MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2lcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2lcl 24334
Description: The set of lower sums is a set of extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
itg2val.1 𝐿 = {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}
Assertion
Ref Expression
itg2lcl 𝐿 ⊆ ℝ*
Distinct variable group:   𝑥,𝑔,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐿(𝑥,𝑔)

Proof of Theorem itg2lcl
StepHypRef Expression
1 itg2val.1 . 2 𝐿 = {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}
2 itg1cl 24292 . . . . . 6 (𝑔 ∈ dom ∫1 → (∫1𝑔) ∈ ℝ)
32rexrd 10689 . . . . 5 (𝑔 ∈ dom ∫1 → (∫1𝑔) ∈ ℝ*)
4 simpr 488 . . . . . 6 ((𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔)) → 𝑥 = (∫1𝑔))
54eleq1d 2900 . . . . 5 ((𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔)) → (𝑥 ∈ ℝ* ↔ (∫1𝑔) ∈ ℝ*))
63, 5syl5ibrcom 250 . . . 4 (𝑔 ∈ dom ∫1 → ((𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔)) → 𝑥 ∈ ℝ*))
76rexlimiv 3272 . . 3 (∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
87abssi 4032 . 2 {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))} ⊆ ℝ*
91, 8eqsstri 3987 1 𝐿 ⊆ ℝ*
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  {cab 2802  wrex 3134  wss 3919   class class class wbr 5052  dom cdm 5542  cfv 6343  r cofr 7402  *cxr 10672  cle 10674  1citg1 24222
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-inf2 9101  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-pm 8405  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-sup 8903  df-inf 8904  df-oi 8971  df-dju 9327  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-q 12346  df-rp 12387  df-xadd 12505  df-ioo 12739  df-ico 12741  df-icc 12742  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-fl 13166  df-seq 13374  df-exp 13435  df-hash 13696  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-clim 14845  df-sum 15043  df-xmet 20538  df-met 20539  df-ovol 24071  df-vol 24072  df-mbf 24226  df-itg1 24227
This theorem is referenced by:  itg2cl  24339  itg2ub  24340  itg2leub  24341
  Copyright terms: Public domain W3C validator