MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimcnp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimcnp 26470
Description: Relate a limit of a real-valued sequence at infinity to the continuity of the function 𝑆(𝑦) = 𝑅(1 / 𝑦) at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimcnp.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (0[,)+∞))
rlimcnp.0 (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝐴)
rlimcnp.b (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† ℝ+)
rlimcnp.r ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
rlimcnp.d ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ (1 / π‘₯) ∈ 𝐡))
rlimcnp.c (π‘₯ = 0 β†’ 𝑅 = 𝐢)
rlimcnp.s (π‘₯ = (1 / 𝑦) β†’ 𝑅 = 𝑆)
rlimcnp.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
rlimcnp.k 𝐾 = (𝐽 β†Ύt 𝐴)
Assertion
Ref Expression
rlimcnp (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝑆) β‡π‘Ÿ 𝐢 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)β€˜0)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐴   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝐢,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦   𝑦,𝑅   π‘₯,𝑆
Allowed substitution hints:   𝑅(π‘₯)   𝑆(𝑦)   𝐽(π‘₯,𝑦)   𝐾(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem rlimcnp
Dummy variables 𝑀 π‘Ÿ 𝑧 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpreccl 13000 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ (1 / π‘Ÿ) ∈ ℝ+)
21adantl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (1 / π‘Ÿ) ∈ ℝ+)
3 rpreccl 13000 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ ℝ+ β†’ (1 / 𝑑) ∈ ℝ+)
4 rpcnne0 12992 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 ∈ ℝ+ β†’ (𝑑 ∈ β„‚ ∧ 𝑑 β‰  0))
54adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ (𝑑 ∈ β„‚ ∧ 𝑑 β‰  0))
6 recrec 11911 . . . . . . . . . . 11 ((𝑑 ∈ β„‚ ∧ 𝑑 β‰  0) β†’ (1 / (1 / 𝑑)) = 𝑑)
75, 6syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ (1 / (1 / 𝑑)) = 𝑑)
87eqcomd 2739 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ 𝑑 = (1 / (1 / 𝑑)))
9 oveq2 7417 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ = (1 / 𝑑) β†’ (1 / π‘Ÿ) = (1 / (1 / 𝑑)))
109rspceeqv 3634 . . . . . . . . 9 (((1 / 𝑑) ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 = (1 / (1 / 𝑑))) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑑 = (1 / π‘Ÿ))
113, 8, 10syl2an2 685 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑑 = (1 / π‘Ÿ))
12 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 = (1 / π‘Ÿ)) β†’ 𝑑 = (1 / π‘Ÿ))
1312breq1d 5159 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 = (1 / π‘Ÿ)) β†’ (𝑑 < 𝑦 ↔ (1 / π‘Ÿ) < 𝑦))
1413imbi1d 342 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 = (1 / π‘Ÿ)) β†’ ((𝑑 < 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧) ↔ ((1 / π‘Ÿ) < 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧)))
1514ralbidv 3178 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 = (1 / π‘Ÿ)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝑑 < 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((1 / π‘Ÿ) < 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧)))
162, 11, 15rexxfrd 5408 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝑑 < 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((1 / π‘Ÿ) < 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧)))
1716adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝑑 < 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((1 / π‘Ÿ) < 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧)))
18 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
19 rlimcnp.b . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† ℝ+)
2019sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ ℝ+)
2120adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ ℝ+)
22 elrp 12976 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↔ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘Ÿ))
23 elrp 12976 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ+ ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑦))
24 ltrec1 12101 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘Ÿ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑦)) β†’ ((1 / π‘Ÿ) < 𝑦 ↔ (1 / 𝑦) < π‘Ÿ))
2522, 23, 24syl2anb 599 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ ((1 / π‘Ÿ) < 𝑦 ↔ (1 / 𝑦) < π‘Ÿ))
2618, 21, 25syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((1 / π‘Ÿ) < 𝑦 ↔ (1 / 𝑦) < π‘Ÿ))
2726imbi1d 342 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (((1 / π‘Ÿ) < 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧) ↔ ((1 / 𝑦) < π‘Ÿ β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧)))
2827ralbidva 3176 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((1 / π‘Ÿ) < 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((1 / 𝑦) < π‘Ÿ β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧)))
2928adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((1 / π‘Ÿ) < 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((1 / 𝑦) < π‘Ÿ β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧)))
30 rpcn 12984 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
31 rpne0 12990 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ 𝑦 β‰  0)
3230, 31recrecd 11987 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ (1 / (1 / 𝑦)) = 𝑦)
3320, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (1 / (1 / 𝑦)) = 𝑦)
34 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
3533, 34eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (1 / (1 / 𝑦)) ∈ 𝐡)
36 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = (1 / 𝑦) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ (1 / 𝑦) ∈ 𝐴))
37 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = (1 / 𝑦) β†’ (1 / π‘₯) = (1 / (1 / 𝑦)))
