MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntleml Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntleml 26193
Description: Lemma for pnt 26196. Equation 10.6.35 in [Shapiro], p. 436. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem3.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntlem3.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
pntlem3.A (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴)
pntlemp.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
pntlemp.l (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
pntlemp.d 𝐷 = (𝐴 + 1)
pntlemp.f 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
pntlemp.K (𝜑 → ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝐵 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
Assertion
Ref Expression
pntleml (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑒,𝑎,𝑘,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧,𝐷   𝑦,𝐹,𝑧   𝑅,𝑒,𝑘,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑒,𝐿,𝑘,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦   𝐵,𝑒,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢,𝑒,𝑘,𝑎)   𝐴(𝑢,𝑒,𝑘,𝑎)   𝐵(𝑢,𝑎)   𝑅(𝑎)   𝐹(𝑥,𝑢,𝑒,𝑘,𝑎)   𝐿(𝑎)

Proof of Theorem pntleml
Dummy variables 𝑠 𝑟 𝑡 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pntlem3.r . 2 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
2 pntlem3.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
3 pntlem3.A . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴)
4 eqid 2822 . 2 {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡} = {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡}
5 pntlemp.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
6 pntlemp.l . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
7 pntlemp.d . . . 4 𝐷 = (𝐴 + 1)
8 pntlemp.f . . . 4 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
91, 2, 5, 6, 7, 8pntlemd 26176 . . 3 (𝜑 → (𝐿 ∈ ℝ+𝐷 ∈ ℝ+𝐹 ∈ ℝ+))
109simp3d 1141 . 2 (𝜑𝐹 ∈ ℝ+)
11 0m0e0 11745 . . . . 5 (0 − 0) = 0
12 simpr 488 . . . . . 6 (((𝜑𝑟 ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡}) ∧ 𝑟 = 0) → 𝑟 = 0)
1312oveq1d 7155 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡}) ∧ 𝑟 = 0) → (𝑟↑3) = (0↑3))
14 3nn 11704 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℕ
15 0exp 13460 . . . . . . . . . 10 (3 ∈ ℕ → (0↑3) = 0)
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (0↑3) = 0
1713, 16syl6eq 2873 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟 ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡}) ∧ 𝑟 = 0) → (𝑟↑3) = 0)
1817oveq2d 7156 . . . . . . 7 (((𝜑𝑟 ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡}) ∧ 𝑟 = 0) → (𝐹 · (𝑟↑3)) = (𝐹 · 0))
1910rpcnd 12421 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ ℂ)
2019mul01d 10828 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 · 0) = 0)
2120ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑𝑟 ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡}) ∧ 𝑟 = 0) → (𝐹 · 0) = 0)
2218, 21eqtrd 2857 . . . . . 6 (((𝜑𝑟 ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡}) ∧ 𝑟 = 0) → (𝐹 · (𝑟↑3)) = 0)
2312, 22oveq12d 7158 . . . . 5 (((𝜑𝑟 ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡}) ∧ 𝑟 = 0) → (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) = (0 − 0))
2411, 23, 123eqtr4a 2883 . . . 4 (((𝜑𝑟 ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡}) ∧ 𝑟 = 0) → (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) = 𝑟)
25 simplr 768 . . . 4 (((𝜑𝑟 ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡}) ∧ 𝑟 = 0) → 𝑟 ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡})
2624, 25eqeltrd 2914 . . 3 (((𝜑𝑟 ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡}) ∧ 𝑟 = 0) → (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡})
27 oveq1 7147 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑠 → (𝑦[,)+∞) = (𝑠[,)+∞))
2827raleqdv 3392 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑠 → (∀𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟 ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟))
2928cbvrexvw 3425 . . . . . . . . 9 (∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟 ↔ ∃𝑠 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)
30 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))
31 0re 10632 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ
322ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
3332rpred 12419 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 𝐴 ∈ ℝ)
34 elicc2 12790 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑟 ∈ (0[,]𝐴) ↔ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑟𝑟𝐴)))
3531, 33, 34sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → (𝑟 ∈ (0[,]𝐴) ↔ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑟𝑟𝐴)))
3630, 35mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → (𝑟 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑟𝑟𝐴))
3736simp1d 1139 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ)
3810ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 𝐹 ∈ ℝ+)
