MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimcnp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimcnp 26338
Description: Relate a limit of a real-valued sequence at infinity to the continuity of the function 𝑆(𝑦) = 𝑅(1 / 𝑦) at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimcnp.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (0[,)+∞))
rlimcnp.0 (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝐴)
rlimcnp.b (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† ℝ+)
rlimcnp.r ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
rlimcnp.d ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ (1 / π‘₯) ∈ 𝐡))
rlimcnp.c (π‘₯ = 0 β†’ 𝑅 = 𝐢)
rlimcnp.s (π‘₯ = (1 / 𝑦) β†’ 𝑅 = 𝑆)
rlimcnp.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
rlimcnp.k 𝐾 = (𝐽 β†Ύt 𝐴)
Assertion
Ref Expression
rlimcnp (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝑆) β‡π‘Ÿ 𝐢 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)β€˜0)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐴   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝐢,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦   𝑦,𝑅   π‘₯,𝑆
Allowed substitution hints:   𝑅(π‘₯)   𝑆(𝑦)   𝐽(π‘₯,𝑦)   𝐾(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem rlimcnp
Dummy variables 𝑀 π‘Ÿ 𝑧 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpreccl 12949 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ (1 / π‘Ÿ) ∈ ℝ+)
21adantl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (1 / π‘Ÿ) ∈ ℝ+)
3 rpreccl 12949 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ ℝ+ β†’ (1 / 𝑑) ∈ ℝ+)
4 rpcnne0 12941 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 ∈ ℝ+ β†’ (𝑑 ∈ β„‚ ∧ 𝑑 β‰  0))
54adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ (𝑑 ∈ β„‚ ∧ 𝑑 β‰  0))
6 recrec 11860 . . . . . . . . . . 11 ((𝑑 ∈ β„‚ ∧ 𝑑 β‰  0) β†’ (1 / (1 / 𝑑)) = 𝑑)
75, 6syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ (1 / (1 / 𝑑)) = 𝑑)
87eqcomd 2739 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ 𝑑 = (1 / (1 / 𝑑)))
9 oveq2 7369 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ = (1 / 𝑑) β†’ (1 / π‘Ÿ) = (1 / (1 / 𝑑)))
109rspceeqv 3599 . . . . . . . . 9 (((1 / 𝑑) ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 = (1 / (1 / 𝑑))) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑑 = (1 / π‘Ÿ))
113, 8, 10syl2an2 685 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑑 = (1 / π‘Ÿ))
12 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 = (1 / π‘Ÿ)) β†’ 𝑑 = (1 / π‘Ÿ))
1312breq1d 5119 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 = (1 / π‘Ÿ)) β†’ (𝑑 < 𝑦 ↔ (1 / π‘Ÿ) < 𝑦))
1413imbi1d 342 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 = (1 / π‘Ÿ)) β†’ ((𝑑 < 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧) ↔ ((1 / π‘Ÿ) < 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧)))
1514ralbidv 3171 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 = (1 / π‘Ÿ)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝑑 < 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((1 / π‘Ÿ) < 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧)))
162, 11, 15rexxfrd 5368 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝑑 < 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((1 / π‘Ÿ) < 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧)))
1716adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝑑 < 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((1 / π‘Ÿ) < 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧)))
18 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
19 rlimcnp.b . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† ℝ+)
2019sselda 3948 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ ℝ+)
2120adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ ℝ+)
22 elrp 12925 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↔ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘Ÿ))
23 elrp 12925 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ+ ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑦))
24 ltrec1 12050 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘Ÿ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑦)) β†’ ((1 / π‘Ÿ) < 𝑦 ↔ (1 / 𝑦) < π‘Ÿ))
2522, 23, 24syl2anb 599 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ ((1 / π‘Ÿ) < 𝑦 ↔ (1 / 𝑦) < π‘Ÿ))
2618, 21, 25syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((1 / π‘Ÿ) < 𝑦 ↔ (1 / 𝑦) < π‘Ÿ))
2726imbi1d 342 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (((1 / π‘Ÿ) < 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧) ↔ ((1 / 𝑦) < π‘Ÿ β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧)))
2827ralbidva 3169 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((1 / π‘Ÿ) < 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((1 / 𝑦) < π‘Ÿ β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧)))
2928adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((1 / π‘Ÿ) < 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((1 / 𝑦) < π‘Ÿ β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧)))
30 rpcn 12933 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
31 rpne0 12939 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ 𝑦 β‰  0)
3230, 31recrecd 11936 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ (1 / (1 / 𝑦)) = 𝑦)
3320, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (1 / (1 / 𝑦)) = 𝑦)
34 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
3533, 34eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (1 / (1 / 𝑦)) ∈ 𝐡)
36 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = (1 / 𝑦) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ (1 / 𝑦) ∈ 𝐴))
37 oveq2 7369 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = (1 / 𝑦) β†’ (1 / π‘₯) = (1 / (1 / 𝑦)))
3837eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = (1 / 𝑦) β†’ ((1 / π‘₯) ∈ 𝐡 ↔ (1 / (1 / 𝑦)) ∈ 𝐡))
3936, 38bibi12d 346 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = (1 / 𝑦) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ (1 / π‘₯) ∈ 𝐡) ↔ ((1 / 𝑦) ∈ 𝐴 ↔ (1 / (1 / 𝑦)) ∈ 𝐡)))