3837eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = (1 / 𝑦) β†’ ((1 / π‘₯) ∈ 𝐡 ↔ (1 / (1 / 𝑦)) ∈ 𝐡))
3936, 38bibi12d 346 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = (1 / 𝑦) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ (1 / π‘₯) ∈ 𝐡) ↔ ((1 / 𝑦) ∈ 𝐴 ↔ (1 / (1 / 𝑦)) ∈ 𝐡)))
40 rlimcnp.d . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ (1 / π‘₯) ∈ 𝐡))
4140ralrimiva 3147 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ (1 / π‘₯) ∈ 𝐡))
4241adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ (1 / π‘₯) ∈ 𝐡))
4320rpreccld 13026 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (1 / 𝑦) ∈ ℝ+)
4439, 42, 43rspcdva 3614 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((1 / 𝑦) ∈ 𝐴 ↔ (1 / (1 / 𝑦)) ∈ 𝐡))
4535, 44mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (1 / 𝑦) ∈ 𝐴)
4643rpne0d 13021 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (1 / 𝑦) β‰  0)
47 eldifsn 4791 . . . . . . . . . . . 12 ((1 / 𝑦) ∈ (𝐴 βˆ– {0}) ↔ ((1 / 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ (1 / 𝑦) β‰  0))
4845, 46, 47sylanbrc 584 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (1 / 𝑦) ∈ (𝐴 βˆ– {0}))
49 eldifi 4127 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– {0}) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
5049adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– {0})) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
51 rge0ssre 13433 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
52 rlimcnp.a . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (0[,)+∞))
5352ssdifssd 4143 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ– {0}) βŠ† (0[,)+∞))
5453sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– {0})) β†’ π‘₯ ∈ (0[,)+∞))
5551, 54sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– {0})) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
56 0re 11216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ∈ ℝ
57 pnfxr 11268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 +∞ ∈ ℝ*
58 elico2 13388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((0 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < +∞)))
5956, 57, 58mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ (0[,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < +∞))
6059simp2bi 1147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ (0[,)+∞) β†’ 0 ≀ π‘₯)
6154, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– {0})) β†’ 0 ≀ π‘₯)
62 eldifsni 4794 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– {0}) β†’ π‘₯ β‰  0)
6362adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– {0})) β†’ π‘₯ β‰  0)
6455, 61, 63ne0gt0d 11351 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– {0})) β†’ 0 < π‘₯)
6555, 64elrpd 13013 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– {0})) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
6665, 40syldan 592 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– {0})) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ (1 / π‘₯) ∈ 𝐡))
6750, 66mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– {0})) β†’ (1 / π‘₯) ∈ 𝐡)
68 rpcn 12984 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
69 rpne0 12990 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ β‰  0)
7068, 69recrecd 11987 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (1 / (1 / π‘₯)) = π‘₯)
7165, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– {0})) β†’ (1 / (1 / π‘₯)) = π‘₯)
7271eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– {0})) β†’ π‘₯ = (1 / (1 / π‘₯)))
73 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (1 / π‘₯) β†’ (1 / 𝑦) = (1 / (1 / π‘₯)))
7473rspceeqv 3634 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / π‘₯) ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ = (1 / (1 / π‘₯))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 π‘₯ = (1 / 𝑦))
7567, 72, 74syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– {0})) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 π‘₯ = (1 / 𝑦))
76 breq1 5152 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = (1 / 𝑦) β†’ (π‘₯ < π‘Ÿ ↔ (1 / 𝑦) < π‘Ÿ))
77 rlimcnp.s . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = (1 / 𝑦) β†’ 𝑅 = 𝑆)
7877fvoveq1d 7431 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = (1 / 𝑦) β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) = (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)))
7978breq1d 5159 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = (1 / 𝑦) β†’ ((absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧 ↔ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧))
8076, 79imbi12d 345 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = (1 / 𝑦) β†’ ((π‘₯ < π‘Ÿ β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧) ↔ ((1 / 𝑦) < π‘Ÿ β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧)))
8180adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = (1 / 𝑦)) β†’ ((π‘₯ < π‘Ÿ β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧) ↔ ((1 / 𝑦) < π‘Ÿ β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧)))
8248, 75, 81ralxfrd 5407 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– {0})(π‘₯ < π‘Ÿ β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((1 / 𝑦) < π‘Ÿ β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧)))
8382ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– {0})(π‘₯ < π‘Ÿ β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((1 / 𝑦) < π‘Ÿ β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧)))
8429, 83bitr4d 282 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((1 / π‘Ÿ) < 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– {0})(π‘₯ < π‘Ÿ β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧)))
85 elsni 4646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ {0} β†’ π‘₯ = 0)
