Theorem hilablo 31192

Description: Hilbert space vector addition is an Abelian group operation. (Contributed by NM, 15-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hilablo	⊢ +ℎ ∈ AbelOp

Proof of Theorem hilablo

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hilex 31031	. . 3 ⊢ ℋ ∈ V
2		ax-hfvadd 31032	. . 3 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
3		ax-hvass 31034	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧) = (𝑥 +ℎ (𝑦 +ℎ 𝑧)))
4		ax-hv0cl 31035	. . 3 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
5		hvaddlid 31055	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (0ℎ +ℎ 𝑥) = 𝑥)
6		neg1cn 12407	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
7		hvmulcl 31045	. . . 4 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (-1 ·ℎ 𝑥) ∈ ℋ)
8	6, 7	mpan 689	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (-1 ·ℎ 𝑥) ∈ ℋ)
9		ax-hvcom 31033	. . . . 5 ⊢ (((-1 ·ℎ 𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((-1 ·ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥) = (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑥)))
10	8, 9	mpancom 687	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((-1 ·ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥) = (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑥)))
11		hvnegid 31059	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑥)) = 0ℎ)
12	10, 11	eqtrd 2780	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((-1 ·ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥) = 0ℎ)
13	1, 2, 3, 4, 5, 8, 12	isgrpoi 30530	. 2 ⊢ +ℎ ∈ GrpOp
14	2	fdmi 6758	. 2 ⊢ dom +ℎ = ( ℋ × ℋ)
15		ax-hvcom 31033	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑦 +ℎ 𝑥))
16	13, 14, 15	isabloi 30583	1 ⊢ +ℎ ∈ AbelOp

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   × cxp 5698  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  1c1 11185  -cneg 11521  AbelOpcablo 30576   ℋchba 30951   +_ℎ cva 30952   ·_ℎ csm 30953  0_ℎc0v 30956

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-hilex 31031  ax-hfvadd 31032  ax-hvcom 31033  ax-hvass 31034  ax-hv0cl 31035  ax-hvaddid 31036  ax-hfvmul 31037  ax-hvmulid 31038  ax-hvdistr2 31041  ax-hvmul0 31042

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-sub 11522  df-neg 11523  df-grpo 30525  df-ablo 30577  df-hvsub 31003

This theorem is referenced by:  hilid  31193  hilvc  31194  hhnv  31197  hhba  31199  hhph  31210  hhssva  31289  hhsssm  31290  hhssabloilem  31293  hhshsslem1  31299  shsval  31344