3936simp2d 1140 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 0 ≤ 𝑟)
40 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 𝑟 ≠ 0)
4137, 39, 40ne0gt0d 10766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 0 < 𝑟)
4237, 41elrpd 12416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
43 3z 12003 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ ℤ
44 rpexpcl 13444 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℤ) → (𝑟↑3) ∈ ℝ+)
4542, 43, 44sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → (𝑟↑3) ∈ ℝ+)
4638, 45rpmulcld 12435 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → (𝐹 · (𝑟↑3)) ∈ ℝ+)
4746rpred 12419 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → (𝐹 · (𝑟↑3)) ∈ ℝ)
4837, 47resubcld 11057 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ ℝ)
493ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴)
505ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 𝐵 ∈ ℝ+)
516ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 𝐿 ∈ (0(,)1))
52 pntlemp.K . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝐵 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
5352ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝐵 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
5436simp3d 1141 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 𝑟𝐴)
55 eqid 2822 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 / 𝐷) = (𝑟 / 𝐷)
56 eqid 2822 . . . . . . . . . . . . . 14 (exp‘(𝐵 / (𝑟 / 𝐷))) = (exp‘(𝐵 / (𝑟 / 𝐷)))
57 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 𝑠 ∈ ℝ+)
58 1rp 12381 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℝ+
59 rpaddcl 12399 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑠 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℝ+) → (𝑠 + 1) ∈ ℝ+)
6057, 58, 59sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → (𝑠 + 1) ∈ ℝ+)
6157rpge0d 12423 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 0 ≤ 𝑠)
62 1re 10630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℝ
6357rpred 12419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 𝑠 ∈ ℝ)
64 addge02 11140 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑠 ↔ 1 ≤ (𝑠 + 1)))
6562, 63, 64sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → (0 ≤ 𝑠 ↔ 1 ≤ (𝑠 + 1)))
6661, 65mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 1 ≤ (𝑠 + 1))
6760, 66jca 515 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → ((𝑠 + 1) ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ (𝑠 + 1)))
6857rpxrd 12420 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 𝑠 ∈ ℝ*)
6963lep1d 11560 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 𝑠 ≤ (𝑠 + 1))
70 df-ico 12732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 [,) = (𝑡 ∈ ℝ*, 𝑟 ∈ ℝ* ↦ {𝑤 ∈ ℝ* ∣ (𝑡𝑤𝑤 < 𝑟)})
71 xrletr 12539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑠 ∈ ℝ* ∧ (𝑠 + 1) ∈ ℝ*𝑣 ∈ ℝ*) → ((𝑠 ≤ (𝑠 + 1) ∧ (𝑠 + 1) ≤ 𝑣) → 𝑠𝑣))
7270, 70, 71ixxss1 12744 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑠 ∈ ℝ*𝑠 ≤ (𝑠 + 1)) → ((𝑠 + 1)[,)+∞) ⊆ (𝑠[,)+∞))
7368, 69, 72syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → ((𝑠 + 1)[,)+∞) ⊆ (𝑠[,)+∞))
74 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)
75 ssralv 4008 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑠 + 1)[,)+∞) ⊆ (𝑠[,)+∞) → (∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟 → ∀𝑧 ∈ ((𝑠 + 1)[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟))
7673, 74, 75sylc 65 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → ∀𝑧 ∈ ((𝑠 + 1)[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)
771, 32, 49, 50, 51, 7, 8, 53, 42, 54, 55, 56, 67, 76pntlemp 26192 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))))
78 rpre 12385 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ)
7978adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤 ∈ ℝ)
8079leidd 11195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤𝑤)
81 elicopnf 12823 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 ∈ ℝ → (𝑤 ∈ (𝑤[,)+∞) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑤𝑤)))
8279, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑤 ∈ (𝑤[,)+∞) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑤𝑤)))
8379, 80, 82mpbir2and 712 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤 ∈ (𝑤[,)+∞))
84 fveq2 6652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑣 = 𝑤 → (𝑅𝑣) = (𝑅𝑤))
85 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑣 = 𝑤𝑣 = 𝑤)
8684, 85oveq12d 7158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑣 = 𝑤 → ((𝑅𝑣) / 𝑣) = ((𝑅𝑤) / 𝑤))
8786fveq2d 6656 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑣 = 𝑤 → (abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) = (abs‘((𝑅𝑤) / 𝑤)))
8887breq1d 5052 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 = 𝑤 → ((abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ↔ (abs‘((𝑅𝑤) / 𝑤)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3)))))
8988rspcv 3593 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ (𝑤[,)+∞) → (∀𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) → (abs‘((𝑅𝑤) / 𝑤)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3)))))