8685adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ {0}) β†’ π‘₯ = 0)
87 rlimcnp.c . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 0 β†’ 𝑅 = 𝐢)
8886, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ {0}) β†’ 𝑅 = 𝐢)
8988oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ {0}) β†’ (𝑅 βˆ’ 𝐢) = (𝐢 βˆ’ 𝐢))
9087eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ = 0 β†’ (𝑅 ∈ β„‚ ↔ 𝐢 ∈ β„‚))
91 rlimcnp.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
9291ralrimiva 3147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝑅 ∈ β„‚)
93 rlimcnp.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝐴)
9490, 92, 93rspcdva 3614 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
9594subidd 11559 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐢) = 0)
9695ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ {0}) β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐢) = 0)
9789, 96eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ {0}) β†’ (𝑅 βˆ’ 𝐢) = 0)
9897abs00bd 15238 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ {0}) β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) = 0)
99 rpgt0 12986 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ ℝ+ β†’ 0 < 𝑧)
10099ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ {0}) β†’ 0 < 𝑧)
10198, 100eqbrtrd 5171 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ {0}) β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧)
102101a1d 25 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ {0}) β†’ (π‘₯ < π‘Ÿ β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧))
103102ralrimiva 3147 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ {0} (π‘₯ < π‘Ÿ β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧))
104103adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ {0} (π‘₯ < π‘Ÿ β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧))
105104biantrud 533 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– {0})(π‘₯ < π‘Ÿ β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧) ↔ (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– {0})(π‘₯ < π‘Ÿ β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {0} (π‘₯ < π‘Ÿ β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧))))
106 ralunb 4192 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ– {0}) βˆͺ {0})(π‘₯ < π‘Ÿ β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧) ↔ (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– {0})(π‘₯ < π‘Ÿ β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {0} (π‘₯ < π‘Ÿ β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧)))
107105, 106bitr4di 289 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– {0})(π‘₯ < π‘Ÿ β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ– {0}) βˆͺ {0})(π‘₯ < π‘Ÿ β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧)))
108 undif1 4476 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 βˆ– {0}) βˆͺ {0}) = (𝐴 βˆͺ {0})
10993ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 0 ∈ 𝐴)
110109snssd 4813 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ {0} βŠ† 𝐴)
111 ssequn2 4184 . . . . . . . . . . 11 ({0} βŠ† 𝐴 ↔ (𝐴 βˆͺ {0}) = 𝐴)
112110, 111sylib 217 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (𝐴 βˆͺ {0}) = 𝐴)
113108, 112eqtrid 2785 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ((𝐴 βˆ– {0}) βˆͺ {0}) = 𝐴)
114113raleqdv 3326 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ– {0}) βˆͺ {0})(π‘₯ < π‘Ÿ β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘₯ < π‘Ÿ β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧)))
11584, 107, 1143bitrd 305 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((1 / π‘Ÿ) < 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘₯ < π‘Ÿ β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧)))
116115rexbidva 3177 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((1 / π‘Ÿ) < 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘₯ < π‘Ÿ β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧)))
11717, 116bitrd 279 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝑑 < 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘₯ < π‘Ÿ β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧)))
118117ralbidva 3176 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝑑 < 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧) ↔ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘₯ < π‘Ÿ β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧)))
119 nfv 1918 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯(𝑀((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))0) < π‘Ÿ
120 nffvmpt1 6903 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜π‘€)
121 nfcv 2904 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯(abs ∘ βˆ’ )
122 nffvmpt1 6903 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜0)
123120, 121, 122nfov 7439 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯(((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜π‘€)(abs ∘ βˆ’ )((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜0))
124 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯ <
125 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯𝑧
126123, 124, 125nfbr 5196 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯(((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜π‘€)(abs ∘ βˆ’ )((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜0)) < 𝑧
127119, 126nfim 1900 . . . . . . . 8 β„²π‘₯((𝑀((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))0) < π‘Ÿ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜π‘€)(abs ∘ βˆ’ )((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜0)) < 𝑧)
