Theorem indsupp 32839

Description: The support of the indicator function. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
indsupp	⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) supp 0) = 𝐴)

Proof of Theorem indsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → 𝑂 ∈ 𝑉)
2		c0ex 11251	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → 0 ∈ V)
4		indf 32827	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1})
5		fsuppeq 8196	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ V) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1} → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) supp 0) = (◡((𝟭‘𝑂)‘𝐴) “ ({0, 1} ∖ {0}))))
6	5	imp 406	. . 3 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ V) ∧ ((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1}) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) supp 0) = (◡((𝟭‘𝑂)‘𝐴) “ ({0, 1} ∖ {0})))
7	1, 3, 4, 6	syl21anc 838	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) supp 0) = (◡((𝟭‘𝑂)‘𝐴) “ ({0, 1} ∖ {0})))
8		prcom 4730	. . . . . 6 ⊢ {0, 1} = {1, 0}
9	8	difeq1i 4121	. . . . 5 ⊢ ({0, 1} ∖ {0}) = ({1, 0} ∖ {0})
10		ax-1ne0 11220	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 0
11		difprsn2 4799	. . . . . 6 ⊢ (1 ≠ 0 → ({1, 0} ∖ {0}) = {1})
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ({1, 0} ∖ {0}) = {1}
13	9, 12	eqtri 2764	. . . 4 ⊢ ({0, 1} ∖ {0}) = {1}
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ({0, 1} ∖ {0}) = {1})
15	14	imaeq2d 6076	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → (◡((𝟭‘𝑂)‘𝐴) “ ({0, 1} ∖ {0})) = (◡((𝟭‘𝑂)‘𝐴) “ {1}))
16		indpi1 32832	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → (◡((𝟭‘𝑂)‘𝐴) “ {1}) = 𝐴)
17	7, 15, 16	3eqtrd 2780	1 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) supp 0) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2939  Vcvv 3479   ∖ cdif 3947   ⊆ wss 3950  {csn 4624  {cpr 4626  ^◡ccnv 5682   “ cima 5686  ⟶wf 6555  ‘cfv 6559  (class class class)co 7429   supp csupp 8181  0cc0 11151  1c1 11152  𝟭cind 32822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5277  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751  ax-1cn 11209  ax-icn 11210  ax-addcl 11211  ax-addrcl 11212  ax-mulcl 11213  ax-mulrcl 11214  ax-i2m1 11219  ax-1ne0 11220  ax-rnegex 11222  ax-rrecex 11223  ax-cnre 11224

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4906  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-id 5576  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-ov 7432  df-oprab 7433  df-mpo 7434  df-supp 8182  df-ind 32823

This theorem is referenced by:  elrgspnsubrunlem1  33239