MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2leub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2leub 25252
Description: Any upper bound on the integrals of all simple functions 𝐺 dominated by 𝐹 is greater than (∫2𝐹), the least upper bound. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg2leub ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((∫2𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹 → (∫1𝑔) ≤ 𝐴)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝑔,𝐹

Proof of Theorem itg2leub
Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . . 5 {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))} = {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}
21itg2val 25246 . . . 4 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2𝐹) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}, ℝ*, < ))
32adantr 482 . . 3 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (∫2𝐹) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}, ℝ*, < ))
43breq1d 5159 . 2 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((∫2𝐹) ≤ 𝐴 ↔ sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}, ℝ*, < ) ≤ 𝐴))
51itg2lcl 25245 . . . . 5 {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))} ⊆ ℝ*
6 supxrleub 13305 . . . . 5 (({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))} ⊆ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}, ℝ*, < ) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}𝑧𝐴))
75, 6mpan 689 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* → (sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}, ℝ*, < ) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}𝑧𝐴))
87adantl 483 . . 3 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}, ℝ*, < ) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}𝑧𝐴))
9 eqeq1 2737 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 = (∫1𝑔) ↔ 𝑧 = (∫1𝑔)))
109anbi2d 630 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔)) ↔ (𝑔r𝐹𝑧 = (∫1𝑔))))
1110rexbidv 3179 . . . . 5 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔)) ↔ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑧 = (∫1𝑔))))
1211ralab 3688 . . . 4 (∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}𝑧𝐴 ↔ ∀𝑧(∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑧 = (∫1𝑔)) → 𝑧𝐴))
13 r19.23v 3183 . . . . . . 7 (∀𝑔 ∈ dom ∫1((𝑔r𝐹𝑧 = (∫1𝑔)) → 𝑧𝐴) ↔ (∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑧 = (∫1𝑔)) → 𝑧𝐴))
14 ancomst 466 . . . . . . . . 9 (((𝑔r𝐹𝑧 = (∫1𝑔)) → 𝑧𝐴) ↔ ((𝑧 = (∫1𝑔) ∧ 𝑔r𝐹) → 𝑧𝐴))
15 impexp 452 . . . . . . . . 9 (((𝑧 = (∫1𝑔) ∧ 𝑔r𝐹) → 𝑧𝐴) ↔ (𝑧 = (∫1𝑔) → (𝑔r𝐹𝑧𝐴)))
1614, 15bitri 275 . . . . . . . 8 (((𝑔r𝐹𝑧 = (∫1𝑔)) → 𝑧𝐴) ↔ (𝑧 = (∫1𝑔) → (𝑔r𝐹𝑧𝐴)))
1716ralbii 3094 . . . . . . 7 (∀𝑔 ∈ dom ∫1((𝑔r𝐹𝑧 = (∫1𝑔)) → 𝑧𝐴) ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑧 = (∫1𝑔) → (𝑔r𝐹𝑧𝐴)))
1813, 17bitr3i 277 . . . . . 6 ((∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑧 = (∫1𝑔)) → 𝑧𝐴) ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑧 = (∫1𝑔) → (𝑔r𝐹𝑧𝐴)))
1918albii 1822 . . . . 5 (∀𝑧(∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑧 = (∫1𝑔)) → 𝑧𝐴) ↔ ∀𝑧𝑔 ∈ dom ∫1(𝑧 = (∫1𝑔) → (𝑔r𝐹𝑧𝐴)))
20 ralcom4 3284 . . . . . 6 (∀𝑔 ∈ dom ∫1𝑧(𝑧 = (∫1𝑔) → (𝑔r𝐹𝑧𝐴)) ↔ ∀𝑧𝑔 ∈ dom ∫1(𝑧 = (∫1𝑔) → (𝑔r𝐹𝑧𝐴)))
21 fvex 6905 . . . . . . . 8 (∫1𝑔) ∈ V
22 breq1 5152 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (∫1𝑔) → (𝑧𝐴 ↔ (∫1𝑔) ≤ 𝐴))
2322imbi2d 341 . . . . . . . 8 (𝑧 = (∫1𝑔) → ((𝑔r𝐹𝑧𝐴) ↔ (𝑔r𝐹 → (∫1𝑔) ≤ 𝐴)))
2421, 23ceqsalv 3512 . . . . . . 7 (∀𝑧(𝑧 = (∫1𝑔) → (𝑔r𝐹𝑧𝐴)) ↔ (𝑔r𝐹 → (∫1𝑔) ≤ 𝐴))
2524ralbii 3094 . . . . . 6 (∀𝑔 ∈ dom ∫1𝑧(𝑧 = (∫1𝑔) → (𝑔r𝐹𝑧𝐴)) ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹 → (∫1𝑔) ≤ 𝐴))
2620, 25bitr3i 277 . . . . 5 (∀𝑧𝑔 ∈ dom ∫1(𝑧 = (∫1𝑔) → (𝑔r𝐹𝑧𝐴)) ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹 → (∫1𝑔) ≤ 𝐴))
2719, 26bitri 275 . . . 4 (∀𝑧(∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑧 = (∫1𝑔)) → 𝑧𝐴) ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹 → (∫1𝑔) ≤ 𝐴))
2812, 27bitri 275 . . 3 (∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}𝑧𝐴 ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹 → (∫1𝑔) ≤ 𝐴))
298, 28bitrdi 287 . 2 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}, ℝ*, < ) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹 → (∫1𝑔) ≤ 𝐴)))
304, 29bitrd 279 1 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((∫2𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹 → (∫1𝑔) ≤ 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wal 1540   = wceq 1542  wcel 2107  {cab 2710  wral 3062  wrex 3071  wss 3949   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  wf 6540  cfv 6544  (class class class)co 7409  r cofr 7669  supcsup 9435  cr 11109  0cc0 11110  +∞cpnf 11245  *cxr 11247   < clt 11248  cle 11249  [,]cicc 13327  1citg1 25132  2citg2 25133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xadd 13093  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-xmet 20937  df-met 20938  df-ovol 24981  df-vol 24982  df-mbf 25136  df-itg1 25137  df-itg2 25138
This theorem is referenced by:  itg2itg1  25254  itg2le  25257  itg2seq  25260  itg2lea  25262  itg2mulclem  25264  itg2splitlem  25266  itg2split  25267  itg2mono  25271  ftc1anclem5  36565
  Copyright terms: Public domain W3C validator