Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmapmeet Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pmapmeet 39100
Description: The projective map of a meet. (Contributed by NM, 25-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
pmapmeet.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
pmapmeet.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
pmapmeet.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
pmapmeet.p 𝑃 = (pmapβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
pmapmeet ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) = ((π‘ƒβ€˜π‘‹) ∩ (π‘ƒβ€˜π‘Œ)))
Proof of Theorem pmapmeet
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2724 . . . 4 (glbβ€˜πΎ) = (glbβ€˜πΎ)
2 pmapmeet.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
3 simp1 1133 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ HL)
4 simp2 1134 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
5 simp3 1135 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
61, 2, 3, 4, 5meetval 18345 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) = ((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑋, π‘Œ}))
76fveq2d 6885 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) = (π‘ƒβ€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑋, π‘Œ})))
8 prssi 4816 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ {𝑋, π‘Œ} βŠ† 𝐡)
983adant1 1127 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ {𝑋, π‘Œ} βŠ† 𝐡)
10 prnzg 4774 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ {𝑋, π‘Œ} β‰  βˆ…)
11103ad2ant2 1131 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ {𝑋, π‘Œ} β‰  βˆ…)
12 pmapmeet.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
13 pmapmeet.p . . . 4 𝑃 = (pmapβ€˜πΎ)
1412, 1, 13pmapglb 39097 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ {𝑋, π‘Œ} βŠ† 𝐡 ∧ {𝑋, π‘Œ} β‰  βˆ…) β†’ (π‘ƒβ€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑋, π‘Œ})) = ∩ π‘₯ ∈ {𝑋, π‘Œ} (π‘ƒβ€˜π‘₯))
153, 9, 11, 14syl3anc 1368 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘ƒβ€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑋, π‘Œ})) = ∩ π‘₯ ∈ {𝑋, π‘Œ} (π‘ƒβ€˜π‘₯))
16 fveq2 6881 . . . 4 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) = (π‘ƒβ€˜π‘‹))
17 fveq2 6881 . . . 4 (π‘₯ = π‘Œ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) = (π‘ƒβ€˜π‘Œ))
1816, 17iinxprg 5082 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ∩ π‘₯ ∈ {𝑋, π‘Œ} (π‘ƒβ€˜π‘₯) = ((π‘ƒβ€˜π‘‹) ∩ (π‘ƒβ€˜π‘Œ)))
19183adant1 1127 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ∩ π‘₯ ∈ {𝑋, π‘Œ} (π‘ƒβ€˜π‘₯) = ((π‘ƒβ€˜π‘‹) ∩ (π‘ƒβ€˜π‘Œ)))
207, 15, 193eqtrd 2768 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) = ((π‘ƒβ€˜π‘‹) ∩ (π‘ƒβ€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932   ∩ cin 3939   βŠ† wss 3940  βˆ…c0 4314  {cpr 4622  βˆ© ciin 4988  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  Basecbs 17142  glbcglb 18264  meetcmee 18266  Atomscatm 38589  HLchlt 38676  pmapcpmap 38824
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-poset 18267  df-lub 18300  df-glb 18301  df-join 18302  df-meet 18303  df-lat 18386  df-clat 18453  df-ats 38593  df-hlat 38677  df-pmap 38831
This theorem is referenced by:  hlmod1i  39183  poldmj1N  39255  pmapj2N  39256  pnonsingN  39260  psubclinN  39275  poml4N  39280  pl42lem1N  39306  pl42lem2N  39307
  Copyright terms: Public domain W3C validator