Theorem infpssrlem2 10342

Description: Lemma for infpssr 10346. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
infpssrlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
infpssrlem.c	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)
infpssrlem.d	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵))
infpssrlem.e	⊢ 𝐺 = (rec(◡𝐹, 𝐶) ↾ ω)

Assertion

Ref	Expression
infpssrlem2	⊢ (𝑀 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑀) = (◡𝐹‘(𝐺‘𝑀)))

Proof of Theorem infpssrlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frsuc 8476	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ω → ((rec(◡𝐹, 𝐶) ↾ ω)‘suc 𝑀) = (◡𝐹‘((rec(◡𝐹, 𝐶) ↾ ω)‘𝑀)))
2		infpssrlem.e	. . 3 ⊢ 𝐺 = (rec(◡𝐹, 𝐶) ↾ ω)
3	2	fveq1i 6908	. 2 ⊢ (𝐺‘suc 𝑀) = ((rec(◡𝐹, 𝐶) ↾ ω)‘suc 𝑀)
4	2	fveq1i 6908	. . 3 ⊢ (𝐺‘𝑀) = ((rec(◡𝐹, 𝐶) ↾ ω)‘𝑀)
5	4	fveq2i 6910	. 2 ⊢ (◡𝐹‘(𝐺‘𝑀)) = (◡𝐹‘((rec(◡𝐹, 𝐶) ↾ ω)‘𝑀))
6	1, 3, 5	3eqtr4g 2800	1 ⊢ (𝑀 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑀) = (◡𝐹‘(𝐺‘𝑀)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ∖ cdif 3960   ⊆ wss 3963  ^◡ccnv 5688   ↾ cres 5691  suc csuc 6388  –1-1-onto→wf1o 6562  ‘cfv 6563  ωcom 7887  reccrdg 8448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449

This theorem is referenced by:  infpssrlem3  10343  infpssrlem4  10344