MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2lcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2lcl 25115
Description: The set of lower sums is a set of extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
itg2val.1 𝐿 = {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}
Assertion
Ref Expression
itg2lcl 𝐿 ⊆ ℝ*
Distinct variable group:   𝑥,𝑔,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐿(𝑥,𝑔)

Proof of Theorem itg2lcl
StepHypRef Expression
1 itg2val.1 . 2 𝐿 = {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}
2 itg1cl 25072 . . . . . 6 (𝑔 ∈ dom ∫1 → (∫1𝑔) ∈ ℝ)
32rexrd 11213 . . . . 5 (𝑔 ∈ dom ∫1 → (∫1𝑔) ∈ ℝ*)
4 simpr 486 . . . . . 6 ((𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔)) → 𝑥 = (∫1𝑔))
54eleq1d 2819 . . . . 5 ((𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔)) → (𝑥 ∈ ℝ* ↔ (∫1𝑔) ∈ ℝ*))
63, 5syl5ibrcom 247 . . . 4 (𝑔 ∈ dom ∫1 → ((𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔)) → 𝑥 ∈ ℝ*))
76rexlimiv 3142 . . 3 (∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
87abssi 4031 . 2 {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))} ⊆ ℝ*
91, 8eqsstri 3982 1 𝐿 ⊆ ℝ*
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  {cab 2710  wrex 3070  wss 3914   class class class wbr 5109  dom cdm 5637  cfv 6500  r cofr 7620  *cxr 11196  cle 11198  1citg1 25002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-dju 9845  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xadd 13042  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379  df-sum 15580  df-xmet 20812  df-met 20813  df-ovol 24851  df-vol 24852  df-mbf 25006  df-itg1 25007
This theorem is referenced by:  itg2cl  25120  itg2ub  25121  itg2leub  25122
  Copyright terms: Public domain W3C validator