Theorem lncvrelatN 35849

Description: A lattice element covered by a line is an atom. (Contributed by NM, 28-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lncvrelat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lncvrelat.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
lncvrelat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lncvrelat.n	⊢ 𝑁 = (Lines‘𝐾)
lncvrelat.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lncvrelatN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑀‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃𝐶𝑋)) → 𝑃 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem lncvrelatN

Dummy variables 𝑟 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 35431	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2	1	3ad2ant1 1167	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
3		eqid 2825	. . . . 5 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
4		lncvrelat.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5		lncvrelat.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (Lines‘𝐾)
6		lncvrelat.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
7	3, 4, 5, 6	isline2 35842	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → ((𝑀‘𝑋) ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
8	2, 7	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
9		simpll1 1273	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → 𝐾 ∈ HL)
10		simpll2 1275	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	9, 1	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → 𝐾 ∈ Lat)
12		simplrl 795	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → 𝑞 ∈ 𝐴)
13		lncvrelat.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
14	13, 4	atbase 35357	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐴 → 𝑞 ∈ 𝐵)
15	12, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → 𝑞 ∈ 𝐵)
16		simplrr 796	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → 𝑟 ∈ 𝐴)
17	13, 4	atbase 35357	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ 𝐴 → 𝑟 ∈ 𝐵)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → 𝑟 ∈ 𝐵)
19	13, 3	latjcl 17404	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → (𝑞(join‘𝐾)𝑟) ∈ 𝐵)
20	11, 15, 18, 19	syl3anc 1494	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → (𝑞(join‘𝐾)𝑟) ∈ 𝐵)
21	13, 6	pmap11 35830	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑞(join‘𝐾)𝑟) ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) = (𝑀‘(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) ↔ 𝑋 = (𝑞(join‘𝐾)𝑟)))
22	9, 10, 20, 21	syl3anc 1494	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → ((𝑀‘𝑋) = (𝑀‘(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) ↔ 𝑋 = (𝑞(join‘𝐾)𝑟)))
23		breq2 4877	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = (𝑞(join‘𝐾)𝑟) → (𝑃𝐶𝑋 ↔ 𝑃𝐶(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))
24	23	biimpd 221	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = (𝑞(join‘𝐾)𝑟) → (𝑃𝐶𝑋 → 𝑃𝐶(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))
25	9	adantr 474	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑃𝐶(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) → 𝐾 ∈ HL)
26		simpll3 1277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → 𝑃 ∈ 𝐵)
27	26, 12, 16	3jca 1162	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → (𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴))
28	27	adantr 474	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑃𝐶(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) → (𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴))
29		simplr 785	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑃𝐶(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) → 𝑞 ≠ 𝑟)
30		simpr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑃𝐶(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) → 𝑃𝐶(𝑞(join‘𝐾)𝑟))
31		lncvrelat.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
32	13, 3, 31, 4	cvrat2 35497	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ 𝑃𝐶(𝑞(join‘𝐾)𝑟))) → 𝑃 ∈ 𝐴)
33	25, 28, 29, 30, 32	syl112anc 1497	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) ∧ 𝑃𝐶(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
34	33	ex 403	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → (𝑃𝐶(𝑞(join‘𝐾)𝑟) → 𝑃 ∈ 𝐴))
35	24, 34	syl9r 78	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → (𝑋 = (𝑞(join‘𝐾)𝑟) → (𝑃𝐶𝑋 → 𝑃 ∈ 𝐴)))
36	22, 35	sylbid 232	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → ((𝑀‘𝑋) = (𝑀‘(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) → (𝑃𝐶𝑋 → 𝑃 ∈ 𝐴)))
37	36	expimpd 447	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) → ((𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘(𝑞(join‘𝐾)𝑟))) → (𝑃𝐶𝑋 → 𝑃 ∈ 𝐴)))
38	37	rexlimdvva 3248	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘(𝑞(join‘𝐾)𝑟))) → (𝑃𝐶𝑋 → 𝑃 ∈ 𝐴)))
39	8, 38	sylbid 232	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) ∈ 𝑁 → (𝑃𝐶𝑋 → 𝑃 ∈ 𝐴)))
40	39	imp32 411	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑀‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃𝐶𝑋)) → 𝑃 ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1111   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999  ∃wrex 3118   class class class wbr 4873  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  Basecbs 16222  joincjn 17297  Latclat 17398   ⋖ ccvr 35330  Atomscatm 35331  HLchlt 35418  Linesclines 35562  pmapcpmap 35565

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-id 5250  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-proset 17281  df-poset 17299  df-plt 17311  df-lub 17327  df-glb 17328  df-join 17329  df-meet 17330  df-p0 17392  df-lat 17399  df-clat 17461  df-oposet 35244  df-ol 35246  df-oml 35247  df-covers 35334  df-ats 35335  df-atl 35366  df-cvlat 35390  df-hlat 35419  df-lines 35569  df-pmap 35572

This theorem is referenced by: (None)