40 rlimcnp.d . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ (1 / π‘₯) ∈ 𝐡))
4140ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ (1 / π‘₯) ∈ 𝐡))
4241adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ (1 / π‘₯) ∈ 𝐡))
4320rpreccld 12975 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (1 / 𝑦) ∈ ℝ+)
4439, 42, 43rspcdva 3584 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((1 / 𝑦) ∈ 𝐴 ↔ (1 / (1 / 𝑦)) ∈ 𝐡))
4535, 44mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (1 / 𝑦) ∈ 𝐴)
4643rpne0d 12970 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (1 / 𝑦) β‰  0)
47 eldifsn 4751 . . . . . . . . . . . 12 ((1 / 𝑦) ∈ (𝐴 βˆ– {0}) ↔ ((1 / 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ (1 / 𝑦) β‰  0))
4845, 46, 47sylanbrc 584 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (1 / 𝑦) ∈ (𝐴 βˆ– {0}))
49 eldifi 4090 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– {0}) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
5049adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– {0})) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
51 rge0ssre 13382 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
52 rlimcnp.a . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (0[,)+∞))
5352ssdifssd 4106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ– {0}) βŠ† (0[,)+∞))
5453sselda 3948 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– {0})) β†’ π‘₯ ∈ (0[,)+∞))
5551, 54sselid 3946 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– {0})) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
56 0re 11165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ∈ ℝ
57 pnfxr 11217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 +∞ ∈ ℝ*
58 elico2 13337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((0 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < +∞)))
5956, 57, 58mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ (0[,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < +∞))
6059simp2bi 1147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ (0[,)+∞) β†’ 0 ≀ π‘₯)
6154, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– {0})) β†’ 0 ≀ π‘₯)
62 eldifsni 4754 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– {0}) β†’ π‘₯ β‰  0)
6362adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– {0})) β†’ π‘₯ β‰  0)
6455, 61, 63ne0gt0d 11300 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– {0})) β†’ 0 < π‘₯)
6555, 64elrpd 12962 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– {0})) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
6665, 40syldan 592 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– {0})) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ (1 / π‘₯) ∈ 𝐡))
6750, 66mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– {0})) β†’ (1 / π‘₯) ∈ 𝐡)
68 rpcn 12933 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
69 rpne0 12939 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ β‰  0)
7068, 69recrecd 11936 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (1 / (1 / π‘₯)) = π‘₯)
7165, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– {0})) β†’ (1 / (1 / π‘₯)) = π‘₯)
7271eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– {0})) β†’ π‘₯ = (1 / (1 / π‘₯)))
73 oveq2 7369 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (1 / π‘₯) β†’ (1 / 𝑦) = (1 / (1 / π‘₯)))
7473rspceeqv 3599 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / π‘₯) ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ = (1 / (1 / π‘₯))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 π‘₯ = (1 / 𝑦))
7567, 72, 74syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– {0})) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 π‘₯ = (1 / 𝑦))
76 breq1 5112 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = (1 / 𝑦) β†’ (π‘₯ < π‘Ÿ ↔ (1 / 𝑦) < π‘Ÿ))
77 rlimcnp.s . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = (1 / 𝑦) β†’ 𝑅 = 𝑆)
7877fvoveq1d 7383 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = (1 / 𝑦) β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) = (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)))
7978breq1d 5119 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = (1 / 𝑦) β†’ ((absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧 ↔ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧))
8076, 79imbi12d 345 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = (1 / 𝑦) β†’ ((π‘₯ < π‘Ÿ β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧) ↔ ((1 / 𝑦) < π‘Ÿ β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧)))
8180adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = (1 / 𝑦)) β†’ ((π‘₯ < π‘Ÿ β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧) ↔ ((1 / 𝑦) < π‘Ÿ β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧)))
8248, 75, 81ralxfrd 5367 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– {0})(π‘₯ < π‘Ÿ β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((1 / 𝑦) < π‘Ÿ β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧)))
8382ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– {0})(π‘₯ < π‘Ÿ β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((1 / 𝑦) < π‘Ÿ β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧)))
8429, 83bitr4d 282 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((1 / π‘Ÿ) < 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– {0})(π‘₯ < π‘Ÿ β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧)))
85 elsni 4607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ {0} β†’ π‘₯ = 0)
8685adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ {0}) β†’ π‘₯ = 0)
87 rlimcnp.c . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 0 β†’ 𝑅 = 𝐢)
8886, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ {0}) β†’ 𝑅 = 𝐢)
8988oveq1d 7376 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ {0}) β†’ (𝑅 βˆ’ 𝐢) = (𝐢 βˆ’ 𝐢))
9087eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ = 0 β†’ (𝑅 ∈ β„‚ ↔ 𝐢 ∈ β„‚))
91 rlimcnp.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
