Theorem indfsid 33369

Description: Conditions for a function to be an indicator function. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
indfsid.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
indfsid.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑂⟶{0, 1})

Assertion

Ref	Expression
indfsid	⊢ (𝜑 → 𝐹 = ((𝟭‘𝑂)‘(𝐹 supp 0)))

Proof of Theorem indfsid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indfsid.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
2		indfsid.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑂⟶{0, 1})
3		indpreima 33365	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → 𝐹 = ((𝟭‘𝑂)‘(◡𝐹 “ {1})))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ((𝟭‘𝑂)‘(◡𝐹 “ {1})))
5		c0ex 11271	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
7		fsuppeq 8170	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ V) → (𝐹:𝑂⟶{0, 1} → (𝐹 supp 0) = (◡𝐹 “ ({0, 1} ∖ {0}))))
8	7	imp 412	. . . . 5 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ V) ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → (𝐹 supp 0) = (◡𝐹 “ ({0, 1} ∖ {0})))
9	1, 6, 2, 8	syl21anc 851	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0) = (◡𝐹 “ ({0, 1} ∖ {0})))
10		0ne1 12383	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 1
11		difprsn1 4762	. . . . . 6 ⊢ (0 ≠ 1 → ({0, 1} ∖ {0}) = {1})
12	10, 11	mp1i 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({0, 1} ∖ {0}) = {1})
13	12	imaeq2d 6050	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ ({0, 1} ∖ {0})) = (◡𝐹 “ {1}))
14	9, 13	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0) = (◡𝐹 “ {1}))
15	14	fveq2d 6877	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝑂)‘(𝐹 supp 0)) = ((𝟭‘𝑂)‘(◡𝐹 “ {1})))
16	4, 15	eqtr4d 2798	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ((𝟭‘𝑂)‘(𝐹 supp 0)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  Vcvv 3450   ∖ cdif 3895  {csn 4583  {cpr 4585  ^◡ccnv 5646   “ cima 5650  ⟶wf 6523  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408   supp csupp 8155  0cc0 11171  1c1 11172  𝟭cind 12289

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-supp 8156  df-ind 12290

This theorem is used by:  esplymhp  34133  esplyfv1  34134  esplyfval1  34138