Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmapmeet Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pmapmeet 38632
Description: The projective map of a meet. (Contributed by NM, 25-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
pmapmeet.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
pmapmeet.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
pmapmeet.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
pmapmeet.p 𝑃 = (pmapβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
pmapmeet ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) = ((π‘ƒβ€˜π‘‹) ∩ (π‘ƒβ€˜π‘Œ)))
Proof of Theorem pmapmeet
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . . 4 (glbβ€˜πΎ) = (glbβ€˜πΎ)
2 pmapmeet.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
3 simp1 1136 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ HL)
4 simp2 1137 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
5 simp3 1138 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
61, 2, 3, 4, 5meetval 18340 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) = ((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑋, π‘Œ}))
76fveq2d 6892 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) = (π‘ƒβ€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑋, π‘Œ})))
8 prssi 4823 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ {𝑋, π‘Œ} βŠ† 𝐡)
983adant1 1130 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ {𝑋, π‘Œ} βŠ† 𝐡)
10 prnzg 4781 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ {𝑋, π‘Œ} β‰  βˆ…)
11103ad2ant2 1134 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ {𝑋, π‘Œ} β‰  βˆ…)
12 pmapmeet.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
13 pmapmeet.p . . . 4 𝑃 = (pmapβ€˜πΎ)
1412, 1, 13pmapglb 38629 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ {𝑋, π‘Œ} βŠ† 𝐡 ∧ {𝑋, π‘Œ} β‰  βˆ…) β†’ (π‘ƒβ€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑋, π‘Œ})) = ∩ π‘₯ ∈ {𝑋, π‘Œ} (π‘ƒβ€˜π‘₯))
153, 9, 11, 14syl3anc 1371 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘ƒβ€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑋, π‘Œ})) = ∩ π‘₯ ∈ {𝑋, π‘Œ} (π‘ƒβ€˜π‘₯))
16 fveq2 6888 . . . 4 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) = (π‘ƒβ€˜π‘‹))
17 fveq2 6888 . . . 4 (π‘₯ = π‘Œ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) = (π‘ƒβ€˜π‘Œ))
1816, 17iinxprg 5091 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ∩ π‘₯ ∈ {𝑋, π‘Œ} (π‘ƒβ€˜π‘₯) = ((π‘ƒβ€˜π‘‹) ∩ (π‘ƒβ€˜π‘Œ)))
19183adant1 1130 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ∩ π‘₯ ∈ {𝑋, π‘Œ} (π‘ƒβ€˜π‘₯) = ((π‘ƒβ€˜π‘‹) ∩ (π‘ƒβ€˜π‘Œ)))
207, 15, 193eqtrd 2776 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) = ((π‘ƒβ€˜π‘‹) ∩ (π‘ƒβ€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  {cpr 4629  βˆ© ciin 4997  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  glbcglb 18259  meetcmee 18261  Atomscatm 38121  HLchlt 38208  pmapcpmap 38356
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-poset 18262  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-lat 18381  df-clat 18448  df-ats 38125  df-hlat 38209  df-pmap 38363
This theorem is referenced by:  hlmod1i  38715  poldmj1N  38787  pmapj2N  38788  pnonsingN  38792  psubclinN  38807  poml4N  38812  pl42lem1N  38838  pl42lem2N  38839
  Copyright terms: Public domain W3C validator