Theorem lncvrelatN 40641

Description: A lattice element covered by a line is an atom. (Contributed by NM, 28-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lncvrelat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lncvrelat.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
lncvrelat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lncvrelat.n	⊢ 𝑁 = (Lines‘𝐾)
lncvrelat.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lncvrelatN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑀‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃𝐶𝑋)) → 𝑃 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem lncvrelatN

Dummy variables 𝑟 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 40223	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2	1	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
3		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
4		lncvrelat.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5		lncvrelat.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (Lines‘𝐾)
6		lncvrelat.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
7	3, 4, 5, 6	isline2 40634	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → ((𝑀‘𝑋) ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
8	2, 7	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
9		simpll1 1231	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → 𝐾 ∈ HL)
10		simpll2 1232	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	9, 1	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → 𝐾 ∈ Lat)
12		simplrl 789	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → 𝑞 ∈ 𝐴)
13		lncvrelat.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
14	13, 4	atbase 40149	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐴 → 𝑞 ∈ 𝐵)
15	12, 14	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → 𝑞 ∈ 𝐵)
16		simplrr 790	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → 𝑟 ∈ 𝐴)
17	13, 4	atbase 40149	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ 𝐴 → 𝑟 ∈ 𝐵)
18	16, 17	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → 𝑟 ∈ 𝐵)
19	13, 3	latjcl 18531	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → (𝑞(join‘𝐾)𝑟) ∈ 𝐵)
20	11, 15, 18, 19	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → (𝑞(join‘𝐾)𝑟) ∈ 𝐵)
21	13, 6	pmap11 40622	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑞(join‘𝐾)𝑟) ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) = (𝑀‘(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) ↔ 𝑋 = (𝑞(join‘𝐾)𝑟)))
22	9, 10, 20, 21	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → ((𝑀‘𝑋) = (𝑀‘(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) ↔ 𝑋 = (𝑞(join‘𝐾)𝑟)))
23		breq2 5111	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = (𝑞(join‘𝐾)𝑟) → (𝑃𝐶𝑋 ↔ 𝑃𝐶(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))
24	23	biimpd 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = (𝑞(join‘𝐾)𝑟) → (𝑃𝐶𝑋 → 𝑃𝐶(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))
25	9	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑃𝐶(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) → 𝐾 ∈ HL)
26		simpll3 1233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → 𝑃 ∈ 𝐵)
27	26, 12, 16	3jca 1146	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → (𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴))
28	27	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑃𝐶(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) → (𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴))
29		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑃𝐶(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) → 𝑞 ≠ 𝑟)
30		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑃𝐶(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) → 𝑃𝐶(𝑞(join‘𝐾)𝑟))
31		lncvrelat.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
32	13, 3, 31, 4	cvrat2 40289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ 𝑃𝐶(𝑞(join‘𝐾)𝑟))) → 𝑃 ∈ 𝐴)
33	25, 28, 29, 30, 32	syl112anc 1401	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑃𝐶(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
34	33	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → (𝑃𝐶(𝑞(join‘𝐾)𝑟) → 𝑃 ∈ 𝐴))
35	24, 34	syl9r 79	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → (𝑋 = (𝑞(join‘𝐾)𝑟) → (𝑃𝐶𝑋 → 𝑃 ∈ 𝐴)))
36	22, 35	sylbid 243	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → ((𝑀‘𝑋) = (𝑀‘(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) → (𝑃𝐶𝑋 → 𝑃 ∈ 𝐴)))
37	36	expimpd 459	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) → ((𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘(𝑞(join‘𝐾)𝑟))) → (𝑃𝐶𝑋 → 𝑃 ∈ 𝐴)))
38	37	rexlimdvva 3221	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘(𝑞(join‘𝐾)𝑟))) → (𝑃𝐶𝑋 → 𝑃 ∈ 𝐴)))
39	8, 38	sylbid 243	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) ∈ 𝑁 → (𝑃𝐶𝑋 → 𝑃 ∈ 𝐴)))
40	39	imp32 424	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑀‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃𝐶𝑋)) → 𝑃 ∈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∃wrex 3088   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Basecbs 17305  joincjn 18403  Latclat 18523   ⋖ ccvr 40122  Atomscatm 40123  HLchlt 40210  Linesclines 40354  pmapcpmap 40357

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-proset 18386  df-poset 18405  df-plt 18420  df-lub 18436  df-glb 18437  df-join 18438  df-meet 18439  df-p0 18515  df-lat 18524  df-clat 18591  df-oposet 40036  df-ol 40038  df-oml 40039  df-covers 40126  df-ats 40127  df-atl 40158  df-cvlat 40182  df-hlat 40211  df-lines 40361  df-pmap 40364

This theorem is used by: (None)