Theorem sigaclcu3 34453

Description: A sigma-algebra is closed under countable or finite union. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Mar-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sigaclcu3.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
sigaclcu3.2	⊢ (𝜑 → (𝑁 = ℕ ∨ 𝑁 = (1..^𝑀)))
sigaclcu3.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝐴 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
sigaclcu3	⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝑁 𝐴 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑆,𝑘   𝑘,𝑁   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem sigaclcu3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = ℕ) → 𝑁 = ℕ)
2	1	iuneq1d 4985	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = ℕ) → ∪ 𝑘 ∈ 𝑁 𝐴 = ∪ 𝑘 ∈ ℕ 𝐴)
3		sigaclcu3.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
4	3	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = ℕ) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
5		sigaclcu3.3	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝐴 ∈ 𝑆)
6	5	ralrimiva 3163	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑁 𝐴 ∈ 𝑆)
7	6	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = ℕ) → ∀𝑘 ∈ 𝑁 𝐴 ∈ 𝑆)
8	7, 1	raleqtrdv 3331	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = ℕ) → ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆)
9		sigaclcu2 34451	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆) → ∪ 𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆)
10	4, 8, 9	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = ℕ) → ∪ 𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆)
11	2, 10	eqeltrd 2869	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = ℕ) → ∪ 𝑘 ∈ 𝑁 𝐴 ∈ 𝑆)
12		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (1..^𝑀)) → 𝑁 = (1..^𝑀))
13	12	iuneq1d 4985	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (1..^𝑀)) → ∪ 𝑘 ∈ 𝑁 𝐴 = ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑀)𝐴)
14	3	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (1..^𝑀)) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
15	6	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (1..^𝑀)) → ∀𝑘 ∈ 𝑁 𝐴 ∈ 𝑆)
16	15, 12	raleqtrdv 3331	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (1..^𝑀)) → ∀𝑘 ∈ (1..^𝑀)𝐴 ∈ 𝑆)
17		sigaclfu2 34452	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^𝑀)𝐴 ∈ 𝑆) → ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑀)𝐴 ∈ 𝑆)
18	14, 16, 17	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (1..^𝑀)) → ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑀)𝐴 ∈ 𝑆)
19	13, 18	eqeltrd 2869	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (1..^𝑀)) → ∪ 𝑘 ∈ 𝑁 𝐴 ∈ 𝑆)
20		sigaclcu3.2	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = ℕ ∨ 𝑁 = (1..^𝑀)))
21	11, 19, 20	mpjaodan 973	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝑁 𝐴 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  ∪ cuni 4873  ∪ ciun 4957  ran crn 5660  (class class class)co 7408  1c1 11097  ℕcn 12229  ..^cfzo 13678  sigAlgebracsiga 34439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-inf2 9606  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-card 9921  df-acn 9924  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-siga 34440

This theorem is referenced by: (None)