Theorem infpssrlem2 10261

Description: Lemma for infpssr 10265. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
infpssrlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
infpssrlem.c	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)
infpssrlem.d	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵))
infpssrlem.e	⊢ 𝐺 = (rec(◡𝐹, 𝐶) ↾ ω)

Assertion

Ref	Expression
infpssrlem2	⊢ (𝑀 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑀) = (◡𝐹‘(𝐺‘𝑀)))

Proof of Theorem infpssrlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frsuc 8408	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ω → ((rec(◡𝐹, 𝐶) ↾ ω)‘suc 𝑀) = (◡𝐹‘((rec(◡𝐹, 𝐶) ↾ ω)‘𝑀)))
2		infpssrlem.e	. . 3 ⊢ 𝐺 = (rec(◡𝐹, 𝐶) ↾ ω)
3	2	fveq1i 6868	. 2 ⊢ (𝐺‘suc 𝑀) = ((rec(◡𝐹, 𝐶) ↾ ω)‘suc 𝑀)
4	2	fveq1i 6868	. . 3 ⊢ (𝐺‘𝑀) = ((rec(◡𝐹, 𝐶) ↾ ω)‘𝑀)
5	4	fveq2i 6870	. 2 ⊢ (◡𝐹‘(𝐺‘𝑀)) = (◡𝐹‘((rec(◡𝐹, 𝐶) ↾ ω)‘𝑀))
6	1, 3, 5	3eqtr4g 2822	1 ⊢ (𝑀 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑀) = (◡𝐹‘(𝐺‘𝑀)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ∖ cdif 3901   ⊆ wss 3904  ^◡ccnv 5646   ↾ cres 5649  suc csuc 6348  –1-1-onto→wf1o 6520  ‘cfv 6521  ωcom 7846  reccrdg 8380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5390  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-ov 7399  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381

This theorem is referenced by:  infpssrlem3  10262  infpssrlem4  10263