MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntleml Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntleml 27656
Description: Lemma for pnt 27659. Equation 10.6.35 in [Shapiro], p. 436. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem3.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntlem3.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
pntlem3.A (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴)
pntlemp.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
pntlemp.l (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
pntlemp.d 𝐷 = (𝐴 + 1)
pntlemp.f 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
pntlemp.K (𝜑 → ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝐵 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
Assertion
Ref Expression
pntleml (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑒,𝑎,𝑘,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧,𝐷   𝑦,𝐹,𝑧   𝑅,𝑒,𝑘,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑒,𝐿,𝑘,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦   𝐵,𝑒,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢,𝑒,𝑘,𝑎)   𝐴(𝑢,𝑒,𝑘,𝑎)   𝐵(𝑢,𝑎)   𝑅(𝑎)   𝐹(𝑥,𝑢,𝑒,𝑘,𝑎)   𝐿(𝑎)

Proof of Theorem pntleml
Dummy variables 𝑠 𝑟 𝑡 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pntlem3.r . 2 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
2 pntlem3.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
3 pntlem3.A . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴)
4 eqid 2736 . 2 {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡} = {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡}
5 pntlemp.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
6 pntlemp.l . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
7 pntlemp.d . . . 4 𝐷 = (𝐴 + 1)
8 pntlemp.f . . . 4 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
91, 2, 5, 6, 7, 8pntlemd 27639 . . 3 (𝜑 → (𝐿 ∈ ℝ+𝐷 ∈ ℝ+𝐹 ∈ ℝ+))
109simp3d 1144 . 2 (𝜑𝐹 ∈ ℝ+)
11 0m0e0 12387 . . . . 5 (0 − 0) = 0
12 simpr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝑟 ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡}) ∧ 𝑟 = 0) → 𝑟 = 0)
1312oveq1d 7447 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡}) ∧ 𝑟 = 0) → (𝑟↑3) = (0↑3))
14 3nn 12346 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℕ
15 0exp 14139 . . . . . . . . . 10 (3 ∈ ℕ → (0↑3) = 0)
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (0↑3) = 0
1713, 16eqtrdi 2792 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟 ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡}) ∧ 𝑟 = 0) → (𝑟↑3) = 0)
1817oveq2d 7448 . . . . . . 7 (((𝜑𝑟 ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡}) ∧ 𝑟 = 0) → (𝐹 · (𝑟↑3)) = (𝐹 · 0))
1910rpcnd 13080 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ ℂ)
2019mul01d 11461 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 · 0) = 0)
2120ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑟 ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡}) ∧ 𝑟 = 0) → (𝐹 · 0) = 0)
2218, 21eqtrd 2776 . . . . . 6 (((𝜑𝑟 ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡}) ∧ 𝑟 = 0) → (𝐹 · (𝑟↑3)) = 0)
2312, 22oveq12d 7450 . . . . 5 (((𝜑𝑟 ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡}) ∧ 𝑟 = 0) → (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) = (0 − 0))
2411, 23, 123eqtr4a 2802 . . . 4 (((𝜑𝑟 ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡}) ∧ 𝑟 = 0) → (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) = 𝑟)
25 simplr 768 . . . 4 (((𝜑𝑟 ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡}) ∧ 𝑟 = 0) → 𝑟 ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡})
2624, 25eqeltrd 2840 . . 3 (((𝜑𝑟 ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡}) ∧ 𝑟 = 0) → (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡})
27 oveq1 7439 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑠 → (𝑦[,)+∞) = (𝑠[,)+∞))
2827raleqdv 3325 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑠 → (∀𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟 ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟))
2928cbvrexvw 3237 . . . . . . . . 9 (∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟 ↔ ∃𝑠 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)
30 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))
31 0re 11264 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ
322ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
3332rpred 13078 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 𝐴 ∈ ℝ)
34 elicc2 13453 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑟 ∈ (0[,]𝐴) ↔ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑟𝑟𝐴)))
3531, 33, 34sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → (𝑟 ∈ (0[,]𝐴) ↔ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑟𝑟𝐴)))
3630, 35mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → (𝑟 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑟𝑟𝐴))
3736simp1d 1142 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ)
