MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infpssr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infpssr 10178
Description: Dedekind infinity implies existence of a denumerable subset: take a single point witnessing the proper subset relation and iterate the embedding. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
infpssr ((𝑋𝐴𝑋𝐴) → ω ≼ 𝐴)

Proof of Theorem infpssr
Dummy variables 𝑦 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pssnel 4429 . . 3 (𝑋𝐴 → ∃𝑦(𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦𝑋))
21adantr 482 . 2 ((𝑋𝐴𝑋𝐴) → ∃𝑦(𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦𝑋))
3 eldif 3919 . . . 4 (𝑦 ∈ (𝐴𝑋) ↔ (𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦𝑋))
4 pssss 4054 . . . . . 6 (𝑋𝐴𝑋𝐴)
5 bren 8827 . . . . . . . 8 (𝑋𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑋1-1-onto𝐴)
6 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 ∈ (𝐴𝑋) ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑓:𝑋1-1-onto𝐴) → 𝑓:𝑋1-1-onto𝐴)
7 f1ofo 6787 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:𝑋1-1-onto𝐴𝑓:𝑋onto𝐴)
8 forn 6755 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:𝑋onto𝐴 → ran 𝑓 = 𝐴)
96, 7, 83syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 ∈ (𝐴𝑋) ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑓:𝑋1-1-onto𝐴) → ran 𝑓 = 𝐴)
10 vex 3448 . . . . . . . . . . . . 13 𝑓 ∈ V
1110rnex 7840 . . . . . . . . . . . 12 ran 𝑓 ∈ V
129, 11eqeltrrdi 2848 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ (𝐴𝑋) ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑓:𝑋1-1-onto𝐴) → 𝐴 ∈ V)
13 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 ∈ (𝐴𝑋) ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑓:𝑋1-1-onto𝐴) → 𝑋𝐴)
14 simpll 766 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 ∈ (𝐴𝑋) ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑓:𝑋1-1-onto𝐴) → 𝑦 ∈ (𝐴𝑋))
15 eqid 2738 . . . . . . . . . . . 12 (rec(𝑓, 𝑦) ↾ ω) = (rec(𝑓, 𝑦) ↾ ω)
1613, 6, 14, 15infpssrlem5 10177 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ (𝐴𝑋) ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑓:𝑋1-1-onto𝐴) → (𝐴 ∈ V → ω ≼ 𝐴))
1712, 16mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ (𝐴𝑋) ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑓:𝑋1-1-onto𝐴) → ω ≼ 𝐴)
1817ex 414 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ (𝐴𝑋) ∧ 𝑋𝐴) → (𝑓:𝑋1-1-onto𝐴 → ω ≼ 𝐴))
1918exlimdv 1937 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ (𝐴𝑋) ∧ 𝑋𝐴) → (∃𝑓 𝑓:𝑋1-1-onto𝐴 → ω ≼ 𝐴))
205, 19biimtrid 241 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (𝐴𝑋) ∧ 𝑋𝐴) → (𝑋𝐴 → ω ≼ 𝐴))
2120ex 414 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝐴𝑋) → (𝑋𝐴 → (𝑋𝐴 → ω ≼ 𝐴)))
224, 21syl5 34 . . . . 5 (𝑦 ∈ (𝐴𝑋) → (𝑋𝐴 → (𝑋𝐴 → ω ≼ 𝐴)))
2322impd 412 . . . 4 (𝑦 ∈ (𝐴𝑋) → ((𝑋𝐴𝑋𝐴) → ω ≼ 𝐴))
243, 23sylbir 234 . . 3 ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦𝑋) → ((𝑋𝐴𝑋𝐴) → ω ≼ 𝐴))
2524exlimiv 1934 . 2 (∃𝑦(𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦𝑋) → ((𝑋𝐴𝑋𝐴) → ω ≼ 𝐴))
262, 25mpcom 38 1 ((𝑋𝐴𝑋𝐴) → ω ≼ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  Vcvv 3444  cdif 3906  wss 3909  wpss 3910   class class class wbr 5104  ccnv 5630  ran crn 5632  cres 5633  ontowfo 6490  1-1-ontowf1o 6491  ωcom 7793  reccrdg 8323  cen 8814  cdom 8815
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pr 5383  ax-un 7663
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7353  df-om 7794  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-en 8818  df-dom 8819
This theorem is referenced by:  isfin4-2  10184
  Copyright terms: Public domain W3C validator