Theorem itg2leub 26085

Description: Any upper bound on the integrals of all simple functions 𝐺 dominated by 𝐹 is greater than (∫₂‘𝐹), the least upper bound. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itg2leub	⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((∫2‘𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑔) ≤ 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝑔,𝐹

Proof of Theorem itg2leub

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))} = {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))}
2	1	itg2val 26079	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘𝐹) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))}, ℝ*, < ))
3	2	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (∫2‘𝐹) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))}, ℝ*, < ))
4	3	breq1d 5116	. 2 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((∫2‘𝐹) ≤ 𝐴 ↔ sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))}, ℝ*, < ) ≤ 𝐴))
5	1	itg2lcl 26078	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))} ⊆ ℝ*
6		supxrleub 13483	. . . . 5 ⊢ (({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))} ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))}, ℝ*, < ) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))}𝑧 ≤ 𝐴))
7	5, 6	mpan 703	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))}, ℝ*, < ) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))}𝑧 ≤ 𝐴))
8	7	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))}, ℝ*, < ) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))}𝑧 ≤ 𝐴))
9		eqeq1 2767	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 = (∫1‘𝑔) ↔ 𝑧 = (∫1‘𝑔)))
10	9	anbi2d 642	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔)) ↔ (𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑧 = (∫1‘𝑔))))
11	10	rexbidv 3190	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔)) ↔ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑧 = (∫1‘𝑔))))
12	11	ralab 3654	. . . 4 ⊢ (∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))}𝑧 ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑧(∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑧 = (∫1‘𝑔)) → 𝑧 ≤ 𝐴))
13		r19.23v 3193	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑔 ∈ dom ∫1((𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑧 = (∫1‘𝑔)) → 𝑧 ≤ 𝐴) ↔ (∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑧 = (∫1‘𝑔)) → 𝑧 ≤ 𝐴))
14		ancomst 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑧 = (∫1‘𝑔)) → 𝑧 ≤ 𝐴) ↔ ((𝑧 = (∫1‘𝑔) ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐹) → 𝑧 ≤ 𝐴))
15		impexp 456	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 = (∫1‘𝑔) ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐹) → 𝑧 ≤ 𝐴) ↔ (𝑧 = (∫1‘𝑔) → (𝑔 ∘r ≤ 𝐹 → 𝑧 ≤ 𝐴)))
16	14, 15	bitri 278	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑧 = (∫1‘𝑔)) → 𝑧 ≤ 𝐴) ↔ (𝑧 = (∫1‘𝑔) → (𝑔 ∘r ≤ 𝐹 → 𝑧 ≤ 𝐴)))
17	16	ralbii 3112	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑔 ∈ dom ∫1((𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑧 = (∫1‘𝑔)) → 𝑧 ≤ 𝐴) ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑧 = (∫1‘𝑔) → (𝑔 ∘r ≤ 𝐹 → 𝑧 ≤ 𝐴)))
18	13, 17	bitr3i 280	. . . . . 6 ⊢ ((∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑧 = (∫1‘𝑔)) → 𝑧 ≤ 𝐴) ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑧 = (∫1‘𝑔) → (𝑔 ∘r ≤ 𝐹 → 𝑧 ≤ 𝐴)))
19	18	albii 1852	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧(∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑧 = (∫1‘𝑔)) → 𝑧 ≤ 𝐴) ↔ ∀𝑧∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑧 = (∫1‘𝑔) → (𝑔 ∘r ≤ 𝐹 → 𝑧 ≤ 𝐴)))
20		ralcom4 3292	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑔 ∈ dom ∫1∀𝑧(𝑧 = (∫1‘𝑔) → (𝑔 ∘r ≤ 𝐹 → 𝑧 ≤ 𝐴)) ↔ ∀𝑧∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑧 = (∫1‘𝑔) → (𝑔 ∘r ≤ 𝐹 → 𝑧 ≤ 𝐴)))
21		fvex 6921	. . . . . . . 8 ⊢ (∫1‘𝑔) ∈ V
22		breq1 5109	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (∫1‘𝑔) → (𝑧 ≤ 𝐴 ↔ (∫1‘𝑔) ≤ 𝐴))
23	22	imbi2d 343	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (∫1‘𝑔) → ((𝑔 ∘r ≤ 𝐹 → 𝑧 ≤ 𝐴) ↔ (𝑔 ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑔) ≤ 𝐴)))
24	21, 23	ceqsalv 3493	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑧(𝑧 = (∫1‘𝑔) → (𝑔 ∘r ≤ 𝐹 → 𝑧 ≤ 𝐴)) ↔ (𝑔 ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑔) ≤ 𝐴))
25	24	ralbii 3112	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑔 ∈ dom ∫1∀𝑧(𝑧 = (∫1‘𝑔) → (𝑔 ∘r ≤ 𝐹 → 𝑧 ≤ 𝐴)) ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑔) ≤ 𝐴))
26	20, 25	bitr3i 280	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑧 = (∫1‘𝑔) → (𝑔 ∘r ≤ 𝐹 → 𝑧 ≤ 𝐴)) ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑔) ≤ 𝐴))
27	19, 26	bitri 278	. . . 4 ⊢ (∀𝑧(∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑧 = (∫1‘𝑔)) → 𝑧 ≤ 𝐴) ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑔) ≤ 𝐴))
28	12, 27	bitri 278	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))}𝑧 ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑔) ≤ 𝐴))
29	8, 28	bitrdi 290	. 2 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))}, ℝ*, < ) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑔) ≤ 𝐴)))
30	4, 29	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((∫2‘𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑔) ≤ 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∀wal 1568   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {cab 2741  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5106  dom cdm 5655  ⟶wf 6554  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443   ∘_r cofr 7716  supcsup 9459  ℝcr 11226  0cc0 11227  +∞cpnf 11367  ℝ^*cxr 11369   < clt 11370   ≤ cle 11371  [,]cicc 13506  ∫₁citg1 25966  ∫₂citg2 25967

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-inf2 9669  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-of 7717  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8745  df-map 8877  df-pm 8878  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-sup 9461  df-inf 9462  df-oi 9531  df-dju 10009  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-q 13103  df-rp 13148  df-xadd 13269  df-ioo 13507  df-ico 13509  df-icc 13510  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-fl 13959  df-seq 14172  df-exp 14232  df-hash 14502  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-clim 15684  df-sum 15883  df-xmet 21701  df-met 21702  df-ovol 25815  df-vol 25816  df-mbf 25970  df-itg1 25971  df-itg2 25972

This theorem is used by:  itg2itg1  26087  itg2le  26090  itg2seq  26093  itg2lea  26095  itg2mulclem  26097  itg2splitlem  26099  itg2split  26100  itg2mono  26104  ftc1anclem5  38807