Theorem gsumind 33278

Description: The group sum of an indicator function of the set 𝐴 gives the size of 𝐴. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumind.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
gsumind.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑂)
gsumind.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
gsumind	⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝟭‘𝑂)‘𝐴)) = (♯‘𝐴))

Proof of Theorem gsumind

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumind.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
2		gsumind.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑂)
3		indval2 32790	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) = ((𝐴 × {1}) ∪ ((𝑂 ∖ 𝐴) × {0})))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) = ((𝐴 × {1}) ∪ ((𝑂 ∖ 𝐴) × {0})))
5	4	reseq1d 5923	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) ↾ 𝐴) = (((𝐴 × {1}) ∪ ((𝑂 ∖ 𝐴) × {0})) ↾ 𝐴))
6		1ex 11099	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ V
7	6	fconst 6704	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 × {1}):𝐴⟶{1}
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {1}):𝐴⟶{1})
9	8	ffnd 6647	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {1}) Fn 𝐴)
10		c0ex 11097	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
11	10	fconst 6704	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑂 ∖ 𝐴) × {0}):(𝑂 ∖ 𝐴)⟶{0}
12	11	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 ∖ 𝐴) × {0}):(𝑂 ∖ 𝐴)⟶{0})
13	12	ffnd 6647	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 ∖ 𝐴) × {0}) Fn (𝑂 ∖ 𝐴))
14		disjdif 4419	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝐴)) = ∅
15	14	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝐴)) = ∅)
16		fnunres1 6588	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 × {1}) Fn 𝐴 ∧ ((𝑂 ∖ 𝐴) × {0}) Fn (𝑂 ∖ 𝐴) ∧ (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝐴)) = ∅) → (((𝐴 × {1}) ∪ ((𝑂 ∖ 𝐴) × {0})) ↾ 𝐴) = (𝐴 × {1}))
17	9, 13, 15, 16	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 × {1}) ∪ ((𝑂 ∖ 𝐴) × {0})) ↾ 𝐴) = (𝐴 × {1}))
18		fconstmpt 5675	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 × {1}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 1)
19	18	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {1}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 1))
20	5, 17, 19	3eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 1))
21	20	oveq2d 7356	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) ↾ 𝐴)) = (ℂfld Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 1)))
22		cnfldbas 21249	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
23		cnfld0 21283	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
24		cnfldfld 33275	. . . . . . . 8 ⊢ ℂfld ∈ Field
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ Field)
26	25	fldcrngd 20611	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ CRing)
27	26	crngringd 20118	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ Ring)
28	27	ringcmnd 20156	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ CMnd)
29		indf 32791	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1})
30	1, 2, 29	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1})
31		0cnd 11096	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
32		1cnd 11098	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
33	31, 32	prssd 4771	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {0, 1} ⊆ ℂ)
34	30, 33	fssd 6663	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶ℂ)
35		indsupp 32803	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) supp 0) = 𝐴)
36	1, 2, 35	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) supp 0) = 𝐴)
37	36	eqimssd 3988	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) supp 0) ⊆ 𝐴)
38		gsumind.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
39	1, 2, 38	indfsd 32804	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) finSupp 0)
40	22, 23, 28, 1, 34, 37, 39	gsumres 19779	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) ↾ 𝐴)) = (ℂfld Σg ((𝟭‘𝑂)‘𝐴)))
41	26	crnggrpd 20119	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ Grp)
42	41	grpmndd 18812	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ Mnd)
43		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (.g‘ℂfld) = (.g‘ℂfld)
44	22, 43	gsumconst 19800	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → (ℂfld Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 1)) = ((♯‘𝐴)(.g‘ℂfld)1))
45	42, 38, 32, 44	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 1)) = ((♯‘𝐴)(.g‘ℂfld)1))
46	21, 40, 45	3eqtr3d 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝟭‘𝑂)‘𝐴)) = ((♯‘𝐴)(.g‘ℂfld)1))
47		hashcl 14251	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
48	38, 47	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
49	48	nn0zd 12485	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
50		cnfldmulg 21294	. . 3 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((♯‘𝐴)(.g‘ℂfld)1) = ((♯‘𝐴) · 1))
51	49, 32, 50	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴)(.g‘ℂfld)1) = ((♯‘𝐴) · 1))
52	48	nn0cnd 12435	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
53	52	mulridd 11120	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) · 1) = (♯‘𝐴))
54	46, 51, 53	3eqtrd 2768	1 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝟭‘𝑂)‘𝐴)) = (♯‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4280  {csn 4573  {cpr 4575   ↦ cmpt 5169   × cxp 5611   ↾ cres 5615   Fn wfn 6471  ⟶wf 6472  ‘cfv 6476  (class class class)co 7340   supp csupp 8084  Fincfn 8863  ℂcc 10995  0cc0 10997  1c1 10998   · cmul 11002  ℕ₀cn0 12372  ℤcz 12459  ♯chash 14225   Σ_g cgsu 17331  Mndcmnd 18595  ._gcmg 18933  Fieldcfield 20599  ℂ_fldccnfld 21245  𝟭cind 32786

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5214  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-cnex 11053  ax-resscn 11054  ax-1cn 11055  ax-icn 11056  ax-addcl 11057  ax-addrcl 11058  ax-mulcl 11059  ax-mulrcl 11060  ax-mulcom 11061  ax-addass 11062  ax-mulass 11063  ax-distr 11064  ax-i2m1 11065  ax-1ne0 11066  ax-1rid 11067  ax-rnegex 11068  ax-rrecex 11069  ax-cnre 11070  ax-pre-lttri 11071  ax-pre-lttrn 11072  ax-pre-ltadd 11073  ax-pre-mulgt0 11074  ax-addf 11076

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4895  df-iun 4940  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-tr 5196  df-id 5508  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5566  df-se 5567  df-we 5568  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7297  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-om 7791  df-1st 7915  df-2nd 7916  df-supp 8085  df-tpos 8150  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8285  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-er 8616  df-en 8864  df-dom 8865  df-sdom 8866  df-fin 8867  df-fsupp 9240  df-oi 9390  df-card 9823  df-pnf 11139  df-mnf 11140  df-xr 11141  df-ltxr 11142  df-le 11143  df-sub 11337  df-neg 11338  df-div 11766  df-nn 12117  df-2 12179  df-3 12180  df-4 12181  df-5 12182  df-6 12183  df-7 12184  df-8 12185  df-9 12186  df-n0 12373  df-z 12460  df-dec 12580  df-uz 12724  df-fz 13399  df-fzo 13546  df-seq 13897  df-hash 14226  df-struct 17045  df-sets 17062  df-slot 17080  df-ndx 17092  df-base 17108  df-ress 17129  df-plusg 17161  df-mulr 17162  df-starv 17163  df-tset 17167  df-ple 17168  df-ds 17170  df-unif 17171  df-0g 17332  df-gsum 17333  df-mgm 18501  df-sgrp 18580  df-mnd 18596  df-grp 18802  df-minusg 18803  df-mulg 18934  df-cntz 19183  df-cmn 19648  df-abl 19649  df-mgp 20013  df-rng 20025  df-ur 20054  df-ring 20107  df-cring 20108  df-oppr 20209  df-dvdsr 20229  df-unit 20230  df-invr 20260  df-dvr 20273  df-drng 20600  df-field 20601  df-cnfld 21246  df-ind 32787

This theorem is referenced by:  esplymhp  33557