128 nfv 1918 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑀((π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))0) < π‘Ÿ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜π‘₯)(abs ∘ βˆ’ )((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜0)) < 𝑧)
129 oveq1 7416 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = π‘₯ β†’ (𝑀((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))0) = (π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))0))
130129breq1d 5159 . . . . . . . . 9 (𝑀 = π‘₯ β†’ ((𝑀((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))0) < π‘Ÿ ↔ (π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))0) < π‘Ÿ))
131 fveq2 6892 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = π‘₯ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜π‘€) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜π‘₯))
132131oveq1d 7424 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = π‘₯ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜π‘€)(abs ∘ βˆ’ )((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜0)) = (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜π‘₯)(abs ∘ βˆ’ )((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜0)))
133132breq1d 5159 . . . . . . . . 9 (𝑀 = π‘₯ β†’ ((((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜π‘€)(abs ∘ βˆ’ )((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜0)) < 𝑧 ↔ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜π‘₯)(abs ∘ βˆ’ )((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜0)) < 𝑧))
134130, 133imbi12d 345 . . . . . . . 8 (𝑀 = π‘₯ β†’ (((𝑀((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))0) < π‘Ÿ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜π‘€)(abs ∘ βˆ’ )((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜0)) < 𝑧) ↔ ((π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))0) < π‘Ÿ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜π‘₯)(abs ∘ βˆ’ )((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜0)) < 𝑧)))
135127, 128, 134cbvralw 3304 . . . . . . 7 (βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))0) < π‘Ÿ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜π‘€)(abs ∘ βˆ’ )((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜0)) < 𝑧) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))0) < π‘Ÿ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜π‘₯)(abs ∘ βˆ’ )((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜0)) < 𝑧))
136 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
13793adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 ∈ 𝐴)
138136, 137ovresd 7574 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))0) = (π‘₯(abs ∘ βˆ’ )0))
13952, 51sstrdi 3995 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
140 ax-resscn 11167 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℝ βŠ† β„‚
141139, 140sstrdi 3995 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
142141sselda 3983 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
143 0cnd 11207 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 ∈ β„‚)
144 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs ∘ βˆ’ ) = (abs ∘ βˆ’ )
145144cnmetdval 24287 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 0 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯(abs ∘ βˆ’ )0) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 0)))
146142, 143, 145syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯(abs ∘ βˆ’ )0) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 0)))
147142subid1d 11560 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ βˆ’ 0) = π‘₯)
148147fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 0)) = (absβ€˜π‘₯))
149138, 146, 1483eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))0) = (absβ€˜π‘₯))
150139sselda 3983 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
15152sselda 3983 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ (0[,)+∞))
152151, 60syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ π‘₯)
153150, 152absidd 15369 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜π‘₯) = π‘₯)
154149, 153eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))0) = π‘₯)
155154breq1d 5159 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))0) < π‘Ÿ ↔ π‘₯ < π‘Ÿ))
156 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)
157156fvmpt2 7010 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜π‘₯) = 𝑅)
158136, 91, 157syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜π‘₯) = 𝑅)
15994adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
160156, 87, 137, 159fvmptd3 7022 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜0) = 𝐢)
161158, 160oveq12d 7427 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜π‘₯)(abs ∘ βˆ’ )((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜0)) = (𝑅(abs ∘ βˆ’ )𝐢))
162144cnmetdval 24287 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ β„‚ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ (𝑅(abs ∘ βˆ’ )𝐢) = (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)))
16391, 159, 162syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑅(abs ∘ βˆ’ )𝐢) = (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)))
164161, 163eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜π‘₯)(abs ∘ βˆ’ )((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜0)) = (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)))
165164breq1d 5159 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜π‘₯)(abs ∘ βˆ’ )((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜0)) < 𝑧 ↔ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧))
166155, 165imbi12d 345 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))0) < π‘Ÿ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜π‘₯)(abs ∘ βˆ’ )((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜0)) < 𝑧) ↔ (π‘₯ < π‘Ÿ β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧)))
