MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infpssr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infpssr 10348
Description: Dedekind infinity implies existence of a denumerable subset: take a single point witnessing the proper subset relation and iterate the embedding. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
infpssr ((𝑋𝐴𝑋𝐴) → ω ≼ 𝐴)

Proof of Theorem infpssr
Dummy variables 𝑦 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pssnel 4471 . . 3 (𝑋𝐴 → ∃𝑦(𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦𝑋))
21adantr 480 . 2 ((𝑋𝐴𝑋𝐴) → ∃𝑦(𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦𝑋))
3 eldif 3961 . . . 4 (𝑦 ∈ (𝐴𝑋) ↔ (𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦𝑋))
4 pssss 4098 . . . . . 6 (𝑋𝐴𝑋𝐴)
5 bren 8995 . . . . . . . 8 (𝑋𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑋1-1-onto𝐴)
6 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 ∈ (𝐴𝑋) ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑓:𝑋1-1-onto𝐴) → 𝑓:𝑋1-1-onto𝐴)
7 f1ofo 6855 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:𝑋1-1-onto𝐴𝑓:𝑋onto𝐴)
8 forn 6823 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:𝑋onto𝐴 → ran 𝑓 = 𝐴)
96, 7, 83syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 ∈ (𝐴𝑋) ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑓:𝑋1-1-onto𝐴) → ran 𝑓 = 𝐴)
10 vex 3484 . . . . . . . . . . . . 13 𝑓 ∈ V
1110rnex 7932 . . . . . . . . . . . 12 ran 𝑓 ∈ V
129, 11eqeltrrdi 2850 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ (𝐴𝑋) ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑓:𝑋1-1-onto𝐴) → 𝐴 ∈ V)
13 simplr 769 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 ∈ (𝐴𝑋) ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑓:𝑋1-1-onto𝐴) → 𝑋𝐴)
14 simpll 767 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 ∈ (𝐴𝑋) ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑓:𝑋1-1-onto𝐴) → 𝑦 ∈ (𝐴𝑋))
15 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (rec(𝑓, 𝑦) ↾ ω) = (rec(𝑓, 𝑦) ↾ ω)
1613, 6, 14, 15infpssrlem5 10347 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ (𝐴𝑋) ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑓:𝑋1-1-onto𝐴) → (𝐴 ∈ V → ω ≼ 𝐴))
1712, 16mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ (𝐴𝑋) ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑓:𝑋1-1-onto𝐴) → ω ≼ 𝐴)
1817ex 412 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ (𝐴𝑋) ∧ 𝑋𝐴) → (𝑓:𝑋1-1-onto𝐴 → ω ≼ 𝐴))
1918exlimdv 1933 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ (𝐴𝑋) ∧ 𝑋𝐴) → (∃𝑓 𝑓:𝑋1-1-onto𝐴 → ω ≼ 𝐴))
205, 19biimtrid 242 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (𝐴𝑋) ∧ 𝑋𝐴) → (𝑋𝐴 → ω ≼ 𝐴))
2120ex 412 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝐴𝑋) → (𝑋𝐴 → (𝑋𝐴 → ω ≼ 𝐴)))
224, 21syl5 34 . . . . 5 (𝑦 ∈ (𝐴𝑋) → (𝑋𝐴 → (𝑋𝐴 → ω ≼ 𝐴)))
2322impd 410 . . . 4 (𝑦 ∈ (𝐴𝑋) → ((𝑋𝐴𝑋𝐴) → ω ≼ 𝐴))
243, 23sylbir 235 . . 3 ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦𝑋) → ((𝑋𝐴𝑋𝐴) → ω ≼ 𝐴))
2524exlimiv 1930 . 2 (∃𝑦(𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦𝑋) → ((𝑋𝐴𝑋𝐴) → ω ≼ 𝐴))
262, 25mpcom 38 1 ((𝑋𝐴𝑋𝐴) → ω ≼ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  Vcvv 3480  cdif 3948  wss 3951  wpss 3952   class class class wbr 5143  ccnv 5684  ran crn 5686  cres 5687  ontowfo 6559  1-1-ontowf1o 6560  ωcom 7887  reccrdg 8449  cen 8982  cdom 8983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-en 8986  df-dom 8987
This theorem is referenced by:  isfin4-2  10354
  Copyright terms: Public domain W3C validator