Theorem itg2cl 25852

Description: The integral of a nonnegative real function is an extended real number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itg2cl	⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem itg2cl

Dummy variables 𝑥 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . 3 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))} = {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))}
2	1	itg2val 25848	. 2 ⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘𝐹) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))}, ℝ*, < ))
3	1	itg2lcl 25847	. . 3 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))} ⊆ ℝ*
4		supxrcl 13332	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))} ⊆ ℝ* → sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*
6	2, 5	eqeltrdi 2873	1 ⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  {cab 2743  ∃wrex 3089   ⊆ wss 3907   class class class wbr 5105  dom cdm 5652  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   ∘_r cofr 7663  supcsup 9388  ℝcr 11087  0cc0 11088  +∞cpnf 11228  ℝ^*cxr 11230   < clt 11231   ≤ cle 11232  [,]cicc 13366  ∫₁citg1 25735  ∫₂citg2 25736

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-map 8814  df-pm 8815  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-dju 9875  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xadd 13129  df-ioo 13367  df-ico 13369  df-icc 13370  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-fl 13816  df-seq 14029  df-exp 14089  df-hash 14358  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-clim 15529  df-sum 15728  df-xmet 21475  df-met 21476  df-ovol 25584  df-vol 25585  df-mbf 25739  df-itg1 25740  df-itg2 25741

This theorem is referenced by:  itg2itg1  25856  itg2lecl  25858  itg2le  25859  itg2seq  25862  itg2uba  25863  itg2lea  25864  itg2eqa  25865  itg2mulc  25867  itg2split  25869  itg2monolem1  25870  itg2monolem2  25871  itg2monolem3  25872  itg2mono  25873  itg2gt0  25880  itg2cn  25883  itg2gt0cn  38186  ftc1anclem6  38209  ftc1anclem7  38210  ftc1anc  38212