MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ubioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ubioo 13410
Description: An open interval does not contain its right endpoint. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
ubioo ¬ 𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵)

Proof of Theorem ubioo
StepHypRef Expression
1 elioo3g 13407 . . . 4 (𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐵)))
21simprbi 495 . . 3 (𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐵))
32simprd 494 . 2 (𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐵 < 𝐵)
41simplbi 496 . . . 4 (𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
54simp2d 1140 . . 3 (𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6 xrltnr 13153 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ* → ¬ 𝐵 < 𝐵)
75, 6syl 17 . 2 (𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ¬ 𝐵 < 𝐵)
83, 7pm2.65i 193 1 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 394  w3a 1084  wcel 2099   class class class wbr 5153  (class class class)co 7424  *cxr 11297   < clt 11298  (,)cioo 13378
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-ioo 13382
This theorem is referenced by:  lhop  26040  iooinlbub  45119  lptioo2  45252  volioc  45593  fourierdlem60  45787
  Copyright terms: Public domain W3C validator