Theorem indfsid 33053

Description: Conditions for a function to be an indicator function. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
indfsid.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
indfsid.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑂⟶{0, 1})

Assertion

Ref	Expression
indfsid	⊢ (𝜑 → 𝐹 = ((𝟭‘𝑂)‘(𝐹 supp 0)))

Proof of Theorem indfsid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indfsid.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
2		indfsid.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑂⟶{0, 1})
3		indpreima 33049	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → 𝐹 = ((𝟭‘𝑂)‘(◡𝐹 “ {1})))
4	1, 2, 3	syl2anc 593	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ((𝟭‘𝑂)‘(◡𝐹 “ {1})))
5		c0ex 11184	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
7		fsuppeq 8155	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ V) → (𝐹:𝑂⟶{0, 1} → (𝐹 supp 0) = (◡𝐹 “ ({0, 1} ∖ {0}))))
8	7	imp 410	. . . . 5 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ V) ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → (𝐹 supp 0) = (◡𝐹 “ ({0, 1} ∖ {0})))
9	1, 6, 2, 8	syl21anc 848	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0) = (◡𝐹 “ ({0, 1} ∖ {0})))
10		0ne1 12299	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 1
11		difprsn1 4761	. . . . . 6 ⊢ (0 ≠ 1 → ({0, 1} ∖ {0}) = {1})
12	10, 11	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({0, 1} ∖ {0}) = {1})
13	12	imaeq2d 6049	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ ({0, 1} ∖ {0})) = (◡𝐹 “ {1}))
14	9, 13	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0) = (◡𝐹 “ {1}))
15	14	fveq2d 6871	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝑂)‘(𝐹 supp 0)) = ((𝟭‘𝑂)‘(◡𝐹 “ {1})))
16	4, 15	eqtr4d 2801	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ((𝟭‘𝑂)‘(𝐹 supp 0)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  Vcvv 3455   ∖ cdif 3902  {csn 4583  {cpr 4585  ^◡ccnv 5647   “ cima 5651  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396   supp csupp 8140  0cc0 11084  1c1 11085  𝟭cind 12205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-id 5543  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-supp 8141  df-ind 12206

This theorem is referenced by:  esplymhp  33867  esplyfv1  33868  esplyfval1  33872