Theorem indsupp 32946

Description: The support of the indicator function. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
indsupp	⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) supp 0) = 𝐴)

Proof of Theorem indsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 483	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → 𝑂 ∈ 𝑉)
2		c0ex 11129	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → 0 ∈ V)
4		indf 12156	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1})
5		fsuppeq 8115	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ V) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1} → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) supp 0) = (◡((𝟭‘𝑂)‘𝐴) “ ({0, 1} ∖ {0}))))
6	5	imp 407	. . 3 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ V) ∧ ((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1}) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) supp 0) = (◡((𝟭‘𝑂)‘𝐴) “ ({0, 1} ∖ {0})))
7	1, 3, 4, 6	syl21anc 843	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) supp 0) = (◡((𝟭‘𝑂)‘𝐴) “ ({0, 1} ∖ {0})))
8		prcom 4664	. . . . . 6 ⊢ {0, 1} = {1, 0}
9	8	difeq1i 4053	. . . . 5 ⊢ ({0, 1} ∖ {0}) = ({1, 0} ∖ {0})
10		ax-1ne0 11098	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 0
11		difprsn2 4734	. . . . . 6 ⊢ (1 ≠ 0 → ({1, 0} ∖ {0}) = {1})
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ({1, 0} ∖ {0}) = {1}
13	9, 12	eqtri 2762	. . . 4 ⊢ ({0, 1} ∖ {0}) = {1}
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ({0, 1} ∖ {0}) = {1})
15	14	imaeq2d 6012	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → (◡((𝟭‘𝑂)‘𝐴) “ ({0, 1} ∖ {0})) = (◡((𝟭‘𝑂)‘𝐴) “ {1}))
16		indpi1 12164	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → (◡((𝟭‘𝑂)‘𝐴) “ {1}) = 𝐴)
17	7, 15, 16	3eqtrd 2778	1 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) supp 0) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  Vcvv 3431   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  {csn 4555  {cpr 4557  ^◡ccnv 5617   “ cima 5621  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   supp csupp 8100  0cc0 11029  1c1 11030  𝟭cind 12150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-supp 8101  df-ind 12151

This theorem is referenced by:  indfsd  32947  elrgspnsubrunlem1  33328  gsumind  33428  mplmulmvr  33723  esplymhp  33752  esplyfv1  33753  esplyfval1  33757