Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2ub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2ub 24337
 Description: The integral of a nonnegative real function 𝐹 is an upper bound on the integrals of all simple functions 𝐺 dominated by 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg2ub ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1𝐺r𝐹) → (∫1𝐺) ≤ (∫2𝐹))

Proof of Theorem itg2ub
Dummy variables 𝑥 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2824 . . . 4 {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))} = {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}
21itg2lcl 24331 . . 3 {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))} ⊆ ℝ*
31itg2lr 24334 . . . 4 ((𝐺 ∈ dom ∫1𝐺r𝐹) → (∫1𝐺) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))})
433adant1 1126 . . 3 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1𝐺r𝐹) → (∫1𝐺) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))})
5 supxrub 12720 . . 3 (({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))} ⊆ ℝ* ∧ (∫1𝐺) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}) → (∫1𝐺) ≤ sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}, ℝ*, < ))
62, 4, 5sylancr 589 . 2 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1𝐺r𝐹) → (∫1𝐺) ≤ sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}, ℝ*, < ))
71itg2val 24332 . . 3 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2𝐹) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}, ℝ*, < ))
873ad2ant1 1129 . 2 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1𝐺r𝐹) → (∫2𝐹) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}, ℝ*, < ))
96, 8breqtrrd 5097 1 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1𝐺r𝐹) → (∫1𝐺) ≤ (∫2𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  {cab 2802  ∃wrex 3142   ⊆ wss 3939   class class class wbr 5069  dom cdm 5558  ⟶wf 6354  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159   ∘r cofr 7411  supcsup 8907  ℝcr 10539  0cc0 10540  +∞cpnf 10675  ℝ*cxr 10677   < clt 10678   ≤ cle 10679  [,]cicc 12744  ∫1citg1 24219  ∫2citg2 24220 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-inf2 9107  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-pre-sup 10618 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-se 5518  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-of 7412  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-2o 8106  df-oadd 8109  df-er 8292  df-map 8411  df-pm 8412  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-sup 8909  df-inf 8910  df-oi 8977  df-dju 9333  df-card 9371  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xadd 12511  df-ioo 12745  df-ico 12747  df-icc 12748  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-fl 13165  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-clim 14848  df-sum 15046  df-xmet 20541  df-met 20542  df-ovol 24068  df-vol 24069  df-mbf 24223  df-itg1 24224  df-itg2 24225 This theorem is referenced by:  itg2ge0  24339  itg2itg1  24340  itg2le  24343  itg2seq  24346  itg2uba  24347  itg2mulclem  24350  itg2splitlem  24352  itg2monolem1  24354  itg2i1fseq3  24361  itg2addlem  24362
 Copyright terms: Public domain W3C validator