Theorem gsumind 33317

Description: The group sum of an indicator function of the set 𝐴 gives the size of 𝐴. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumind.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
gsumind.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑂)
gsumind.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
gsumind	⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝟭‘𝑂)‘𝐴)) = (♯‘𝐴))

Proof of Theorem gsumind

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumind.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
2		gsumind.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑂)
3		indval2 32842	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) = ((𝐴 × {1}) ∪ ((𝑂 ∖ 𝐴) × {0})))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) = ((𝐴 × {1}) ∪ ((𝑂 ∖ 𝐴) × {0})))
5	4	reseq1d 5932	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) ↾ 𝐴) = (((𝐴 × {1}) ∪ ((𝑂 ∖ 𝐴) × {0})) ↾ 𝐴))
6		1ex 11114	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ V
7	6	fconst 6715	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 × {1}):𝐴⟶{1}
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {1}):𝐴⟶{1})
9	8	ffnd 6658	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {1}) Fn 𝐴)
10		c0ex 11112	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
11	10	fconst 6715	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑂 ∖ 𝐴) × {0}):(𝑂 ∖ 𝐴)⟶{0}
12	11	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 ∖ 𝐴) × {0}):(𝑂 ∖ 𝐴)⟶{0})
13	12	ffnd 6658	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 ∖ 𝐴) × {0}) Fn (𝑂 ∖ 𝐴))
14		disjdif 4421	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝐴)) = ∅
15	14	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝐴)) = ∅)
16		fnunres1 6599	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 × {1}) Fn 𝐴 ∧ ((𝑂 ∖ 𝐴) × {0}) Fn (𝑂 ∖ 𝐴) ∧ (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝐴)) = ∅) → (((𝐴 × {1}) ∪ ((𝑂 ∖ 𝐴) × {0})) ↾ 𝐴) = (𝐴 × {1}))
17	9, 13, 15, 16	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 × {1}) ∪ ((𝑂 ∖ 𝐴) × {0})) ↾ 𝐴) = (𝐴 × {1}))
18		fconstmpt 5681	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 × {1}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 1)
19	18	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {1}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 1))
20	5, 17, 19	3eqtrd 2770	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 1))
21	20	oveq2d 7368	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) ↾ 𝐴)) = (ℂfld Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 1)))
22		cnfldbas 21301	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
23		cnfld0 21335	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
24		cnfldfld 33314	. . . . . . . 8 ⊢ ℂfld ∈ Field
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ Field)
26	25	fldcrngd 20663	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ CRing)
27	26	crngringd 20170	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ Ring)
28	27	ringcmnd 20208	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ CMnd)
29		indf 32843	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1})
30	1, 2, 29	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1})
31		0cnd 11111	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
32		1cnd 11113	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
33	31, 32	prssd 4773	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {0, 1} ⊆ ℂ)
34	30, 33	fssd 6674	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶ℂ)
35		indsupp 32855	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) supp 0) = 𝐴)
36	1, 2, 35	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) supp 0) = 𝐴)
37	36	eqimssd 3986	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) supp 0) ⊆ 𝐴)
38		gsumind.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
39	1, 2, 38	indfsd 32856	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) finSupp 0)
40	22, 23, 28, 1, 34, 37, 39	gsumres 19831	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) ↾ 𝐴)) = (ℂfld Σg ((𝟭‘𝑂)‘𝐴)))
41	26	crnggrpd 20171	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ Grp)
42	41	grpmndd 18865	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ Mnd)
43		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (.g‘ℂfld) = (.g‘ℂfld)
44	22, 43	gsumconst 19852	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → (ℂfld Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 1)) = ((♯‘𝐴)(.g‘ℂfld)1))
45	42, 38, 32, 44	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 1)) = ((♯‘𝐴)(.g‘ℂfld)1))
46	21, 40, 45	3eqtr3d 2774	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝟭‘𝑂)‘𝐴)) = ((♯‘𝐴)(.g‘ℂfld)1))
47		hashcl 14269	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
48	38, 47	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
49	48	nn0zd 12500	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
50		cnfldmulg 21346	. . 3 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((♯‘𝐴)(.g‘ℂfld)1) = ((♯‘𝐴) · 1))
51	49, 32, 50	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴)(.g‘ℂfld)1) = ((♯‘𝐴) · 1))
52	48	nn0cnd 12450	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
53	52	mulridd 11135	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) · 1) = (♯‘𝐴))
54	46, 51, 53	3eqtrd 2770	1 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝟭‘𝑂)‘𝐴)) = (♯‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ∖ cdif 3894   ∪ cun 3895   ∩ cin 3896   ⊆ wss 3897  ∅c0 4282  {csn 4575  {cpr 4577   ↦ cmpt 5174   × cxp 5617   ↾ cres 5621   Fn wfn 6482  ⟶wf 6483  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352   supp csupp 8096  Fincfn 8875  ℂcc 11010  0cc0 11012  1c1 11013   · cmul 11017  ℕ₀cn0 12387  ℤcz 12474  ♯chash 14243   Σ_g cgsu 17350  Mndcmnd 18648  ._gcmg 18986  Fieldcfield 20651  ℂ_fldccnfld 21297  𝟭cind 32838

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089  ax-addf 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-isom 6496  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8097  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-fsupp 9252  df-oi 9402  df-card 9838  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-div 11781  df-nn 12132  df-2 12194  df-3 12195  df-4 12196  df-5 12197  df-6 12198  df-7 12199  df-8 12200  df-9 12201  df-n0 12388  df-z 12475  df-dec 12595  df-uz 12739  df-fz 13414  df-fzo 13561  df-seq 13915  df-hash 14244  df-struct 17064  df-sets 17081  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-base 17127  df-ress 17148  df-plusg 17180  df-mulr 17181  df-starv 17182  df-tset 17186  df-ple 17187  df-ds 17189  df-unif 17190  df-0g 17351  df-gsum 17352  df-mgm 18554  df-sgrp 18633  df-mnd 18649  df-grp 18855  df-minusg 18856  df-mulg 18987  df-cntz 19235  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20065  df-rng 20077  df-ur 20106  df-ring 20159  df-cring 20160  df-oppr 20261  df-dvdsr 20281  df-unit 20282  df-invr 20312  df-dvr 20325  df-drng 20652  df-field 20653  df-cnfld 21298  df-ind 32839

This theorem is referenced by:  esplymhp  33596