9291ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝑅 ∈ β„‚)
93 rlimcnp.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝐴)
9490, 92, 93rspcdva 3584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
9594subidd 11508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐢) = 0)
9695ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ {0}) β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐢) = 0)
9789, 96eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ {0}) β†’ (𝑅 βˆ’ 𝐢) = 0)
9897abs00bd 15185 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ {0}) β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) = 0)
99 rpgt0 12935 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ ℝ+ β†’ 0 < 𝑧)
10099ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ {0}) β†’ 0 < 𝑧)
10198, 100eqbrtrd 5131 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ {0}) β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧)
102101a1d 25 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ {0}) β†’ (π‘₯ < π‘Ÿ β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧))
103102ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ {0} (π‘₯ < π‘Ÿ β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧))
104103adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ {0} (π‘₯ < π‘Ÿ β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧))
105104biantrud 533 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– {0})(π‘₯ < π‘Ÿ β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧) ↔ (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– {0})(π‘₯ < π‘Ÿ β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {0} (π‘₯ < π‘Ÿ β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧))))
106 ralunb 4155 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ– {0}) βˆͺ {0})(π‘₯ < π‘Ÿ β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧) ↔ (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– {0})(π‘₯ < π‘Ÿ β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {0} (π‘₯ < π‘Ÿ β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧)))
107105, 106bitr4di 289 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– {0})(π‘₯ < π‘Ÿ β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ– {0}) βˆͺ {0})(π‘₯ < π‘Ÿ β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧)))
108 undif1 4439 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 βˆ– {0}) βˆͺ {0}) = (𝐴 βˆͺ {0})
10993ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 0 ∈ 𝐴)
110109snssd 4773 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ {0} βŠ† 𝐴)
111 ssequn2 4147 . . . . . . . . . . 11 ({0} βŠ† 𝐴 ↔ (𝐴 βˆͺ {0}) = 𝐴)
112110, 111sylib 217 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (𝐴 βˆͺ {0}) = 𝐴)
113108, 112eqtrid 2785 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ((𝐴 βˆ– {0}) βˆͺ {0}) = 𝐴)
114113raleqdv 3312 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ– {0}) βˆͺ {0})(π‘₯ < π‘Ÿ β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘₯ < π‘Ÿ β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧)))
11584, 107, 1143bitrd 305 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((1 / π‘Ÿ) < 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘₯ < π‘Ÿ β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧)))
116115rexbidva 3170 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((1 / π‘Ÿ) < 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘₯ < π‘Ÿ β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧)))
11717, 116bitrd 279 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝑑 < 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘₯ < π‘Ÿ β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧)))
118117ralbidva 3169 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝑑 < 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧) ↔ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘₯ < π‘Ÿ β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧)))
119 nfv 1918 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯(𝑀((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))0) < π‘Ÿ
120 nffvmpt1 6857 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜π‘€)
121 nfcv 2904 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯(abs ∘ βˆ’ )
122 nffvmpt1 6857 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜0)
123120, 121, 122nfov 7391 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯(((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜π‘€)(abs ∘ βˆ’ )((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜0))
124 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯ <
125 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯𝑧
126123, 124, 125nfbr 5156 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯(((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜π‘€)(abs ∘ βˆ’ )((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜0)) < 𝑧
127119, 126nfim 1900 . . . . . . . 8 β„²π‘₯((𝑀((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))0) < π‘Ÿ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜π‘€)(abs ∘ βˆ’ )((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜0)) < 𝑧)
128 nfv 1918 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑀((π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))0) < π‘Ÿ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜π‘₯)(abs ∘ βˆ’ )((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜0)) < 𝑧)
129 oveq1 7368 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = π‘₯ β†’ (𝑀((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))0) = (π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))0))
130129breq1d 5119 . . . . . . . . 9 (𝑀 = π‘₯ β†’ ((𝑀((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))0) < π‘Ÿ ↔ (π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))0) < π‘Ÿ))
131 fveq2 6846 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = π‘₯ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜π‘€) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜π‘₯))
