Theorem esplympl 34118

Description: Elementary symmetric polynomials are polynomials. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
esplympl.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
esplympl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
esplympl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
esplympl.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
esplympl.1	⊢ 𝑀 = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
esplympl	⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) ∈ 𝑀)

Distinct variable group:   ℎ,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑅(ℎ)   𝐾(ℎ)   𝑀(ℎ)

Proof of Theorem esplympl

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6889	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
2		esplympl.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
3		ovex 7442	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
4	2, 3	rabex2 5302	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ V
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
6		esplympl.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
7		esplympl.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8		esplympl.k	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
9	2, 6, 7, 8	esplyfval 34114	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) = ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))))
10	9	eqcomd 2766	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))) = ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾))
11		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
12	11	zrhrhm 21764	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
13		zringbas 21706	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
14		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
15	13, 14	rhmf 20662	. . . . . . 7 ⊢ ((ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
16	7, 12, 15	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
17	2, 6, 7, 8	esplylem 34117	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ⊆ 𝐷)
18		indf 12281	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ⊆ 𝐷) → ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})):𝐷⟶{0, 1})
19	5, 17, 18	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})):𝐷⟶{0, 1})
20		0zd 12660	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
21		1zzd 12682	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
22	20, 21	prssd 4783	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {0, 1} ⊆ ℤ)
23	19, 22	fssd 6716	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})):𝐷⟶ℤ)
24	16, 23	fcod 6724	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))):𝐷⟶(Base‘𝑅))
25	10, 24	feq1dd 6681	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾):𝐷⟶(Base‘𝑅))
26	1, 5, 25	elmapdd 8840	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷))
27		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
28	2	psrbasfsupp 34062	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
29		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
30	27, 14, 28, 29, 6	psrbas 22189	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷))
31	26, 30	eleqtrrd 2863	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
32		fvexd 6889	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ V)
33		zex 12657	. . . . 5 ⊢ ℤ ∈ V
34	33	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℤ ∈ V)
35		indf1o 33350	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼–1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝐼))
36		f1of 6813	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼–1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝐼) → (𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼⟶({0, 1} ↑m 𝐼))
37	6, 35, 36	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼⟶({0, 1} ↑m 𝐼))
38	37	ffund 6703	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Fun (𝟭‘𝐼))
39	6	pwexd 5341	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝐼 ∈ V)
40		ssrab2 4028	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ⊆ 𝒫 𝐼
41	40	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ⊆ 𝒫 𝐼)
42	39, 41	ssexd 5286	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ∈ V)
43		hashcl 14453	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
44	6, 43	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
45	8	nn0zd 12673	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
46		bccl 14419	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐼) ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((♯‘𝐼)C𝐾) ∈ ℕ0)
47	44, 45, 46	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐼)C𝐾) ∈ ℕ0)
48		hashbc 14551	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((♯‘𝐼)C𝐾) = (♯‘{𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))
49	6, 45, 48	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐼)C𝐾) = (♯‘{𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))
50	49	eqcomd 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) = ((♯‘𝐼)C𝐾))
51		hashvnfin 14457	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ∈ V ∧ ((♯‘𝐼)C𝐾) ∈ ℕ0) → ((♯‘{𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) = ((♯‘𝐼)C𝐾) → {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ∈ Fin))
52	51	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ ((({𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ∈ V ∧ ((♯‘𝐼)C𝐾) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘{𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) = ((♯‘𝐼)C𝐾)) → {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ∈ Fin)
53	42, 47, 50, 52	syl21anc 851	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ∈ Fin)
54		imafi 9285	. . . . . 6 ⊢ ((Fun (𝟭‘𝐼) ∧ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ∈ Fin) → ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∈ Fin)
55	38, 53, 54	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∈ Fin)
56	5, 17, 55	indfsd 33354	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})) finSupp 0)
57		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
58	11, 57	zrh0 21766	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((ℤRHom‘𝑅)‘0) = (0g‘𝑅))
59	7, 58	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅)‘0) = (0g‘𝑅))
60	32, 20, 19, 16, 22, 5, 34, 56, 59	fsuppcor 9374	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))) finSupp (0g‘𝑅))
61	9, 60	eqbrtrd 5127	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) finSupp (0g‘𝑅))
62		eqid 2760	. . 3 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑅) = (𝐼 mPoly 𝑅)
63		esplympl.1	. . 3 ⊢ 𝑀 = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
64	62, 27, 29, 57, 63	mplelbas 22245	. 2 ⊢ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) ∈ 𝑀 ↔ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) finSupp (0g‘𝑅)))
65	31, 61, 64	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) ∈ 𝑀)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3412  Vcvv 3450   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4557  {cpr 4586   class class class wbr 5103   “ cima 5651   ∘ ccom 5652  Fun wfun 6522  ⟶wf 6524  –1-1-onto→wf1o 6527  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409   ↑_m cmap 8826  Fincfn 8952   finSupp cfsupp 9331  0cc0 11157  1c1 11158  𝟭cind 12275  ℕ₀cn0 12561  ℤcz 12648  Ccbc 14399  ♯chash 14427  Basecbs 17334  0_gc0g 17557  Ringcrg 20406   RingHom crh 20646  ℤ_ringczring 21699  ℤRHomczrh 21752   mPwSer cmps 22159   mPoly cmpl 22161  eSymPolycesply 34107

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234  ax-addf 11236  ax-mulf 11237

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7677  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-oadd 8459  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-div 11929  df-ind 12276  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-4 12362  df-5 12363  df-6 12364  df-7 12365  df-8 12366  df-9 12367  df-n0 12562  df-z 12649  df-dec 12770  df-uz 12921  df-rp 13076  df-fz 13595  df-seq 14099  df-fac 14371  df-bc 14400  df-hash 14428  df-struct 17272  df-sets 17289  df-slot 17307  df-ndx 17319  df-base 17335  df-ress 17356  df-plusg 17388  df-mulr 17389  df-starv 17390  df-sca 17391  df-vsca 17392  df-tset 17394  df-ple 17395  df-ds 17397  df-unif 17398  df-0g 17559  df-mgm 18763  df-sgrp 18855  df-mnd 18871  df-mhm 18925  df-grp 19094  df-minusg 19095  df-mulg 19225  df-subg 19280  df-ghm 19375  df-cmn 19943  df-abl 19944  df-mgp 20308  df-rng 20322  df-ur 20355  df-ring 20408  df-cring 20409  df-rhm 20649  df-subrng 20745  df-subrg 20769  df-cnfld 21626  df-zring 21700  df-zrh 21756  df-psr 22164  df-mpl 22166  df-esply 34109

This theorem is used by:  esplymhp  34119  esplysply  34122  esplyind  34126  esplyindfv  34127  esplyfvn  34128  vietalem  34130