MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isgrpoi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isgrpoi 30018
Description: Properties that determine a group operation. Read 𝑁 as 𝑁(𝑥). (Contributed by NM, 4-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
isgrpoi.1 𝑋 ∈ V
isgrpoi.2 𝐺:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋
isgrpoi.3 ((𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐺𝑧) = (𝑥𝐺(𝑦𝐺𝑧)))
isgrpoi.4 𝑈𝑋
isgrpoi.5 (𝑥𝑋 → (𝑈𝐺𝑥) = 𝑥)
isgrpoi.6 (𝑥𝑋𝑁𝑋)
isgrpoi.7 (𝑥𝑋 → (𝑁𝐺𝑥) = 𝑈)
Assertion
Ref Expression
isgrpoi 𝐺 ∈ GrpOp
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐺   𝑥,𝑈,𝑦,𝑧   𝑥,𝑋,𝑦,𝑧   𝑦,𝑁
Allowed substitution hints:   𝑁(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem isgrpoi
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isgrpoi.2 . 2 𝐺:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋
2 isgrpoi.3 . . 3 ((𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐺𝑧) = (𝑥𝐺(𝑦𝐺𝑧)))
32rgen3 3200 . 2 𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋 ((𝑥𝐺𝑦)𝐺𝑧) = (𝑥𝐺(𝑦𝐺𝑧))
4 isgrpoi.4 . . 3 𝑈𝑋
5 isgrpoi.5 . . . . 5 (𝑥𝑋 → (𝑈𝐺𝑥) = 𝑥)
6 isgrpoi.6 . . . . . 6 (𝑥𝑋𝑁𝑋)
7 isgrpoi.7 . . . . . 6 (𝑥𝑋 → (𝑁𝐺𝑥) = 𝑈)
8 oveq1 7418 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑁 → (𝑦𝐺𝑥) = (𝑁𝐺𝑥))
98eqeq1d 2732 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑁 → ((𝑦𝐺𝑥) = 𝑈 ↔ (𝑁𝐺𝑥) = 𝑈))
109rspcev 3611 . . . . . 6 ((𝑁𝑋 ∧ (𝑁𝐺𝑥) = 𝑈) → ∃𝑦𝑋 (𝑦𝐺𝑥) = 𝑈)
116, 7, 10syl2anc 582 . . . . 5 (𝑥𝑋 → ∃𝑦𝑋 (𝑦𝐺𝑥) = 𝑈)
125, 11jca 510 . . . 4 (𝑥𝑋 → ((𝑈𝐺𝑥) = 𝑥 ∧ ∃𝑦𝑋 (𝑦𝐺𝑥) = 𝑈))
1312rgen 3061 . . 3 𝑥𝑋 ((𝑈𝐺𝑥) = 𝑥 ∧ ∃𝑦𝑋 (𝑦𝐺𝑥) = 𝑈)
14 oveq1 7418 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑈 → (𝑢𝐺𝑥) = (𝑈𝐺𝑥))
1514eqeq1d 2732 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑈 → ((𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑈𝐺𝑥) = 𝑥))
16 eqeq2 2742 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑈 → ((𝑦𝐺𝑥) = 𝑢 ↔ (𝑦𝐺𝑥) = 𝑈))
1716rexbidv 3176 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑈 → (∃𝑦𝑋 (𝑦𝐺𝑥) = 𝑢 ↔ ∃𝑦𝑋 (𝑦𝐺𝑥) = 𝑈))
1815, 17anbi12d 629 . . . . 5 (𝑢 = 𝑈 → (((𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ∧ ∃𝑦𝑋 (𝑦𝐺𝑥) = 𝑢) ↔ ((𝑈𝐺𝑥) = 𝑥 ∧ ∃𝑦𝑋 (𝑦𝐺𝑥) = 𝑈)))
