Theorem esplympl 33711

Description: Elementary symmetric polynomials are polynomials. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
esplympl.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
esplympl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
esplympl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
esplympl.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
esplympl.1	⊢ 𝑀 = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
esplympl	⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) ∈ 𝑀)

Distinct variable group:   ℎ,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑅(ℎ)   𝐾(ℎ)   𝑀(ℎ)

Proof of Theorem esplympl

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6856	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
2		esplympl.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
3		ovex 7400	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
4	2, 3	rabex2 5283	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ V
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
6		esplympl.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
7		esplympl.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8		esplympl.k	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
9	2, 6, 7, 8	esplyfval 33707	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) = ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))))
10	9	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))) = ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾))
11		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
12	11	zrhrhm 21491	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
13		zringbas 21433	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
14		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
15	13, 14	rhmf 20464	. . . . . . 7 ⊢ ((ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
16	7, 12, 15	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
17	2, 6, 7, 8	esplylem 33710	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ⊆ 𝐷)
18		indf 12165	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ⊆ 𝐷) → ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})):𝐷⟶{0, 1})
19	5, 17, 18	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})):𝐷⟶{0, 1})
20		0zd 12536	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
21		1zzd 12558	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
22	20, 21	prssd 4766	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {0, 1} ⊆ ℤ)
23	19, 22	fssd 6686	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})):𝐷⟶ℤ)
24	16, 23	fcod 6694	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))):𝐷⟶(Base‘𝑅))
25	10, 24	feq1dd 6652	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾):𝐷⟶(Base‘𝑅))
26	1, 5, 25	elmapdd 8788	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷))
27		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
28	2	psrbasfsupp 33672	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
29		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
30	27, 14, 28, 29, 6	psrbas 21913	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷))
31	26, 30	eleqtrrd 2840	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
32		fvexd 6856	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ V)
33		zex 12533	. . . . 5 ⊢ ℤ ∈ V
34	33	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℤ ∈ V)
35		indf1o 32924	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼–1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝐼))
36		f1of 6781	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼–1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝐼) → (𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼⟶({0, 1} ↑m 𝐼))
37	6, 35, 36	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼⟶({0, 1} ↑m 𝐼))
38	37	ffund 6673	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Fun (𝟭‘𝐼))
39	6	pwexd 5322	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝐼 ∈ V)
40		ssrab2 4021	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ⊆ 𝒫 𝐼
41	40	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ⊆ 𝒫 𝐼)
42	39, 41	ssexd 5266	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ∈ V)
43		hashcl 14318	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
44	6, 43	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
45	8	nn0zd 12549	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
46		bccl 14284	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐼) ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((♯‘𝐼)C𝐾) ∈ ℕ0)
47	44, 45, 46	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐼)C𝐾) ∈ ℕ0)
48		hashbc 14415	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((♯‘𝐼)C𝐾) = (♯‘{𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))
49	6, 45, 48	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐼)C𝐾) = (♯‘{𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))
50	49	eqcomd 2743	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) = ((♯‘𝐼)C𝐾))
51		hashvnfin 14322	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ∈ V ∧ ((♯‘𝐼)C𝐾) ∈ ℕ0) → ((♯‘{𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) = ((♯‘𝐼)C𝐾) → {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ∈ Fin))
52	51	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((({𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ∈ V ∧ ((♯‘𝐼)C𝐾) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘{𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) = ((♯‘𝐼)C𝐾)) → {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ∈ Fin)
53	42, 47, 50, 52	syl21anc 838	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ∈ Fin)
54		imafi 9225	. . . . . 6 ⊢ ((Fun (𝟭‘𝐼) ∧ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ∈ Fin) → ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∈ Fin)
55	38, 53, 54	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∈ Fin)
56	5, 17, 55	indfsd 32928	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})) finSupp 0)
57		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
58	11, 57	zrh0 21493	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((ℤRHom‘𝑅)‘0) = (0g‘𝑅))
59	7, 58	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅)‘0) = (0g‘𝑅))
60	32, 20, 19, 16, 22, 5, 34, 56, 59	fsuppcor 9317	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))) finSupp (0g‘𝑅))
61	9, 60	eqbrtrd 5108	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) finSupp (0g‘𝑅))
62		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑅) = (𝐼 mPoly 𝑅)
63		esplympl.1	. . 3 ⊢ 𝑀 = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
64	62, 27, 29, 57, 63	mplelbas 21969	. 2 ⊢ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) ∈ 𝑀 ↔ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) finSupp (0g‘𝑅)))
65	31, 61, 64	sylanbrc 584	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) ∈ 𝑀)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3390  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890  𝒫 cpw 4542  {cpr 4570   class class class wbr 5086   “ cima 5634   ∘ ccom 5635  Fun wfun 6493  ⟶wf 6495  –1-1-onto→wf1o 6498  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367   ↑_m cmap 8773  Fincfn 8893   finSupp cfsupp 9274  0cc0 11038  1c1 11039  𝟭cind 12159  ℕ₀cn0 12437  ℤcz 12524  Ccbc 14264  ♯chash 14292  Basecbs 17179  0_gc0g 17402  Ringcrg 20214   RingHom crh 20449  ℤ_ringczring 21426  ℤRHomczrh 21479   mPwSer cmps 21884   mPoly cmpl 21886  eSymPolycesply 33700

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-addf 11117  ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-oadd 8409  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-ind 12160  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-seq 13964  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mhm 18751  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-mulg 19044  df-subg 19099  df-ghm 19188  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-cring 20217  df-rhm 20452  df-subrng 20523  df-subrg 20547  df-cnfld 21353  df-zring 21427  df-zrh 21483  df-psr 21889  df-mpl 21891  df-esply 33702

This theorem is referenced by:  esplymhp  33712  esplysply  33715  esplyind  33719  esplyindfv  33720  esplyfvn  33721  vietalem  33723