Theorem gsumind 33430

Description: The group sum of an indicator function of the set 𝐴 gives the size of 𝐴. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumind.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
gsumind.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑂)
gsumind.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
gsumind	⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝟭‘𝑂)‘𝐴)) = (♯‘𝐴))

Proof of Theorem gsumind

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumind.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
2		gsumind.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑂)
3		indval2 32936	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) = ((𝐴 × {1}) ∪ ((𝑂 ∖ 𝐴) × {0})))
4	1, 2, 3	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) = ((𝐴 × {1}) ∪ ((𝑂 ∖ 𝐴) × {0})))
5	4	reseq1d 5938	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) ↾ 𝐴) = (((𝐴 × {1}) ∪ ((𝑂 ∖ 𝐴) × {0})) ↾ 𝐴))
6		1ex 11133	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ V
7	6	fconst 6721	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 × {1}):𝐴⟶{1}
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {1}):𝐴⟶{1})
9	8	ffnd 6664	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {1}) Fn 𝐴)
10		c0ex 11131	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
11	10	fconst 6721	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑂 ∖ 𝐴) × {0}):(𝑂 ∖ 𝐴)⟶{0}
12	11	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 ∖ 𝐴) × {0}):(𝑂 ∖ 𝐴)⟶{0})
13	12	ffnd 6664	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 ∖ 𝐴) × {0}) Fn (𝑂 ∖ 𝐴))
14		disjdif 4425	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝐴)) = ∅
15	14	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝐴)) = ∅)
16		fnunres1 6605	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 × {1}) Fn 𝐴 ∧ ((𝑂 ∖ 𝐴) × {0}) Fn (𝑂 ∖ 𝐴) ∧ (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝐴)) = ∅) → (((𝐴 × {1}) ∪ ((𝑂 ∖ 𝐴) × {0})) ↾ 𝐴) = (𝐴 × {1}))
17	9, 13, 15, 16	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 × {1}) ∪ ((𝑂 ∖ 𝐴) × {0})) ↾ 𝐴) = (𝐴 × {1}))
18		fconstmpt 5687	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 × {1}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 1)
19	18	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {1}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 1))
20	5, 17, 19	3eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 1))
21	20	oveq2d 7377	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) ↾ 𝐴)) = (ℂfld Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 1)))
22		cnfldbas 21318	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
23		cnfld0 21352	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
24		cnfldfld 33427	. . . . . . . 8 ⊢ ℂfld ∈ Field
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ Field)
26	25	fldcrngd 20680	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ CRing)
27	26	crngringd 20186	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ Ring)
28	27	ringcmnd 20224	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ CMnd)
29		indf 32937	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1})
30	1, 2, 29	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1})
31		0cnd 11130	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
32		1cnd 11132	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
33	31, 32	prssd 4779	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {0, 1} ⊆ ℂ)
34	30, 33	fssd 6680	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶ℂ)
35		indsupp 32952	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) supp 0) = 𝐴)
36	1, 2, 35	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) supp 0) = 𝐴)
37	36	eqimssd 3991	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) supp 0) ⊆ 𝐴)
38		gsumind.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
39	1, 2, 38	indfsd 32953	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) finSupp 0)
40	22, 23, 28, 1, 34, 37, 39	gsumres 19847	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) ↾ 𝐴)) = (ℂfld Σg ((𝟭‘𝑂)‘𝐴)))
41	26	crnggrpd 20187	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ Grp)
42	41	grpmndd 18881	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ Mnd)
43		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (.g‘ℂfld) = (.g‘ℂfld)
44	22, 43	gsumconst 19868	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → (ℂfld Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 1)) = ((♯‘𝐴)(.g‘ℂfld)1))
45	42, 38, 32, 44	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 1)) = ((♯‘𝐴)(.g‘ℂfld)1))
46	21, 40, 45	3eqtr3d 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝟭‘𝑂)‘𝐴)) = ((♯‘𝐴)(.g‘ℂfld)1))
47		hashcl 14284	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
48	38, 47	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
49	48	nn0zd 12518	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
50		cnfldmulg 21363	. . 3 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((♯‘𝐴)(.g‘ℂfld)1) = ((♯‘𝐴) · 1))
51	49, 32, 50	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴)(.g‘ℂfld)1) = ((♯‘𝐴) · 1))
52	48	nn0cnd 12469	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
53	52	mulridd 11154	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) · 1) = (♯‘𝐴))
54	46, 51, 53	3eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝟭‘𝑂)‘𝐴)) = (♯‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3899   ∪ cun 3900   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ∅c0 4286  {csn 4581  {cpr 4583   ↦ cmpt 5180   × cxp 5623   ↾ cres 5627   Fn wfn 6488  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361   supp csupp 8105  Fincfn 8888  ℂcc 11029  0cc0 11031  1c1 11032   · cmul 11036  ℕ₀cn0 12406  ℤcz 12493  ♯chash 14258   Σ_g cgsu 17365  Mndcmnd 18664  ._gcmg 19002  Fieldcfield 20668  ℂ_fldccnfld 21314  𝟭cind 32932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-cnex 11087  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107  ax-pre-mulgt0 11108  ax-addf 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8106  df-tpos 8171  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-fsupp 9270  df-oi 9420  df-card 9856  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-4 12215  df-5 12216  df-6 12217  df-7 12218  df-8 12219  df-9 12220  df-n0 12407  df-z 12494  df-dec 12613  df-uz 12757  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-seq 13930  df-hash 14259  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17142  df-ress 17163  df-plusg 17195  df-mulr 17196  df-starv 17197  df-tset 17201  df-ple 17202  df-ds 17204  df-unif 17205  df-0g 17366  df-gsum 17367  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-grp 18871  df-minusg 18872  df-mulg 19003  df-cntz 19251  df-cmn 19716  df-abl 19717  df-mgp 20081  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-cring 20176  df-oppr 20278  df-dvdsr 20298  df-unit 20299  df-invr 20329  df-dvr 20342  df-drng 20669  df-field 20670  df-cnfld 21315  df-ind 32933

This theorem is referenced by:  esplymhp  33737