Theorem iscvlat2N 39305

Description: The predicate "is an atomic lattice with the covering (or exchange) property". (Contributed by NM, 5-Nov-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscvlat2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
iscvlat2.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
iscvlat2.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
iscvlat2.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
iscvlat2.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
iscvlat2.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
iscvlat2N	⊢ (𝐾 ∈ CvLat ↔ (𝐾 ∈ AtLat ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐴 ∀𝑞 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝑝 ∧ 𝑥) = 0 ∧ 𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑞)) → 𝑞 ≤ (𝑥 ∨ 𝑝))))

Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝐾,𝑝,𝑞,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑞,𝑝)   ∨ (𝑥,𝑞,𝑝)   ≤ (𝑥,𝑞,𝑝)   ∧ (𝑥,𝑞,𝑝)   0 (𝑥,𝑞,𝑝)

Proof of Theorem iscvlat2N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscvlat2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		iscvlat2.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		iscvlat2.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		iscvlat2.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	iscvlat 39304	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ CvLat ↔ (𝐾 ∈ AtLat ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐴 ∀𝑞 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((¬ 𝑝 ≤ 𝑥 ∧ 𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑞)) → 𝑞 ≤ (𝑥 ∨ 𝑝))))
6		simpll 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ AtLat)
7		simplrl 777	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑝 ∈ 𝐴)
8		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
9		iscvlat2.m	. . . . . . . . 9 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
10		iscvlat2.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
11	1, 2, 9, 10, 4	atnle 39298	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑝 ≤ 𝑥 ↔ (𝑝 ∧ 𝑥) = 0 ))
12	6, 7, 8, 11	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑝 ≤ 𝑥 ↔ (𝑝 ∧ 𝑥) = 0 ))
13	12	anbi1d 631	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((¬ 𝑝 ≤ 𝑥 ∧ 𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑞)) ↔ ((𝑝 ∧ 𝑥) = 0 ∧ 𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑞))))
14	13	imbi1d 341	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (((¬ 𝑝 ≤ 𝑥 ∧ 𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑞)) → 𝑞 ≤ (𝑥 ∨ 𝑝)) ↔ (((𝑝 ∧ 𝑥) = 0 ∧ 𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑞)) → 𝑞 ≤ (𝑥 ∨ 𝑝))))
15	14	ralbidva 3173	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ((¬ 𝑝 ≤ 𝑥 ∧ 𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑞)) → 𝑞 ≤ (𝑥 ∨ 𝑝)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝑝 ∧ 𝑥) = 0 ∧ 𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑞)) → 𝑞 ≤ (𝑥 ∨ 𝑝))))
16	15	2ralbidva 3216	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → (∀𝑝 ∈ 𝐴 ∀𝑞 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((¬ 𝑝 ≤ 𝑥 ∧ 𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑞)) → 𝑞 ≤ (𝑥 ∨ 𝑝)) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐴 ∀𝑞 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝑝 ∧ 𝑥) = 0 ∧ 𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑞)) → 𝑞 ≤ (𝑥 ∨ 𝑝))))
17	16	pm5.32i 574	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐴 ∀𝑞 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((¬ 𝑝 ≤ 𝑥 ∧ 𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑞)) → 𝑞 ≤ (𝑥 ∨ 𝑝))) ↔ (𝐾 ∈ AtLat ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐴 ∀𝑞 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝑝 ∧ 𝑥) = 0 ∧ 𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑞)) → 𝑞 ≤ (𝑥 ∨ 𝑝))))
18	5, 17	bitri 275	1 ⊢ (𝐾 ∈ CvLat ↔ (𝐾 ∈ AtLat ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐴 ∀𝑞 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝑝 ∧ 𝑥) = 0 ∧ 𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑞)) → 𝑞 ≤ (𝑥 ∨ 𝑝))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ∀wral 3058   class class class wbr 5147  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  Basecbs 17244  lecple 17304  joincjn 18368  meetcmee 18369  0.cp0 18480  Atomscatm 39244  AtLatcal 39245  CvLatclc 39246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-proset 18351  df-poset 18370  df-plt 18387  df-lub 18403  df-glb 18404  df-join 18405  df-meet 18406  df-p0 18482  df-lat 18489  df-covers 39247  df-ats 39248  df-atl 39279  df-cvlat 39303

This theorem is referenced by: (None)