Theorem lncvrelatN 36932

Description: A lattice element covered by a line is an atom. (Contributed by NM, 28-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lncvrelat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lncvrelat.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
lncvrelat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lncvrelat.n	⊢ 𝑁 = (Lines‘𝐾)
lncvrelat.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lncvrelatN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑀‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃𝐶𝑋)) → 𝑃 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem lncvrelatN

Dummy variables 𝑟 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 36514	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2	1	3ad2ant1 1129	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
3		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
4		lncvrelat.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5		lncvrelat.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (Lines‘𝐾)
6		lncvrelat.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
7	3, 4, 5, 6	isline2 36925	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → ((𝑀‘𝑋) ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
8	2, 7	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
9		simpll1 1208	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → 𝐾 ∈ HL)
10		simpll2 1209	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	9, 1	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → 𝐾 ∈ Lat)
12		simplrl 775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → 𝑞 ∈ 𝐴)
13		lncvrelat.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
14	13, 4	atbase 36440	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐴 → 𝑞 ∈ 𝐵)
15	12, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → 𝑞 ∈ 𝐵)
16		simplrr 776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → 𝑟 ∈ 𝐴)
17	13, 4	atbase 36440	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ 𝐴 → 𝑟 ∈ 𝐵)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → 𝑟 ∈ 𝐵)
19	13, 3	latjcl 17661	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → (𝑞(join‘𝐾)𝑟) ∈ 𝐵)
20	11, 15, 18, 19	syl3anc 1367	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → (𝑞(join‘𝐾)𝑟) ∈ 𝐵)
21	13, 6	pmap11 36913	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑞(join‘𝐾)𝑟) ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) = (𝑀‘(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) ↔ 𝑋 = (𝑞(join‘𝐾)𝑟)))
22	9, 10, 20, 21	syl3anc 1367	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → ((𝑀‘𝑋) = (𝑀‘(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) ↔ 𝑋 = (𝑞(join‘𝐾)𝑟)))
23		breq2 5070	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = (𝑞(join‘𝐾)𝑟) → (𝑃𝐶𝑋 ↔ 𝑃𝐶(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))
24	23	biimpd 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = (𝑞(join‘𝐾)𝑟) → (𝑃𝐶𝑋 → 𝑃𝐶(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))
25	9	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑃𝐶(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) → 𝐾 ∈ HL)
26		simpll3 1210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → 𝑃 ∈ 𝐵)
27	26, 12, 16	3jca 1124	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → (𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴))
28	27	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑃𝐶(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) → (𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴))
29		simplr 767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑃𝐶(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) → 𝑞 ≠ 𝑟)
30		simpr 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑃𝐶(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) → 𝑃𝐶(𝑞(join‘𝐾)𝑟))
31		lncvrelat.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
32	13, 3, 31, 4	cvrat2 36580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ 𝑃𝐶(𝑞(join‘𝐾)𝑟))) → 𝑃 ∈ 𝐴)
33	25, 28, 29, 30, 32	syl112anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑃𝐶(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
34	33	ex 415	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → (𝑃𝐶(𝑞(join‘𝐾)𝑟) → 𝑃 ∈ 𝐴))
35	24, 34	syl9r 78	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → (𝑋 = (𝑞(join‘𝐾)𝑟) → (𝑃𝐶𝑋 → 𝑃 ∈ 𝐴)))
36	22, 35	sylbid 242	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → ((𝑀‘𝑋) = (𝑀‘(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) → (𝑃𝐶𝑋 → 𝑃 ∈ 𝐴)))
37	36	expimpd 456	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) → ((𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘(𝑞(join‘𝐾)𝑟))) → (𝑃𝐶𝑋 → 𝑃 ∈ 𝐴)))
38	37	rexlimdvva 3294	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘(𝑞(join‘𝐾)𝑟))) → (𝑃𝐶𝑋 → 𝑃 ∈ 𝐴)))
39	8, 38	sylbid 242	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) ∈ 𝑁 → (𝑃𝐶𝑋 → 𝑃 ∈ 𝐴)))
40	39	imp32 421	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑀‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃𝐶𝑋)) → 𝑃 ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  ∃wrex 3139   class class class wbr 5066  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  Basecbs 16483  joincjn 17554  Latclat 17655   ⋖ ccvr 36413  Atomscatm 36414  HLchlt 36501  Linesclines 36645  pmapcpmap 36648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-proset 17538  df-poset 17556  df-plt 17568  df-lub 17584  df-glb 17585  df-join 17586  df-meet 17587  df-p0 17649  df-lat 17656  df-clat 17718  df-oposet 36327  df-ol 36329  df-oml 36330  df-covers 36417  df-ats 36418  df-atl 36449  df-cvlat 36473  df-hlat 36502  df-lines 36652  df-pmap 36655

This theorem is referenced by: (None)