![]() |
Hilbert Space Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > HSE Home > Th. List > hilablo | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Hilbert space vector addition is an Abelian group operation. (Contributed by NM, 15-Apr-2007.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
---|---|
hilablo | โข +โ โ AbelOp |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | ax-hilex 30829 | . . 3 โข โ โ V | |
2 | ax-hfvadd 30830 | . . 3 โข +โ :( โ ร โ)โถ โ | |
3 | ax-hvass 30832 | . . 3 โข ((๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ โง ๐ง โ โ) โ ((๐ฅ +โ ๐ฆ) +โ ๐ง) = (๐ฅ +โ (๐ฆ +โ ๐ง))) | |
4 | ax-hv0cl 30833 | . . 3 โข 0โ โ โ | |
5 | hvaddlid 30853 | . . 3 โข (๐ฅ โ โ โ (0โ +โ ๐ฅ) = ๐ฅ) | |
6 | neg1cn 12364 | . . . 4 โข -1 โ โ | |
7 | hvmulcl 30843 | . . . 4 โข ((-1 โ โ โง ๐ฅ โ โ) โ (-1 ยทโ ๐ฅ) โ โ) | |
8 | 6, 7 | mpan 688 | . . 3 โข (๐ฅ โ โ โ (-1 ยทโ ๐ฅ) โ โ) |
9 | ax-hvcom 30831 | . . . . 5 โข (((-1 ยทโ ๐ฅ) โ โ โง ๐ฅ โ โ) โ ((-1 ยทโ ๐ฅ) +โ ๐ฅ) = (๐ฅ +โ (-1 ยทโ ๐ฅ))) | |
10 | 8, 9 | mpancom 686 | . . . 4 โข (๐ฅ โ โ โ ((-1 ยทโ ๐ฅ) +โ ๐ฅ) = (๐ฅ +โ (-1 ยทโ ๐ฅ))) |
11 | hvnegid 30857 | . . . 4 โข (๐ฅ โ โ โ (๐ฅ +โ (-1 ยทโ ๐ฅ)) = 0โ) | |
12 | 10, 11 | eqtrd 2768 | . . 3 โข (๐ฅ โ โ โ ((-1 ยทโ ๐ฅ) +โ ๐ฅ) = 0โ) |
13 | 1, 2, 3, 4, 5, 8, 12 | isgrpoi 30328 | . 2 โข +โ โ GrpOp |
14 | 2 | fdmi 6739 | . 2 โข dom +โ = ( โ ร โ) |
15 | ax-hvcom 30831 | . 2 โข ((๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ) โ (๐ฅ +โ ๐ฆ) = (๐ฆ +โ ๐ฅ)) | |
16 | 13, 14, 15 | isabloi 30381 | 1 โข +โ โ AbelOp |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: = wceq 1533 โ wcel 2098 ร cxp 5680 (class class class)co 7426 โcc 11144 1c1 11147 -cneg 11483 AbelOpcablo 30374 โchba 30749 +โ cva 30750 ยทโ csm 30751 0โc0v 30754 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2699 ax-rep 5289 ax-sep 5303 ax-nul 5310 ax-pow 5369 ax-pr 5433 ax-un 7746 ax-resscn 11203 ax-1cn 11204 ax-icn 11205 ax-addcl 11206 ax-addrcl 11207 ax-mulcl 11208 ax-mulrcl 11209 ax-mulcom 11210 ax-addass 11211 ax-mulass 11212 ax-distr 11213 ax-i2m1 11214 ax-1ne0 11215 ax-1rid 11216 ax-rnegex 11217 ax-rrecex 11218 ax-cnre 11219 ax-pre-lttri 11220 ax-pre-lttrn 11221 ax-pre-ltadd 11222 ax-hilex 30829 ax-hfvadd 30830 ax-hvcom 30831 ax-hvass 30832 ax-hv0cl 30833 ax-hvaddid 30834 ax-hfvmul 30835 ax-hvmulid 30836 ax-hvdistr2 30839 ax-hvmul0 30840 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3475 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-nul 4327 df-if 4533 df-pw 4608 df-sn 4633 df-pr 4635 df-op 4639 df-uni 4913 df-iun 5002 df-br 5153 df-opab 5215 df-mpt 5236 df-id 5580 df-po 5594 df-so 5595 df-xp 5688 df-rel 5689 df-cnv 5690 df-co 5691 df-dm 5692 df-rn 5693 df-res 5694 df-ima 5695 df-iota 6505 df-fun 6555 df-fn 6556 df-f 6557 df-f1 6558 df-fo 6559 df-f1o 6560 df-fv 6561 df-riota 7382 df-ov 7429 df-oprab 7430 df-mpo 7431 df-er 8731 df-en 8971 df-dom 8972 df-sdom 8973 df-pnf 11288 df-mnf 11289 df-ltxr 11291 df-sub 11484 df-neg 11485 df-grpo 30323 df-ablo 30375 df-hvsub 30801 |
This theorem is referenced by: hilid 30991 hilvc 30992 hhnv 30995 hhba 30997 hhph 31008 hhssva 31087 hhsssm 31088 hhssabloilem 31091 hhshsslem1 31097 shsval 31142 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |