HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hilablo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hilablo 29519
Description: Hilbert space vector addition is an Abelian group operation. (Contributed by NM, 15-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hilablo + ∈ AbelOp

Proof of Theorem hilablo
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-hilex 29358 . . 3 ℋ ∈ V
2 ax-hfvadd 29359 . . 3 + :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
3 ax-hvass 29361 . . 3 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
4 ax-hv0cl 29362 . . 3 0 ∈ ℋ
5 hvaddid2 29382 . . 3 (𝑥 ∈ ℋ → (0 + 𝑥) = 𝑥)
6 neg1cn 12085 . . . 4 -1 ∈ ℂ
7 hvmulcl 29372 . . . 4 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (-1 · 𝑥) ∈ ℋ)
86, 7mpan 687 . . 3 (𝑥 ∈ ℋ → (-1 · 𝑥) ∈ ℋ)
9 ax-hvcom 29360 . . . . 5 (((-1 · 𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((-1 · 𝑥) + 𝑥) = (𝑥 + (-1 · 𝑥)))
108, 9mpancom 685 . . . 4 (𝑥 ∈ ℋ → ((-1 · 𝑥) + 𝑥) = (𝑥 + (-1 · 𝑥)))
11 hvnegid 29386 . . . 4 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 + (-1 · 𝑥)) = 0)
1210, 11eqtrd 2778 . . 3 (𝑥 ∈ ℋ → ((-1 · 𝑥) + 𝑥) = 0)
131, 2, 3, 4, 5, 8, 12isgrpoi 28857 . 2 + ∈ GrpOp
142fdmi 6614 . 2 dom + = ( ℋ × ℋ)
15 ax-hvcom 29360 . 2 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
1613, 14, 15isabloi 28910 1 + ∈ AbelOp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1539  wcel 2106   × cxp 5589  (class class class)co 7277  cc 10867  1c1 10870  -cneg 11204  AbelOpcablo 28903  chba 29278   + cva 29279   · csm 29280  0c0v 29283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5211  ax-sep 5225  ax-nul 5232  ax-pow 5290  ax-pr 5354  ax-un 7588  ax-resscn 10926  ax-1cn 10927  ax-icn 10928  ax-addcl 10929  ax-addrcl 10930  ax-mulcl 10931  ax-mulrcl 10932  ax-mulcom 10933  ax-addass 10934  ax-mulass 10935  ax-distr 10936  ax-i2m1 10937  ax-1ne0 10938  ax-1rid 10939  ax-rnegex 10940  ax-rrecex 10941  ax-cnre 10942  ax-pre-lttri 10943  ax-pre-lttrn 10944  ax-pre-ltadd 10945  ax-hilex 29358  ax-hfvadd 29359  ax-hvcom 29360  ax-hvass 29361  ax-hv0cl 29362  ax-hvaddid 29363  ax-hfvmul 29364  ax-hvmulid 29365  ax-hvdistr2 29368  ax-hvmul0 29369
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4842  df-iun 4928  df-br 5077  df-opab 5139  df-mpt 5160  df-id 5491  df-po 5505  df-so 5506  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-iota 6393  df-fun 6437  df-fn 6438  df-f 6439  df-f1 6440  df-fo 6441  df-f1o 6442  df-fv 6443  df-riota 7234  df-ov 7280  df-oprab 7281  df-mpo 7282  df-er 8496  df-en 8732  df-dom 8733  df-sdom 8734  df-pnf 11009  df-mnf 11010  df-ltxr 11012  df-sub 11205  df-neg 11206  df-grpo 28852  df-ablo 28904  df-hvsub 29330
This theorem is referenced by:  hilid  29520  hilvc  29521  hhnv  29524  hhba  29526  hhph  29537  hhssva  29616  hhsssm  29617  hhssabloilem  29620  hhshsslem1  29626  shsval  29671
  Copyright terms: Public domain W3C validator