Theorem sigaclcu3 34632

Description: A sigma-algebra is closed under countable or finite union. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Mar-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sigaclcu3.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
sigaclcu3.2	⊢ (𝜑 → (𝑁 = ℕ ∨ 𝑁 = (1..^𝑀)))
sigaclcu3.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝐴 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
sigaclcu3	⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝑁 𝐴 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑆,𝑘   𝑘,𝑁   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem sigaclcu3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = ℕ) → 𝑁 = ℕ)
2	1	iuneq1d 4979	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = ℕ) → ∪ 𝑘 ∈ 𝑁 𝐴 = ∪ 𝑘 ∈ ℕ 𝐴)
3		sigaclcu3.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
4	3	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = ℕ) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
5		sigaclcu3.3	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝐴 ∈ 𝑆)
6	5	ralrimiva 3154	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑁 𝐴 ∈ 𝑆)
7	6	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = ℕ) → ∀𝑘 ∈ 𝑁 𝐴 ∈ 𝑆)
8	7, 1	raleqtrdv 3321	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = ℕ) → ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆)
9		sigaclcu2 34630	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆) → ∪ 𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆)
10	4, 8, 9	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = ℕ) → ∪ 𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆)
11	2, 10	eqeltrd 2860	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = ℕ) → ∪ 𝑘 ∈ 𝑁 𝐴 ∈ 𝑆)
12		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (1..^𝑀)) → 𝑁 = (1..^𝑀))
13	12	iuneq1d 4979	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (1..^𝑀)) → ∪ 𝑘 ∈ 𝑁 𝐴 = ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑀)𝐴)
14	3	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (1..^𝑀)) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
15	6	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (1..^𝑀)) → ∀𝑘 ∈ 𝑁 𝐴 ∈ 𝑆)
16	15, 12	raleqtrdv 3321	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (1..^𝑀)) → ∀𝑘 ∈ (1..^𝑀)𝐴 ∈ 𝑆)
17		sigaclfu2 34631	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^𝑀)𝐴 ∈ 𝑆) → ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑀)𝐴 ∈ 𝑆)
18	14, 16, 17	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (1..^𝑀)) → ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑀)𝐴 ∈ 𝑆)
19	13, 18	eqeltrd 2860	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (1..^𝑀)) → ∪ 𝑘 ∈ 𝑁 𝐴 ∈ 𝑆)
20		sigaclcu3.2	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = ℕ ∨ 𝑁 = (1..^𝑀)))
21	11, 19, 20	mpjaodan 973	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝑁 𝐴 ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∪ cuni 4867  ∪ ciun 4951  ran crn 5656  (class class class)co 7413  1c1 11125  ℕcn 12257  ..^cfzo 13709  sigAlgebracsiga 34618

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-inf2 9620  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-card 9944  df-acn 9947  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-siga 34619

This theorem is used by: (None)