpl 22127  df-esply 34055

This theorem is used by:  esplymhp  34065  esplysply  34068  esplyind  34072  esplyindfv  34073  esplyfvn  34074  vietalem  34076