Theorem pmapmeet 39756

Description: The projective map of a meet. (Contributed by NM, 25-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmapmeet.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapmeet.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
pmapmeet.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmapmeet.p	⊢ 𝑃 = (pmap‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmapmeet	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑃‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = ((𝑃‘𝑋) ∩ (𝑃‘𝑌)))

Proof of Theorem pmapmeet

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
2		pmapmeet.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
3		simp1 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ HL)
4		simp2 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		simp3 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
6	1, 2, 3, 4, 5	meetval 18449	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) = ((glb‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌}))
7	6	fveq2d 6911	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑃‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = (𝑃‘((glb‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌})))
8		prssi 4826	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐵)
9	8	3adant1 1129	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐵)
10		prnzg 4783	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → {𝑋, 𝑌} ≠ ∅)
11	10	3ad2ant2 1133	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → {𝑋, 𝑌} ≠ ∅)
12		pmapmeet.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
13		pmapmeet.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (pmap‘𝐾)
14	12, 1, 13	pmapglb 39753	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐵 ∧ {𝑋, 𝑌} ≠ ∅) → (𝑃‘((glb‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌})) = ∩ 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑃‘𝑥))
15	3, 9, 11, 14	syl3anc 1370	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑃‘((glb‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌})) = ∩ 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑃‘𝑥))
16		fveq2 6907	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝑋))
17		fveq2 6907	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝑌))
18	16, 17	iinxprg 5094	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ∩ 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑃‘𝑥) = ((𝑃‘𝑋) ∩ (𝑃‘𝑌)))
19	18	3adant1 1129	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ∩ 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑃‘𝑥) = ((𝑃‘𝑋) ∩ (𝑃‘𝑌)))
20	7, 15, 19	3eqtrd 2779	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑃‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = ((𝑃‘𝑋) ∩ (𝑃‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938   ∩ cin 3962   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339  {cpr 4633  ∩ ciin 4997  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  glbcglb 18368  meetcmee 18370  Atomscatm 39245  HLchlt 39332  pmapcpmap 39480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-poset 18371  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-lat 18490  df-clat 18557  df-ats 39249  df-hlat 39333  df-pmap 39487

This theorem is referenced by:  hlmod1i  39839  poldmj1N  39911  pmapj2N  39912  pnonsingN  39916  psubclinN  39931  poml4N  39936  pl42lem1N  39962  pl42lem2N  39963