Theorem lbioo 13418

Description: An open interval does not contain its left endpoint. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
lbioo	⊢ ¬ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵)

Proof of Theorem lbioo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioo3g 13416	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)))
2	1	simprbi 496	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵))
3	2	simpld 494	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 < 𝐴)
4	1	simplbi 497	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*))
5	4	simp3d 1145	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
6		xrltnr 13161	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < 𝐴)
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ¬ 𝐴 < 𝐴)
8	3, 7	pm2.65i 194	1 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  ℝ^*cxr 11294   < clt 11295  (,)cioo 13387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-ioo 13391

This theorem is referenced by:  lhop1lem  26052  lhop1  26053  lhop  26055  iooinlbub  45514  lptioo1  45647  volico  45998  fourierdlem61  46182