Theorem hilablo 31755

Description: Hilbert space vector addition is an Abelian group operation. (Contributed by NM, 15-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hilablo	⊢ +ℎ ∈ AbelOp

Proof of Theorem hilablo

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hilex 31594	. . 3 ⊢ ℋ ∈ V
2		ax-hfvadd 31595	. . 3 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
3		ax-hvass 31597	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧) = (𝑥 +ℎ (𝑦 +ℎ 𝑧)))
4		ax-hv0cl 31598	. . 3 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
5		hvaddlid 31618	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (0ℎ +ℎ 𝑥) = 𝑥)
6		neg1cn 12298	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
7		hvmulcl 31608	. . . 4 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (-1 ·ℎ 𝑥) ∈ ℋ)
8	6, 7	mpan 703	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (-1 ·ℎ 𝑥) ∈ ℋ)
9		ax-hvcom 31596	. . . . 5 ⊢ (((-1 ·ℎ 𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((-1 ·ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥) = (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑥)))
10	8, 9	mpancom 701	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((-1 ·ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥) = (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑥)))
11		hvnegid 31622	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑥)) = 0ℎ)
12	10, 11	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((-1 ·ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥) = 0ℎ)
13	1, 2, 3, 4, 5, 8, 12	isgrpoi 31093	. 2 ⊢ +ℎ ∈ GrpOp
14	2	fdmi 6719	. 2 ⊢ dom +ℎ = ( ℋ × ℋ)
15		ax-hvcom 31596	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑦 +ℎ 𝑥))
16	13, 14, 15	isabloi 31146	1 ⊢ +ℎ ∈ AbelOp

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   × cxp 5649  (class class class)co 7418  ℂcc 11191  1c1 11194  -cneg 11535  AbelOpcablo 31139   ℋchba 31514   +_ℎ cva 31515   ·_ℎ csm 31516  0_ℎc0v 31519

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-hilex 31594  ax-hfvadd 31595  ax-hvcom 31596  ax-hvass 31597  ax-hv0cl 31598  ax-hvaddid 31599  ax-hfvmul 31600  ax-hvmulid 31601  ax-hvdistr2 31604  ax-hvmul0 31605

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-ltxr 11341  df-sub 11536  df-neg 11537  df-grpo 31088  df-ablo 31140  df-hvsub 31566

This theorem is used by:  hilid  31756  hilvc  31757  hhnv  31760  hhba  31762  hhph  31773  hhssva  31852  hhsssm  31853  hhssabloilem  31856  hhshsslem1  31862  shsval  31907