Theorem iscvlat2N 39422

Description: The predicate "is an atomic lattice with the covering (or exchange) property". (Contributed by NM, 5-Nov-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscvlat2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
iscvlat2.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
iscvlat2.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
iscvlat2.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
iscvlat2.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
iscvlat2.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
iscvlat2N	⊢ (𝐾 ∈ CvLat ↔ (𝐾 ∈ AtLat ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐴 ∀𝑞 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝑝 ∧ 𝑥) = 0 ∧ 𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑞)) → 𝑞 ≤ (𝑥 ∨ 𝑝))))

Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝐾,𝑝,𝑞,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑞,𝑝)   ∨ (𝑥,𝑞,𝑝)   ≤ (𝑥,𝑞,𝑝)   ∧ (𝑥,𝑞,𝑝)   0 (𝑥,𝑞,𝑝)

Proof of Theorem iscvlat2N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscvlat2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		iscvlat2.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		iscvlat2.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		iscvlat2.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	iscvlat 39421	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ CvLat ↔ (𝐾 ∈ AtLat ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐴 ∀𝑞 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((¬ 𝑝 ≤ 𝑥 ∧ 𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑞)) → 𝑞 ≤ (𝑥 ∨ 𝑝))))
6		simpll 766	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ AtLat)
7		simplrl 776	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑝 ∈ 𝐴)
8		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
9		iscvlat2.m	. . . . . . . . 9 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
10		iscvlat2.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
11	1, 2, 9, 10, 4	atnle 39415	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑝 ≤ 𝑥 ↔ (𝑝 ∧ 𝑥) = 0 ))
12	6, 7, 8, 11	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑝 ≤ 𝑥 ↔ (𝑝 ∧ 𝑥) = 0 ))
13	12	anbi1d 631	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((¬ 𝑝 ≤ 𝑥 ∧ 𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑞)) ↔ ((𝑝 ∧ 𝑥) = 0 ∧ 𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑞))))
14	13	imbi1d 341	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (((¬ 𝑝 ≤ 𝑥 ∧ 𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑞)) → 𝑞 ≤ (𝑥 ∨ 𝑝)) ↔ (((𝑝 ∧ 𝑥) = 0 ∧ 𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑞)) → 𝑞 ≤ (𝑥 ∨ 𝑝))))
15	14	ralbidva 3153	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ((¬ 𝑝 ≤ 𝑥 ∧ 𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑞)) → 𝑞 ≤ (𝑥 ∨ 𝑝)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝑝 ∧ 𝑥) = 0 ∧ 𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑞)) → 𝑞 ≤ (𝑥 ∨ 𝑝))))
16	15	2ralbidva 3194	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → (∀𝑝 ∈ 𝐴 ∀𝑞 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((¬ 𝑝 ≤ 𝑥 ∧ 𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑞)) → 𝑞 ≤ (𝑥 ∨ 𝑝)) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐴 ∀𝑞 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝑝 ∧ 𝑥) = 0 ∧ 𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑞)) → 𝑞 ≤ (𝑥 ∨ 𝑝))))
17	16	pm5.32i 574	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐴 ∀𝑞 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((¬ 𝑝 ≤ 𝑥 ∧ 𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑞)) → 𝑞 ≤ (𝑥 ∨ 𝑝))) ↔ (𝐾 ∈ AtLat ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐴 ∀𝑞 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝑝 ∧ 𝑥) = 0 ∧ 𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑞)) → 𝑞 ≤ (𝑥 ∨ 𝑝))))
18	5, 17	bitri 275	1 ⊢ (𝐾 ∈ CvLat ↔ (𝐾 ∈ AtLat ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐴 ∀𝑞 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝑝 ∧ 𝑥) = 0 ∧ 𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑞)) → 𝑞 ≤ (𝑥 ∨ 𝑝))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120  lecple 17168  joincjn 18217  meetcmee 18218  0.cp0 18327  Atomscatm 39361  AtLatcal 39362  CvLatclc 39363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-proset 18200  df-poset 18219  df-plt 18234  df-lub 18250  df-glb 18251  df-join 18252  df-meet 18253  df-p0 18329  df-lat 18338  df-covers 39364  df-ats 39365  df-atl 39396  df-cvlat 39420

This theorem is referenced by: (None)