Theorem hilablo 31140

Description: Hilbert space vector addition is an Abelian group operation. (Contributed by NM, 15-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hilablo	⊢ +ℎ ∈ AbelOp

Proof of Theorem hilablo

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hilex 30979	. . 3 ⊢ ℋ ∈ V
2		ax-hfvadd 30980	. . 3 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
3		ax-hvass 30982	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧) = (𝑥 +ℎ (𝑦 +ℎ 𝑧)))
4		ax-hv0cl 30983	. . 3 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
5		hvaddlid 31003	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (0ℎ +ℎ 𝑥) = 𝑥)
6		neg1cn 12110	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
7		hvmulcl 30993	. . . 4 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (-1 ·ℎ 𝑥) ∈ ℋ)
8	6, 7	mpan 690	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (-1 ·ℎ 𝑥) ∈ ℋ)
9		ax-hvcom 30981	. . . . 5 ⊢ (((-1 ·ℎ 𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((-1 ·ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥) = (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑥)))
10	8, 9	mpancom 688	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((-1 ·ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥) = (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑥)))
11		hvnegid 31007	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑥)) = 0ℎ)
12	10, 11	eqtrd 2766	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((-1 ·ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥) = 0ℎ)
13	1, 2, 3, 4, 5, 8, 12	isgrpoi 30478	. 2 ⊢ +ℎ ∈ GrpOp
14	2	fdmi 6662	. 2 ⊢ dom +ℎ = ( ℋ × ℋ)
15		ax-hvcom 30981	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑦 +ℎ 𝑥))
16	13, 14, 15	isabloi 30531	1 ⊢ +ℎ ∈ AbelOp

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   × cxp 5612  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  1c1 11007  -cneg 11345  AbelOpcablo 30524   ℋchba 30899   +_ℎ cva 30900   ·_ℎ csm 30901  0_ℎc0v 30904

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-hilex 30979  ax-hfvadd 30980  ax-hvcom 30981  ax-hvass 30982  ax-hv0cl 30983  ax-hvaddid 30984  ax-hfvmul 30985  ax-hvmulid 30986  ax-hvdistr2 30989  ax-hvmul0 30990

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-ltxr 11151  df-sub 11346  df-neg 11347  df-grpo 30473  df-ablo 30525  df-hvsub 30951

This theorem is referenced by:  hilid  31141  hilvc  31142  hhnv  31145  hhba  31147  hhph  31158  hhssva  31237  hhsssm  31238  hhssabloilem  31241  hhshsslem1  31247  shsval  31292