Theorem itg2lcl 25658

Description: The set of lower sums is a set of extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
itg2val.1	⊢ 𝐿 = {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))}

Assertion

Ref	Expression
itg2lcl	⊢ 𝐿 ⊆ ℝ*

Distinct variable group:   𝑥,𝑔,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐿(𝑥,𝑔)

Proof of Theorem itg2lcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg2val.1	. 2 ⊢ 𝐿 = {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))}
2		itg1cl 25616	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝑔) ∈ ℝ)
3	2	rexrd 11171	. . . . 5 ⊢ (𝑔 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝑔) ∈ ℝ*)
4		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔)) → 𝑥 = (∫1‘𝑔))
5	4	eleq1d 2818	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔)) → (𝑥 ∈ ℝ* ↔ (∫1‘𝑔) ∈ ℝ*))
6	3, 5	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ (𝑔 ∈ dom ∫1 → ((𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔)) → 𝑥 ∈ ℝ*))
7	6	rexlimiv 3127	. . 3 ⊢ (∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
8	7	abssi 4017	. 2 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))} ⊆ ℝ*
9	1, 8	eqsstri 3977	1 ⊢ 𝐿 ⊆ ℝ*

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {cab 2711  ∃wrex 3057   ⊆ wss 3898   class class class wbr 5095  dom cdm 5621  ‘cfv 6488   ∘_r cofr 7617  ℝ^*cxr 11154   ≤ cle 11156  ∫₁citg1 25546

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-inf2 9540  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092  ax-pre-sup 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-isom 6497  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-of 7618  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-1o 8393  df-2o 8394  df-er 8630  df-map 8760  df-pm 8761  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-fin 8881  df-sup 9335  df-inf 9336  df-oi 9405  df-dju 9803  df-card 9841  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-div 11784  df-nn 12135  df-2 12197  df-3 12198  df-n0 12391  df-z 12478  df-uz 12741  df-q 12851  df-rp 12895  df-xadd 13016  df-ioo 13253  df-ico 13255  df-icc 13256  df-fz 13412  df-fzo 13559  df-fl 13700  df-seq 13913  df-exp 13973  df-hash 14242  df-cj 15010  df-re 15011  df-im 15012  df-sqrt 15146  df-abs 15147  df-clim 15399  df-sum 15598  df-xmet 21288  df-met 21289  df-ovol 25395  df-vol 25396  df-mbf 25550  df-itg1 25551

This theorem is referenced by:  itg2cl  25663  itg2ub  25664  itg2leub  25665