Theorem pmapmeet 39762

Description: The projective map of a meet. (Contributed by NM, 25-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmapmeet.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapmeet.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
pmapmeet.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmapmeet.p	⊢ 𝑃 = (pmap‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmapmeet	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑃‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = ((𝑃‘𝑋) ∩ (𝑃‘𝑌)))

Proof of Theorem pmapmeet

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
2		pmapmeet.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
3		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ HL)
4		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
6	1, 2, 3, 4, 5	meetval 18295	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) = ((glb‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌}))
7	6	fveq2d 6826	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑃‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = (𝑃‘((glb‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌})))
8		prssi 4772	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐵)
9	8	3adant1 1130	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐵)
10		prnzg 4730	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → {𝑋, 𝑌} ≠ ∅)
11	10	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → {𝑋, 𝑌} ≠ ∅)
12		pmapmeet.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
13		pmapmeet.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (pmap‘𝐾)
14	12, 1, 13	pmapglb 39759	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐵 ∧ {𝑋, 𝑌} ≠ ∅) → (𝑃‘((glb‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌})) = ∩ 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑃‘𝑥))
15	3, 9, 11, 14	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑃‘((glb‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌})) = ∩ 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑃‘𝑥))
16		fveq2 6822	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝑋))
17		fveq2 6822	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝑌))
18	16, 17	iinxprg 5038	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ∩ 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑃‘𝑥) = ((𝑃‘𝑋) ∩ (𝑃‘𝑌)))
19	18	3adant1 1130	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ∩ 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑃‘𝑥) = ((𝑃‘𝑋) ∩ (𝑃‘𝑌)))
20	7, 15, 19	3eqtrd 2768	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑃‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = ((𝑃‘𝑋) ∩ (𝑃‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  ∅c0 4284  {cpr 4579  ∩ ciin 4942  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  Basecbs 17120  glbcglb 18216  meetcmee 18218  Atomscatm 39252  HLchlt 39339  pmapcpmap 39486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-poset 18219  df-lub 18250  df-glb 18251  df-join 18252  df-meet 18253  df-lat 18338  df-clat 18405  df-ats 39256  df-hlat 39340  df-pmap 39493

This theorem is referenced by:  hlmod1i  39845  poldmj1N  39917  pmapj2N  39918  pnonsingN  39922  psubclinN  39937  poml4N  39942  pl42lem1N  39968  pl42lem2N  39969