Theorem sigaclcu3 34306

Description: A sigma-algebra is closed under countable or finite union. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Mar-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sigaclcu3.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
sigaclcu3.2	⊢ (𝜑 → (𝑁 = ℕ ∨ 𝑁 = (1..^𝑀)))
sigaclcu3.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝐴 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
sigaclcu3	⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝑁 𝐴 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑆,𝑘   𝑘,𝑁   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem sigaclcu3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = ℕ) → 𝑁 = ℕ)
2	1	iuneq1d 4949	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = ℕ) → ∪ 𝑘 ∈ 𝑁 𝐴 = ∪ 𝑘 ∈ ℕ 𝐴)
3		sigaclcu3.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
4	3	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = ℕ) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
5		sigaclcu3.3	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝐴 ∈ 𝑆)
6	5	ralrimiva 3131	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑁 𝐴 ∈ 𝑆)
7	6	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = ℕ) → ∀𝑘 ∈ 𝑁 𝐴 ∈ 𝑆)
8	7, 1	raleqtrdv 3299	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = ℕ) → ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆)
9		sigaclcu2 34304	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆) → ∪ 𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆)
10	4, 8, 9	syl2anc 590	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = ℕ) → ∪ 𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆)
11	2, 10	eqeltrd 2839	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = ℕ) → ∪ 𝑘 ∈ 𝑁 𝐴 ∈ 𝑆)
12		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (1..^𝑀)) → 𝑁 = (1..^𝑀))
13	12	iuneq1d 4949	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (1..^𝑀)) → ∪ 𝑘 ∈ 𝑁 𝐴 = ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑀)𝐴)
14	3	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (1..^𝑀)) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
15	6	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (1..^𝑀)) → ∀𝑘 ∈ 𝑁 𝐴 ∈ 𝑆)
16	15, 12	raleqtrdv 3299	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (1..^𝑀)) → ∀𝑘 ∈ (1..^𝑀)𝐴 ∈ 𝑆)
17		sigaclfu2 34305	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^𝑀)𝐴 ∈ 𝑆) → ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑀)𝐴 ∈ 𝑆)
18	14, 16, 17	syl2anc 590	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (1..^𝑀)) → ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑀)𝐴 ∈ 𝑆)
19	13, 18	eqeltrd 2839	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (1..^𝑀)) → ∪ 𝑘 ∈ 𝑁 𝐴 ∈ 𝑆)
20		sigaclcu3.2	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = ℕ ∨ 𝑁 = (1..^𝑀)))
21	11, 19, 20	mpjaodan 966	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝑁 𝐴 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 853   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053  ∪ cuni 4838  ∪ ciun 4921  ran crn 5619  (class class class)co 7356  1c1 11030  ℕcn 12165  ..^cfzo 13599  sigAlgebracsiga 34292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-card 9854  df-acn 9857  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-siga 34293

This theorem is referenced by: (None)