Theorem indsupp 33313

Description: The support of the indicator function. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
indsupp	⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) supp 0) = 𝐴)

Proof of Theorem indsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → 𝑂 ∈ 𝑉)
2		c0ex 11224	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → 0 ∈ V)
4		indf 12248	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1})
5		fsuppeq 8173	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ V) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1} → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) supp 0) = (◡((𝟭‘𝑂)‘𝐴) “ ({0, 1} ∖ {0}))))
6	5	imp 412	. . 3 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ V) ∧ ((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1}) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) supp 0) = (◡((𝟭‘𝑂)‘𝐴) “ ({0, 1} ∖ {0})))
7	1, 3, 4, 6	syl21anc 851	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) supp 0) = (◡((𝟭‘𝑂)‘𝐴) “ ({0, 1} ∖ {0})))
8		prcom 4693	. . . . . 6 ⊢ {0, 1} = {1, 0}
9	8	difeq1i 4070	. . . . 5 ⊢ ({0, 1} ∖ {0}) = ({1, 0} ∖ {0})
10		ax-1ne0 11193	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 0
11		difprsn2 4764	. . . . . 6 ⊢ (1 ≠ 0 → ({1, 0} ∖ {0}) = {1})
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ({1, 0} ∖ {0}) = {1}
13	9, 12	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ ({0, 1} ∖ {0}) = {1}
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ({0, 1} ∖ {0}) = {1})
15	14	imaeq2d 6056	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → (◡((𝟭‘𝑂)‘𝐴) “ ({0, 1} ∖ {0})) = (◡((𝟭‘𝑂)‘𝐴) “ {1}))
16		indpi1 12256	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → (◡((𝟭‘𝑂)‘𝐴) “ {1}) = 𝐴)
17	7, 15, 16	3eqtrd 2799	1 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) supp 0) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  Vcvv 3450   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  {csn 4584  {cpr 4586  ^◡ccnv 5654   “ cima 5658  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413   supp csupp 8158  0cc0 11124  1c1 11125  𝟭cind 12242

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-supp 8159  df-ind 12243

This theorem is used by:  indfsd  33314  elrgspnsubrunlem1  33687  gsumind  33785  mplmulmvr  34049  esplymhp  34078  esplyfv1  34079  esplyfval1  34083