Theorem iscvlat2N 36004

Description: The predicate "is an atomic lattice with the covering (or exchange) property". (Contributed by NM, 5-Nov-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscvlat2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
iscvlat2.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
iscvlat2.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
iscvlat2.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
iscvlat2.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
iscvlat2.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
iscvlat2N	⊢ (𝐾 ∈ CvLat ↔ (𝐾 ∈ AtLat ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐴 ∀𝑞 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝑝 ∧ 𝑥) = 0 ∧ 𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑞)) → 𝑞 ≤ (𝑥 ∨ 𝑝))))

Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝐾,𝑝,𝑞,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑞,𝑝)   ∨ (𝑥,𝑞,𝑝)   ≤ (𝑥,𝑞,𝑝)   ∧ (𝑥,𝑞,𝑝)   0 (𝑥,𝑞,𝑝)

Proof of Theorem iscvlat2N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscvlat2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		iscvlat2.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		iscvlat2.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		iscvlat2.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	iscvlat 36003	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ CvLat ↔ (𝐾 ∈ AtLat ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐴 ∀𝑞 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((¬ 𝑝 ≤ 𝑥 ∧ 𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑞)) → 𝑞 ≤ (𝑥 ∨ 𝑝))))
6		simpll 763	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ AtLat)
7		simplrl 773	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑝 ∈ 𝐴)
8		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
9		iscvlat2.m	. . . . . . . . 9 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
10		iscvlat2.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
11	1, 2, 9, 10, 4	atnle 35997	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑝 ≤ 𝑥 ↔ (𝑝 ∧ 𝑥) = 0 ))
12	6, 7, 8, 11	syl3anc 1364	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑝 ≤ 𝑥 ↔ (𝑝 ∧ 𝑥) = 0 ))
13	12	anbi1d 629	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((¬ 𝑝 ≤ 𝑥 ∧ 𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑞)) ↔ ((𝑝 ∧ 𝑥) = 0 ∧ 𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑞))))
14	13	imbi1d 343	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (((¬ 𝑝 ≤ 𝑥 ∧ 𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑞)) → 𝑞 ≤ (𝑥 ∨ 𝑝)) ↔ (((𝑝 ∧ 𝑥) = 0 ∧ 𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑞)) → 𝑞 ≤ (𝑥 ∨ 𝑝))))
15	14	ralbidva 3162	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ((¬ 𝑝 ≤ 𝑥 ∧ 𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑞)) → 𝑞 ≤ (𝑥 ∨ 𝑝)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝑝 ∧ 𝑥) = 0 ∧ 𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑞)) → 𝑞 ≤ (𝑥 ∨ 𝑝))))
16	15	2ralbidva 3164	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → (∀𝑝 ∈ 𝐴 ∀𝑞 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((¬ 𝑝 ≤ 𝑥 ∧ 𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑞)) → 𝑞 ≤ (𝑥 ∨ 𝑝)) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐴 ∀𝑞 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝑝 ∧ 𝑥) = 0 ∧ 𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑞)) → 𝑞 ≤ (𝑥 ∨ 𝑝))))
17	16	pm5.32i 575	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐴 ∀𝑞 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((¬ 𝑝 ≤ 𝑥 ∧ 𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑞)) → 𝑞 ≤ (𝑥 ∨ 𝑝))) ↔ (𝐾 ∈ AtLat ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐴 ∀𝑞 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝑝 ∧ 𝑥) = 0 ∧ 𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑞)) → 𝑞 ≤ (𝑥 ∨ 𝑝))))
18	5, 17	bitri 276	1 ⊢ (𝐾 ∈ CvLat ↔ (𝐾 ∈ AtLat ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐴 ∀𝑞 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝑝 ∧ 𝑥) = 0 ∧ 𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑞)) → 𝑞 ≤ (𝑥 ∨ 𝑝))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1522   ∈ wcel 2080  ∀wral 3104   class class class wbr 4964  ‘cfv 6228  (class class class)co 7019  Basecbs 16312  lecple 16401  joincjn 17383  meetcmee 17384  0.cp0 17476  Atomscatm 35943  AtLatcal 35944  CvLatclc 35945

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1778  ax-4 1792  ax-5 1889  ax-6 1948  ax-7 1993  ax-8 2082  ax-9 2090  ax-10 2111  ax-11 2125  ax-12 2140  ax-13 2343  ax-ext 2768  ax-rep 5084  ax-sep 5097  ax-nul 5104  ax-pow 5160  ax-pr 5224  ax-un 7322

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1763  df-nf 1767  df-sb 2042  df-mo 2575  df-eu 2611  df-clab 2775  df-cleq 2787  df-clel 2862  df-nfc 2934  df-ne 2984  df-ral 3109  df-rex 3110  df-reu 3111  df-rab 3113  df-v 3438  df-sbc 3708  df-csb 3814  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3876  df-nul 4214  df-if 4384  df-pw 4457  df-sn 4475  df-pr 4477  df-op 4481  df-uni 4748  df-iun 4829  df-br 4965  df-opab 5027  df-mpt 5044  df-id 5351  df-xp 5452  df-rel 5453  df-cnv 5454  df-co 5455  df-dm 5456  df-rn 5457  df-res 5458  df-ima 5459  df-iota 6192  df-fun 6230  df-fn 6231  df-f 6232  df-f1 6233  df-fo 6234  df-f1o 6235  df-fv 6236  df-riota 6980  df-ov 7022  df-oprab 7023  df-proset 17367  df-poset 17385  df-plt 17397  df-lub 17413  df-glb 17414  df-join 17415  df-meet 17416  df-p0 17478  df-lat 17485  df-covers 35946  df-ats 35947  df-atl 35978  df-cvlat 36002

This theorem is referenced by: (None)