HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hilablo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hilablo 31189
Description: Hilbert space vector addition is an Abelian group operation. (Contributed by NM, 15-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hilablo + ∈ AbelOp

Proof of Theorem hilablo
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-hilex 31028 . . 3 ℋ ∈ V
2 ax-hfvadd 31029 . . 3 + :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
3 ax-hvass 31031 . . 3 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
4 ax-hv0cl 31032 . . 3 0 ∈ ℋ
5 hvaddlid 31052 . . 3 (𝑥 ∈ ℋ → (0 + 𝑥) = 𝑥)
6 neg1cn 12378 . . . 4 -1 ∈ ℂ
7 hvmulcl 31042 . . . 4 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (-1 · 𝑥) ∈ ℋ)
86, 7mpan 690 . . 3 (𝑥 ∈ ℋ → (-1 · 𝑥) ∈ ℋ)
9 ax-hvcom 31030 . . . . 5 (((-1 · 𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((-1 · 𝑥) + 𝑥) = (𝑥 + (-1 · 𝑥)))
108, 9mpancom 688 . . . 4 (𝑥 ∈ ℋ → ((-1 · 𝑥) + 𝑥) = (𝑥 + (-1 · 𝑥)))
11 hvnegid 31056 . . . 4 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 + (-1 · 𝑥)) = 0)
1210, 11eqtrd 2775 . . 3 (𝑥 ∈ ℋ → ((-1 · 𝑥) + 𝑥) = 0)
131, 2, 3, 4, 5, 8, 12isgrpoi 30527 . 2 + ∈ GrpOp
142fdmi 6748 . 2 dom + = ( ℋ × ℋ)
15 ax-hvcom 31030 . 2 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
1613, 14, 15isabloi 30580 1 + ∈ AbelOp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1537  wcel 2106   × cxp 5687  (class class class)co 7431  cc 11151  1c1 11154  -cneg 11491  AbelOpcablo 30573  chba 30948   + cva 30949   · csm 30950  0c0v 30953
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-hilex 31028  ax-hfvadd 31029  ax-hvcom 31030  ax-hvass 31031  ax-hv0cl 31032  ax-hvaddid 31033  ax-hfvmul 31034  ax-hvmulid 31035  ax-hvdistr2 31038  ax-hvmul0 31039
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-grpo 30522  df-ablo 30574  df-hvsub 31000
This theorem is referenced by:  hilid  31190  hilvc  31191  hhnv  31194  hhba  31196  hhph  31207  hhssva  31286  hhsssm  31287  hhssabloilem  31290  hhshsslem1  31296  shsval  31341
  Copyright terms: Public domain W3C validator