MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infpssrlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infpssrlem3 9462
Description: Lemma for infpssr 9465. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
infpssrlem.a (𝜑𝐵𝐴)
infpssrlem.c (𝜑𝐹:𝐵1-1-onto𝐴)
infpssrlem.d (𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐵))
infpssrlem.e 𝐺 = (rec(𝐹, 𝐶) ↾ ω)
Assertion
Ref Expression
infpssrlem3 (𝜑𝐺:ω⟶𝐴)

Proof of Theorem infpssrlem3
Dummy variables 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frfnom 7813 . . . 4 (rec(𝐹, 𝐶) ↾ ω) Fn ω
2 infpssrlem.e . . . . 5 𝐺 = (rec(𝐹, 𝐶) ↾ ω)
32fneq1i 6230 . . . 4 (𝐺 Fn ω ↔ (rec(𝐹, 𝐶) ↾ ω) Fn ω)
41, 3mpbir 223 . . 3 𝐺 Fn ω
54a1i 11 . 2 (𝜑𝐺 Fn ω)
6 fveq2 6446 . . . . . 6 (𝑐 = ∅ → (𝐺𝑐) = (𝐺‘∅))
76eleq1d 2843 . . . . 5 (𝑐 = ∅ → ((𝐺𝑐) ∈ 𝐴 ↔ (𝐺‘∅) ∈ 𝐴))
8 fveq2 6446 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑏 → (𝐺𝑐) = (𝐺𝑏))
98eleq1d 2843 . . . . 5 (𝑐 = 𝑏 → ((𝐺𝑐) ∈ 𝐴 ↔ (𝐺𝑏) ∈ 𝐴))
10 fveq2 6446 . . . . . 6 (𝑐 = suc 𝑏 → (𝐺𝑐) = (𝐺‘suc 𝑏))
1110eleq1d 2843 . . . . 5 (𝑐 = suc 𝑏 → ((𝐺𝑐) ∈ 𝐴 ↔ (𝐺‘suc 𝑏) ∈ 𝐴))
12 infpssrlem.a . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝐴)
13 infpssrlem.c . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝐵1-1-onto𝐴)
14 infpssrlem.d . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐵))
1512, 13, 14, 2infpssrlem1 9460 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺‘∅) = 𝐶)
1614eldifad 3803 . . . . . 6 (𝜑𝐶𝐴)
1715, 16eqeltrd 2858 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺‘∅) ∈ 𝐴)
1812adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐺𝑏) ∈ 𝐴) → 𝐵𝐴)
19 f1ocnv 6403 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐴𝐹:𝐴1-1-onto𝐵)
20 f1of 6391 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐴𝐵)
2113, 19, 203syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
2221ffvelrnda 6623 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐺𝑏) ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝐺𝑏)) ∈ 𝐵)
2318, 22sseldd 3821 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐺𝑏) ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝐺𝑏)) ∈ 𝐴)
2412, 13, 14, 2infpssrlem2 9461 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑏) = (𝐹‘(𝐺𝑏)))
2524eleq1d 2843 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ ω → ((𝐺‘suc 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ (𝐹‘(𝐺𝑏)) ∈ 𝐴))
2623, 25syl5ibr 238 . . . . . 6 (𝑏 ∈ ω → ((𝜑 ∧ (𝐺𝑏) ∈ 𝐴) → (𝐺‘suc 𝑏) ∈ 𝐴))
2726expd 406 . . . . 5 (𝑏 ∈ ω → (𝜑 → ((𝐺𝑏) ∈ 𝐴 → (𝐺‘suc 𝑏) ∈ 𝐴)))
287, 9, 11, 17, 27finds2 7372 . . . 4 (𝑐 ∈ ω → (𝜑 → (𝐺𝑐) ∈ 𝐴))
2928com12 32 . . 3 (𝜑 → (𝑐 ∈ ω → (𝐺𝑐) ∈ 𝐴))
3029ralrimiv 3146 . 2 (𝜑 → ∀𝑐 ∈ ω (𝐺𝑐) ∈ 𝐴)
31 ffnfv 6652 . 2 (𝐺:ω⟶𝐴 ↔ (𝐺 Fn ω ∧ ∀𝑐 ∈ ω (𝐺𝑐) ∈ 𝐴))
325, 30, 31sylanbrc 578 1 (𝜑𝐺:ω⟶𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2106  wral 3089  cdif 3788  wss 3791  c0 4140  ccnv 5354  cres 5357  suc csuc 5978   Fn wfn 6130  wf 6131  1-1-ontowf1o 6134  cfv 6135  ωcom 7343  reccrdg 7788
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-om 7344  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789
This theorem is referenced by:  infpssrlem4  9463  infpssrlem5  9464
  Copyright terms: Public domain W3C validator