Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  grptcmon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grptcmon 47990
Description: All morphisms in a category converted from a group are monomorphisms. (Contributed by Zhi Wang, 23-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
grptcmon.c (πœ‘ β†’ 𝐢 = (MndToCatβ€˜πΊ))
grptcmon.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Grp)
grptcmon.b (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ))
grptcmon.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
grptcmon.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
grptcmon.h (πœ‘ β†’ 𝐻 = (Hom β€˜πΆ))
grptcmon.m (πœ‘ β†’ 𝑀 = (Monoβ€˜πΆ))
Assertion
Ref Expression
grptcmon (πœ‘ β†’ (π‘‹π‘€π‘Œ) = (π‘‹π»π‘Œ))

Proof of Theorem grptcmon
Dummy variables 𝑓 𝑔 β„Ž 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . . . 5 (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜πΆ)
2 eqid 2726 . . . . 5 (Hom β€˜πΆ) = (Hom β€˜πΆ)
3 eqid 2726 . . . . 5 (compβ€˜πΆ) = (compβ€˜πΆ)
4 eqid 2726 . . . . 5 (Monoβ€˜πΆ) = (Monoβ€˜πΆ)
5 grptcmon.c . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 = (MndToCatβ€˜πΊ))
6 grptcmon.g . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Grp)
76grpmndd 18876 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
85, 7mndtccat 47988 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
9 grptcmon.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
10 grptcmon.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ))
119, 10eleqtrd 2829 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
12 grptcmon.y . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
1312, 10eleqtrd 2829 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΆ))
141, 2, 3, 4, 8, 11, 13ismon2 17690 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑓 ∈ (𝑋(Monoβ€˜πΆ)π‘Œ) ↔ (𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆ€π‘” ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑋)βˆ€β„Ž ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑋)((𝑓(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Œ)𝑔) = (𝑓(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Œ)β„Ž) β†’ 𝑔 = β„Ž))))
155ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑋) ∧ β„Ž ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑋))) β†’ 𝐢 = (MndToCatβ€˜πΊ))
167ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑋) ∧ β„Ž ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑋))) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
1710ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑋) ∧ β„Ž ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑋))) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ))
18 simpr1 1191 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑋) ∧ β„Ž ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑋))) β†’ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
1918, 17eleqtrrd 2830 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑋) ∧ β„Ž ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑋))) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
209ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑋) ∧ β„Ž ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑋))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
2112ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑋) ∧ β„Ž ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑋))) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
22 eqidd 2727 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑋) ∧ β„Ž ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑋))) β†’ (compβ€˜πΆ) = (compβ€˜πΆ))
23 eqidd 2727 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑋) ∧ β„Ž ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑋))) β†’ (βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Œ) = (βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Œ))
2415, 16, 17, 19, 20, 21, 22, 23mndtcco2 47986 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑋) ∧ β„Ž ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑋))) β†’ (𝑓(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Œ)𝑔) = (𝑓(+gβ€˜πΊ)𝑔))
2515, 16, 17, 19, 20, 21, 22, 23mndtcco2 47986 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑋) ∧ β„Ž ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑋))) β†’ (𝑓(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Œ)β„Ž) = (𝑓(+gβ€˜πΊ)β„Ž))
2624, 25eqeq12d 2742 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑋) ∧ β„Ž ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑋))) β†’ ((𝑓(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Œ)𝑔) = (𝑓(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Œ)β„Ž) ↔ (𝑓(+gβ€˜πΊ)𝑔) = (𝑓(+gβ€˜πΊ)β„Ž)))
276ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑋) ∧ β„Ž ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑋))) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
28 simpr2 1192 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑋) ∧ β„Ž ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑋))) β†’ 𝑔 ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑋))
29 eqidd 2727 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑋) ∧ β„Ž ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑋))) β†’ (Hom β€˜πΆ) = (Hom β€˜πΆ))
3015, 16, 17, 19, 20, 29mndtchom 47984 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑋) ∧ β„Ž ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑋))) β†’ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑋) = (Baseβ€˜πΊ))
3128, 30eleqtrd 2829 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑋) ∧ β„Ž ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑋))) β†’ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
32 simpr3 1193 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑋) ∧ β„Ž ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑋))) β†’ β„Ž ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑋))
3332, 30eleqtrd 2829 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑋) ∧ β„Ž ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑋))) β†’ β„Ž ∈ (Baseβ€˜πΊ))
34 simplr 766 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑋) ∧ β„Ž ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑋))) β†’ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ))
3515, 16, 17, 20, 21, 29mndtchom 47984 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑋) ∧ β„Ž ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑋))) β†’ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ) = (Baseβ€˜πΊ))
3634, 35eleqtrd 2829 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑋) ∧ β„Ž ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑋))) β†’ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
37 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
38 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
3937, 38grplcan 18930 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑔 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ β„Ž ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ ((𝑓(+gβ€˜πΊ)𝑔) = (𝑓(+gβ€˜πΊ)β„Ž) ↔ 𝑔 = β„Ž))
4027, 31, 33, 36, 39syl13anc 1369 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑋) ∧ β„Ž ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑋))) β†’ ((𝑓(+gβ€˜πΊ)𝑔) = (𝑓(+gβ€˜πΊ)β„Ž) ↔ 𝑔 = β„Ž))
4126, 40bitrd 279 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑋) ∧ β„Ž ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑋))) β†’ ((𝑓(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Œ)𝑔) = (𝑓(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Œ)β„Ž) ↔ 𝑔 = β„Ž))
4241biimpd 228 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑋) ∧ β„Ž ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑋))) β†’ ((𝑓(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Œ)𝑔) = (𝑓(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Œ)β„Ž) β†’ 𝑔 = β„Ž))
4342ralrimivvva 3197 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆ€π‘” ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑋)βˆ€β„Ž ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑋)((𝑓(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Œ)𝑔) = (𝑓(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Œ)β„Ž) β†’ 𝑔 = β„Ž))
4414, 43mpbiran3d 47757 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑓 ∈ (𝑋(Monoβ€˜πΆ)π‘Œ) ↔ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)))
4544eqrdv 2724 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋(Monoβ€˜πΆ)π‘Œ) = (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ))
46 grptcmon.m . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 = (Monoβ€˜πΆ))
4746oveqd 7422 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘‹π‘€π‘Œ) = (𝑋(Monoβ€˜πΆ)π‘Œ))
48 grptcmon.h . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐻 = (Hom β€˜πΆ))
4948oveqd 7422 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘‹π»π‘Œ) = (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ))
5045, 47, 493eqtr4d 2776 1 (πœ‘ β†’ (π‘‹π‘€π‘Œ) = (π‘‹π»π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βŸ¨cop 4629  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  Hom chom 17217  compcco 17218  Monocmon 17684  Mndcmnd 18667  Grpcgrp 18863  MndToCatcmndtc 47977
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-cat 17621  df-cid 17622  df-mon 17686  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-mndtc 47978
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator