Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lncvrelatN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lncvrelatN 38955
Description: A lattice element covered by a line is an atom. (Contributed by NM, 28-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lncvrelat.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
lncvrelat.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
lncvrelat.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
lncvrelat.n 𝑁 = (Linesβ€˜πΎ)
lncvrelat.m 𝑀 = (pmapβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lncvrelatN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃𝐢𝑋)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem lncvrelatN
Dummy variables π‘Ÿ π‘ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hllat 38536 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
213ad2ant1 1131 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3 eqid 2730 . . . . 5 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
4 lncvrelat.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
5 lncvrelat.n . . . . 5 𝑁 = (Linesβ€˜πΎ)
6 lncvrelat.m . . . . 5 𝑀 = (pmapβ€˜πΎ)
73, 4, 5, 6isline2 38948 . . . 4 (𝐾 ∈ Lat β†’ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ↔ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (π‘ž β‰  π‘Ÿ ∧ (π‘€β€˜π‘‹) = (π‘€β€˜(π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)))))
82, 7syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ↔ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (π‘ž β‰  π‘Ÿ ∧ (π‘€β€˜π‘‹) = (π‘€β€˜(π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)))))
9 simpll1 1210 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ π‘ž β‰  π‘Ÿ) β†’ 𝐾 ∈ HL)
10 simpll2 1211 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ π‘ž β‰  π‘Ÿ) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
119, 1syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ π‘ž β‰  π‘Ÿ) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
12 simplrl 773 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ π‘ž β‰  π‘Ÿ) β†’ π‘ž ∈ 𝐴)
13 lncvrelat.b . . . . . . . . . 10 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
1413, 4atbase 38462 . . . . . . . . 9 (π‘ž ∈ 𝐴 β†’ π‘ž ∈ 𝐡)
1512, 14syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ π‘ž β‰  π‘Ÿ) β†’ π‘ž ∈ 𝐡)
16 simplrr 774 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ π‘ž β‰  π‘Ÿ) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐴)
1713, 4atbase 38462 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ ∈ 𝐴 β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐡)
1816, 17syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ π‘ž β‰  π‘Ÿ) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐡)
1913, 3latjcl 18396 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡) β†’ (π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ) ∈ 𝐡)
2011, 15, 18, 19syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ π‘ž β‰  π‘Ÿ) β†’ (π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ) ∈ 𝐡)
2113, 6pmap11 38936 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ) ∈ 𝐡) β†’ ((π‘€β€˜π‘‹) = (π‘€β€˜(π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)) ↔ 𝑋 = (π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)))
229, 10, 20, 21syl3anc 1369 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ π‘ž β‰  π‘Ÿ) β†’ ((π‘€β€˜π‘‹) = (π‘€β€˜(π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)) ↔ 𝑋 = (π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)))
23 breq2 5151 . . . . . . . 8 (𝑋 = (π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ) β†’ (𝑃𝐢𝑋 ↔ 𝑃𝐢(π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)))
2423biimpd 228 . . . . . . 7 (𝑋 = (π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ) β†’ (𝑃𝐢𝑋 β†’ 𝑃𝐢(π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)))
259adantr 479 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ π‘ž β‰  π‘Ÿ) ∧ 𝑃𝐢(π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
26 simpll3 1212 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ π‘ž β‰  π‘Ÿ) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
2726, 12, 163jca 1126 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ π‘ž β‰  π‘Ÿ) β†’ (𝑃 ∈ 𝐡 ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴))
2827adantr 479 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ π‘ž β‰  π‘Ÿ) ∧ 𝑃𝐢(π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)) β†’ (𝑃 ∈ 𝐡 ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴))
29 simplr 765 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ π‘ž β‰  π‘Ÿ) ∧ 𝑃𝐢(π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)) β†’ π‘ž β‰  π‘Ÿ)
30 simpr 483 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ π‘ž β‰  π‘Ÿ) ∧ 𝑃𝐢(π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)) β†’ 𝑃𝐢(π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))
31 lncvrelat.c . . . . . . . . . 10 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
3213, 3, 31, 4cvrat2 38603 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐡 ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (π‘ž β‰  π‘Ÿ ∧ 𝑃𝐢(π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
3325, 28, 29, 30, 32syl112anc 1372 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ π‘ž β‰  π‘Ÿ) ∧ 𝑃𝐢(π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
3433ex 411 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ π‘ž β‰  π‘Ÿ) β†’ (𝑃𝐢(π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴))
3524, 34syl9r 78 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ π‘ž β‰  π‘Ÿ) β†’ (𝑋 = (π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ) β†’ (𝑃𝐢𝑋 β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)))
3622, 35sylbid 239 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ π‘ž β‰  π‘Ÿ) β†’ ((π‘€β€˜π‘‹) = (π‘€β€˜(π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)) β†’ (𝑃𝐢𝑋 β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)))
3736expimpd 452 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) β†’ ((π‘ž β‰  π‘Ÿ ∧ (π‘€β€˜π‘‹) = (π‘€β€˜(π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ (𝑃𝐢𝑋 β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)))
3837rexlimdvva 3209 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (π‘ž β‰  π‘Ÿ ∧ (π‘€β€˜π‘‹) = (π‘€β€˜(π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ (𝑃𝐢𝑋 β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)))
398, 38sylbid 239 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 β†’ (𝑃𝐢𝑋 β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)))
4039imp32 417 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃𝐢𝑋)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆƒwrex 3068   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  joincjn 18268  Latclat 18388   β‹– ccvr 38435  Atomscatm 38436  HLchlt 38523  Linesclines 38668  pmapcpmap 38671
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-lat 18389  df-clat 18456  df-oposet 38349  df-ol 38351  df-oml 38352  df-covers 38439  df-ats 38440  df-atl 38471  df-cvlat 38495  df-hlat 38524  df-lines 38675  df-pmap 38678
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator