HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hilablo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hilablo 30917
Description: Hilbert space vector addition is an Abelian group operation. (Contributed by NM, 15-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hilablo +โ„Ž โˆˆ AbelOp

Proof of Theorem hilablo
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-hilex 30756 . . 3 โ„‹ โˆˆ V
2 ax-hfvadd 30757 . . 3 +โ„Ž :( โ„‹ ร— โ„‹)โŸถ โ„‹
3 ax-hvass 30759 . . 3 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) = (๐‘ฅ +โ„Ž (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)))
4 ax-hv0cl 30760 . . 3 0โ„Ž โˆˆ โ„‹
5 hvaddlid 30780 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (0โ„Ž +โ„Ž ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ)
6 neg1cn 12327 . . . 4 -1 โˆˆ โ„‚
7 hvmulcl 30770 . . . 4 ((-1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (-1 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
86, 7mpan 687 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (-1 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
9 ax-hvcom 30758 . . . . 5 (((-1 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((-1 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) +โ„Ž ๐‘ฅ) = (๐‘ฅ +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐‘ฅ)))
108, 9mpancom 685 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((-1 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) +โ„Ž ๐‘ฅ) = (๐‘ฅ +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐‘ฅ)))
11 hvnegid 30784 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘ฅ +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) = 0โ„Ž)
1210, 11eqtrd 2766 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((-1 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) +โ„Ž ๐‘ฅ) = 0โ„Ž)
131, 2, 3, 4, 5, 8, 12isgrpoi 30255 . 2 +โ„Ž โˆˆ GrpOp
142fdmi 6722 . 2 dom +โ„Ž = ( โ„‹ ร— โ„‹)
15 ax-hvcom 30758 . 2 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ฅ))
1613, 14, 15isabloi 30308 1 +โ„Ž โˆˆ AbelOp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   ร— cxp 5667  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11107  1c1 11110  -cneg 11446  AbelOpcablo 30301   โ„‹chba 30676   +โ„Ž cva 30677   ยทโ„Ž csm 30678  0โ„Žc0v 30681
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-hilex 30756  ax-hfvadd 30757  ax-hvcom 30758  ax-hvass 30759  ax-hv0cl 30760  ax-hvaddid 30761  ax-hfvmul 30762  ax-hvmulid 30763  ax-hvdistr2 30766  ax-hvmul0 30767
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-ltxr 11254  df-sub 11447  df-neg 11448  df-grpo 30250  df-ablo 30302  df-hvsub 30728
This theorem is referenced by:  hilid  30918  hilvc  30919  hhnv  30922  hhba  30924  hhph  30935  hhssva  31014  hhsssm  31015  hhssabloilem  31018  hhshsslem1  31024  shsval  31069
  Copyright terms: Public domain W3C validator