132131oveq1d 7376 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = π‘₯ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜π‘€)(abs ∘ βˆ’ )((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜0)) = (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜π‘₯)(abs ∘ βˆ’ )((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜0)))
133132breq1d 5119 . . . . . . . . 9 (𝑀 = π‘₯ β†’ ((((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜π‘€)(abs ∘ βˆ’ )((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜0)) < 𝑧 ↔ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜π‘₯)(abs ∘ βˆ’ )((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜0)) < 𝑧))
134130, 133imbi12d 345 . . . . . . . 8 (𝑀 = π‘₯ β†’ (((𝑀((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))0) < π‘Ÿ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜π‘€)(abs ∘ βˆ’ )((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜0)) < 𝑧) ↔ ((π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))0) < π‘Ÿ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜π‘₯)(abs ∘ βˆ’ )((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜0)) < 𝑧)))
135127, 128, 134cbvralw 3288 . . . . . . 7 (βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))0) < π‘Ÿ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜π‘€)(abs ∘ βˆ’ )((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜0)) < 𝑧) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))0) < π‘Ÿ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜π‘₯)(abs ∘ βˆ’ )((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜0)) < 𝑧))
136 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
13793adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 ∈ 𝐴)
138136, 137ovresd 7525 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))0) = (π‘₯(abs ∘ βˆ’ )0))
13952, 51sstrdi 3960 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
140 ax-resscn 11116 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℝ βŠ† β„‚
141139, 140sstrdi 3960 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
142141sselda 3948 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
143 0cnd 11156 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 ∈ β„‚)
144 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs ∘ βˆ’ ) = (abs ∘ βˆ’ )
145144cnmetdval 24157 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 0 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯(abs ∘ βˆ’ )0) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 0)))
146142, 143, 145syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯(abs ∘ βˆ’ )0) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 0)))
147142subid1d 11509 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ βˆ’ 0) = π‘₯)
148147fveq2d 6850 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 0)) = (absβ€˜π‘₯))
149138, 146, 1483eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))0) = (absβ€˜π‘₯))
150139sselda 3948 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
15152sselda 3948 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ (0[,)+∞))
152151, 60syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ π‘₯)
153150, 152absidd 15316 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜π‘₯) = π‘₯)
154149, 153eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))0) = π‘₯)
155154breq1d 5119 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))0) < π‘Ÿ ↔ π‘₯ < π‘Ÿ))
156 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)
157156fvmpt2 6963 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜π‘₯) = 𝑅)
158136, 91, 157syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜π‘₯) = 𝑅)
15994adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
160156, 87, 137, 159fvmptd3 6975 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜0) = 𝐢)
161158, 160oveq12d 7379 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜π‘₯)(abs ∘ βˆ’ )((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜0)) = (𝑅(abs ∘ βˆ’ )𝐢))
162144cnmetdval 24157 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ β„‚ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ (𝑅(abs ∘ βˆ’ )𝐢) = (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)))
16391, 159, 162syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑅(abs ∘ βˆ’ )𝐢) = (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)))
164161, 163eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜π‘₯)(abs ∘ βˆ’ )((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜0)) = (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)))
165164breq1d 5119 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜π‘₯)(abs ∘ βˆ’ )((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜0)) < 𝑧 ↔ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧))
166155, 165imbi12d 345 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))0) < π‘Ÿ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜π‘₯)(abs ∘ βˆ’ )((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜0)) < 𝑧) ↔ (π‘₯ < π‘Ÿ β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧)))
167166ralbidva 3169 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))0) < π‘Ÿ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜π‘₯)(abs ∘ βˆ’ )((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜0)) < 𝑧) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘₯ < π‘Ÿ β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧)))
168135, 167bitrid 283 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))0) < π‘Ÿ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜π‘€)(abs ∘ βˆ’ )((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜0)) < 𝑧) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘₯ < π‘Ÿ β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧)))
169168rexbidv 3172 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))0) < π‘Ÿ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜π‘€)(abs ∘ βˆ’ )((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜0)) < 𝑧) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘₯ < π‘Ÿ β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧)))
