Theorem indsupp 32960

Description: The support of the indicator function. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
indsupp	⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) supp 0) = 𝐴)

Proof of Theorem indsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → 𝑂 ∈ 𝑉)
2		c0ex 11138	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → 0 ∈ V)
4		indf 32945	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1})
5		fsuppeq 8127	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ V) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1} → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) supp 0) = (◡((𝟭‘𝑂)‘𝐴) “ ({0, 1} ∖ {0}))))
6	5	imp 406	. . 3 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ V) ∧ ((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1}) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) supp 0) = (◡((𝟭‘𝑂)‘𝐴) “ ({0, 1} ∖ {0})))
7	1, 3, 4, 6	syl21anc 838	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) supp 0) = (◡((𝟭‘𝑂)‘𝐴) “ ({0, 1} ∖ {0})))
8		prcom 4691	. . . . . 6 ⊢ {0, 1} = {1, 0}
9	8	difeq1i 4076	. . . . 5 ⊢ ({0, 1} ∖ {0}) = ({1, 0} ∖ {0})
10		ax-1ne0 11107	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 0
11		difprsn2 4759	. . . . . 6 ⊢ (1 ≠ 0 → ({1, 0} ∖ {0}) = {1})
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ({1, 0} ∖ {0}) = {1}
13	9, 12	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ ({0, 1} ∖ {0}) = {1}
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ({0, 1} ∖ {0}) = {1})
15	14	imaeq2d 6027	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → (◡((𝟭‘𝑂)‘𝐴) “ ({0, 1} ∖ {0})) = (◡((𝟭‘𝑂)‘𝐴) “ {1}))
16		indpi1 32952	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → (◡((𝟭‘𝑂)‘𝐴) “ {1}) = 𝐴)
17	7, 15, 16	3eqtrd 2776	1 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) supp 0) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3442   ∖ cdif 3900   ⊆ wss 3903  {csn 4582  {cpr 4584  ^◡ccnv 5631   “ cima 5635  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   supp csupp 8112  0cc0 11038  1c1 11039  𝟭cind 32940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-supp 8113  df-ind 32941

This theorem is referenced by:  indfsd  32961  elrgspnsubrunlem1  33341  gsumind  33438  mplmulmvr  33716  esplymhp  33745  esplyfv1  33746  esplyfval1  33750