Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lncvrelatN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lncvrelatN 38652
Description: A lattice element covered by a line is an atom. (Contributed by NM, 28-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lncvrelat.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
lncvrelat.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
lncvrelat.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
lncvrelat.n 𝑁 = (Linesβ€˜πΎ)
lncvrelat.m 𝑀 = (pmapβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lncvrelatN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃𝐢𝑋)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem lncvrelatN
Dummy variables π‘Ÿ π‘ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hllat 38233 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
213ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3 eqid 2733 . . . . 5 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
4 lncvrelat.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
5 lncvrelat.n . . . . 5 𝑁 = (Linesβ€˜πΎ)
6 lncvrelat.m . . . . 5 𝑀 = (pmapβ€˜πΎ)
73, 4, 5, 6isline2 38645 . . . 4 (𝐾 ∈ Lat β†’ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ↔ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (π‘ž β‰  π‘Ÿ ∧ (π‘€β€˜π‘‹) = (π‘€β€˜(π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)))))
82, 7syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ↔ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (π‘ž β‰  π‘Ÿ ∧ (π‘€β€˜π‘‹) = (π‘€β€˜(π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)))))
9 simpll1 1213 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ π‘ž β‰  π‘Ÿ) β†’ 𝐾 ∈ HL)
10 simpll2 1214 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ π‘ž β‰  π‘Ÿ) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
119, 1syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ π‘ž β‰  π‘Ÿ) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
12 simplrl 776 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ π‘ž β‰  π‘Ÿ) β†’ π‘ž ∈ 𝐴)
13 lncvrelat.b . . . . . . . . . 10 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
1413, 4atbase 38159 . . . . . . . . 9 (π‘ž ∈ 𝐴 β†’ π‘ž ∈ 𝐡)
1512, 14syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ π‘ž β‰  π‘Ÿ) β†’ π‘ž ∈ 𝐡)
16 simplrr 777 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ π‘ž β‰  π‘Ÿ) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐴)
1713, 4atbase 38159 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ ∈ 𝐴 β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐡)
1816, 17syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ π‘ž β‰  π‘Ÿ) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐡)
1913, 3latjcl 18392 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡) β†’ (π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ) ∈ 𝐡)
2011, 15, 18, 19syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ π‘ž β‰  π‘Ÿ) β†’ (π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ) ∈ 𝐡)
2113, 6pmap11 38633 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ) ∈ 𝐡) β†’ ((π‘€β€˜π‘‹) = (π‘€β€˜(π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)) ↔ 𝑋 = (π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)))
229, 10, 20, 21syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ π‘ž β‰  π‘Ÿ) β†’ ((π‘€β€˜π‘‹) = (π‘€β€˜(π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)) ↔ 𝑋 = (π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)))
23 breq2 5153 . . . . . . . 8 (𝑋 = (π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ) β†’ (𝑃𝐢𝑋 ↔ 𝑃𝐢(π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)))
2423biimpd 228 . . . . . . 7 (𝑋 = (π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ) β†’ (𝑃𝐢𝑋 β†’ 𝑃𝐢(π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)))
259adantr 482 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ π‘ž β‰  π‘Ÿ) ∧ 𝑃𝐢(π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
26 simpll3 1215 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ π‘ž β‰  π‘Ÿ) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
2726, 12, 163jca 1129 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ π‘ž β‰  π‘Ÿ) β†’ (𝑃 ∈ 𝐡 ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴))
2827adantr 482 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ π‘ž β‰  π‘Ÿ) ∧ 𝑃𝐢(π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)) β†’ (𝑃 ∈ 𝐡 ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴))
29 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ π‘ž β‰  π‘Ÿ) ∧ 𝑃𝐢(π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)) β†’ π‘ž β‰  π‘Ÿ)
30 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ π‘ž β‰  π‘Ÿ) ∧ 𝑃𝐢(π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)) β†’ 𝑃𝐢(π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))
31 lncvrelat.c . . . . . . . . . 10 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
3213, 3, 31, 4cvrat2 38300 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐡 ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (π‘ž β‰  π‘Ÿ ∧ 𝑃𝐢(π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
3325, 28, 29, 30, 32syl112anc 1375 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ π‘ž β‰  π‘Ÿ) ∧ 𝑃𝐢(π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
3433ex 414 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ π‘ž β‰  π‘Ÿ) β†’ (𝑃𝐢(π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴))
3524, 34syl9r 78 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ π‘ž β‰  π‘Ÿ) β†’ (𝑋 = (π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ) β†’ (𝑃𝐢𝑋 β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)))
3622, 35sylbid 239 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ π‘ž β‰  π‘Ÿ) β†’ ((π‘€β€˜π‘‹) = (π‘€β€˜(π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)) β†’ (𝑃𝐢𝑋 β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)))
3736expimpd 455 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) β†’ ((π‘ž β‰  π‘Ÿ ∧ (π‘€β€˜π‘‹) = (π‘€β€˜(π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ (𝑃𝐢𝑋 β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)))
3837rexlimdvva 3212 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (π‘ž β‰  π‘Ÿ ∧ (π‘€β€˜π‘‹) = (π‘€β€˜(π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ (𝑃𝐢𝑋 β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)))
398, 38sylbid 239 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 β†’ (𝑃𝐢𝑋 β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)))
4039imp32 420 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃𝐢𝑋)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆƒwrex 3071   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  joincjn 18264  Latclat 18384   β‹– ccvr 38132  Atomscatm 38133  HLchlt 38220  Linesclines 38365  pmapcpmap 38368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-lat 18385  df-clat 18452  df-oposet 38046  df-ol 38048  df-oml 38049  df-covers 38136  df-ats 38137  df-atl 38168  df-cvlat 38192  df-hlat 38221  df-lines 38372  df-pmap 38375
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator