MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infpssr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infpssr 10345
Description: Dedekind infinity implies existence of a denumerable subset: take a single point witnessing the proper subset relation and iterate the embedding. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
infpssr ((𝑋𝐴𝑋𝐴) → ω ≼ 𝐴)

Proof of Theorem infpssr
Dummy variables 𝑦 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pssnel 4476 . . 3 (𝑋𝐴 → ∃𝑦(𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦𝑋))
21adantr 480 . 2 ((𝑋𝐴𝑋𝐴) → ∃𝑦(𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦𝑋))
3 eldif 3972 . . . 4 (𝑦 ∈ (𝐴𝑋) ↔ (𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦𝑋))
4 pssss 4107 . . . . . 6 (𝑋𝐴𝑋𝐴)
5 bren 8993 . . . . . . . 8 (𝑋𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑋1-1-onto𝐴)
6 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 ∈ (𝐴𝑋) ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑓:𝑋1-1-onto𝐴) → 𝑓:𝑋1-1-onto𝐴)
7 f1ofo 6855 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:𝑋1-1-onto𝐴𝑓:𝑋onto𝐴)
8 forn 6823 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:𝑋onto𝐴 → ran 𝑓 = 𝐴)
96, 7, 83syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 ∈ (𝐴𝑋) ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑓:𝑋1-1-onto𝐴) → ran 𝑓 = 𝐴)
10 vex 3481 . . . . . . . . . . . . 13 𝑓 ∈ V
1110rnex 7932 . . . . . . . . . . . 12 ran 𝑓 ∈ V
129, 11eqeltrrdi 2847 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ (𝐴𝑋) ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑓:𝑋1-1-onto𝐴) → 𝐴 ∈ V)
13 simplr 769 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 ∈ (𝐴𝑋) ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑓:𝑋1-1-onto𝐴) → 𝑋𝐴)
14 simpll 767 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 ∈ (𝐴𝑋) ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑓:𝑋1-1-onto𝐴) → 𝑦 ∈ (𝐴𝑋))
15 eqid 2734 . . . . . . . . . . . 12 (rec(𝑓, 𝑦) ↾ ω) = (rec(𝑓, 𝑦) ↾ ω)
1613, 6, 14, 15infpssrlem5 10344 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ (𝐴𝑋) ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑓:𝑋1-1-onto𝐴) → (𝐴 ∈ V → ω ≼ 𝐴))
1712, 16mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ (𝐴𝑋) ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑓:𝑋1-1-onto𝐴) → ω ≼ 𝐴)
1817ex 412 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ (𝐴𝑋) ∧ 𝑋𝐴) → (𝑓:𝑋1-1-onto𝐴 → ω ≼ 𝐴))
1918exlimdv 1930 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ (𝐴𝑋) ∧ 𝑋𝐴) → (∃𝑓 𝑓:𝑋1-1-onto𝐴 → ω ≼ 𝐴))
205, 19biimtrid 242 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (𝐴𝑋) ∧ 𝑋𝐴) → (𝑋𝐴 → ω ≼ 𝐴))
2120ex 412 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝐴𝑋) → (𝑋𝐴 → (𝑋𝐴 → ω ≼ 𝐴)))
224, 21syl5 34 . . . . 5 (𝑦 ∈ (𝐴𝑋) → (𝑋𝐴 → (𝑋𝐴 → ω ≼ 𝐴)))
2322impd 410 . . . 4 (𝑦 ∈ (𝐴𝑋) → ((𝑋𝐴𝑋𝐴) → ω ≼ 𝐴))
243, 23sylbir 235 . . 3 ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦𝑋) → ((𝑋𝐴𝑋𝐴) → ω ≼ 𝐴))
2524exlimiv 1927 . 2 (∃𝑦(𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦𝑋) → ((𝑋𝐴𝑋𝐴) → ω ≼ 𝐴))
262, 25mpcom 38 1 ((𝑋𝐴𝑋𝐴) → ω ≼ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wex 1775  wcel 2105  Vcvv 3477  cdif 3959  wss 3962  wpss 3963   class class class wbr 5147  ccnv 5687  ran crn 5689  cres 5690  ontowfo 6560  1-1-ontowf1o 6561  ωcom 7886  reccrdg 8447  cen 8980  cdom 8981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-en 8984  df-dom 8985
This theorem is referenced by:  isfin4-2  10351
  Copyright terms: Public domain W3C validator