1918ralbidv 3175 . . . 4 (𝑢 = 𝑈 → (∀𝑥𝑋 ((𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ∧ ∃𝑦𝑋 (𝑦𝐺𝑥) = 𝑢) ↔ ∀𝑥𝑋 ((𝑈𝐺𝑥) = 𝑥 ∧ ∃𝑦𝑋 (𝑦𝐺𝑥) = 𝑈)))
2019rspcev 3611 . . 3 ((𝑈𝑋 ∧ ∀𝑥𝑋 ((𝑈𝐺𝑥) = 𝑥 ∧ ∃𝑦𝑋 (𝑦𝐺𝑥) = 𝑈)) → ∃𝑢𝑋𝑥𝑋 ((𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ∧ ∃𝑦𝑋 (𝑦𝐺𝑥) = 𝑢))
214, 13, 20mp2an 688 . 2 𝑢𝑋𝑥𝑋 ((𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ∧ ∃𝑦𝑋 (𝑦𝐺𝑥) = 𝑢)
22 isgrpoi.1 . . . . 5 𝑋 ∈ V
2322, 22xpex 7742 . . . 4 (𝑋 × 𝑋) ∈ V
24 fex 7229 . . . 4 ((𝐺:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋 ∧ (𝑋 × 𝑋) ∈ V) → 𝐺 ∈ V)
251, 23, 24mp2an 688 . . 3 𝐺 ∈ V
265eqcomd 2736 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑋𝑥 = (𝑈𝐺𝑥))
27 rspceov 7458 . . . . . . . . . 10 ((𝑈𝑋𝑥𝑋𝑥 = (𝑈𝐺𝑥)) → ∃𝑦𝑋𝑧𝑋 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧))
284, 27mp3an1 1446 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝑋𝑥 = (𝑈𝐺𝑥)) → ∃𝑦𝑋𝑧𝑋 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧))
2926, 28mpdan 683 . . . . . . . 8 (𝑥𝑋 → ∃𝑦𝑋𝑧𝑋 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧))
3029rgen 3061 . . . . . . 7 𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)
31 foov 7583 . . . . . . 7 (𝐺:(𝑋 × 𝑋)–onto𝑋 ↔ (𝐺:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)))
321, 30, 31mpbir2an 707 . . . . . 6 𝐺:(𝑋 × 𝑋)–onto𝑋
33 forn 6807 . . . . . 6 (𝐺:(𝑋 × 𝑋)–onto𝑋 → ran 𝐺 = 𝑋)
3432, 33ax-mp 5 . . . . 5 ran 𝐺 = 𝑋
3534eqcomi 2739 . . . 4 𝑋 = ran 𝐺
3635isgrpo 30017 . . 3 (𝐺 ∈ V → (𝐺 ∈ GrpOp ↔ (𝐺:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋 ((𝑥𝐺𝑦)𝐺𝑧) = (𝑥𝐺(𝑦𝐺𝑧)) ∧ ∃𝑢𝑋𝑥𝑋 ((𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ∧ ∃𝑦𝑋 (𝑦𝐺𝑥) = 𝑢))))
3725, 36ax-mp 5 . 2 (𝐺 ∈ GrpOp ↔ (𝐺:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋 ((𝑥𝐺𝑦)𝐺𝑧) = (𝑥𝐺(𝑦𝐺𝑧)) ∧ ∃𝑢𝑋𝑥𝑋 ((𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ∧ ∃𝑦𝑋 (𝑦𝐺𝑥) = 𝑢)))
381, 3, 21, 37mpbir3an 1339 1 𝐺 ∈ GrpOp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1085   = wceq 1539  wcel 2104  wral 3059  wrex 3068  Vcvv 3472   × cxp 5673  ran crn 5676  wf 6538  ontowfo 6540  (class class class)co 7411  GrpOpcgr 30009
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-grpo 30013
This theorem is referenced by:  cnaddabloOLD  30101  hilablo  30680  hhssabloilem  30781  grposnOLD  37053
  Copyright terms: Public domain W3C validator