HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hilablo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hilablo 30990
Description: Hilbert space vector addition is an Abelian group operation. (Contributed by NM, 15-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hilablo +โ„Ž โˆˆ AbelOp

Proof of Theorem hilablo
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-hilex 30829 . . 3 โ„‹ โˆˆ V
2 ax-hfvadd 30830 . . 3 +โ„Ž :( โ„‹ ร— โ„‹)โŸถ โ„‹
3 ax-hvass 30832 . . 3 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) = (๐‘ฅ +โ„Ž (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)))
4 ax-hv0cl 30833 . . 3 0โ„Ž โˆˆ โ„‹
5 hvaddlid 30853 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (0โ„Ž +โ„Ž ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ)
6 neg1cn 12364 . . . 4 -1 โˆˆ โ„‚
7 hvmulcl 30843 . . . 4 ((-1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (-1 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
86, 7mpan 688 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (-1 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
9 ax-hvcom 30831 . . . . 5 (((-1 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((-1 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) +โ„Ž ๐‘ฅ) = (๐‘ฅ +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐‘ฅ)))
108, 9mpancom 686 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((-1 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) +โ„Ž ๐‘ฅ) = (๐‘ฅ +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐‘ฅ)))
11 hvnegid 30857 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘ฅ +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) = 0โ„Ž)
1210, 11eqtrd 2768 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((-1 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) +โ„Ž ๐‘ฅ) = 0โ„Ž)
131, 2, 3, 4, 5, 8, 12isgrpoi 30328 . 2 +โ„Ž โˆˆ GrpOp
142fdmi 6739 . 2 dom +โ„Ž = ( โ„‹ ร— โ„‹)
15 ax-hvcom 30831 . 2 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ฅ))
1613, 14, 15isabloi 30381 1 +โ„Ž โˆˆ AbelOp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   ร— cxp 5680  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11144  1c1 11147  -cneg 11483  AbelOpcablo 30374   โ„‹chba 30749   +โ„Ž cva 30750   ยทโ„Ž csm 30751  0โ„Žc0v 30754
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-hilex 30829  ax-hfvadd 30830  ax-hvcom 30831  ax-hvass 30832  ax-hv0cl 30833  ax-hvaddid 30834  ax-hfvmul 30835  ax-hvmulid 30836  ax-hvdistr2 30839  ax-hvmul0 30840
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-ltxr 11291  df-sub 11484  df-neg 11485  df-grpo 30323  df-ablo 30375  df-hvsub 30801
This theorem is referenced by:  hilid  30991  hilvc  30992  hhnv  30995  hhba  30997  hhph  31008  hhssva  31087  hhsssm  31088  hhssabloilem  31091  hhshsslem1  31097  shsval  31142
  Copyright terms: Public domain W3C validator