Theorem gsumind 33772

Description: The group sum of an indicator function of the set 𝐴 gives the size of 𝐴. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumind.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
gsumind.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑂)
gsumind.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
gsumind	⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝟭‘𝑂)‘𝐴)) = (♯‘𝐴))

Proof of Theorem gsumind

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumind.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
2		gsumind.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑂)
3		indval2 12250	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) = ((𝐴 × {1}) ∪ ((𝑂 ∖ 𝐴) × {0})))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) = ((𝐴 × {1}) ∪ ((𝑂 ∖ 𝐴) × {0})))
5	4	reseq1d 5975	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) ↾ 𝐴) = (((𝐴 × {1}) ∪ ((𝑂 ∖ 𝐴) × {0})) ↾ 𝐴))
6		1ex 11230	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ V
7	6	fconst 6765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 × {1}):𝐴⟶{1}
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {1}):𝐴⟶{1})
9	8	ffnd 6707	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {1}) Fn 𝐴)
10		c0ex 11227	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
11	10	fconst 6765	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑂 ∖ 𝐴) × {0}):(𝑂 ∖ 𝐴)⟶{0}
12	11	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 ∖ 𝐴) × {0}):(𝑂 ∖ 𝐴)⟶{0})
13	12	ffnd 6707	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 ∖ 𝐴) × {0}) Fn (𝑂 ∖ 𝐴))
14		disjdif 4429	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝐴)) = ∅
15	14	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝐴)) = ∅)
16		fnunres1 6648	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 × {1}) Fn 𝐴 ∧ ((𝑂 ∖ 𝐴) × {0}) Fn (𝑂 ∖ 𝐴) ∧ (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝐴)) = ∅) → (((𝐴 × {1}) ∪ ((𝑂 ∖ 𝐴) × {0})) ↾ 𝐴) = (𝐴 × {1}))
17	9, 13, 15, 16	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 × {1}) ∪ ((𝑂 ∖ 𝐴) × {0})) ↾ 𝐴) = (𝐴 × {1}))
18		fconstmpt 5721	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 × {1}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 1)
19	18	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {1}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 1))
20	5, 17, 19	3eqtrd 2801	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 1))
21	20	oveq2d 7432	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) ↾ 𝐴)) = (ℂfld Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 1)))
22		cnfldbas 21590	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
23		cnfld0 21610	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
24		cnfldfld 33769	. . . . . . . 8 ⊢ ℂfld ∈ Field
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ Field)
26	25	fldcrngd 20906	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ CRing)
27	26	crngringd 20386	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ Ring)
28	27	ringcmnd 20426	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ CMnd)
29		indf 12251	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1})
30	1, 2, 29	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1})
31		0cnd 11226	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
32		1cnd 11229	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
33	31, 32	prssd 4786	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {0, 1} ⊆ ℂ)
34	30, 33	fssd 6724	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶ℂ)
35		indsupp 33300	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) supp 0) = 𝐴)
36	1, 2, 35	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) supp 0) = 𝐴)
37	36	eqimssd 3990	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) supp 0) ⊆ 𝐴)
38		gsumind.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
39	1, 2, 38	indfsd 33301	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) finSupp 0)
40	22, 23, 28, 1, 34, 37, 39	gsumres 20041	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) ↾ 𝐴)) = (ℂfld Σg ((𝟭‘𝑂)‘𝐴)))
41	26	crnggrpd 20387	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ Grp)
42	41	grpmndd 19071	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ Mnd)
43		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (.g‘ℂfld) = (.g‘ℂfld)
44	22, 43	gsumconst 20062	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → (ℂfld Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 1)) = ((♯‘𝐴)(.g‘ℂfld)1))
45	42, 38, 32, 44	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 1)) = ((♯‘𝐴)(.g‘ℂfld)1))
46	21, 40, 45	3eqtr3d 2805	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝟭‘𝑂)‘𝐴)) = ((♯‘𝐴)(.g‘ℂfld)1))
47		hashcl 14422	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
48	38, 47	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
49	48	nn0zd 12643	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
50		cnfldmulg 21618	. . 3 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((♯‘𝐴)(.g‘ℂfld)1) = ((♯‘𝐴) · 1))
51	49, 32, 50	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴)(.g‘ℂfld)1) = ((♯‘𝐴) · 1))
52	48	nn0cnd 12594	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
53	52	mulridd 11253	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) · 1) = (♯‘𝐴))
54	46, 51, 53	3eqtrd 2801	1 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝟭‘𝑂)‘𝐴)) = (♯‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3899   ∪ cun 3900   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282  {csn 4587  {cpr 4589   ↦ cmpt 5190   × cxp 5657   ↾ cres 5661   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   supp csupp 8161  Fincfn 8955  ℂcc 11125  0cc0 11127  1c1 11128   · cmul 11132  𝟭cind 12245  ℕ₀cn0 12531  ℤcz 12618  ♯chash 14396   Σ_g cgsu 17529  Mndcmnd 18838  ._gcmg 19191  Fieldcfield 20892  ℂ_fldccnfld 21586

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-addf 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-ind 12246  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-seq 14068  df-hash 14397  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-starv 17361  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-unif 17369  df-0g 17530  df-gsum 17531  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-mulg 19192  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-ring 20375  df-cring 20376  df-oppr 20479  df-dvdsr 20499  df-unit 20500  df-invr 20530  df-dvr 20543  df-drng 20893  df-field 20894  df-cnfld 21587

This theorem is used by:  esplymhp  34065