Theorem indfsid 32857

Description: Conditions for a function to be an indicator function. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
indfsid.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
indfsid.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑂⟶{0, 1})

Assertion

Ref	Expression
indfsid	⊢ (𝜑 → 𝐹 = ((𝟭‘𝑂)‘(𝐹 supp 0)))

Proof of Theorem indfsid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indfsid.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
2		indfsid.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑂⟶{0, 1})
3		indpreima 32853	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → 𝐹 = ((𝟭‘𝑂)‘(◡𝐹 “ {1})))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ((𝟭‘𝑂)‘(◡𝐹 “ {1})))
5		c0ex 11112	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
7		fsuppeq 8111	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ V) → (𝐹:𝑂⟶{0, 1} → (𝐹 supp 0) = (◡𝐹 “ ({0, 1} ∖ {0}))))
8	7	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ V) ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → (𝐹 supp 0) = (◡𝐹 “ ({0, 1} ∖ {0})))
9	1, 6, 2, 8	syl21anc 837	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0) = (◡𝐹 “ ({0, 1} ∖ {0})))
10		0ne1 12202	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 1
11		difprsn1 4751	. . . . . 6 ⊢ (0 ≠ 1 → ({0, 1} ∖ {0}) = {1})
12	10, 11	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({0, 1} ∖ {0}) = {1})
13	12	imaeq2d 6014	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ ({0, 1} ∖ {0})) = (◡𝐹 “ {1}))
14	9, 13	eqtrd 2766	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0) = (◡𝐹 “ {1}))
15	14	fveq2d 6832	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝑂)‘(𝐹 supp 0)) = ((𝟭‘𝑂)‘(◡𝐹 “ {1})))
16	4, 15	eqtr4d 2769	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ((𝟭‘𝑂)‘(𝐹 supp 0)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  Vcvv 3436   ∖ cdif 3894  {csn 4575  {cpr 4577  ^◡ccnv 5618   “ cima 5622  ⟶wf 6483  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352   supp csupp 8096  0cc0 11012  1c1 11013  𝟭cind 32838

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-supp 8097  df-ind 32839

This theorem is referenced by:  esplymhp  33596  esplyfv1  33597