167166ralbidva 3176 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))0) < π‘Ÿ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜π‘₯)(abs ∘ βˆ’ )((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜0)) < 𝑧) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘₯ < π‘Ÿ β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧)))
168135, 167bitrid 283 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))0) < π‘Ÿ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜π‘€)(abs ∘ βˆ’ )((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜0)) < 𝑧) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘₯ < π‘Ÿ β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧)))
169168rexbidv 3179 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))0) < π‘Ÿ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜π‘€)(abs ∘ βˆ’ )((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜0)) < 𝑧) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘₯ < π‘Ÿ β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧)))
170169ralbidv 3178 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))0) < π‘Ÿ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜π‘€)(abs ∘ βˆ’ )((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜0)) < 𝑧) ↔ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘₯ < π‘Ÿ β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧)))
17191fmpttd 7115 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅):π΄βŸΆβ„‚)
172171biantrurd 534 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))0) < π‘Ÿ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜π‘€)(abs ∘ βˆ’ )((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜0)) < 𝑧) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅):π΄βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))0) < π‘Ÿ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜π‘€)(abs ∘ βˆ’ )((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜0)) < 𝑧))))
173118, 170, 1723bitr2d 307 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝑑 < 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅):π΄βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))0) < π‘Ÿ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜π‘€)(abs ∘ βˆ’ )((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜0)) < 𝑧))))
17477eleq1d 2819 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (1 / 𝑦) β†’ (𝑅 ∈ β„‚ ↔ 𝑆 ∈ β„‚))
17592adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝑅 ∈ β„‚)
176174, 175, 45rspcdva 3614 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝑆 ∈ β„‚)
177176ralrimiva 3147 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 𝑆 ∈ β„‚)
178 rpssre 12981 . . . . . . 7 ℝ+ βŠ† ℝ
17919, 178sstrdi 3995 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† ℝ)
180 1red 11215 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
181177, 179, 94, 180rlim3 15442 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝑆) β‡π‘Ÿ 𝐢 ↔ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ (1[,)+∞)βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝑑 ≀ 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧)))
182 0xr 11261 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ*
183 0lt1 11736 . . . . . . . . . 10 0 < 1
184 df-ioo 13328 . . . . . . . . . . 11 (,) = (π‘₯ ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (π‘₯ < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
185 df-ico 13330 . . . . . . . . . . 11 [,) = (π‘₯ ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
186 xrltletr 13136 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) β†’ ((0 < 1 ∧ 1 ≀ 𝑀) β†’ 0 < 𝑀))
187184, 185, 186ixxss1 13342 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ 0 < 1) β†’ (1[,)+∞) βŠ† (0(,)+∞))
188182, 183, 187mp2an 691 . . . . . . . . 9 (1[,)+∞) βŠ† (0(,)+∞)
189 ioorp 13402 . . . . . . . . 9 (0(,)+∞) = ℝ+
190188, 189sseqtri 4019 . . . . . . . 8 (1[,)+∞) βŠ† ℝ+
191 ssrexv 4052 . . . . . . . 8 ((1[,)+∞) βŠ† ℝ+ β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ (1[,)+∞)βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝑑 ≀ 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝑑 ≀ 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧)))
192190, 191ax-mp 5 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘‘ ∈ (1[,)+∞)βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝑑 ≀ 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝑑 ≀ 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧))
193 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝑑 ∈ ℝ+)
194178, 193sselid 3981 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
195179adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ 𝐡 βŠ† ℝ)
196195sselda 3983 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
197 ltle 11302 . . . . . . . . . . 11 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝑑 < 𝑦 β†’ 𝑑 ≀ 𝑦))
198194, 196, 197syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (𝑑 < 𝑦 β†’ 𝑑 ≀ 𝑦))
199198imim1d 82 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑑 ≀ 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧) β†’ (𝑑 < 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧)))
200199ralimdva 3168 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝑑 ≀ 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝑑 < 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧)))
201200reximdva 3169 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝑑 ≀ 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝑑 < 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧)))
202192, 201syl5 34 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ (1[,)+∞)βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝑑 ≀ 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝑑 < 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧)))