9083, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (∀𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) → (abs‘((𝑅𝑤) / 𝑤)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3)))))
911pntrf 26145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑅:ℝ+⟶ℝ
9291ffvelrni 6832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 ∈ ℝ+ → (𝑅𝑤) ∈ ℝ)
93 rerpdivcl 12407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑅𝑤) ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ((𝑅𝑤) / 𝑤) ∈ ℝ)
9492, 93mpancom 687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 ∈ ℝ+ → ((𝑅𝑤) / 𝑤) ∈ ℝ)
9594adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ((𝑅𝑤) / 𝑤) ∈ ℝ)
9695recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ((𝑅𝑤) / 𝑤) ∈ ℂ)
9796absge0d 14795 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (abs‘((𝑅𝑤) / 𝑤)))
9896abscld 14787 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝑅𝑤) / 𝑤)) ∈ ℝ)
9948adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ ℝ)
100 letr 10723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝑅𝑤) / 𝑤)) ∈ ℝ ∧ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ ℝ) → ((0 ≤ (abs‘((𝑅𝑤) / 𝑤)) ∧ (abs‘((𝑅𝑤) / 𝑤)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3)))) → 0 ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3)))))
10131, 98, 99, 100mp3an2i 1463 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ((0 ≤ (abs‘((𝑅𝑤) / 𝑤)) ∧ (abs‘((𝑅𝑤) / 𝑤)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3)))) → 0 ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3)))))
10297, 101mpand 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ((abs‘((𝑅𝑤) / 𝑤)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) → 0 ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3)))))
10390, 102syld 47 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (∀𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) → 0 ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3)))))
104103rexlimdva 3270 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → (∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) → 0 ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3)))))
10577, 104mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 0 ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))))
10646rpge0d 12423 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 0 ≤ (𝐹 · (𝑟↑3)))
10737, 47subge02d 11221 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → (0 ≤ (𝐹 · (𝑟↑3)) ↔ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ≤ 𝑟))
108106, 107mpbid 235 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ≤ 𝑟)
10948, 37, 33, 108, 54letrd 10786 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ≤ 𝐴)
110 elicc2 12790 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ (0[,]𝐴) ↔ ((𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∧ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ≤ 𝐴)))
11131, 33, 110sylancr 590 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → ((𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ (0[,]𝐴) ↔ ((𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∧ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ≤ 𝐴)))
11248, 105, 109, 111mpbir3and 1339 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ (0[,]𝐴))
113112, 77jca 515 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → ((𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ (0[,]𝐴) ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3)))))
114113rexlimdvaa 3271 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) → (∃𝑠 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟 → ((𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ (0[,]𝐴) ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))))))
11529, 114syl5bi 245 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) → (∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟 → ((𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ (0[,]𝐴) ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))))))
116115anassrs 471 . . . . . . 7 (((𝜑𝑟 ≠ 0) ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴)) → (∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟 → ((𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ (0[,]𝐴) ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))))))
117116expimpd 457 . . . . . 6 ((𝜑𝑟 ≠ 0) → ((𝑟 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟) → ((𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ (0[,]𝐴) ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))))))
118 breq2 5046 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝑟 → ((abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡 ↔ (abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟))
119118rexralbidv 3287 . . . . . . 7 (𝑡 = 𝑟 → (∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟))
120119elrab 3655 . . . . . 6 (𝑟 ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡} ↔ (𝑟 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟))
