MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2leub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2leub 25692
Description: Any upper bound on the integrals of all simple functions 𝐺 dominated by 𝐹 is greater than (∫2𝐹), the least upper bound. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg2leub ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((∫2𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹 → (∫1𝑔) ≤ 𝐴)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝑔,𝐹

Proof of Theorem itg2leub
Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . . . 5 {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))} = {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}
21itg2val 25686 . . . 4 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2𝐹) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}, ℝ*, < ))
32adantr 479 . . 3 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (∫2𝐹) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}, ℝ*, < ))
43breq1d 5162 . 2 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((∫2𝐹) ≤ 𝐴 ↔ sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}, ℝ*, < ) ≤ 𝐴))
51itg2lcl 25685 . . . . 5 {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))} ⊆ ℝ*
6 supxrleub 13347 . . . . 5 (({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))} ⊆ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}, ℝ*, < ) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}𝑧𝐴))
75, 6mpan 688 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* → (sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}, ℝ*, < ) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}𝑧𝐴))
87adantl 480 . . 3 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}, ℝ*, < ) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}𝑧𝐴))
9 eqeq1 2732 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 = (∫1𝑔) ↔ 𝑧 = (∫1𝑔)))
109anbi2d 628 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔)) ↔ (𝑔r𝐹𝑧 = (∫1𝑔))))
1110rexbidv 3176 . . . . 5 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔)) ↔ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑧 = (∫1𝑔))))
1211ralab 3688 . . . 4 (∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}𝑧𝐴 ↔ ∀𝑧(∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑧 = (∫1𝑔)) → 𝑧𝐴))
13 r19.23v 3180 . . . . . . 7 (∀𝑔 ∈ dom ∫1((𝑔r𝐹𝑧 = (∫1𝑔)) → 𝑧𝐴) ↔ (∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑧 = (∫1𝑔)) → 𝑧𝐴))
14 ancomst 463 . . . . . . . . 9 (((𝑔r𝐹𝑧 = (∫1𝑔)) → 𝑧𝐴) ↔ ((𝑧 = (∫1𝑔) ∧ 𝑔r𝐹) → 𝑧𝐴))
15 impexp 449 . . . . . . . . 9 (((𝑧 = (∫1𝑔) ∧ 𝑔r𝐹) → 𝑧𝐴) ↔ (𝑧 = (∫1𝑔) → (𝑔r𝐹𝑧𝐴)))
1614, 15bitri 274 . . . . . . . 8 (((𝑔r𝐹𝑧 = (∫1𝑔)) → 𝑧𝐴) ↔ (𝑧 = (∫1𝑔) → (𝑔r𝐹𝑧𝐴)))
1716ralbii 3090 . . . . . . 7 (∀𝑔 ∈ dom ∫1((𝑔r𝐹𝑧 = (∫1𝑔)) → 𝑧𝐴) ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑧 = (∫1𝑔) → (𝑔r𝐹𝑧𝐴)))
1813, 17bitr3i 276 . . . . . 6 ((∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑧 = (∫1𝑔)) → 𝑧𝐴) ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑧 = (∫1𝑔) → (𝑔r𝐹𝑧𝐴)))
1918albii 1813 . . . . 5 (∀𝑧(∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑧 = (∫1𝑔)) → 𝑧𝐴) ↔ ∀𝑧𝑔 ∈ dom ∫1(𝑧 = (∫1𝑔) → (𝑔r𝐹𝑧𝐴)))
20 ralcom4 3281 . . . . . 6 (∀𝑔 ∈ dom ∫1𝑧(𝑧 = (∫1𝑔) → (𝑔r𝐹𝑧𝐴)) ↔ ∀𝑧𝑔 ∈ dom ∫1(𝑧 = (∫1𝑔) → (𝑔r𝐹𝑧𝐴)))
21 fvex 6915 . . . . . . . 8 (∫1𝑔) ∈ V
22 breq1 5155 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (∫1𝑔) → (𝑧𝐴 ↔ (∫1𝑔) ≤ 𝐴))
2322imbi2d 339 . . . . . . . 8 (𝑧 = (∫1𝑔) → ((𝑔r𝐹𝑧𝐴) ↔ (𝑔r𝐹 → (∫1𝑔) ≤ 𝐴)))
2421, 23ceqsalv 3511 . . . . . . 7 (∀𝑧(𝑧 = (∫1𝑔) → (𝑔r𝐹𝑧𝐴)) ↔ (𝑔r𝐹 → (∫1𝑔) ≤ 𝐴))
2524ralbii 3090 . . . . . 6 (∀𝑔 ∈ dom ∫1𝑧(𝑧 = (∫1𝑔) → (𝑔r𝐹𝑧𝐴)) ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹 → (∫1𝑔) ≤ 𝐴))
2620, 25bitr3i 276 . . . . 5 (∀𝑧𝑔 ∈ dom ∫1(𝑧 = (∫1𝑔) → (𝑔r𝐹𝑧𝐴)) ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹 → (∫1𝑔) ≤ 𝐴))
2719, 26bitri 274 . . . 4 (∀𝑧(∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑧 = (∫1𝑔)) → 𝑧𝐴) ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹 → (∫1𝑔) ≤ 𝐴))
2812, 27bitri 274 . . 3 (∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}𝑧𝐴 ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹 → (∫1𝑔) ≤ 𝐴))
298, 28bitrdi 286 . 2 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}, ℝ*, < ) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹 → (∫1𝑔) ≤ 𝐴)))
304, 29bitrd 278 1 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((∫2𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹 → (∫1𝑔) ≤ 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  wal 1531   = wceq 1533  wcel 2098  {cab 2705  wral 3058  wrex 3067  wss 3949   class class class wbr 5152  dom cdm 5682  wf 6549  cfv 6553  (class class class)co 7426  r cofr 7691  supcsup 9473  cr 11147  0cc0 11148  +∞cpnf 11285  *cxr 11287   < clt 11288  cle 11289  [,]cicc 13369  1citg1 25572  2citg2 25573
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-inf2 9674  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-2o 8496  df-er 8733  df-map 8855  df-pm 8856  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-sup 9475  df-inf 9476  df-oi 9543  df-dju 9934  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xadd 13135  df-ioo 13370  df-ico 13372  df-icc 13373  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-fl 13799  df-seq 14009  df-exp 14069  df-hash 14332  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-clim 15474  df-sum 15675  df-xmet 21286  df-met 21287  df-ovol 25421  df-vol 25422  df-mbf 25576  df-itg1 25577  df-itg2 25578
This theorem is referenced by:  itg2itg1  25694  itg2le  25697  itg2seq  25700  itg2lea  25702  itg2mulclem  25704  itg2splitlem  25706  itg2split  25707  itg2mono  25711  ftc1anclem5  37211
  Copyright terms: Public domain W3C validator