Theorem esplympl 34199

Description: Elementary symmetric polynomials are polynomials. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
esplympl.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
esplympl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
esplympl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
esplympl.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
esplympl.1	⊢ 𝑀 = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
esplympl	⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) ∈ 𝑀)

Distinct variable group:   ℎ,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑅(ℎ)   𝐾(ℎ)   𝑀(ℎ)

Proof of Theorem esplympl

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6900	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
2		esplympl.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
3		ovex 7453	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
4	2, 3	rabex2 5301	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ V
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
6		esplympl.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
7		esplympl.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8		esplympl.k	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
9	2, 6, 7, 8	esplyfval 34195	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) = ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))))
10	9	eqcomd 2766	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))) = ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾))
11		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
12	11	zrhrhm 21817	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
13		zringbas 21759	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
14		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
15	13, 14	rhmf 20715	. . . . . . 7 ⊢ ((ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
16	7, 12, 15	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
17	2, 6, 7, 8	esplylem 34198	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ⊆ 𝐷)
18		indf 12326	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ⊆ 𝐷) → ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})):𝐷⟶{0, 1})
19	5, 17, 18	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})):𝐷⟶{0, 1})
20		0zd 12705	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
21		1zzd 12727	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
22	20, 21	prssd 4782	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {0, 1} ⊆ ℤ)
23	19, 22	fssd 6727	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})):𝐷⟶ℤ)
24	16, 23	fcod 6735	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))):𝐷⟶(Base‘𝑅))
25	10, 24	feq1dd 6692	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾):𝐷⟶(Base‘𝑅))
26	1, 5, 25	elmapdd 8861	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷))
27		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
28	2	psrbasfsupp 34143	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
29		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
30	27, 14, 28, 29, 6	psrbas 22242	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷))
31	26, 30	eleqtrrd 2863	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
32		fvexd 6900	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ V)
33		zex 12702	. . . . 5 ⊢ ℤ ∈ V
34	33	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℤ ∈ V)
35		indf1o 33431	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼–1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝐼))
36		f1of 6824	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼–1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝐼) → (𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼⟶({0, 1} ↑m 𝐼))
37	6, 35, 36	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼⟶({0, 1} ↑m 𝐼))
38	37	ffund 6714	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Fun (𝟭‘𝐼))
39	6	pwexd 5340	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝐼 ∈ V)
40		ssrab2 4005	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ⊆ 𝒫 𝐼
41	40	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ⊆ 𝒫 𝐼)
42	39, 41	ssexd 5285	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ∈ V)
43		hashcl 14500	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
44	6, 43	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
45	8	nn0zd 12718	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
46		bccl 14466	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐼) ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((♯‘𝐼)C𝐾) ∈ ℕ0)
47	44, 45, 46	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐼)C𝐾) ∈ ℕ0)
48		hashbc 14598	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((♯‘𝐼)C𝐾) = (♯‘{𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))
49	6, 45, 48	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐼)C𝐾) = (♯‘{𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))
50	49	eqcomd 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) = ((♯‘𝐼)C𝐾))
51		hashvnfin 14504	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ∈ V ∧ ((♯‘𝐼)C𝐾) ∈ ℕ0) → ((♯‘{𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) = ((♯‘𝐼)C𝐾) → {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ∈ Fin))
52	51	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ ((({𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ∈ V ∧ ((♯‘𝐼)C𝐾) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘{𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) = ((♯‘𝐼)C𝐾)) → {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ∈ Fin)
53	42, 47, 50, 52	syl21anc 851	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ∈ Fin)
54		imafi 9307	. . . . . 6 ⊢ ((Fun (𝟭‘𝐼) ∧ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ∈ Fin) → ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∈ Fin)
55	38, 53, 54	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∈ Fin)
56	5, 17, 55	indfsd 33435	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})) finSupp 0)
57		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
58	11, 57	zrh0 21819	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((ℤRHom‘𝑅)‘0) = (0g‘𝑅))
59	7, 58	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅)‘0) = (0g‘𝑅))
60	32, 20, 19, 16, 22, 5, 34, 56, 59	fsuppcor 9396	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))) finSupp (0g‘𝑅))
61	9, 60	eqbrtrd 5126	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) finSupp (0g‘𝑅))
62		eqid 2760	. . 3 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑅) = (𝐼 mPoly 𝑅)
63		esplympl.1	. . 3 ⊢ 𝑀 = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
64	62, 27, 29, 57, 63	mplelbas 22298	. 2 ⊢ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) ∈ 𝑀 ↔ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) finSupp (0g‘𝑅)))
65	31, 61, 64	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) ∈ 𝑀)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {crab 3412  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895  𝒫 cpw 4556  {cpr 4585   class class class wbr 5102   “ cima 5653   ∘ ccom 5654  Fun wfun 6532  ⟶wf 6534  –1-1-onto→wf1o 6537  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ↑_m cmap 8847  Fincfn 8973   finSupp cfsupp 9353  0cc0 11200  1c1 11201  𝟭cind 12320  ℕ₀cn0 12606  ℤcz 12693  Ccbc 14446  ♯chash 14474  Basecbs 17387  0_gc0g 17610  Ringcrg 20459   RingHom crh 20699  ℤ_ringczring 21752  ℤRHomczrh 21805   mPwSer cmps 22212   mPoly cmpl 22214  eSymPolycesply 34188

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-addf 11279  ax-mulf 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-oadd 8480  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-dju 9982  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-ind 12321  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-rp 13121  df-fz 13640  df-seq 14145  df-fac 14418  df-bc 14447  df-hash 14475  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mhm 18978  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-mulg 19278  df-subg 19333  df-ghm 19428  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-cring 20462  df-rhm 20702  df-subrng 20798  df-subrg 20822  df-cnfld 21679  df-zring 21753  df-zrh 21809  df-psr 22217  df-mpl 22219  df-esply 34190

This theorem is used by:  esplymhp  34200  esplysply  34203  esplyind  34207  esplyindfv  34208  esplyfvn  34209  vietalem  34211