Theorem pmapmeet 38236

Description: The projective map of a meet. (Contributed by NM, 25-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmapmeet.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapmeet.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
pmapmeet.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmapmeet.p	⊢ 𝑃 = (pmap‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmapmeet	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑃‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = ((𝑃‘𝑋) ∩ (𝑃‘𝑌)))

Proof of Theorem pmapmeet

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
2		pmapmeet.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
3		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ HL)
4		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
6	1, 2, 3, 4, 5	meetval 18280	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) = ((glb‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌}))
7	6	fveq2d 6846	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑃‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = (𝑃‘((glb‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌})))
8		prssi 4781	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐵)
9	8	3adant1 1130	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐵)
10		prnzg 4739	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → {𝑋, 𝑌} ≠ ∅)
11	10	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → {𝑋, 𝑌} ≠ ∅)
12		pmapmeet.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
13		pmapmeet.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (pmap‘𝐾)
14	12, 1, 13	pmapglb 38233	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐵 ∧ {𝑋, 𝑌} ≠ ∅) → (𝑃‘((glb‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌})) = ∩ 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑃‘𝑥))
15	3, 9, 11, 14	syl3anc 1371	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑃‘((glb‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌})) = ∩ 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑃‘𝑥))
16		fveq2 6842	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝑋))
17		fveq2 6842	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝑌))
18	16, 17	iinxprg 5049	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ∩ 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑃‘𝑥) = ((𝑃‘𝑋) ∩ (𝑃‘𝑌)))
19	18	3adant1 1130	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ∩ 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑃‘𝑥) = ((𝑃‘𝑋) ∩ (𝑃‘𝑌)))
20	7, 15, 19	3eqtrd 2780	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑃‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = ((𝑃‘𝑋) ∩ (𝑃‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   ∩ cin 3909   ⊆ wss 3910  ∅c0 4282  {cpr 4588  ∩ ciin 4955  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  glbcglb 18199  meetcmee 18201  Atomscatm 37725  HLchlt 37812  pmapcpmap 37960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-poset 18202  df-lub 18235  df-glb 18236  df-join 18237  df-meet 18238  df-lat 18321  df-clat 18388  df-ats 37729  df-hlat 37813  df-pmap 37967

This theorem is referenced by:  hlmod1i  38319  poldmj1N  38391  pmapj2N  38392  pnonsingN  38396  psubclinN  38411  poml4N  38416  pl42lem1N  38442  pl42lem2N  38443