Theorem lbioo 13313

Description: An open interval does not contain its left endpoint. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
lbioo	⊢ ¬ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵)

Proof of Theorem lbioo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioo3g 13311	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)))
2	1	simprbi 496	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵))
3	2	simpld 494	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 < 𝐴)
4	1	simplbi 497	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*))
5	4	simp3d 1144	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
6		xrltnr 13055	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < 𝐴)
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ¬ 𝐴 < 𝐴)
8	3, 7	pm2.65i 194	1 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  (class class class)co 7369  ℝ^*cxr 11183   < clt 11184  (,)cioo 13282

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-ioo 13286

This theorem is referenced by:  lhop1lem  25894  lhop1  25895  lhop  25897  iooinlbub  45472  lptioo1  45603  volico  45954  fourierdlem61  46138