Theorem indfsid 32930

Description: Conditions for a function to be an indicator function. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
indfsid.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
indfsid.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑂⟶{0, 1})

Assertion

Ref	Expression
indfsid	⊢ (𝜑 → 𝐹 = ((𝟭‘𝑂)‘(𝐹 supp 0)))

Proof of Theorem indfsid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indfsid.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
2		indfsid.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑂⟶{0, 1})
3		indpreima 32926	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → 𝐹 = ((𝟭‘𝑂)‘(◡𝐹 “ {1})))
4	1, 2, 3	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ((𝟭‘𝑂)‘(◡𝐹 “ {1})))
5		c0ex 11128	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
7		fsuppeq 8117	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ V) → (𝐹:𝑂⟶{0, 1} → (𝐹 supp 0) = (◡𝐹 “ ({0, 1} ∖ {0}))))
8	7	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ V) ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → (𝐹 supp 0) = (◡𝐹 “ ({0, 1} ∖ {0})))
9	1, 6, 2, 8	syl21anc 838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0) = (◡𝐹 “ ({0, 1} ∖ {0})))
10		0ne1 12218	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 1
11		difprsn1 4755	. . . . . 6 ⊢ (0 ≠ 1 → ({0, 1} ∖ {0}) = {1})
12	10, 11	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({0, 1} ∖ {0}) = {1})
13	12	imaeq2d 6018	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ ({0, 1} ∖ {0})) = (◡𝐹 “ {1}))
14	9, 13	eqtrd 2770	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0) = (◡𝐹 “ {1}))
15	14	fveq2d 6837	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝑂)‘(𝐹 supp 0)) = ((𝟭‘𝑂)‘(◡𝐹 “ {1})))
16	4, 15	eqtr4d 2773	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ((𝟭‘𝑂)‘(𝐹 supp 0)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2931  Vcvv 3439   ∖ cdif 3897  {csn 4579  {cpr 4581  ^◡ccnv 5622   “ cima 5626  ⟶wf 6487  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358   supp csupp 8102  0cc0 11028  1c1 11029  𝟭cind 32908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-supp 8103  df-ind 32909

This theorem is referenced by:  esplymhp  33705  esplyfv1  33706