MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2lcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2lcl 25675
Description: The set of lower sums is a set of extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
itg2val.1 𝐿 = {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}
Assertion
Ref Expression
itg2lcl 𝐿 ⊆ ℝ*
Distinct variable group:   𝑥,𝑔,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐿(𝑥,𝑔)

Proof of Theorem itg2lcl
StepHypRef Expression
1 itg2val.1 . 2 𝐿 = {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}
2 itg1cl 25632 . . . . . 6 (𝑔 ∈ dom ∫1 → (∫1𝑔) ∈ ℝ)
32rexrd 11300 . . . . 5 (𝑔 ∈ dom ∫1 → (∫1𝑔) ∈ ℝ*)
4 simpr 483 . . . . . 6 ((𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔)) → 𝑥 = (∫1𝑔))
54eleq1d 2813 . . . . 5 ((𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔)) → (𝑥 ∈ ℝ* ↔ (∫1𝑔) ∈ ℝ*))
63, 5syl5ibrcom 246 . . . 4 (𝑔 ∈ dom ∫1 → ((𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔)) → 𝑥 ∈ ℝ*))
76rexlimiv 3144 . . 3 (∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
87abssi 4065 . 2 {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))} ⊆ ℝ*
91, 8eqsstri 4014 1 𝐿 ⊆ ℝ*
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  {cab 2704  wrex 3066  wss 3947   class class class wbr 5150  dom cdm 5680  cfv 6551  r cofr 7688  *cxr 11283  cle 11285  1citg1 25562
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-inf2 9670  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-isom 6560  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7689  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-2o 8492  df-er 8729  df-map 8851  df-pm 8852  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9539  df-dju 9930  df-card 9968  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-n0 12509  df-z 12595  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-xadd 13131  df-ioo 13366  df-ico 13368  df-icc 13369  df-fz 13523  df-fzo 13666  df-fl 13795  df-seq 14005  df-exp 14065  df-hash 14328  df-cj 15084  df-re 15085  df-im 15086  df-sqrt 15220  df-abs 15221  df-clim 15470  df-sum 15671  df-xmet 21277  df-met 21278  df-ovol 25411  df-vol 25412  df-mbf 25566  df-itg1 25567
This theorem is referenced by:  itg2cl  25680  itg2ub  25681  itg2leub  25682
  Copyright terms: Public domain W3C validator