Theorem itg2leub 24804

Description: Any upper bound on the integrals of all simple functions 𝐺 dominated by 𝐹 is greater than (∫₂‘𝐹), the least upper bound. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itg2leub	⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((∫2‘𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑔) ≤ 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝑔,𝐹

Proof of Theorem itg2leub

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))} = {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))}
2	1	itg2val 24798	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘𝐹) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))}, ℝ*, < ))
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (∫2‘𝐹) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))}, ℝ*, < ))
4	3	breq1d 5080	. 2 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((∫2‘𝐹) ≤ 𝐴 ↔ sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))}, ℝ*, < ) ≤ 𝐴))
5	1	itg2lcl 24797	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))} ⊆ ℝ*
6		supxrleub 12989	. . . . 5 ⊢ (({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))} ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))}, ℝ*, < ) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))}𝑧 ≤ 𝐴))
7	5, 6	mpan 686	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))}, ℝ*, < ) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))}𝑧 ≤ 𝐴))
8	7	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))}, ℝ*, < ) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))}𝑧 ≤ 𝐴))
9		eqeq1 2742	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 = (∫1‘𝑔) ↔ 𝑧 = (∫1‘𝑔)))
10	9	anbi2d 628	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔)) ↔ (𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑧 = (∫1‘𝑔))))
11	10	rexbidv 3225	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔)) ↔ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑧 = (∫1‘𝑔))))
12	11	ralab 3621	. . . 4 ⊢ (∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))}𝑧 ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑧(∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑧 = (∫1‘𝑔)) → 𝑧 ≤ 𝐴))
13		r19.23v 3207	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑔 ∈ dom ∫1((𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑧 = (∫1‘𝑔)) → 𝑧 ≤ 𝐴) ↔ (∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑧 = (∫1‘𝑔)) → 𝑧 ≤ 𝐴))
14		ancomst 464	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑧 = (∫1‘𝑔)) → 𝑧 ≤ 𝐴) ↔ ((𝑧 = (∫1‘𝑔) ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐹) → 𝑧 ≤ 𝐴))
15		impexp 450	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 = (∫1‘𝑔) ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐹) → 𝑧 ≤ 𝐴) ↔ (𝑧 = (∫1‘𝑔) → (𝑔 ∘r ≤ 𝐹 → 𝑧 ≤ 𝐴)))
16	14, 15	bitri 274	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑧 = (∫1‘𝑔)) → 𝑧 ≤ 𝐴) ↔ (𝑧 = (∫1‘𝑔) → (𝑔 ∘r ≤ 𝐹 → 𝑧 ≤ 𝐴)))
17	16	ralbii 3090	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑔 ∈ dom ∫1((𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑧 = (∫1‘𝑔)) → 𝑧 ≤ 𝐴) ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑧 = (∫1‘𝑔) → (𝑔 ∘r ≤ 𝐹 → 𝑧 ≤ 𝐴)))
18	13, 17	bitr3i 276	. . . . . 6 ⊢ ((∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑧 = (∫1‘𝑔)) → 𝑧 ≤ 𝐴) ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑧 = (∫1‘𝑔) → (𝑔 ∘r ≤ 𝐹 → 𝑧 ≤ 𝐴)))
19	18	albii 1823	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧(∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑧 = (∫1‘𝑔)) → 𝑧 ≤ 𝐴) ↔ ∀𝑧∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑧 = (∫1‘𝑔) → (𝑔 ∘r ≤ 𝐹 → 𝑧 ≤ 𝐴)))
20		ralcom4 3161	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑔 ∈ dom ∫1∀𝑧(𝑧 = (∫1‘𝑔) → (𝑔 ∘r ≤ 𝐹 → 𝑧 ≤ 𝐴)) ↔ ∀𝑧∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑧 = (∫1‘𝑔) → (𝑔 ∘r ≤ 𝐹 → 𝑧 ≤ 𝐴)))
21		fvex 6769	. . . . . . . 8 ⊢ (∫1‘𝑔) ∈ V
22		breq1 5073	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (∫1‘𝑔) → (𝑧 ≤ 𝐴 ↔ (∫1‘𝑔) ≤ 𝐴))
23	22	imbi2d 340	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (∫1‘𝑔) → ((𝑔 ∘r ≤ 𝐹 → 𝑧 ≤ 𝐴) ↔ (𝑔 ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑔) ≤ 𝐴)))
24	21, 23	ceqsalv 3457	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑧(𝑧 = (∫1‘𝑔) → (𝑔 ∘r ≤ 𝐹 → 𝑧 ≤ 𝐴)) ↔ (𝑔 ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑔) ≤ 𝐴))
25	24	ralbii 3090	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑔 ∈ dom ∫1∀𝑧(𝑧 = (∫1‘𝑔) → (𝑔 ∘r ≤ 𝐹 → 𝑧 ≤ 𝐴)) ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑔) ≤ 𝐴))
26	20, 25	bitr3i 276	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑧 = (∫1‘𝑔) → (𝑔 ∘r ≤ 𝐹 → 𝑧 ≤ 𝐴)) ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑔) ≤ 𝐴))
27	19, 26	bitri 274	. . . 4 ⊢ (∀𝑧(∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑧 = (∫1‘𝑔)) → 𝑧 ≤ 𝐴) ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑔) ≤ 𝐴))
28	12, 27	bitri 274	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))}𝑧 ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑔) ≤ 𝐴))
29	8, 28	bitrdi 286	. 2 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))}, ℝ*, < ) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑔) ≤ 𝐴)))
30	4, 29	bitrd 278	1 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((∫2‘𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑔) ≤ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395  ∀wal 1537   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {cab 2715  ∀wral 3063  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5070  dom cdm 5580  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∘_r cofr 7510  supcsup 9129  ℝcr 10801  0cc0 10802  +∞cpnf 10937  ℝ^*cxr 10939   < clt 10940   ≤ cle 10941  [,]cicc 13011  ∫₁citg1 24684  ∫₂citg2 24685

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-dju 9590  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xadd 12778  df-ioo 13012  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-sum 15326  df-xmet 20503  df-met 20504  df-ovol 24533  df-vol 24534  df-mbf 24688  df-itg1 24689  df-itg2 24690

This theorem is referenced by:  itg2itg1  24806  itg2le  24809  itg2seq  24812  itg2lea  24814  itg2mulclem  24816  itg2splitlem  24818  itg2split  24819  itg2mono  24823  ftc1anclem5  35781