Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2leub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2leub 24434
 Description: Any upper bound on the integrals of all simple functions 𝐺 dominated by 𝐹 is greater than (∫2‘𝐹), the least upper bound. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg2leub ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((∫2𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹 → (∫1𝑔) ≤ 𝐴)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝑔,𝐹

Proof of Theorem itg2leub
Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2758 . . . . 5 {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))} = {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}
21itg2val 24428 . . . 4 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2𝐹) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}, ℝ*, < ))
32adantr 484 . . 3 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (∫2𝐹) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}, ℝ*, < ))
43breq1d 5042 . 2 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((∫2𝐹) ≤ 𝐴 ↔ sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}, ℝ*, < ) ≤ 𝐴))
51itg2lcl 24427 . . . . 5 {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))} ⊆ ℝ*
6 supxrleub 12760 . . . . 5 (({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))} ⊆ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}, ℝ*, < ) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}𝑧𝐴))
75, 6mpan 689 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* → (sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}, ℝ*, < ) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}𝑧𝐴))
87adantl 485 . . 3 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}, ℝ*, < ) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}𝑧𝐴))
9 eqeq1 2762 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 = (∫1𝑔) ↔ 𝑧 = (∫1𝑔)))
109anbi2d 631 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔)) ↔ (𝑔r𝐹𝑧 = (∫1𝑔))))
1110rexbidv 3221 . . . . 5 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔)) ↔ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑧 = (∫1𝑔))))
1211ralab 3607 . . . 4 (∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}𝑧𝐴 ↔ ∀𝑧(∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑧 = (∫1𝑔)) → 𝑧𝐴))
13 r19.23v 3203 . . . . . . 7 (∀𝑔 ∈ dom ∫1((𝑔r𝐹𝑧 = (∫1𝑔)) → 𝑧𝐴) ↔ (∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑧 = (∫1𝑔)) → 𝑧𝐴))
14 ancomst 468 . . . . . . . . 9 (((𝑔r𝐹𝑧 = (∫1𝑔)) → 𝑧𝐴) ↔ ((𝑧 = (∫1𝑔) ∧ 𝑔r𝐹) → 𝑧𝐴))
15 impexp 454 . . . . . . . . 9 (((𝑧 = (∫1𝑔) ∧ 𝑔r𝐹) → 𝑧𝐴) ↔ (𝑧 = (∫1𝑔) → (𝑔r𝐹𝑧𝐴)))
1614, 15bitri 278 . . . . . . . 8 (((𝑔r𝐹𝑧 = (∫1𝑔)) → 𝑧𝐴) ↔ (𝑧 = (∫1𝑔) → (𝑔r𝐹𝑧𝐴)))
1716ralbii 3097 . . . . . . 7 (∀𝑔 ∈ dom ∫1((𝑔r𝐹𝑧 = (∫1𝑔)) → 𝑧𝐴) ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑧 = (∫1𝑔) → (𝑔r𝐹𝑧𝐴)))
1813, 17bitr3i 280 . . . . . 6 ((∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑧 = (∫1𝑔)) → 𝑧𝐴) ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑧 = (∫1𝑔) → (𝑔r𝐹𝑧𝐴)))
1918albii 1821 . . . . 5 (∀𝑧(∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑧 = (∫1𝑔)) → 𝑧𝐴) ↔ ∀𝑧𝑔 ∈ dom ∫1(𝑧 = (∫1𝑔) → (𝑔r𝐹𝑧𝐴)))
20 ralcom4 3162 . . . . . 6 (∀𝑔 ∈ dom ∫1𝑧(𝑧 = (∫1𝑔) → (𝑔r𝐹𝑧𝐴)) ↔ ∀𝑧𝑔 ∈ dom ∫1(𝑧 = (∫1𝑔) → (𝑔r𝐹𝑧𝐴)))
21 fvex 6671 . . . . . . . 8 (∫1𝑔) ∈ V
22 breq1 5035 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (∫1𝑔) → (𝑧𝐴 ↔ (∫1𝑔) ≤ 𝐴))
2322imbi2d 344 . . . . . . . 8 (𝑧 = (∫1𝑔) → ((𝑔r𝐹𝑧𝐴) ↔ (𝑔r𝐹 → (∫1𝑔) ≤ 𝐴)))
2421, 23ceqsalv 3448 . . . . . . 7 (∀𝑧(𝑧 = (∫1𝑔) → (𝑔r𝐹𝑧𝐴)) ↔ (𝑔r𝐹 → (∫1𝑔) ≤ 𝐴))
2524ralbii 3097 . . . . . 6 (∀𝑔 ∈ dom ∫1𝑧(𝑧 = (∫1𝑔) → (𝑔r𝐹𝑧𝐴)) ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹 → (∫1𝑔) ≤ 𝐴))
2620, 25bitr3i 280 . . . . 5 (∀𝑧𝑔 ∈ dom ∫1(𝑧 = (∫1𝑔) → (𝑔r𝐹𝑧𝐴)) ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹 → (∫1𝑔) ≤ 𝐴))
2719, 26bitri 278 . . . 4 (∀𝑧(∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑧 = (∫1𝑔)) → 𝑧𝐴) ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹 → (∫1𝑔) ≤ 𝐴))
2812, 27bitri 278 . . 3 (∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}𝑧𝐴 ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹 → (∫1𝑔) ≤ 𝐴))
298, 28bitrdi 290 . 2 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}, ℝ*, < ) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹 → (∫1𝑔) ≤ 𝐴)))
304, 29bitrd 282 1 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((∫2𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹 → (∫1𝑔) ≤ 𝐴)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399  ∀wal 1536   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {cab 2735  ∀wral 3070  ∃wrex 3071   ⊆ wss 3858   class class class wbr 5032  dom cdm 5524  ⟶wf 6331  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150   ∘r cofr 7404  supcsup 8937  ℝcr 10574  0cc0 10575  +∞cpnf 10710  ℝ*cxr 10712   < clt 10713   ≤ cle 10714  [,]cicc 12782  ∫1citg1 24315  ∫2citg2 24316 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-inf2 9137  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-isom 6344  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7405  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-2o 8113  df-er 8299  df-map 8418  df-pm 8419  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-sup 8939  df-inf 8940  df-oi 9007  df-dju 9363  df-card 9401  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283  df-q 12389  df-rp 12431  df-xadd 12549  df-ioo 12783  df-ico 12785  df-icc 12786  df-fz 12940  df-fzo 13083  df-fl 13211  df-seq 13419  df-exp 13480  df-hash 13741  df-cj 14506  df-re 14507  df-im 14508  df-sqrt 14642  df-abs 14643  df-clim 14893  df-sum 15091  df-xmet 20159  df-met 20160  df-ovol 24164  df-vol 24165  df-mbf 24319  df-itg1 24320  df-itg2 24321 This theorem is referenced by:  itg2itg1  24436  itg2le  24439  itg2seq  24442  itg2lea  24444  itg2mulclem  24446  itg2splitlem  24448  itg2split  24449  itg2mono  24453  ftc1anclem5  35414
 Copyright terms: Public domain W3C validator