Theorem lbioo 13402

Description: An open interval does not contain its left endpoint. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
lbioo	⊢ ¬ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵)

Proof of Theorem lbioo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioo3g 13400	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)))
2	1	simprbi 502	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵))
3	2	simpld 499	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 < 𝐴)
4	1	simplbi 501	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*))
5	4	simp3d 1160	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
6		xrltnr 13143	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < 𝐴)
7	5, 6	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ¬ 𝐴 < 𝐴)
8	3, 7	pm2.65i 196	1 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5113  (class class class)co 7411  ℝ^*cxr 11241   < clt 11242  (,)cioo 13371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-po 5570  df-so 5571  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-ioo 13375

This theorem is referenced by:  lhop1lem  26140  lhop1  26141  lhop  26143  iooinlbub  46108  lptioo1  46239  volico  46588  fourierdlem61  46772