Theorem sigaclcu3 33650

Description: A sigma-algebra is closed under countable or finite union. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Mar-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sigaclcu3.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
sigaclcu3.2	⊢ (𝜑 → (𝑁 = ℕ ∨ 𝑁 = (1..^𝑀)))
sigaclcu3.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝐴 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
sigaclcu3	⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝑁 𝐴 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑆,𝑘   𝑘,𝑁   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem sigaclcu3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = ℕ) → 𝑁 = ℕ)
2	1	iuneq1d 5017	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = ℕ) → ∪ 𝑘 ∈ 𝑁 𝐴 = ∪ 𝑘 ∈ ℕ 𝐴)
3		sigaclcu3.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = ℕ) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
5		sigaclcu3.3	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝐴 ∈ 𝑆)
6	5	ralrimiva 3140	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑁 𝐴 ∈ 𝑆)
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = ℕ) → ∀𝑘 ∈ 𝑁 𝐴 ∈ 𝑆)
8	1	raleqdv 3319	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = ℕ) → (∀𝑘 ∈ 𝑁 𝐴 ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆))
9	7, 8	mpbid 231	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = ℕ) → ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆)
10		sigaclcu2 33648	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆) → ∪ 𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆)
11	4, 9, 10	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = ℕ) → ∪ 𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆)
12	2, 11	eqeltrd 2827	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = ℕ) → ∪ 𝑘 ∈ 𝑁 𝐴 ∈ 𝑆)
13		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (1..^𝑀)) → 𝑁 = (1..^𝑀))
14	13	iuneq1d 5017	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (1..^𝑀)) → ∪ 𝑘 ∈ 𝑁 𝐴 = ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑀)𝐴)
15	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (1..^𝑀)) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
16	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (1..^𝑀)) → ∀𝑘 ∈ 𝑁 𝐴 ∈ 𝑆)
17	13	raleqdv 3319	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (1..^𝑀)) → (∀𝑘 ∈ 𝑁 𝐴 ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑘 ∈ (1..^𝑀)𝐴 ∈ 𝑆))
18	16, 17	mpbid 231	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (1..^𝑀)) → ∀𝑘 ∈ (1..^𝑀)𝐴 ∈ 𝑆)
19		sigaclfu2 33649	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^𝑀)𝐴 ∈ 𝑆) → ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑀)𝐴 ∈ 𝑆)
20	15, 18, 19	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (1..^𝑀)) → ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑀)𝐴 ∈ 𝑆)
21	14, 20	eqeltrd 2827	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (1..^𝑀)) → ∪ 𝑘 ∈ 𝑁 𝐴 ∈ 𝑆)
22		sigaclcu3.2	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = ℕ ∨ 𝑁 = (1..^𝑀)))
23	12, 21, 22	mpjaodan 955	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝑁 𝐴 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3055  ∪ cuni 4902  ∪ ciun 4990  ran crn 5670  (class class class)co 7405  1c1 11113  ℕcn 12216  ..^cfzo 13633  sigAlgebracsiga 33636

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-siga 33637

This theorem is referenced by: (None)