3810ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 𝐹 ∈ ℝ+)
3936simp2d 1143 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 0 ≤ 𝑟)
40 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 𝑟 ≠ 0)
4137, 39, 40ne0gt0d 11399 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 0 < 𝑟)
4237, 41elrpd 13075 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
43 3z 12652 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ ℤ
44 rpexpcl 14122 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℤ) → (𝑟↑3) ∈ ℝ+)
4542, 43, 44sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → (𝑟↑3) ∈ ℝ+)
4638, 45rpmulcld 13094 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → (𝐹 · (𝑟↑3)) ∈ ℝ+)
4746rpred 13078 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → (𝐹 · (𝑟↑3)) ∈ ℝ)
4837, 47resubcld 11692 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ ℝ)
493ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴)
505ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 𝐵 ∈ ℝ+)
516ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 𝐿 ∈ (0(,)1))
52 pntlemp.K . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝐵 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
5352ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝐵 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
5436simp3d 1144 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 𝑟𝐴)
55 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 / 𝐷) = (𝑟 / 𝐷)
56 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (exp‘(𝐵 / (𝑟 / 𝐷))) = (exp‘(𝐵 / (𝑟 / 𝐷)))
57 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 𝑠 ∈ ℝ+)
58 1rp 13039 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℝ+
59 rpaddcl 13058 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑠 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℝ+) → (𝑠 + 1) ∈ ℝ+)
6057, 58, 59sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → (𝑠 + 1) ∈ ℝ+)
6157rpge0d 13082 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 0 ≤ 𝑠)
62 1re 11262 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℝ
6357rpred 13078 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 𝑠 ∈ ℝ)
64 addge02 11775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑠 ↔ 1 ≤ (𝑠 + 1)))
6562, 63, 64sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → (0 ≤ 𝑠 ↔ 1 ≤ (𝑠 + 1)))
6661, 65mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 1 ≤ (𝑠 + 1))
6760, 66jca 511 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → ((𝑠 + 1) ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ (𝑠 + 1)))
6857rpxrd 13079 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 𝑠 ∈ ℝ*)
6963lep1d 12200 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 𝑠 ≤ (𝑠 + 1))
70 df-ico 13394 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 [,) = (𝑡 ∈ ℝ*, 𝑟 ∈ ℝ* ↦ {𝑤 ∈ ℝ* ∣ (𝑡𝑤𝑤 < 𝑟)})
71 xrletr 13201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑠 ∈ ℝ* ∧ (𝑠 + 1) ∈ ℝ*𝑣 ∈ ℝ*) → ((𝑠 ≤ (𝑠 + 1) ∧ (𝑠 + 1) ≤ 𝑣) → 𝑠𝑣))
7270, 70, 71ixxss1 13406 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑠 ∈ ℝ*𝑠 ≤ (𝑠 + 1)) → ((𝑠 + 1)[,)+∞) ⊆ (𝑠[,)+∞))
7368, 69, 72syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → ((𝑠 + 1)[,)+∞) ⊆ (𝑠[,)+∞))
74 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)
75 ssralv 4051 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑠 + 1)[,)+∞) ⊆ (𝑠[,)+∞) → (∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟 → ∀𝑧 ∈ ((𝑠 + 1)[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟))
7673, 74, 75sylc 65 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → ∀𝑧 ∈ ((𝑠 + 1)[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)
771, 32, 49, 50, 51, 7, 8, 53, 42, 54, 55, 56, 67, 76pntlemp 27655 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))))
78 rpre 13044 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ)
7978adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤 ∈ ℝ)
8079leidd 11830 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤𝑤)
81 elicopnf 13486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 ∈ ℝ → (𝑤 ∈ (𝑤[,)+∞) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑤𝑤)))
8279, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑤 ∈ (𝑤[,)+∞) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑤𝑤)))
8379, 80, 82mpbir2and 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤 ∈ (𝑤[,)+∞))
84 fveq2 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑣 = 𝑤 → (𝑅𝑣) = (𝑅𝑤))
85 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑣 = 𝑤𝑣 = 𝑤)
8684, 85oveq12d 7450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑣 = 𝑤 → ((𝑅𝑣) / 𝑣) = ((𝑅𝑤) / 𝑤))
8786fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑣 = 𝑤 → (abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) = (abs‘((𝑅𝑤) / 𝑤)))
8887breq1d 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 = 𝑤 → ((abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ↔ (abs‘((𝑅𝑤) / 𝑤)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3)))))
