HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hilablo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hilablo 30105
Description: Hilbert space vector addition is an Abelian group operation. (Contributed by NM, 15-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hilablo +โ„Ž โˆˆ AbelOp

Proof of Theorem hilablo
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-hilex 29944 . . 3 โ„‹ โˆˆ V
2 ax-hfvadd 29945 . . 3 +โ„Ž :( โ„‹ ร— โ„‹)โŸถ โ„‹
3 ax-hvass 29947 . . 3 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) = (๐‘ฅ +โ„Ž (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)))
4 ax-hv0cl 29948 . . 3 0โ„Ž โˆˆ โ„‹
5 hvaddid2 29968 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (0โ„Ž +โ„Ž ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ)
6 neg1cn 12268 . . . 4 -1 โˆˆ โ„‚
7 hvmulcl 29958 . . . 4 ((-1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (-1 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
86, 7mpan 689 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (-1 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
9 ax-hvcom 29946 . . . . 5 (((-1 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((-1 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) +โ„Ž ๐‘ฅ) = (๐‘ฅ +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐‘ฅ)))
108, 9mpancom 687 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((-1 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) +โ„Ž ๐‘ฅ) = (๐‘ฅ +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐‘ฅ)))
11 hvnegid 29972 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘ฅ +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) = 0โ„Ž)
1210, 11eqtrd 2777 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((-1 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) +โ„Ž ๐‘ฅ) = 0โ„Ž)
131, 2, 3, 4, 5, 8, 12isgrpoi 29443 . 2 +โ„Ž โˆˆ GrpOp
142fdmi 6681 . 2 dom +โ„Ž = ( โ„‹ ร— โ„‹)
15 ax-hvcom 29946 . 2 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ฅ))
1613, 14, 15isabloi 29496 1 +โ„Ž โˆˆ AbelOp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   ร— cxp 5632  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11050  1c1 11053  -cneg 11387  AbelOpcablo 29489   โ„‹chba 29864   +โ„Ž cva 29865   ยทโ„Ž csm 29866  0โ„Žc0v 29869
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-hilex 29944  ax-hfvadd 29945  ax-hvcom 29946  ax-hvass 29947  ax-hv0cl 29948  ax-hvaddid 29949  ax-hfvmul 29950  ax-hvmulid 29951  ax-hvdistr2 29954  ax-hvmul0 29955
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-ltxr 11195  df-sub 11388  df-neg 11389  df-grpo 29438  df-ablo 29490  df-hvsub 29916
This theorem is referenced by:  hilid  30106  hilvc  30107  hhnv  30110  hhba  30112  hhph  30123  hhssva  30202  hhsssm  30203  hhssabloilem  30206  hhshsslem1  30212  shsval  30257
  Copyright terms: Public domain W3C validator