MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infpssrlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infpssrlem3 10302
Description: Lemma for infpssr 10305. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
infpssrlem.a (𝜑𝐵𝐴)
infpssrlem.c (𝜑𝐹:𝐵1-1-onto𝐴)
infpssrlem.d (𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐵))
infpssrlem.e 𝐺 = (rec(𝐹, 𝐶) ↾ ω)
Assertion
Ref Expression
infpssrlem3 (𝜑𝐺:ω⟶𝐴)

Proof of Theorem infpssrlem3
Dummy variables 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frfnom 8436 . . . 4 (rec(𝐹, 𝐶) ↾ ω) Fn ω
2 infpssrlem.e . . . . 5 𝐺 = (rec(𝐹, 𝐶) ↾ ω)
32fneq1i 6640 . . . 4 (𝐺 Fn ω ↔ (rec(𝐹, 𝐶) ↾ ω) Fn ω)
41, 3mpbir 230 . . 3 𝐺 Fn ω
54a1i 11 . 2 (𝜑𝐺 Fn ω)
6 fveq2 6885 . . . . . 6 (𝑐 = ∅ → (𝐺𝑐) = (𝐺‘∅))
76eleq1d 2812 . . . . 5 (𝑐 = ∅ → ((𝐺𝑐) ∈ 𝐴 ↔ (𝐺‘∅) ∈ 𝐴))
8 fveq2 6885 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑏 → (𝐺𝑐) = (𝐺𝑏))
98eleq1d 2812 . . . . 5 (𝑐 = 𝑏 → ((𝐺𝑐) ∈ 𝐴 ↔ (𝐺𝑏) ∈ 𝐴))
10 fveq2 6885 . . . . . 6 (𝑐 = suc 𝑏 → (𝐺𝑐) = (𝐺‘suc 𝑏))
1110eleq1d 2812 . . . . 5 (𝑐 = suc 𝑏 → ((𝐺𝑐) ∈ 𝐴 ↔ (𝐺‘suc 𝑏) ∈ 𝐴))
12 infpssrlem.a . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝐴)
13 infpssrlem.c . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝐵1-1-onto𝐴)
14 infpssrlem.d . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐵))
1512, 13, 14, 2infpssrlem1 10300 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺‘∅) = 𝐶)
1614eldifad 3955 . . . . . 6 (𝜑𝐶𝐴)
1715, 16eqeltrd 2827 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺‘∅) ∈ 𝐴)
1812adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐺𝑏) ∈ 𝐴) → 𝐵𝐴)
19 f1ocnv 6839 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐴𝐹:𝐴1-1-onto𝐵)
20 f1of 6827 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐴𝐵)
2113, 19, 203syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
2221ffvelcdmda 7080 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐺𝑏) ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝐺𝑏)) ∈ 𝐵)
2318, 22sseldd 3978 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐺𝑏) ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝐺𝑏)) ∈ 𝐴)
2412, 13, 14, 2infpssrlem2 10301 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑏) = (𝐹‘(𝐺𝑏)))
2524eleq1d 2812 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ ω → ((𝐺‘suc 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ (𝐹‘(𝐺𝑏)) ∈ 𝐴))
2623, 25imbitrrid 245 . . . . . 6 (𝑏 ∈ ω → ((𝜑 ∧ (𝐺𝑏) ∈ 𝐴) → (𝐺‘suc 𝑏) ∈ 𝐴))
2726expd 415 . . . . 5 (𝑏 ∈ ω → (𝜑 → ((𝐺𝑏) ∈ 𝐴 → (𝐺‘suc 𝑏) ∈ 𝐴)))
287, 9, 11, 17, 27finds2 7888 . . . 4 (𝑐 ∈ ω → (𝜑 → (𝐺𝑐) ∈ 𝐴))
2928com12 32 . . 3 (𝜑 → (𝑐 ∈ ω → (𝐺𝑐) ∈ 𝐴))
3029ralrimiv 3139 . 2 (𝜑 → ∀𝑐 ∈ ω (𝐺𝑐) ∈ 𝐴)
31 ffnfv 7114 . 2 (𝐺:ω⟶𝐴 ↔ (𝐺 Fn ω ∧ ∀𝑐 ∈ ω (𝐺𝑐) ∈ 𝐴))
325, 30, 31sylanbrc 582 1 (𝜑𝐺:ω⟶𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3055  cdif 3940  wss 3943  c0 4317  ccnv 5668  cres 5671  suc csuc 6360   Fn wfn 6532  wf 6533  1-1-ontowf1o 6536  cfv 6537  ωcom 7852  reccrdg 8410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411
This theorem is referenced by:  infpssrlem4  10303  infpssrlem5  10304
  Copyright terms: Public domain W3C validator