Theorem pmapmeet 40649

Description: The projective map of a meet. (Contributed by NM, 25-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmapmeet.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapmeet.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
pmapmeet.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmapmeet.p	⊢ 𝑃 = (pmap‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmapmeet	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑃‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = ((𝑃‘𝑋) ∩ (𝑃‘𝑌)))

Proof of Theorem pmapmeet

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
2		pmapmeet.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
3		simp1 1154	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ HL)
4		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		simp3 1156	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
6	1, 2, 3, 4, 5	meetval 18480	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) = ((glb‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌}))
7	6	fveq2d 6883	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑃‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = (𝑃‘((glb‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌})))
8		prssi 4782	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐵)
9	8	3adant1 1148	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐵)
10		prnzg 4739	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → {𝑋, 𝑌} ≠ ∅)
11	10	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → {𝑋, 𝑌} ≠ ∅)
12		pmapmeet.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
13		pmapmeet.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (pmap‘𝐾)
14	12, 1, 13	pmapglb 40646	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐵 ∧ {𝑋, 𝑌} ≠ ∅) → (𝑃‘((glb‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌})) = ∩ 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑃‘𝑥))
15	3, 9, 11, 14	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑃‘((glb‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌})) = ∩ 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑃‘𝑥))
16		fveq2 6879	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝑋))
17		fveq2 6879	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝑌))
18	16, 17	iinxprg 5049	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ∩ 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑃‘𝑥) = ((𝑃‘𝑋) ∩ (𝑃‘𝑌)))
19	18	3adant1 1148	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ∩ 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑃‘𝑥) = ((𝑃‘𝑋) ∩ (𝑃‘𝑌)))
20	7, 15, 19	3eqtrd 2799	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑃‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = ((𝑃‘𝑋) ∩ (𝑃‘𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  {cpr 4586  ∩ ciin 4952  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Basecbs 17304  glbcglb 18401  meetcmee 18403  Atomscatm 40139  HLchlt 40226  pmapcpmap 40373

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-poset 18404  df-lub 18435  df-glb 18436  df-join 18437  df-meet 18438  df-lat 18523  df-clat 18590  df-ats 40143  df-hlat 40227  df-pmap 40380

This theorem is used by:  hlmod1i  40732  poldmj1N  40804  pmapj2N  40805  pnonsingN  40809  psubclinN  40824  poml4N  40829  pl42lem1N  40855  pl42lem2N  40856