Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iscvlat2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscvlat2N 37832
Description: The predicate "is an atomic lattice with the covering (or exchange) property". (Contributed by NM, 5-Nov-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
iscvlat2.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
iscvlat2.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
iscvlat2.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
iscvlat2.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
iscvlat2.z 0 = (0.β€˜πΎ)
iscvlat2.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
iscvlat2N (𝐾 ∈ CvLat ↔ (𝐾 ∈ AtLat ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (((𝑝 ∧ π‘₯) = 0 ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘ž)) β†’ π‘ž ≀ (π‘₯ ∨ 𝑝))))
Distinct variable groups:   π‘ž,𝑝,π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   𝐾,𝑝,π‘ž,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘ž,𝑝)   ∨ (π‘₯,π‘ž,𝑝)   ≀ (π‘₯,π‘ž,𝑝)   ∧ (π‘₯,π‘ž,𝑝)   0 (π‘₯,π‘ž,𝑝)

Proof of Theorem iscvlat2N
StepHypRef Expression
1 iscvlat2.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 iscvlat2.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 iscvlat2.j . . 3 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
4 iscvlat2.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
51, 2, 3, 4iscvlat 37831 . 2 (𝐾 ∈ CvLat ↔ (𝐾 ∈ AtLat ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘₯ ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘ž)) β†’ π‘ž ≀ (π‘₯ ∨ 𝑝))))
6 simpll 766 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
7 simplrl 776 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
8 simpr 486 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
9 iscvlat2.m . . . . . . . . 9 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
10 iscvlat2.z . . . . . . . . 9 0 = (0.β€˜πΎ)
111, 2, 9, 10, 4atnle 37825 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ 𝑝 ≀ π‘₯ ↔ (𝑝 ∧ π‘₯) = 0 ))
126, 7, 8, 11syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ 𝑝 ≀ π‘₯ ↔ (𝑝 ∧ π‘₯) = 0 ))
1312anbi1d 631 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘₯ ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘ž)) ↔ ((𝑝 ∧ π‘₯) = 0 ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘ž))))
1413imbi1d 342 . . . . 5 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (((Β¬ 𝑝 ≀ π‘₯ ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘ž)) β†’ π‘ž ≀ (π‘₯ ∨ 𝑝)) ↔ (((𝑝 ∧ π‘₯) = 0 ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘ž)) β†’ π‘ž ≀ (π‘₯ ∨ 𝑝))))
1514ralbidva 3169 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘₯ ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘ž)) β†’ π‘ž ≀ (π‘₯ ∨ 𝑝)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (((𝑝 ∧ π‘₯) = 0 ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘ž)) β†’ π‘ž ≀ (π‘₯ ∨ 𝑝))))
16152ralbidva 3207 . . 3 (𝐾 ∈ AtLat β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘₯ ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘ž)) β†’ π‘ž ≀ (π‘₯ ∨ 𝑝)) ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (((𝑝 ∧ π‘₯) = 0 ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘ž)) β†’ π‘ž ≀ (π‘₯ ∨ 𝑝))))
1716pm5.32i 576 . 2 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘₯ ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘ž)) β†’ π‘ž ≀ (π‘₯ ∨ 𝑝))) ↔ (𝐾 ∈ AtLat ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (((𝑝 ∧ π‘₯) = 0 ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘ž)) β†’ π‘ž ≀ (π‘₯ ∨ 𝑝))))
185, 17bitri 275 1 (𝐾 ∈ CvLat ↔ (𝐾 ∈ AtLat ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (((𝑝 ∧ π‘₯) = 0 ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘ž)) β†’ π‘ž ≀ (π‘₯ ∨ 𝑝))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  lecple 17145  joincjn 18205  meetcmee 18206  0.cp0 18317  Atomscatm 37771  AtLatcal 37772  CvLatclc 37773
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-proset 18189  df-poset 18207  df-plt 18224  df-lub 18240  df-glb 18241  df-join 18242  df-meet 18243  df-p0 18319  df-lat 18326  df-covers 37774  df-ats 37775  df-atl 37806  df-cvlat 37830
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator