Theorem esplympl 33763

Description: Elementary symmetric polynomials are polynomials. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
esplympl.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
esplympl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
esplympl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
esplympl.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
esplympl.1	⊢ 𝑀 = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
esplympl	⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) ∈ 𝑀)

Distinct variable group:   ℎ,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑅(ℎ)   𝐾(ℎ)   𝑀(ℎ)

Proof of Theorem esplympl

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6846	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
2		esplympl.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
3		ovex 7393	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
4	2, 3	rabex2 5272	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ V
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
6		esplympl.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
7		esplympl.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8		esplympl.k	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
9	2, 6, 7, 8	esplyfval 33759	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) = ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))))
10	9	eqcomd 2747	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))) = ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾))
11		eqid 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
12	11	zrhrhm 21490	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
13		zringbas 21432	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
14		eqid 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
15	13, 14	rhmf 20459	. . . . . . 7 ⊢ ((ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
16	7, 12, 15	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
17	2, 6, 7, 8	esplylem 33762	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ⊆ 𝐷)
18		indf 12160	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ⊆ 𝐷) → ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})):𝐷⟶{0, 1})
19	5, 17, 18	syl2anc 591	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})):𝐷⟶{0, 1})
20		0zd 12531	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
21		1zzd 12553	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
22	20, 21	prssd 4756	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {0, 1} ⊆ ℤ)
23	19, 22	fssd 6676	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})):𝐷⟶ℤ)
24	16, 23	fcod 6684	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))):𝐷⟶(Base‘𝑅))
25	10, 24	feq1dd 6642	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾):𝐷⟶(Base‘𝑅))
26	1, 5, 25	elmapdd 8782	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷))
27		eqid 2741	. . . 4 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
28	2	psrbasfsupp 33707	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
29		eqid 2741	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
30	27, 14, 28, 29, 6	psrbas 21913	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷))
31	26, 30	eleqtrrd 2844	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
32		fvexd 6846	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ V)
33		zex 12528	. . . . 5 ⊢ ℤ ∈ V
34	33	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℤ ∈ V)
35		indf1o 32947	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼–1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝐼))
36		f1of 6771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼–1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝐼) → (𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼⟶({0, 1} ↑m 𝐼))
37	6, 35, 36	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼⟶({0, 1} ↑m 𝐼))
38	37	ffund 6663	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Fun (𝟭‘𝐼))
39	6	pwexd 5311	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝐼 ∈ V)
40		ssrab2 4014	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ⊆ 𝒫 𝐼
41	40	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ⊆ 𝒫 𝐼)
42	39, 41	ssexd 5255	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ∈ V)
43		hashcl 14313	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
44	6, 43	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
45	8	nn0zd 12544	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
46		bccl 14279	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐼) ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((♯‘𝐼)C𝐾) ∈ ℕ0)
47	44, 45, 46	syl2anc 591	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐼)C𝐾) ∈ ℕ0)
48		hashbc 14410	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((♯‘𝐼)C𝐾) = (♯‘{𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))
49	6, 45, 48	syl2anc 591	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐼)C𝐾) = (♯‘{𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))
50	49	eqcomd 2747	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) = ((♯‘𝐼)C𝐾))
51		hashvnfin 14317	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ∈ V ∧ ((♯‘𝐼)C𝐾) ∈ ℕ0) → ((♯‘{𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) = ((♯‘𝐼)C𝐾) → {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ∈ Fin))
52	51	imp 408	. . . . . . 7 ⊢ ((({𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ∈ V ∧ ((♯‘𝐼)C𝐾) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘{𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) = ((♯‘𝐼)C𝐾)) → {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ∈ Fin)
53	42, 47, 50, 52	syl21anc 844	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ∈ Fin)
54		imafi 9219	. . . . . 6 ⊢ ((Fun (𝟭‘𝐼) ∧ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ∈ Fin) → ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∈ Fin)
55	38, 53, 54	syl2anc 591	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∈ Fin)
56	5, 17, 55	indfsd 32951	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})) finSupp 0)
57		eqid 2741	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
58	11, 57	zrh0 21492	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((ℤRHom‘𝑅)‘0) = (0g‘𝑅))
59	7, 58	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅)‘0) = (0g‘𝑅))
60	32, 20, 19, 16, 22, 5, 34, 56, 59	fsuppcor 9311	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))) finSupp (0g‘𝑅))
61	9, 60	eqbrtrd 5097	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) finSupp (0g‘𝑅))
62		eqid 2741	. . 3 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑅) = (𝐼 mPoly 𝑅)
63		esplympl.1	. . 3 ⊢ 𝑀 = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
64	62, 27, 29, 57, 63	mplelbas 21969	. 2 ⊢ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) ∈ 𝑀 ↔ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) finSupp (0g‘𝑅)))
65	31, 61, 64	sylanbrc 590	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) ∈ 𝑀)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  {crab 3393  Vcvv 3433   ⊆ wss 3885  𝒫 cpw 4532  {cpr 4560   class class class wbr 5075   “ cima 5624   ∘ ccom 5625  Fun wfun 6483  ⟶wf 6485  –1-1-onto→wf1o 6488  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360   ↑_m cmap 8767  Fincfn 8887   finSupp cfsupp 9268  0cc0 11033  1c1 11034  𝟭cind 12154  ℕ₀cn0 12432  ℤcz 12519  Ccbc 14259  ♯chash 14287  Basecbs 17174  0_gc0g 17397  Ringcrg 20209   RingHom crh 20444  ℤ_ringczring 21425  ℤRHomczrh 21478   mPwSer cmps 21883   mPoly cmpl 21885  eSymPolycesply 33752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-addf 11112  ax-mulf 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-oadd 8403  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-dju 9820  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-ind 12155  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-rp 12938  df-fz 13457  df-seq 13959  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-starv 17230  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-unif 17238  df-0g 17399  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18746  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-mulg 19039  df-subg 19094  df-ghm 19183  df-cmn 19752  df-abl 19753  df-mgp 20117  df-rng 20129  df-ur 20158  df-ring 20211  df-cring 20212  df-rhm 20447  df-subrng 20522  df-subrg 20546  df-cnfld 21352  df-zring 21426  df-zrh 21482  df-psr 21888  df-mpl 21890  df-esply 33754

This theorem is referenced by:  esplymhp  33764  esplysply  33767  esplyind  33771  esplyindfv  33772  esplyfvn  33773  vietalem  33775