Theorem pmapmeet 39760

Description: The projective map of a meet. (Contributed by NM, 25-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmapmeet.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapmeet.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
pmapmeet.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmapmeet.p	⊢ 𝑃 = (pmap‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmapmeet	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑃‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = ((𝑃‘𝑋) ∩ (𝑃‘𝑌)))

Proof of Theorem pmapmeet

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
2		pmapmeet.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
3		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ HL)
4		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
6	1, 2, 3, 4, 5	meetval 18330	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) = ((glb‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌}))
7	6	fveq2d 6844	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑃‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = (𝑃‘((glb‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌})))
8		prssi 4781	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐵)
9	8	3adant1 1130	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐵)
10		prnzg 4738	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → {𝑋, 𝑌} ≠ ∅)
11	10	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → {𝑋, 𝑌} ≠ ∅)
12		pmapmeet.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
13		pmapmeet.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (pmap‘𝐾)
14	12, 1, 13	pmapglb 39757	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐵 ∧ {𝑋, 𝑌} ≠ ∅) → (𝑃‘((glb‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌})) = ∩ 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑃‘𝑥))
15	3, 9, 11, 14	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑃‘((glb‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌})) = ∩ 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑃‘𝑥))
16		fveq2 6840	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝑋))
17		fveq2 6840	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝑌))
18	16, 17	iinxprg 5048	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ∩ 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑃‘𝑥) = ((𝑃‘𝑋) ∩ (𝑃‘𝑌)))
19	18	3adant1 1130	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ∩ 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑃‘𝑥) = ((𝑃‘𝑋) ∩ (𝑃‘𝑌)))
20	7, 15, 19	3eqtrd 2768	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑃‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = ((𝑃‘𝑋) ∩ (𝑃‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∩ cin 3910   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292  {cpr 4587  ∩ ciin 4952  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  glbcglb 18251  meetcmee 18253  Atomscatm 39249  HLchlt 39336  pmapcpmap 39484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-poset 18254  df-lub 18285  df-glb 18286  df-join 18287  df-meet 18288  df-lat 18373  df-clat 18440  df-ats 39253  df-hlat 39337  df-pmap 39491

This theorem is referenced by:  hlmod1i  39843  poldmj1N  39915  pmapj2N  39916  pnonsingN  39920  psubclinN  39935  poml4N  39940  pl42lem1N  39966  pl42lem2N  39967