8988rspcv 3617 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ (𝑤[,)+∞) → (∀𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) → (abs‘((𝑅𝑤) / 𝑤)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3)))))
9083, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (∀𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) → (abs‘((𝑅𝑤) / 𝑤)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3)))))
911pntrf 27608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑅:ℝ+⟶ℝ
9291ffvelcdmi 7102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 ∈ ℝ+ → (𝑅𝑤) ∈ ℝ)
93 rerpdivcl 13066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑅𝑤) ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ((𝑅𝑤) / 𝑤) ∈ ℝ)
9492, 93mpancom 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 ∈ ℝ+ → ((𝑅𝑤) / 𝑤) ∈ ℝ)
9594adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ((𝑅𝑤) / 𝑤) ∈ ℝ)
9695recnd 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ((𝑅𝑤) / 𝑤) ∈ ℂ)
9796absge0d 15484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (abs‘((𝑅𝑤) / 𝑤)))
9896abscld 15476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝑅𝑤) / 𝑤)) ∈ ℝ)
9948adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ ℝ)
100 letr 11356 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝑅𝑤) / 𝑤)) ∈ ℝ ∧ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ ℝ) → ((0 ≤ (abs‘((𝑅𝑤) / 𝑤)) ∧ (abs‘((𝑅𝑤) / 𝑤)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3)))) → 0 ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3)))))
10131, 98, 99, 100mp3an2i 1467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ((0 ≤ (abs‘((𝑅𝑤) / 𝑤)) ∧ (abs‘((𝑅𝑤) / 𝑤)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3)))) → 0 ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3)))))
10297, 101mpand 695 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ((abs‘((𝑅𝑤) / 𝑤)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) → 0 ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3)))))
10390, 102syld 47 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (∀𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) → 0 ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3)))))
104103rexlimdva 3154 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → (∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) → 0 ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3)))))
10577, 104mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 0 ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))))
10646rpge0d 13082 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 0 ≤ (𝐹 · (𝑟↑3)))
10737, 47subge02d 11856 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → (0 ≤ (𝐹 · (𝑟↑3)) ↔ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ≤ 𝑟))
108106, 107mpbid 232 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ≤ 𝑟)
10948, 37, 33, 108, 54letrd 11419 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ≤ 𝐴)
110 elicc2 13453 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ (0[,]𝐴) ↔ ((𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∧ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ≤ 𝐴)))
11131, 33, 110sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → ((𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ (0[,]𝐴) ↔ ((𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∧ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ≤ 𝐴)))
11248, 105, 109, 111mpbir3and 1342 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ (0[,]𝐴))
113112, 77jca 511 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → ((𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ (0[,]𝐴) ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3)))))
114113rexlimdvaa 3155 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) → (∃𝑠 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟 → ((𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ (0[,]𝐴) ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))))))
11529, 114biimtrid 242 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) → (∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟 → ((𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ (0[,]𝐴) ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))))))
116115anassrs 467 . . . . . . 7 (((𝜑𝑟 ≠ 0) ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴)) → (∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟 → ((𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ (0[,]𝐴) ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))))))
117116expimpd 453 . . . . . 6 ((𝜑𝑟 ≠ 0) → ((𝑟 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟) → ((𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ (0[,]𝐴) ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))))))
118 breq2 5146 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝑟 → ((abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡 ↔ (abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟))
119118rexralbidv 3222 . . . . . . 7 (𝑡 = 𝑟 → (∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟))
