Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iscvlat2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscvlat2N 36617
 Description: The predicate "is an atomic lattice with the covering (or exchange) property". (Contributed by NM, 5-Nov-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
iscvlat2.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
iscvlat2.l = (le‘𝐾)
iscvlat2.j = (join‘𝐾)
iscvlat2.m = (meet‘𝐾)
iscvlat2.z 0 = (0.‘𝐾)
iscvlat2.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
iscvlat2N (𝐾 ∈ CvLat ↔ (𝐾 ∈ AtLat ∧ ∀𝑝𝐴𝑞𝐴𝑥𝐵 (((𝑝 𝑥) = 0𝑝 (𝑥 𝑞)) → 𝑞 (𝑥 𝑝))))
Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝐾,𝑝,𝑞,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑞,𝑝)   (𝑥,𝑞,𝑝)   (𝑥,𝑞,𝑝)   (𝑥,𝑞,𝑝)   0 (𝑥,𝑞,𝑝)

Proof of Theorem iscvlat2N
StepHypRef Expression
1 iscvlat2.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 iscvlat2.l . . 3 = (le‘𝐾)
3 iscvlat2.j . . 3 = (join‘𝐾)
4 iscvlat2.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
51, 2, 3, 4iscvlat 36616 . 2 (𝐾 ∈ CvLat ↔ (𝐾 ∈ AtLat ∧ ∀𝑝𝐴𝑞𝐴𝑥𝐵 ((¬ 𝑝 𝑥𝑝 (𝑥 𝑞)) → 𝑞 (𝑥 𝑝))))
6 simpll 766 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴)) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐾 ∈ AtLat)
7 simplrl 776 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴)) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑝𝐴)
8 simpr 488 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴)) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
9 iscvlat2.m . . . . . . . . 9 = (meet‘𝐾)
10 iscvlat2.z . . . . . . . . 9 0 = (0.‘𝐾)
111, 2, 9, 10, 4atnle 36610 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑝𝐴𝑥𝐵) → (¬ 𝑝 𝑥 ↔ (𝑝 𝑥) = 0 ))
126, 7, 8, 11syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴)) ∧ 𝑥𝐵) → (¬ 𝑝 𝑥 ↔ (𝑝 𝑥) = 0 ))
1312anbi1d 632 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴)) ∧ 𝑥𝐵) → ((¬ 𝑝 𝑥𝑝 (𝑥 𝑞)) ↔ ((𝑝 𝑥) = 0𝑝 (𝑥 𝑞))))
1413imbi1d 345 . . . . 5 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴)) ∧ 𝑥𝐵) → (((¬ 𝑝 𝑥𝑝 (𝑥 𝑞)) → 𝑞 (𝑥 𝑝)) ↔ (((𝑝 𝑥) = 0𝑝 (𝑥 𝑞)) → 𝑞 (𝑥 𝑝))))
1514ralbidva 3161 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴)) → (∀𝑥𝐵 ((¬ 𝑝 𝑥𝑝 (𝑥 𝑞)) → 𝑞 (𝑥 𝑝)) ↔ ∀𝑥𝐵 (((𝑝 𝑥) = 0𝑝 (𝑥 𝑞)) → 𝑞 (𝑥 𝑝))))
16152ralbidva 3163 . . 3 (𝐾 ∈ AtLat → (∀𝑝𝐴𝑞𝐴𝑥𝐵 ((¬ 𝑝 𝑥𝑝 (𝑥 𝑞)) → 𝑞 (𝑥 𝑝)) ↔ ∀𝑝𝐴𝑞𝐴𝑥𝐵 (((𝑝 𝑥) = 0𝑝 (𝑥 𝑞)) → 𝑞 (𝑥 𝑝))))
1716pm5.32i 578 . 2 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ ∀𝑝𝐴𝑞𝐴𝑥𝐵 ((¬ 𝑝 𝑥𝑝 (𝑥 𝑞)) → 𝑞 (𝑥 𝑝))) ↔ (𝐾 ∈ AtLat ∧ ∀𝑝𝐴𝑞𝐴𝑥𝐵 (((𝑝 𝑥) = 0𝑝 (𝑥 𝑞)) → 𝑞 (𝑥 𝑝))))
185, 17bitri 278 1 (𝐾 ∈ CvLat ↔ (𝐾 ∈ AtLat ∧ ∀𝑝𝐴𝑞𝐴𝑥𝐵 (((𝑝 𝑥) = 0𝑝 (𝑥 𝑞)) → 𝑞 (𝑥 𝑝))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16475  lecple 16564  joincjn 17546  meetcmee 17547  0.cp0 17639  Atomscatm 36556  AtLatcal 36557  CvLatclc 36558 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-p0 17641  df-lat 17648  df-covers 36559  df-ats 36560  df-atl 36591  df-cvlat 36615 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator