Theorem indfsid 32934

Description: Conditions for a function to be an indicator function. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
indfsid.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
indfsid.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑂⟶{0, 1})

Assertion

Ref	Expression
indfsid	⊢ (𝜑 → 𝐹 = ((𝟭‘𝑂)‘(𝐹 supp 0)))

Proof of Theorem indfsid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indfsid.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
2		indfsid.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑂⟶{0, 1})
3		indpreima 32930	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → 𝐹 = ((𝟭‘𝑂)‘(◡𝐹 “ {1})))
4	1, 2, 3	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ((𝟭‘𝑂)‘(◡𝐹 “ {1})))
5		c0ex 11127	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
7		fsuppeq 8116	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ V) → (𝐹:𝑂⟶{0, 1} → (𝐹 supp 0) = (◡𝐹 “ ({0, 1} ∖ {0}))))
8	7	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ V) ∧ 𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → (𝐹 supp 0) = (◡𝐹 “ ({0, 1} ∖ {0})))
9	1, 6, 2, 8	syl21anc 838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0) = (◡𝐹 “ ({0, 1} ∖ {0})))
10		0ne1 12217	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 1
11		difprsn1 4744	. . . . . 6 ⊢ (0 ≠ 1 → ({0, 1} ∖ {0}) = {1})
12	10, 11	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({0, 1} ∖ {0}) = {1})
13	12	imaeq2d 6017	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ ({0, 1} ∖ {0})) = (◡𝐹 “ {1}))
14	9, 13	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0) = (◡𝐹 “ {1}))
15	14	fveq2d 6836	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝑂)‘(𝐹 supp 0)) = ((𝟭‘𝑂)‘(◡𝐹 “ {1})))
16	4, 15	eqtr4d 2775	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ((𝟭‘𝑂)‘(𝐹 supp 0)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3430   ∖ cdif 3887  {csn 4568  {cpr 4570  ^◡ccnv 5621   “ cima 5625  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358   supp csupp 8101  0cc0 11027  1c1 11028  𝟭cind 32912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-supp 8102  df-ind 32913

This theorem is referenced by:  esplymhp  33717  esplyfv1  33718  esplyfval1  33722