Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmapmeet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmapmeet 37342
 Description: The projective map of a meet. (Contributed by NM, 25-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
pmapmeet.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapmeet.m = (meet‘𝐾)
pmapmeet.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmapmeet.p 𝑃 = (pmap‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
pmapmeet ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑃‘(𝑋 𝑌)) = ((𝑃𝑋) ∩ (𝑃𝑌)))

Proof of Theorem pmapmeet
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2759 . . . 4 (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
2 pmapmeet.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
3 simp1 1134 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ HL)
4 simp2 1135 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋𝐵)
5 simp3 1136 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
61, 2, 3, 4, 5meetval 17688 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) = ((glb‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌}))
76fveq2d 6663 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑃‘(𝑋 𝑌)) = (𝑃‘((glb‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌})))
8 prssi 4712 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐵)
983adant1 1128 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐵)
10 prnzg 4672 . . . 4 (𝑋𝐵 → {𝑋, 𝑌} ≠ ∅)
11103ad2ant2 1132 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → {𝑋, 𝑌} ≠ ∅)
12 pmapmeet.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
13 pmapmeet.p . . . 4 𝑃 = (pmap‘𝐾)
1412, 1, 13pmapglb 37339 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐵 ∧ {𝑋, 𝑌} ≠ ∅) → (𝑃‘((glb‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌})) = 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑃𝑥))
153, 9, 11, 14syl3anc 1369 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑃‘((glb‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌})) = 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑃𝑥))
16 fveq2 6659 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝑃𝑥) = (𝑃𝑋))
17 fveq2 6659 . . . 4 (𝑥 = 𝑌 → (𝑃𝑥) = (𝑃𝑌))
1816, 17iinxprg 4977 . . 3 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑃𝑥) = ((𝑃𝑋) ∩ (𝑃𝑌)))
19183adant1 1128 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑃𝑥) = ((𝑃𝑋) ∩ (𝑃𝑌)))
207, 15, 193eqtrd 2798 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑃‘(𝑋 𝑌)) = ((𝑃𝑋) ∩ (𝑃𝑌)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2952   ∩ cin 3858   ⊆ wss 3859  ∅c0 4226  {cpr 4525  ∩ ciin 4885  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151  Basecbs 16534  glbcglb 17612  meetcmee 17614  Atomscatm 36832  HLchlt 36919  pmapcpmap 37066 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-op 4530  df-uni 4800  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5431  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-poset 17615  df-lub 17643  df-glb 17644  df-join 17645  df-meet 17646  df-lat 17715  df-clat 17777  df-ats 36836  df-hlat 36920  df-pmap 37073 This theorem is referenced by:  hlmod1i  37425  poldmj1N  37497  pmapj2N  37498  pnonsingN  37502  psubclinN  37517  poml4N  37522  pl42lem1N  37548  pl42lem2N  37549
 Copyright terms: Public domain W3C validator