121 breq2 5046 . . . . . . . . 9 (𝑡 = (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) → ((abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡 ↔ (abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3)))))
122121rexralbidv 3287 . . . . . . . 8 (𝑡 = (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) → (∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3)))))
123 fveq2 6652 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = 𝑧 → (𝑅𝑣) = (𝑅𝑧))
124 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = 𝑧𝑣 = 𝑧)
125123, 124oveq12d 7158 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = 𝑧 → ((𝑅𝑣) / 𝑣) = ((𝑅𝑧) / 𝑧))
126125fveq2d 6656 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = 𝑧 → (abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) = (abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)))
127126breq1d 5052 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝑧 → ((abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ↔ (abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3)))))
128127cbvralvw 3424 . . . . . . . . . 10 (∀𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))))
129 oveq1 7147 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑦 → (𝑤[,)+∞) = (𝑦[,)+∞))
130129raleqdv 3392 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑦 → (∀𝑧 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3)))))
131128, 130syl5bb 286 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑦 → (∀𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3)))))
132131cbvrexvw 3425 . . . . . . . 8 (∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))))
133122, 132syl6bbr 292 . . . . . . 7 (𝑡 = (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) → (∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡 ↔ ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3)))))
134133elrab 3655 . . . . . 6 ((𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡} ↔ ((𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ (0[,]𝐴) ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3)))))
135117, 120, 1343imtr4g 299 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ≠ 0) → (𝑟 ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡} → (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡}))
136135imp 410 . . . 4 (((𝜑𝑟 ≠ 0) ∧ 𝑟 ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡}) → (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡})
137136an32s 651 . . 3 (((𝜑𝑟 ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡}) ∧ 𝑟 ≠ 0) → (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡})
13826, 137pm2.61dane 3098 . 2 ((𝜑𝑟 ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡}) → (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡})
1391, 2, 3, 4, 10, 138pntlem3 26191 1 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2114  wne 3011  wral 3130  wrex 3131  {crab 3134  wss 3908   class class class wbr 5042  cmpt 5122  cfv 6334  (class class class)co 7140  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531  +∞cpnf 10661  *cxr 10663   < clt 10664  cle 10665  cmin 10859   / cdiv 11286  cn 11625  2c2 11680  3c3 11681  cz 11969  cdc 12086  +crp 12377  (,)cioo 12726  [,)cico 12728  [,]cicc 12729  cexp 13425  abscabs 14584  𝑟 crli 14833  expce 15406  ψcchp 25676
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-inf2 9092  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-iin 4897  df-disj 5008  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-fac 13630  df-bc 13659  df-hash 13687  df-shft 14417  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-limsup 14819  df-clim 14836  df-rlim 14837  df-o1 14838  df-lo1 14839  df-sum 15034  df-ef 15412  df-e 15413  df-sin 15414  df-cos 15415  df-tan 15416  df-pi 15417  df-dvds 15599  df-gcd 15833  df-prm 16005  df-pc 16163  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-starv 16571  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-ip 16574  df-tset 16575  df-ple 16576  df-ds 16578  df-unif 16579  df-hom 16580  df-cco 16581  df-rest 16687  df-topn 16688  df-0g 16706  df-gsum 16707  df-topgen 16708  df-pt 16709  df-prds 16712  df-xrs 16766  df-qtop 16771  df-imas 16772  df-xps 16774  df-mre 16848  df-mrc 16849  df-acs 16851  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17948  df-mulg 18216  df-cntz 18438  df-cmn 18899  df-psmet 20081  df-xmet 20082  df-met 20083  df-bl 20084  df-mopn 20085  df-fbas 20086  df-fg 20087  df-cnfld 20090  df-top 21497  df-topon 21514  df-topsp 21536  df-bases 21549  df-cld 21622  df-ntr 21623  df-cls 21624  df-nei 21701  df-lp 21739  df-perf 21740  df-cn 21830  df-cnp 21831  df-haus 21918  df-cmp 21990  df-tx 22165  df-hmeo 22358  df-fil 22449  df-fm 22541  df-flim 22542  df-flf 22543  df-xms 22925  df-ms 22926  df-tms 22927  df-cncf 23481  df-limc 24467  df-dv 24468  df-ulm 24970  df-log 25146  df-cxp 25147  df-atan 25451  df-em 25576  df-cht 25680  df-vma 25681  df-chp 25682  df-ppi 25683  df-mu 25684
This theorem is referenced by:  pnt3  26194
  Copyright terms: Public domain W3C validator