MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ubioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ubioo 12762
Description: An open interval does not contain its right endpoint. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
ubioo ¬ 𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵)

Proof of Theorem ubioo
StepHypRef Expression
1 elioo3g 12759 . . . 4 (𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐵)))
21simprbi 499 . . 3 (𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐵))
32simprd 498 . 2 (𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐵 < 𝐵)
41simplbi 500 . . . 4 (𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
54simp2d 1137 . . 3 (𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6 xrltnr 12506 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ* → ¬ 𝐵 < 𝐵)
75, 6syl 17 . 2 (𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ¬ 𝐵 < 𝐵)
83, 7pm2.65i 196 1 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 398  w3a 1081  wcel 2107   class class class wbr 5057  (class class class)co 7148  *cxr 10666   < clt 10667  (,)cioo 12730
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-ioo 12734
This theorem is referenced by:  lhop  24605  iooinlbub  41760  lptioo2  41896  volioc  42241  fourierdlem60  42436
  Copyright terms: Public domain W3C validator