Theorem itg2leub 25672

Description: Any upper bound on the integrals of all simple functions 𝐺 dominated by 𝐹 is greater than (∫₂‘𝐹), the least upper bound. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itg2leub	⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((∫2‘𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑔) ≤ 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝑔,𝐹

Proof of Theorem itg2leub

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))} = {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))}
2	1	itg2val 25666	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘𝐹) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))}, ℝ*, < ))
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (∫2‘𝐹) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))}, ℝ*, < ))
4	3	breq1d 5105	. 2 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((∫2‘𝐹) ≤ 𝐴 ↔ sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))}, ℝ*, < ) ≤ 𝐴))
5	1	itg2lcl 25665	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))} ⊆ ℝ*
6		supxrleub 13235	. . . . 5 ⊢ (({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))} ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))}, ℝ*, < ) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))}𝑧 ≤ 𝐴))
7	5, 6	mpan 690	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))}, ℝ*, < ) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))}𝑧 ≤ 𝐴))
8	7	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))}, ℝ*, < ) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))}𝑧 ≤ 𝐴))
9		eqeq1 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 = (∫1‘𝑔) ↔ 𝑧 = (∫1‘𝑔)))
10	9	anbi2d 630	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔)) ↔ (𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑧 = (∫1‘𝑔))))
11	10	rexbidv 3158	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔)) ↔ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑧 = (∫1‘𝑔))))
12	11	ralab 3649	. . . 4 ⊢ (∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))}𝑧 ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑧(∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑧 = (∫1‘𝑔)) → 𝑧 ≤ 𝐴))
13		r19.23v 3161	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑔 ∈ dom ∫1((𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑧 = (∫1‘𝑔)) → 𝑧 ≤ 𝐴) ↔ (∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑧 = (∫1‘𝑔)) → 𝑧 ≤ 𝐴))
14		ancomst 464	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑧 = (∫1‘𝑔)) → 𝑧 ≤ 𝐴) ↔ ((𝑧 = (∫1‘𝑔) ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐹) → 𝑧 ≤ 𝐴))
15		impexp 450	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 = (∫1‘𝑔) ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐹) → 𝑧 ≤ 𝐴) ↔ (𝑧 = (∫1‘𝑔) → (𝑔 ∘r ≤ 𝐹 → 𝑧 ≤ 𝐴)))
16	14, 15	bitri 275	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑧 = (∫1‘𝑔)) → 𝑧 ≤ 𝐴) ↔ (𝑧 = (∫1‘𝑔) → (𝑔 ∘r ≤ 𝐹 → 𝑧 ≤ 𝐴)))
17	16	ralbii 3080	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑔 ∈ dom ∫1((𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑧 = (∫1‘𝑔)) → 𝑧 ≤ 𝐴) ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑧 = (∫1‘𝑔) → (𝑔 ∘r ≤ 𝐹 → 𝑧 ≤ 𝐴)))
18	13, 17	bitr3i 277	. . . . . 6 ⊢ ((∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑧 = (∫1‘𝑔)) → 𝑧 ≤ 𝐴) ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑧 = (∫1‘𝑔) → (𝑔 ∘r ≤ 𝐹 → 𝑧 ≤ 𝐴)))
19	18	albii 1820	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧(∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑧 = (∫1‘𝑔)) → 𝑧 ≤ 𝐴) ↔ ∀𝑧∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑧 = (∫1‘𝑔) → (𝑔 ∘r ≤ 𝐹 → 𝑧 ≤ 𝐴)))
20		ralcom4 3260	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑔 ∈ dom ∫1∀𝑧(𝑧 = (∫1‘𝑔) → (𝑔 ∘r ≤ 𝐹 → 𝑧 ≤ 𝐴)) ↔ ∀𝑧∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑧 = (∫1‘𝑔) → (𝑔 ∘r ≤ 𝐹 → 𝑧 ≤ 𝐴)))
21		fvex 6844	. . . . . . . 8 ⊢ (∫1‘𝑔) ∈ V
22		breq1 5098	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (∫1‘𝑔) → (𝑧 ≤ 𝐴 ↔ (∫1‘𝑔) ≤ 𝐴))
23	22	imbi2d 340	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (∫1‘𝑔) → ((𝑔 ∘r ≤ 𝐹 → 𝑧 ≤ 𝐴) ↔ (𝑔 ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑔) ≤ 𝐴)))
24	21, 23	ceqsalv 3478	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑧(𝑧 = (∫1‘𝑔) → (𝑔 ∘r ≤ 𝐹 → 𝑧 ≤ 𝐴)) ↔ (𝑔 ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑔) ≤ 𝐴))
25	24	ralbii 3080	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑔 ∈ dom ∫1∀𝑧(𝑧 = (∫1‘𝑔) → (𝑔 ∘r ≤ 𝐹 → 𝑧 ≤ 𝐴)) ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑔) ≤ 𝐴))
26	20, 25	bitr3i 277	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑧 = (∫1‘𝑔) → (𝑔 ∘r ≤ 𝐹 → 𝑧 ≤ 𝐴)) ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑔) ≤ 𝐴))
27	19, 26	bitri 275	. . . 4 ⊢ (∀𝑧(∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑧 = (∫1‘𝑔)) → 𝑧 ≤ 𝐴) ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑔) ≤ 𝐴))
28	12, 27	bitri 275	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))}𝑧 ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑔) ≤ 𝐴))
29	8, 28	bitrdi 287	. 2 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))}, ℝ*, < ) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑔) ≤ 𝐴)))
30	4, 29	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((∫2‘𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑔) ≤ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1539   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {cab 2711  ∀wral 3049  ∃wrex 3058   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5095  dom cdm 5621  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355   ∘_r cofr 7618  supcsup 9334  ℝcr 11015  0cc0 11016  +∞cpnf 11153  ℝ^*cxr 11155   < clt 11156   ≤ cle 11157  [,]cicc 13258  ∫₁citg1 25553  ∫₂citg2 25554

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-inf2 9541  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093  ax-pre-sup 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-of 7619  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8631  df-map 8761  df-pm 8762  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-fin 8882  df-sup 9336  df-inf 9337  df-oi 9406  df-dju 9804  df-card 9842  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-div 11785  df-nn 12136  df-2 12198  df-3 12199  df-n0 12392  df-z 12479  df-uz 12743  df-q 12857  df-rp 12901  df-xadd 13022  df-ioo 13259  df-ico 13261  df-icc 13262  df-fz 13418  df-fzo 13565  df-fl 13706  df-seq 13919  df-exp 13979  df-hash 14248  df-cj 15016  df-re 15017  df-im 15018  df-sqrt 15152  df-abs 15153  df-clim 15405  df-sum 15604  df-xmet 21294  df-met 21295  df-ovol 25402  df-vol 25403  df-mbf 25557  df-itg1 25558  df-itg2 25559

This theorem is referenced by:  itg2itg1  25674  itg2le  25677  itg2seq  25680  itg2lea  25682  itg2mulclem  25684  itg2splitlem  25686  itg2split  25687  itg2mono  25691  ftc1anclem5  37747