203202ralimdv 3170 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ (1[,)+∞)βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝑑 ≀ 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧) β†’ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝑑 < 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧)))
204181, 203sylbid 239 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝑆) β‡π‘Ÿ 𝐢 β†’ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝑑 < 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧)))
205 ssrexv 4052 . . . . . . 7 (ℝ+ βŠ† ℝ β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝑑 < 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝑑 < 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧)))
206178, 205ax-mp 5 . . . . . 6 (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝑑 < 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝑑 < 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧))
207206ralimi 3084 . . . . 5 (βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝑑 < 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧) β†’ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝑑 < 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧))
208177, 179, 94rlim2lt 15441 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝑆) β‡π‘Ÿ 𝐢 ↔ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝑑 < 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧)))
209207, 208imbitrrid 245 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝑑 < 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧) β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝑆) β‡π‘Ÿ 𝐢))
210204, 209impbid 211 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝑆) β‡π‘Ÿ 𝐢 ↔ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝑑 < 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧)))
211 cnxmet 24289 . . . . 5 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
212 xmetres2 23867 . . . . 5 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 𝐴 βŠ† β„‚) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ (∞Metβ€˜π΄))
213211, 141, 212sylancr 588 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ (∞Metβ€˜π΄))
214211a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚))
215 eqid 2733 . . . . 5 (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)))
216 rlimcnp.j . . . . . 6 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
217216cnfldtopn 24298 . . . . 5 𝐽 = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
218215, 217metcnp2 24051 . . . 4 ((((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ (∞Metβ€˜π΄) ∧ (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 0 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) ∈ (((MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))) CnP 𝐽)β€˜0) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅):π΄βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))0) < π‘Ÿ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜π‘€)(abs ∘ βˆ’ )((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜0)) < 𝑧))))
219213, 214, 93, 218syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) ∈ (((MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))) CnP 𝐽)β€˜0) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅):π΄βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))0) < π‘Ÿ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜π‘€)(abs ∘ βˆ’ )((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜0)) < 𝑧))))
220173, 210, 2193bitr4d 311 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝑆) β‡π‘Ÿ 𝐢 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) ∈ (((MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))) CnP 𝐽)β€˜0)))
221 rlimcnp.k . . . . . 6 𝐾 = (𝐽 β†Ύt 𝐴)
222 eqid 2733 . . . . . . . 8 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))
223222, 217, 215metrest 24033 . . . . . . 7 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 𝐴 βŠ† β„‚) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))))
224211, 141, 223sylancr 588 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))))
225221, 224eqtrid 2785 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))))
226225oveq1d 7424 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾 CnP 𝐽) = ((MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))) CnP 𝐽))
227226fveq1d 6894 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐾 CnP 𝐽)β€˜0) = (((MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))) CnP 𝐽)β€˜0))
228227eleq2d 2820 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)β€˜0) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) ∈ (((MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))) CnP 𝐽)β€˜0)))
229220, 228bitr4d 282 1 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝑆) β‡π‘Ÿ 𝐢 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)β€˜0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949  {csn 4629   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675   β†Ύ cres 5679   ∘ ccom 5681  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111  +∞cpnf 11245  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  β„+crp 12974  (,)cioo 13324  [,)cico 13326  abscabs 15181   β‡π‘Ÿ crli 15429   β†Ύt crest 17366  TopOpenctopn 17367  βˆžMetcxmet 20929  MetOpencmopn 20934  β„‚fldccnfld 20944   CnP ccnp 22729
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-fz 13485  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-rlim 15433  df-struct 17080  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-rest 17368  df-topn 17369  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-cnp 22732
This theorem is referenced by:  rlimcnp2  26471
  Copyright terms: Public domain W3C validator