MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infpssr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infpssr 10339
Description: Dedekind infinity implies existence of a denumerable subset: take a single point witnessing the proper subset relation and iterate the embedding. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
infpssr ((𝑋𝐴𝑋𝐴) → ω ≼ 𝐴)

Proof of Theorem infpssr
Dummy variables 𝑦 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pssnel 4474 . . 3 (𝑋𝐴 → ∃𝑦(𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦𝑋))
21adantr 479 . 2 ((𝑋𝐴𝑋𝐴) → ∃𝑦(𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦𝑋))
3 eldif 3959 . . . 4 (𝑦 ∈ (𝐴𝑋) ↔ (𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦𝑋))
4 pssss 4095 . . . . . 6 (𝑋𝐴𝑋𝐴)
5 bren 8980 . . . . . . . 8 (𝑋𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑋1-1-onto𝐴)
6 simpr 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 ∈ (𝐴𝑋) ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑓:𝑋1-1-onto𝐴) → 𝑓:𝑋1-1-onto𝐴)
7 f1ofo 6851 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:𝑋1-1-onto𝐴𝑓:𝑋onto𝐴)
8 forn 6819 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:𝑋onto𝐴 → ran 𝑓 = 𝐴)
96, 7, 83syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 ∈ (𝐴𝑋) ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑓:𝑋1-1-onto𝐴) → ran 𝑓 = 𝐴)
10 vex 3477 . . . . . . . . . . . . 13 𝑓 ∈ V
1110rnex 7924 . . . . . . . . . . . 12 ran 𝑓 ∈ V
129, 11eqeltrrdi 2838 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ (𝐴𝑋) ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑓:𝑋1-1-onto𝐴) → 𝐴 ∈ V)
13 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 ∈ (𝐴𝑋) ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑓:𝑋1-1-onto𝐴) → 𝑋𝐴)
14 simpll 765 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 ∈ (𝐴𝑋) ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑓:𝑋1-1-onto𝐴) → 𝑦 ∈ (𝐴𝑋))
15 eqid 2728 . . . . . . . . . . . 12 (rec(𝑓, 𝑦) ↾ ω) = (rec(𝑓, 𝑦) ↾ ω)
1613, 6, 14, 15infpssrlem5 10338 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ (𝐴𝑋) ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑓:𝑋1-1-onto𝐴) → (𝐴 ∈ V → ω ≼ 𝐴))
1712, 16mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ (𝐴𝑋) ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑓:𝑋1-1-onto𝐴) → ω ≼ 𝐴)
1817ex 411 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ (𝐴𝑋) ∧ 𝑋𝐴) → (𝑓:𝑋1-1-onto𝐴 → ω ≼ 𝐴))
1918exlimdv 1928 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ (𝐴𝑋) ∧ 𝑋𝐴) → (∃𝑓 𝑓:𝑋1-1-onto𝐴 → ω ≼ 𝐴))
205, 19biimtrid 241 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (𝐴𝑋) ∧ 𝑋𝐴) → (𝑋𝐴 → ω ≼ 𝐴))
2120ex 411 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝐴𝑋) → (𝑋𝐴 → (𝑋𝐴 → ω ≼ 𝐴)))
224, 21syl5 34 . . . . 5 (𝑦 ∈ (𝐴𝑋) → (𝑋𝐴 → (𝑋𝐴 → ω ≼ 𝐴)))
2322impd 409 . . . 4 (𝑦 ∈ (𝐴𝑋) → ((𝑋𝐴𝑋𝐴) → ω ≼ 𝐴))
243, 23sylbir 234 . . 3 ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦𝑋) → ((𝑋𝐴𝑋𝐴) → ω ≼ 𝐴))
2524exlimiv 1925 . 2 (∃𝑦(𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦𝑋) → ((𝑋𝐴𝑋𝐴) → ω ≼ 𝐴))
262, 25mpcom 38 1 ((𝑋𝐴𝑋𝐴) → ω ≼ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wex 1773  wcel 2098  Vcvv 3473  cdif 3946  wss 3949  wpss 3950   class class class wbr 5152  ccnv 5681  ran crn 5683  cres 5684  ontowfo 6551  1-1-ontowf1o 6552  ωcom 7876  reccrdg 8436  cen 8967  cdom 8968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-en 8971  df-dom 8972
This theorem is referenced by:  isfin4-2  10345
  Copyright terms: Public domain W3C validator