Theorem indsupp 32797

Description: The support of the indicator function. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
indsupp	⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) supp 0) = 𝐴)

Proof of Theorem indsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → 𝑂 ∈ 𝑉)
2		c0ex 11237	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → 0 ∈ V)
4		indf 32785	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1})
5		fsuppeq 8182	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ V) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1} → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) supp 0) = (◡((𝟭‘𝑂)‘𝐴) “ ({0, 1} ∖ {0}))))
6	5	imp 406	. . 3 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ V) ∧ ((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1}) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) supp 0) = (◡((𝟭‘𝑂)‘𝐴) “ ({0, 1} ∖ {0})))
7	1, 3, 4, 6	syl21anc 837	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) supp 0) = (◡((𝟭‘𝑂)‘𝐴) “ ({0, 1} ∖ {0})))
8		prcom 4712	. . . . . 6 ⊢ {0, 1} = {1, 0}
9	8	difeq1i 4102	. . . . 5 ⊢ ({0, 1} ∖ {0}) = ({1, 0} ∖ {0})
10		ax-1ne0 11206	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 0
11		difprsn2 4781	. . . . . 6 ⊢ (1 ≠ 0 → ({1, 0} ∖ {0}) = {1})
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ({1, 0} ∖ {0}) = {1}
13	9, 12	eqtri 2757	. . . 4 ⊢ ({0, 1} ∖ {0}) = {1}
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ({0, 1} ∖ {0}) = {1})
15	14	imaeq2d 6058	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → (◡((𝟭‘𝑂)‘𝐴) “ ({0, 1} ∖ {0})) = (◡((𝟭‘𝑂)‘𝐴) “ {1}))
16		indpi1 32790	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → (◡((𝟭‘𝑂)‘𝐴) “ {1}) = 𝐴)
17	7, 15, 16	3eqtrd 2773	1 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) supp 0) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  Vcvv 3463   ∖ cdif 3928   ⊆ wss 3931  {csn 4606  {cpr 4608  ^◡ccnv 5664   “ cima 5668  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413   supp csupp 8167  0cc0 11137  1c1 11138  𝟭cind 32780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-id 5558  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-supp 8168  df-ind 32781

This theorem is referenced by:  elrgspnsubrunlem1  33195