Theorem lncvrelatN 40218

Description: A lattice element covered by a line is an atom. (Contributed by NM, 28-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lncvrelat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lncvrelat.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
lncvrelat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lncvrelat.n	⊢ 𝑁 = (Lines‘𝐾)
lncvrelat.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lncvrelatN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑀‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃𝐶𝑋)) → 𝑃 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem lncvrelatN

Dummy variables 𝑟 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 39800	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2	1	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
3		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
4		lncvrelat.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5		lncvrelat.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (Lines‘𝐾)
6		lncvrelat.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
7	3, 4, 5, 6	isline2 40211	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → ((𝑀‘𝑋) ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
8	2, 7	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
9		simpll1 1214	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → 𝐾 ∈ HL)
10		simpll2 1215	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	9, 1	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → 𝐾 ∈ Lat)
12		simplrl 777	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → 𝑞 ∈ 𝐴)
13		lncvrelat.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
14	13, 4	atbase 39726	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐴 → 𝑞 ∈ 𝐵)
15	12, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → 𝑞 ∈ 𝐵)
16		simplrr 778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → 𝑟 ∈ 𝐴)
17	13, 4	atbase 39726	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ 𝐴 → 𝑟 ∈ 𝐵)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → 𝑟 ∈ 𝐵)
19	13, 3	latjcl 18363	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → (𝑞(join‘𝐾)𝑟) ∈ 𝐵)
20	11, 15, 18, 19	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → (𝑞(join‘𝐾)𝑟) ∈ 𝐵)
21	13, 6	pmap11 40199	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑞(join‘𝐾)𝑟) ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) = (𝑀‘(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) ↔ 𝑋 = (𝑞(join‘𝐾)𝑟)))
22	9, 10, 20, 21	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → ((𝑀‘𝑋) = (𝑀‘(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) ↔ 𝑋 = (𝑞(join‘𝐾)𝑟)))
23		breq2 5090	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = (𝑞(join‘𝐾)𝑟) → (𝑃𝐶𝑋 ↔ 𝑃𝐶(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))
24	23	biimpd 229	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = (𝑞(join‘𝐾)𝑟) → (𝑃𝐶𝑋 → 𝑃𝐶(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))
25	9	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑃𝐶(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) → 𝐾 ∈ HL)
26		simpll3 1216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → 𝑃 ∈ 𝐵)
27	26, 12, 16	3jca 1129	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → (𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴))
28	27	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑃𝐶(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) → (𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴))
29		simplr 769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑃𝐶(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) → 𝑞 ≠ 𝑟)
30		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑃𝐶(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) → 𝑃𝐶(𝑞(join‘𝐾)𝑟))
31		lncvrelat.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
32	13, 3, 31, 4	cvrat2 39866	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ 𝑃𝐶(𝑞(join‘𝐾)𝑟))) → 𝑃 ∈ 𝐴)
33	25, 28, 29, 30, 32	syl112anc 1377	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑃𝐶(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
34	33	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → (𝑃𝐶(𝑞(join‘𝐾)𝑟) → 𝑃 ∈ 𝐴))
35	24, 34	syl9r 78	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → (𝑋 = (𝑞(join‘𝐾)𝑟) → (𝑃𝐶𝑋 → 𝑃 ∈ 𝐴)))
36	22, 35	sylbid 240	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → ((𝑀‘𝑋) = (𝑀‘(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) → (𝑃𝐶𝑋 → 𝑃 ∈ 𝐴)))
37	36	expimpd 453	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) → ((𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘(𝑞(join‘𝐾)𝑟))) → (𝑃𝐶𝑋 → 𝑃 ∈ 𝐴)))
38	37	rexlimdvva 3195	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘(𝑞(join‘𝐾)𝑟))) → (𝑃𝐶𝑋 → 𝑃 ∈ 𝐴)))
39	8, 38	sylbid 240	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) ∈ 𝑁 → (𝑃𝐶𝑋 → 𝑃 ∈ 𝐴)))
40	39	imp32 418	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑀‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃𝐶𝑋)) → 𝑃 ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062   class class class wbr 5086  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  Basecbs 17137  joincjn 18235  Latclat 18355   ⋖ ccvr 39699  Atomscatm 39700  HLchlt 39787  Linesclines 39931  pmapcpmap 39934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-proset 18218  df-poset 18237  df-plt 18252  df-lub 18268  df-glb 18269  df-join 18270  df-meet 18271  df-p0 18347  df-lat 18356  df-clat 18423  df-oposet 39613  df-ol 39615  df-oml 39616  df-covers 39703  df-ats 39704  df-atl 39735  df-cvlat 39759  df-hlat 39788  df-lines 39938  df-pmap 39941

This theorem is referenced by: (None)