MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lbioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lbioo 13249
Description: An open interval does not contain its left endpoint. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
lbioo ¬ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵)

Proof of Theorem lbioo
StepHypRef Expression
1 elioo3g 13247 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐴𝐴 < 𝐵)))
21simprbi 497 . . 3 (𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝐴𝐴 < 𝐵))
32simpld 495 . 2 (𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 < 𝐴)
41simplbi 498 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*))
54simp3d 1144 . . 3 (𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
6 xrltnr 12994 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < 𝐴)
75, 6syl 17 . 2 (𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ¬ 𝐴 < 𝐴)
83, 7pm2.65i 193 1 ¬ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 396  w3a 1087  wcel 2106   class class class wbr 5103  (class class class)co 7351  *cxr 11146   < clt 11147  (,)cioo 13218
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-po 5543  df-so 5544  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-ioo 13222
This theorem is referenced by:  lhop1lem  25329  lhop1  25330  lhop  25332  iooinlbub  43640  lptioo1  43774  volico  44125  fourierdlem61  44309
  Copyright terms: Public domain W3C validator