120119elrab 3691 . . . . . 6 (𝑟 ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡} ↔ (𝑟 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟))
121 breq2 5146 . . . . . . . . 9 (𝑡 = (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) → ((abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡 ↔ (abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3)))))
122121rexralbidv 3222 . . . . . . . 8 (𝑡 = (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) → (∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3)))))
123 fveq2 6905 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = 𝑧 → (𝑅𝑣) = (𝑅𝑧))
124 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = 𝑧𝑣 = 𝑧)
125123, 124oveq12d 7450 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = 𝑧 → ((𝑅𝑣) / 𝑣) = ((𝑅𝑧) / 𝑧))
126125fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = 𝑧 → (abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) = (abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)))
127126breq1d 5152 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝑧 → ((abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ↔ (abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3)))))
128127cbvralvw 3236 . . . . . . . . . 10 (∀𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))))
129 oveq1 7439 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑦 → (𝑤[,)+∞) = (𝑦[,)+∞))
130129raleqdv 3325 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑦 → (∀𝑧 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3)))))
131128, 130bitrid 283 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑦 → (∀𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3)))))
132131cbvrexvw 3237 . . . . . . . 8 (∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))))
133122, 132bitr4di 289 . . . . . . 7 (𝑡 = (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) → (∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡 ↔ ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3)))))
134133elrab 3691 . . . . . 6 ((𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡} ↔ ((𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ (0[,]𝐴) ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3)))))
135117, 120, 1343imtr4g 296 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ≠ 0) → (𝑟 ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡} → (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡}))
136135imp 406 . . . 4 (((𝜑𝑟 ≠ 0) ∧ 𝑟 ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡}) → (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡})
137136an32s 652 . . 3 (((𝜑𝑟 ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡}) ∧ 𝑟 ≠ 0) → (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡})
13826, 137pm2.61dane 3028 . 2 ((𝜑𝑟 ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡}) → (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡})
1391, 2, 3, 4, 10, 138pntlem3 27654 1 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  wral 3060  wrex 3069  {crab 3435  wss 3950   class class class wbr 5142  cmpt 5224  cfv 6560  (class class class)co 7432  cr 11155  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   · cmul 11161  +∞cpnf 11293  *cxr 11295   < clt 11296  cle 11297  cmin 11493   / cdiv 11921  cn 12267  2c2 12322  3c3 12323  cz 12615  cdc 12735  +crp 13035  (,)cioo 13388  [,)cico 13390  [,]cicc 13391  cexp 14103  abscabs 15274  𝑟 crli 15522  expce 16098  ψcchp 27137
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234  ax-addf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-disj 5110  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-oadd 8511  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-fi 9452  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-dju 9942  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13392  df-ioc 13393  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-mod 13911  df-seq 14044  df-exp 14104  df-fac 14314  df-bc 14343  df-hash 14371  df-shft 15107  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-limsup 15508  df-clim 15525  df-rlim 15526  df-o1 15527  df-lo1 15528  df-sum 15724  df-ef 16104  df-e 16105  df-sin 16106  df-cos 16107  df-tan 16108  df-pi 16109  df-dvds 16292  df-gcd 16533  df-prm 16710  df-pc 16876  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18798  df-mulg 19087  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-met 21359  df-bl 21360  df-mopn 21361  df-fbas 21362  df-fg 21363  df-cnfld 21366  df-top 22901  df-topon 22918  df-topsp 22940  df-bases 22954  df-cld 23028  df-ntr 23029  df-cls 23030  df-nei 23107  df-lp 23145  df-perf 23146  df-cn 23236  df-cnp 23237  df-haus 23324  df-cmp 23396  df-tx 23571  df-hmeo 23764  df-fil 23855  df-fm 23947  df-flim 23948  df-flf 23949  df-xms 24331  df-ms 24332  df-tms 24333  df-cncf 24905  df-limc 25902  df-dv 25903  df-ulm 26421  df-log 26599  df-cxp 26600  df-atan 26911  df-em 27037  df-cht 27141  df-vma 27142  df-chp 27143  df-ppi 27144  df-mu 27145
This theorem is referenced by:  pnt3  27657
  Copyright terms: Public domain W3C validator