MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infpssrlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infpssrlem3 10306
Description: Lemma for infpssr 10309. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
infpssrlem.a (𝜑𝐵𝐴)
infpssrlem.c (𝜑𝐹:𝐵1-1-onto𝐴)
infpssrlem.d (𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐵))
infpssrlem.e 𝐺 = (rec(𝐹, 𝐶) ↾ ω)
Assertion
Ref Expression
infpssrlem3 (𝜑𝐺:ω⟶𝐴)

Proof of Theorem infpssrlem3
Dummy variables 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frfnom 8441 . . . 4 (rec(𝐹, 𝐶) ↾ ω) Fn ω
2 infpssrlem.e . . . . 5 𝐺 = (rec(𝐹, 𝐶) ↾ ω)
32fneq1i 6646 . . . 4 (𝐺 Fn ω ↔ (rec(𝐹, 𝐶) ↾ ω) Fn ω)
41, 3mpbir 230 . . 3 𝐺 Fn ω
54a1i 11 . 2 (𝜑𝐺 Fn ω)
6 fveq2 6891 . . . . . 6 (𝑐 = ∅ → (𝐺𝑐) = (𝐺‘∅))
76eleq1d 2817 . . . . 5 (𝑐 = ∅ → ((𝐺𝑐) ∈ 𝐴 ↔ (𝐺‘∅) ∈ 𝐴))
8 fveq2 6891 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑏 → (𝐺𝑐) = (𝐺𝑏))
98eleq1d 2817 . . . . 5 (𝑐 = 𝑏 → ((𝐺𝑐) ∈ 𝐴 ↔ (𝐺𝑏) ∈ 𝐴))
10 fveq2 6891 . . . . . 6 (𝑐 = suc 𝑏 → (𝐺𝑐) = (𝐺‘suc 𝑏))
1110eleq1d 2817 . . . . 5 (𝑐 = suc 𝑏 → ((𝐺𝑐) ∈ 𝐴 ↔ (𝐺‘suc 𝑏) ∈ 𝐴))
12 infpssrlem.a . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝐴)
13 infpssrlem.c . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝐵1-1-onto𝐴)
14 infpssrlem.d . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐵))
1512, 13, 14, 2infpssrlem1 10304 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺‘∅) = 𝐶)
1614eldifad 3960 . . . . . 6 (𝜑𝐶𝐴)
1715, 16eqeltrd 2832 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺‘∅) ∈ 𝐴)
1812adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐺𝑏) ∈ 𝐴) → 𝐵𝐴)
19 f1ocnv 6845 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐴𝐹:𝐴1-1-onto𝐵)
20 f1of 6833 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐴𝐵)
2113, 19, 203syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
2221ffvelcdmda 7086 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐺𝑏) ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝐺𝑏)) ∈ 𝐵)
2318, 22sseldd 3983 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐺𝑏) ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝐺𝑏)) ∈ 𝐴)
2412, 13, 14, 2infpssrlem2 10305 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑏) = (𝐹‘(𝐺𝑏)))
2524eleq1d 2817 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ ω → ((𝐺‘suc 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ (𝐹‘(𝐺𝑏)) ∈ 𝐴))
2623, 25imbitrrid 245 . . . . . 6 (𝑏 ∈ ω → ((𝜑 ∧ (𝐺𝑏) ∈ 𝐴) → (𝐺‘suc 𝑏) ∈ 𝐴))
2726expd 415 . . . . 5 (𝑏 ∈ ω → (𝜑 → ((𝐺𝑏) ∈ 𝐴 → (𝐺‘suc 𝑏) ∈ 𝐴)))
287, 9, 11, 17, 27finds2 7895 . . . 4 (𝑐 ∈ ω → (𝜑 → (𝐺𝑐) ∈ 𝐴))
2928com12 32 . . 3 (𝜑 → (𝑐 ∈ ω → (𝐺𝑐) ∈ 𝐴))
3029ralrimiv 3144 . 2 (𝜑 → ∀𝑐 ∈ ω (𝐺𝑐) ∈ 𝐴)
31 ffnfv 7120 . 2 (𝐺:ω⟶𝐴 ↔ (𝐺 Fn ω ∧ ∀𝑐 ∈ ω (𝐺𝑐) ∈ 𝐴))
325, 30, 31sylanbrc 582 1 (𝜑𝐺:ω⟶𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3060  cdif 3945  wss 3948  c0 4322  ccnv 5675  cres 5678  suc csuc 6366   Fn wfn 6538  wf 6539  1-1-ontowf1o 6542  cfv 6543  ωcom 7859  reccrdg 8415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416
This theorem is referenced by:  infpssrlem4  10307  infpssrlem5  10308
  Copyright terms: Public domain W3C validator