Theorem hilablo 31771

Description: Hilbert space vector addition is an Abelian group operation. (Contributed by NM, 15-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hilablo	⊢ +ℎ ∈ AbelOp

Proof of Theorem hilablo

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hilex 31610	. . 3 ⊢ ℋ ∈ V
2		ax-hfvadd 31611	. . 3 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
3		ax-hvass 31613	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧) = (𝑥 +ℎ (𝑦 +ℎ 𝑧)))
4		ax-hv0cl 31614	. . 3 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
5		hvaddlid 31634	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (0ℎ +ℎ 𝑥) = 𝑥)
6		neg1cn 12312	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
7		hvmulcl 31624	. . . 4 ⊢ (( -1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ( -1 ·ℎ 𝑥) ∈ ℋ)
8	6, 7	mpan 703	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ( -1 ·ℎ 𝑥) ∈ ℋ)
9		ax-hvcom 31612	. . . . 5 ⊢ ((( -1 ·ℎ 𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (( -1 ·ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥) = (𝑥 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝑥)))
10	8, 9	mpancom 701	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (( -1 ·ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥) = (𝑥 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝑥)))
11		hvnegid 31638	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝑥)) = 0ℎ)
12	10, 11	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (( -1 ·ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥) = 0ℎ)
13	1, 2, 3, 4, 5, 8, 12	isgrpoi 31109	. 2 ⊢ +ℎ ∈ GrpOp
14	2	fdmi 6726	. 2 ⊢ dom +ℎ = ( ℋ × ℋ)
15		ax-hvcom 31612	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑦 +ℎ 𝑥))
16	13, 14, 15	isabloi 31162	1 ⊢ +ℎ ∈ AbelOp

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   × cxp 5649  (class class class)co 7424  ℂcc 11205  1c1 11208   -cneg 11549  AbelOpcablo 31155   ℋchba 31530   +_ℎ cva 31531   ·_ℎ csm 31532  0_ℎc0v 31535

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-hilex 31610  ax-hfvadd 31611  ax-hvcom 31612  ax-hvass 31613  ax-hv0cl 31614  ax-hvaddid 31615  ax-hfvmul 31616  ax-hvmulid 31617  ax-hvdistr2 31620  ax-hvmul0 31621

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-ltxr 11355  df-sub 11550  df-neg 11551  df-grpo 31104  df-ablo 31156  df-hvsub 31582

This theorem is used by:  hilid  31772  hilvc  31773  hhnv  31776  hhba  31778  hhph  31789  hhssva  31868  hhsssm  31869  hhssabloilem  31872  hhshsslem1  31878  shsval  31923