![]() |
Hilbert Space Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > HSE Home > Th. List > hilablo | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Hilbert space vector addition is an Abelian group operation. (Contributed by NM, 15-Apr-2007.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
---|---|
hilablo | โข +โ โ AbelOp |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | ax-hilex 30756 | . . 3 โข โ โ V | |
2 | ax-hfvadd 30757 | . . 3 โข +โ :( โ ร โ)โถ โ | |
3 | ax-hvass 30759 | . . 3 โข ((๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ โง ๐ง โ โ) โ ((๐ฅ +โ ๐ฆ) +โ ๐ง) = (๐ฅ +โ (๐ฆ +โ ๐ง))) | |
4 | ax-hv0cl 30760 | . . 3 โข 0โ โ โ | |
5 | hvaddlid 30780 | . . 3 โข (๐ฅ โ โ โ (0โ +โ ๐ฅ) = ๐ฅ) | |
6 | neg1cn 12327 | . . . 4 โข -1 โ โ | |
7 | hvmulcl 30770 | . . . 4 โข ((-1 โ โ โง ๐ฅ โ โ) โ (-1 ยทโ ๐ฅ) โ โ) | |
8 | 6, 7 | mpan 687 | . . 3 โข (๐ฅ โ โ โ (-1 ยทโ ๐ฅ) โ โ) |
9 | ax-hvcom 30758 | . . . . 5 โข (((-1 ยทโ ๐ฅ) โ โ โง ๐ฅ โ โ) โ ((-1 ยทโ ๐ฅ) +โ ๐ฅ) = (๐ฅ +โ (-1 ยทโ ๐ฅ))) | |
10 | 8, 9 | mpancom 685 | . . . 4 โข (๐ฅ โ โ โ ((-1 ยทโ ๐ฅ) +โ ๐ฅ) = (๐ฅ +โ (-1 ยทโ ๐ฅ))) |
11 | hvnegid 30784 | . . . 4 โข (๐ฅ โ โ โ (๐ฅ +โ (-1 ยทโ ๐ฅ)) = 0โ) | |
12 | 10, 11 | eqtrd 2766 | . . 3 โข (๐ฅ โ โ โ ((-1 ยทโ ๐ฅ) +โ ๐ฅ) = 0โ) |
13 | 1, 2, 3, 4, 5, 8, 12 | isgrpoi 30255 | . 2 โข +โ โ GrpOp |
14 | 2 | fdmi 6722 | . 2 โข dom +โ = ( โ ร โ) |
15 | ax-hvcom 30758 | . 2 โข ((๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ) โ (๐ฅ +โ ๐ฆ) = (๐ฆ +โ ๐ฅ)) | |
16 | 13, 14, 15 | isabloi 30308 | 1 โข +โ โ AbelOp |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: = wceq 1533 โ wcel 2098 ร cxp 5667 (class class class)co 7404 โcc 11107 1c1 11110 -cneg 11446 AbelOpcablo 30301 โchba 30676 +โ cva 30677 ยทโ csm 30678 0โc0v 30681 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-rep 5278 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7721 ax-resscn 11166 ax-1cn 11167 ax-icn 11168 ax-addcl 11169 ax-addrcl 11170 ax-mulcl 11171 ax-mulrcl 11172 ax-mulcom 11173 ax-addass 11174 ax-mulass 11175 ax-distr 11176 ax-i2m1 11177 ax-1ne0 11178 ax-1rid 11179 ax-rnegex 11180 ax-rrecex 11181 ax-cnre 11182 ax-pre-lttri 11183 ax-pre-lttrn 11184 ax-pre-ltadd 11185 ax-hilex 30756 ax-hfvadd 30757 ax-hvcom 30758 ax-hvass 30759 ax-hv0cl 30760 ax-hvaddid 30761 ax-hfvmul 30762 ax-hvmulid 30763 ax-hvdistr2 30766 ax-hvmul0 30767 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-iun 4992 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-id 5567 df-po 5581 df-so 5582 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-iota 6488 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-riota 7360 df-ov 7407 df-oprab 7408 df-mpo 7409 df-er 8702 df-en 8939 df-dom 8940 df-sdom 8941 df-pnf 11251 df-mnf 11252 df-ltxr 11254 df-sub 11447 df-neg 11448 df-grpo 30250 df-ablo 30302 df-hvsub 30728 |
This theorem is referenced by: hilid 30918 hilvc 30919 hhnv 30922 hhba 30924 hhph 30935 hhssva 31014 hhsssm 31015 hhssabloilem 31018 hhshsslem1 31024 shsval 31069 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |