Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmapmeet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmapmeet 35786
Description: The projective map of a meet. (Contributed by NM, 25-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
pmapmeet.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapmeet.m = (meet‘𝐾)
pmapmeet.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmapmeet.p 𝑃 = (pmap‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
pmapmeet ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑃‘(𝑋 𝑌)) = ((𝑃𝑋) ∩ (𝑃𝑌)))

Proof of Theorem pmapmeet
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2797 . . . 4 (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
2 pmapmeet.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
3 simp1 1167 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ HL)
4 simp2 1168 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋𝐵)
5 simp3 1169 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
61, 2, 3, 4, 5meetval 17331 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) = ((glb‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌}))
76fveq2d 6413 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑃‘(𝑋 𝑌)) = (𝑃‘((glb‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌})))
8 prssi 4538 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐵)
983adant1 1161 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐵)
10 prnzg 4497 . . . 4 (𝑋𝐵 → {𝑋, 𝑌} ≠ ∅)
11103ad2ant2 1165 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → {𝑋, 𝑌} ≠ ∅)
12 pmapmeet.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
13 pmapmeet.p . . . 4 𝑃 = (pmap‘𝐾)
1412, 1, 13pmapglb 35783 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐵 ∧ {𝑋, 𝑌} ≠ ∅) → (𝑃‘((glb‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌})) = 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑃𝑥))
153, 9, 11, 14syl3anc 1491 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑃‘((glb‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌})) = 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑃𝑥))
16 fveq2 6409 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝑃𝑥) = (𝑃𝑋))
17 fveq2 6409 . . . 4 (𝑥 = 𝑌 → (𝑃𝑥) = (𝑃𝑌))
1816, 17iinxprg 4789 . . 3 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑃𝑥) = ((𝑃𝑋) ∩ (𝑃𝑌)))
19183adant1 1161 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑃𝑥) = ((𝑃𝑋) ∩ (𝑃𝑌)))
207, 15, 193eqtrd 2835 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑃‘(𝑋 𝑌)) = ((𝑃𝑋) ∩ (𝑃𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2969  cin 3766  wss 3767  c0 4113  {cpr 4368   ciin 4709  cfv 6099  (class class class)co 6876  Basecbs 16181  glbcglb 17255  meetcmee 17257  Atomscatm 35276  HLchlt 35363  pmapcpmap 35510
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-op 4373  df-uni 4627  df-iun 4710  df-iin 4711  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-id 5218  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-poset 17258  df-lub 17286  df-glb 17287  df-join 17288  df-meet 17289  df-lat 17358  df-clat 17420  df-ats 35280  df-hlat 35364  df-pmap 35517
This theorem is referenced by:  hlmod1i  35869  poldmj1N  35941  pmapj2N  35942  pnonsingN  35946  psubclinN  35961  poml4N  35966  pl42lem1N  35992  pl42lem2N  35993
  Copyright terms: Public domain W3C validator