Theorem gsumind 33405

Description: The group sum of an indicator function of the set 𝐴 gives the size of 𝐴. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumind.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
gsumind.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑂)
gsumind.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
gsumind	⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝟭‘𝑂)‘𝐴)) = (♯‘𝐴))

Proof of Theorem gsumind

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumind.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
2		gsumind.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑂)
3		indval2 12164	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) = ((𝐴 × {1}) ∪ ((𝑂 ∖ 𝐴) × {0})))
4	1, 2, 3	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) = ((𝐴 × {1}) ∪ ((𝑂 ∖ 𝐴) × {0})))
5	4	reseq1d 5944	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) ↾ 𝐴) = (((𝐴 × {1}) ∪ ((𝑂 ∖ 𝐴) × {0})) ↾ 𝐴))
6		1ex 11140	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ V
7	6	fconst 6727	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 × {1}):𝐴⟶{1}
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {1}):𝐴⟶{1})
9	8	ffnd 6670	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {1}) Fn 𝐴)
10		c0ex 11138	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
11	10	fconst 6727	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑂 ∖ 𝐴) × {0}):(𝑂 ∖ 𝐴)⟶{0}
12	11	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 ∖ 𝐴) × {0}):(𝑂 ∖ 𝐴)⟶{0})
13	12	ffnd 6670	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 ∖ 𝐴) × {0}) Fn (𝑂 ∖ 𝐴))
14		disjdif 4413	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝐴)) = ∅
15	14	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝐴)) = ∅)
16		fnunres1 6611	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 × {1}) Fn 𝐴 ∧ ((𝑂 ∖ 𝐴) × {0}) Fn (𝑂 ∖ 𝐴) ∧ (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝐴)) = ∅) → (((𝐴 × {1}) ∪ ((𝑂 ∖ 𝐴) × {0})) ↾ 𝐴) = (𝐴 × {1}))
17	9, 13, 15, 16	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 × {1}) ∪ ((𝑂 ∖ 𝐴) × {0})) ↾ 𝐴) = (𝐴 × {1}))
18		fconstmpt 5693	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 × {1}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 1)
19	18	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {1}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 1))
20	5, 17, 19	3eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 1))
21	20	oveq2d 7383	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) ↾ 𝐴)) = (ℂfld Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 1)))
22		cnfldbas 21356	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
23		cnfld0 21376	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
24		cnfldfld 33402	. . . . . . . 8 ⊢ ℂfld ∈ Field
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ Field)
26	25	fldcrngd 20719	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ CRing)
27	26	crngringd 20227	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ Ring)
28	27	ringcmnd 20265	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ CMnd)
29		indf 12165	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1})
30	1, 2, 29	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1})
31		0cnd 11137	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
32		1cnd 11139	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
33	31, 32	prssd 4766	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {0, 1} ⊆ ℂ)
34	30, 33	fssd 6686	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶ℂ)
35		indsupp 32927	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) supp 0) = 𝐴)
36	1, 2, 35	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) supp 0) = 𝐴)
37	36	eqimssd 3979	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) supp 0) ⊆ 𝐴)
38		gsumind.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
39	1, 2, 38	indfsd 32928	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) finSupp 0)
40	22, 23, 28, 1, 34, 37, 39	gsumres 19888	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) ↾ 𝐴)) = (ℂfld Σg ((𝟭‘𝑂)‘𝐴)))
41	26	crnggrpd 20228	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ Grp)
42	41	grpmndd 18922	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ Mnd)
43		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (.g‘ℂfld) = (.g‘ℂfld)
44	22, 43	gsumconst 19909	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → (ℂfld Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 1)) = ((♯‘𝐴)(.g‘ℂfld)1))
45	42, 38, 32, 44	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 1)) = ((♯‘𝐴)(.g‘ℂfld)1))
46	21, 40, 45	3eqtr3d 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝟭‘𝑂)‘𝐴)) = ((♯‘𝐴)(.g‘ℂfld)1))
47		hashcl 14318	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
48	38, 47	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
49	48	nn0zd 12549	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
50		cnfldmulg 21384	. . 3 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((♯‘𝐴)(.g‘ℂfld)1) = ((♯‘𝐴) · 1))
51	49, 32, 50	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴)(.g‘ℂfld)1) = ((♯‘𝐴) · 1))
52	48	nn0cnd 12500	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
53	52	mulridd 11162	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) · 1) = (♯‘𝐴))
54	46, 51, 53	3eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝟭‘𝑂)‘𝐴)) = (♯‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3887   ∪ cun 3888   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  {csn 4568  {cpr 4570   ↦ cmpt 5167   × cxp 5629   ↾ cres 5633   Fn wfn 6494  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367   supp csupp 8110  Fincfn 8893  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   · cmul 11043  𝟭cind 12159  ℕ₀cn0 12437  ℤcz 12524  ♯chash 14292   Σ_g cgsu 17403  Mndcmnd 18702  ._gcmg 19043  Fieldcfield 20707  ℂ_fldccnfld 21352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-ind 12160  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-hash 14293  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-mulg 19044  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-cring 20217  df-oppr 20317  df-dvdsr 20337  df-unit 20338  df-invr 20368  df-dvr 20381  df-drng 20708  df-field 20709  df-cnfld 21353

This theorem is referenced by:  esplymhp  33712