Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iscvlat2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscvlat2N 39325
Description: The predicate "is an atomic lattice with the covering (or exchange) property". (Contributed by NM, 5-Nov-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
iscvlat2.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
iscvlat2.l = (le‘𝐾)
iscvlat2.j = (join‘𝐾)
iscvlat2.m = (meet‘𝐾)
iscvlat2.z 0 = (0.‘𝐾)
iscvlat2.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
iscvlat2N (𝐾 ∈ CvLat ↔ (𝐾 ∈ AtLat ∧ ∀𝑝𝐴𝑞𝐴𝑥𝐵 (((𝑝 𝑥) = 0𝑝 (𝑥 𝑞)) → 𝑞 (𝑥 𝑝))))
Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝐾,𝑝,𝑞,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑞,𝑝)   (𝑥,𝑞,𝑝)   (𝑥,𝑞,𝑝)   (𝑥,𝑞,𝑝)   0 (𝑥,𝑞,𝑝)

Proof of Theorem iscvlat2N
StepHypRef Expression
1 iscvlat2.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 iscvlat2.l . . 3 = (le‘𝐾)
3 iscvlat2.j . . 3 = (join‘𝐾)
4 iscvlat2.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
51, 2, 3, 4iscvlat 39324 . 2 (𝐾 ∈ CvLat ↔ (𝐾 ∈ AtLat ∧ ∀𝑝𝐴𝑞𝐴𝑥𝐵 ((¬ 𝑝 𝑥𝑝 (𝑥 𝑞)) → 𝑞 (𝑥 𝑝))))
6 simpll 767 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴)) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐾 ∈ AtLat)
7 simplrl 777 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴)) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑝𝐴)
8 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴)) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
9 iscvlat2.m . . . . . . . . 9 = (meet‘𝐾)
10 iscvlat2.z . . . . . . . . 9 0 = (0.‘𝐾)
111, 2, 9, 10, 4atnle 39318 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑝𝐴𝑥𝐵) → (¬ 𝑝 𝑥 ↔ (𝑝 𝑥) = 0 ))
126, 7, 8, 11syl3anc 1373 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴)) ∧ 𝑥𝐵) → (¬ 𝑝 𝑥 ↔ (𝑝 𝑥) = 0 ))
1312anbi1d 631 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴)) ∧ 𝑥𝐵) → ((¬ 𝑝 𝑥𝑝 (𝑥 𝑞)) ↔ ((𝑝 𝑥) = 0𝑝 (𝑥 𝑞))))
1413imbi1d 341 . . . . 5 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴)) ∧ 𝑥𝐵) → (((¬ 𝑝 𝑥𝑝 (𝑥 𝑞)) → 𝑞 (𝑥 𝑝)) ↔ (((𝑝 𝑥) = 0𝑝 (𝑥 𝑞)) → 𝑞 (𝑥 𝑝))))
1514ralbidva 3176 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴)) → (∀𝑥𝐵 ((¬ 𝑝 𝑥𝑝 (𝑥 𝑞)) → 𝑞 (𝑥 𝑝)) ↔ ∀𝑥𝐵 (((𝑝 𝑥) = 0𝑝 (𝑥 𝑞)) → 𝑞 (𝑥 𝑝))))
16152ralbidva 3219 . . 3 (𝐾 ∈ AtLat → (∀𝑝𝐴𝑞𝐴𝑥𝐵 ((¬ 𝑝 𝑥𝑝 (𝑥 𝑞)) → 𝑞 (𝑥 𝑝)) ↔ ∀𝑝𝐴𝑞𝐴𝑥𝐵 (((𝑝 𝑥) = 0𝑝 (𝑥 𝑞)) → 𝑞 (𝑥 𝑝))))
1716pm5.32i 574 . 2 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ ∀𝑝𝐴𝑞𝐴𝑥𝐵 ((¬ 𝑝 𝑥𝑝 (𝑥 𝑞)) → 𝑞 (𝑥 𝑝))) ↔ (𝐾 ∈ AtLat ∧ ∀𝑝𝐴𝑞𝐴𝑥𝐵 (((𝑝 𝑥) = 0𝑝 (𝑥 𝑞)) → 𝑞 (𝑥 𝑝))))
185, 17bitri 275 1 (𝐾 ∈ CvLat ↔ (𝐾 ∈ AtLat ∧ ∀𝑝𝐴𝑞𝐴𝑥𝐵 (((𝑝 𝑥) = 0𝑝 (𝑥 𝑞)) → 𝑞 (𝑥 𝑝))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  lecple 17304  joincjn 18357  meetcmee 18358  0.cp0 18468  Atomscatm 39264  AtLatcal 39265  CvLatclc 39266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-lat 18477  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator