Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sigaclcu3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sigaclcu3 31408
 Description: A sigma-algebra is closed under countable or finite union. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Mar-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sigaclcu3.1 (𝜑𝑆 ran sigAlgebra)
sigaclcu3.2 (𝜑 → (𝑁 = ℕ ∨ 𝑁 = (1..^𝑀)))
sigaclcu3.3 ((𝜑𝑘𝑁) → 𝐴𝑆)
Assertion
Ref Expression
sigaclcu3 (𝜑 𝑘𝑁 𝐴𝑆)
Distinct variable groups:   𝑆,𝑘   𝑘,𝑁   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem sigaclcu3
StepHypRef Expression
1 simpr 488 . . . 4 ((𝜑𝑁 = ℕ) → 𝑁 = ℕ)
21iuneq1d 4933 . . 3 ((𝜑𝑁 = ℕ) → 𝑘𝑁 𝐴 = 𝑘 ∈ ℕ 𝐴)
3 sigaclcu3.1 . . . . 5 (𝜑𝑆 ran sigAlgebra)
43adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑁 = ℕ) → 𝑆 ran sigAlgebra)
5 sigaclcu3.3 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑁) → 𝐴𝑆)
65ralrimiva 3177 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑘𝑁 𝐴𝑆)
76adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑁 = ℕ) → ∀𝑘𝑁 𝐴𝑆)
81raleqdv 3403 . . . . 5 ((𝜑𝑁 = ℕ) → (∀𝑘𝑁 𝐴𝑆 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝑆))
97, 8mpbid 235 . . . 4 ((𝜑𝑁 = ℕ) → ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝑆)
10 sigaclcu2 31406 . . . 4 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝑆) → 𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝑆)
114, 9, 10syl2anc 587 . . 3 ((𝜑𝑁 = ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝑆)
122, 11eqeltrd 2916 . 2 ((𝜑𝑁 = ℕ) → 𝑘𝑁 𝐴𝑆)
13 simpr 488 . . . 4 ((𝜑𝑁 = (1..^𝑀)) → 𝑁 = (1..^𝑀))
1413iuneq1d 4933 . . 3 ((𝜑𝑁 = (1..^𝑀)) → 𝑘𝑁 𝐴 = 𝑘 ∈ (1..^𝑀)𝐴)
153adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑁 = (1..^𝑀)) → 𝑆 ran sigAlgebra)
166adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑁 = (1..^𝑀)) → ∀𝑘𝑁 𝐴𝑆)
1713raleqdv 3403 . . . . 5 ((𝜑𝑁 = (1..^𝑀)) → (∀𝑘𝑁 𝐴𝑆 ↔ ∀𝑘 ∈ (1..^𝑀)𝐴𝑆))
1816, 17mpbid 235 . . . 4 ((𝜑𝑁 = (1..^𝑀)) → ∀𝑘 ∈ (1..^𝑀)𝐴𝑆)
19 sigaclfu2 31407 . . . 4 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^𝑀)𝐴𝑆) → 𝑘 ∈ (1..^𝑀)𝐴𝑆)
2015, 18, 19syl2anc 587 . . 3 ((𝜑𝑁 = (1..^𝑀)) → 𝑘 ∈ (1..^𝑀)𝐴𝑆)
2114, 20eqeltrd 2916 . 2 ((𝜑𝑁 = (1..^𝑀)) → 𝑘𝑁 𝐴𝑆)
22 sigaclcu3.2 . 2 (𝜑 → (𝑁 = ℕ ∨ 𝑁 = (1..^𝑀)))
2312, 21, 22mpjaodan 956 1 (𝜑 𝑘𝑁 𝐴𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∀wral 3133  ∪ cuni 4825  ∪ ciun 4906  ran crn 5544  (class class class)co 7146  1c1 10532  ℕcn 11632  ..^cfzo 13035  sigAlgebracsiga 31394 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-inf2 9097  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-isom 6353  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-om 7572  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-card 9361  df-acn 9364  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-n0 11893  df-z 11977  df-uz 12239  df-fz 12893  df-fzo 13036  df-siga 31395 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator