MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2ub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2ub 25114
Description: The integral of a nonnegative real function 𝐹 is an upper bound on the integrals of all simple functions 𝐺 dominated by 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg2ub ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1𝐺r𝐹) → (∫1𝐺) ≤ (∫2𝐹))

Proof of Theorem itg2ub
Dummy variables 𝑥 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . 4 {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))} = {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}
21itg2lcl 25108 . . 3 {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))} ⊆ ℝ*
31itg2lr 25111 . . . 4 ((𝐺 ∈ dom ∫1𝐺r𝐹) → (∫1𝐺) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))})
433adant1 1131 . . 3 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1𝐺r𝐹) → (∫1𝐺) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))})
5 supxrub 13249 . . 3 (({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))} ⊆ ℝ* ∧ (∫1𝐺) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}) → (∫1𝐺) ≤ sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}, ℝ*, < ))
62, 4, 5sylancr 588 . 2 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1𝐺r𝐹) → (∫1𝐺) ≤ sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}, ℝ*, < ))
71itg2val 25109 . . 3 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2𝐹) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}, ℝ*, < ))
873ad2ant1 1134 . 2 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1𝐺r𝐹) → (∫2𝐹) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}, ℝ*, < ))
96, 8breqtrrd 5134 1 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1𝐺r𝐹) → (∫1𝐺) ≤ (∫2𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  {cab 2710  wrex 3070  wss 3911   class class class wbr 5106  dom cdm 5634  wf 6493  cfv 6497  (class class class)co 7358  r cofr 7617  supcsup 9381  cr 11055  0cc0 11056  +∞cpnf 11191  *cxr 11193   < clt 11194  cle 11195  [,]cicc 13273  1citg1 24995  2citg2 24996
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-dju 9842  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xadd 13039  df-ioo 13274  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-sum 15577  df-xmet 20805  df-met 20806  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-mbf 24999  df-itg1 25000  df-itg2 25001
This theorem is referenced by:  itg2ge0  25116  itg2itg1  25117  itg2le  25120  itg2seq  25123  itg2uba  25124  itg2mulclem  25127  itg2splitlem  25129  itg2monolem1  25131  itg2i1fseq3  25138  itg2addlem  25139
  Copyright terms: Public domain W3C validator