170169ralbidv 3171 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))0) < π‘Ÿ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜π‘€)(abs ∘ βˆ’ )((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜0)) < 𝑧) ↔ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘₯ < π‘Ÿ β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧)))
17191fmpttd 7067 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅):π΄βŸΆβ„‚)
172171biantrurd 534 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))0) < π‘Ÿ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜π‘€)(abs ∘ βˆ’ )((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜0)) < 𝑧) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅):π΄βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))0) < π‘Ÿ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜π‘€)(abs ∘ βˆ’ )((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜0)) < 𝑧))))
173118, 170, 1723bitr2d 307 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝑑 < 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅):π΄βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))0) < π‘Ÿ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜π‘€)(abs ∘ βˆ’ )((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜0)) < 𝑧))))
17477eleq1d 2819 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (1 / 𝑦) β†’ (𝑅 ∈ β„‚ ↔ 𝑆 ∈ β„‚))
17592adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝑅 ∈ β„‚)
176174, 175, 45rspcdva 3584 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝑆 ∈ β„‚)
177176ralrimiva 3140 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 𝑆 ∈ β„‚)
178 rpssre 12930 . . . . . . 7 ℝ+ βŠ† ℝ
17919, 178sstrdi 3960 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† ℝ)
180 1red 11164 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
181177, 179, 94, 180rlim3 15389 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝑆) β‡π‘Ÿ 𝐢 ↔ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ (1[,)+∞)βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝑑 ≀ 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧)))
182 0xr 11210 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ*
183 0lt1 11685 . . . . . . . . . 10 0 < 1
184 df-ioo 13277 . . . . . . . . . . 11 (,) = (π‘₯ ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (π‘₯ < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
185 df-ico 13279 . . . . . . . . . . 11 [,) = (π‘₯ ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
186 xrltletr 13085 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) β†’ ((0 < 1 ∧ 1 ≀ 𝑀) β†’ 0 < 𝑀))
187184, 185, 186ixxss1 13291 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ 0 < 1) β†’ (1[,)+∞) βŠ† (0(,)+∞))
188182, 183, 187mp2an 691 . . . . . . . . 9 (1[,)+∞) βŠ† (0(,)+∞)
189 ioorp 13351 . . . . . . . . 9 (0(,)+∞) = ℝ+
190188, 189sseqtri 3984 . . . . . . . 8 (1[,)+∞) βŠ† ℝ+
191 ssrexv 4015 . . . . . . . 8 ((1[,)+∞) βŠ† ℝ+ β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ (1[,)+∞)βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝑑 ≀ 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝑑 ≀ 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧)))
192190, 191ax-mp 5 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘‘ ∈ (1[,)+∞)βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝑑 ≀ 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝑑 ≀ 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧))
193 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝑑 ∈ ℝ+)
194178, 193sselid 3946 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
195179adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ 𝐡 βŠ† ℝ)
196195sselda 3948 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
197 ltle 11251 . . . . . . . . . . 11 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝑑 < 𝑦 β†’ 𝑑 ≀ 𝑦))
198194, 196, 197syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (𝑑 < 𝑦 β†’ 𝑑 ≀ 𝑦))
199198imim1d 82 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑑 ≀ 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧) β†’ (𝑑 < 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧)))
200199ralimdva 3161 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝑑 ≀ 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝑑 < 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧)))
201200reximdva 3162 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝑑 ≀ 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝑑 < 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧)))
202192, 201syl5 34 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ (1[,)+∞)βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝑑 ≀ 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝑑 < 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧)))
203202ralimdv 3163 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ (1[,)+∞)βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝑑 ≀ 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧) β†’ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝑑 < 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧)))
204181, 203sylbid 239 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝑆) β‡π‘Ÿ 𝐢 β†’ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝑑 < 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧)))
205 ssrexv 4015 . . . . . . 7 (ℝ+ βŠ† ℝ β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝑑 < 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝑑 < 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧)))
206178, 205ax-mp 5 . . . . . 6 (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝑑 < 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝑑 < 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧))
207206ralimi 3083 . . . . 5 (βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝑑 < 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧) β†’ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝑑 < 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧))
208177, 179, 94rlim2lt 15388 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝑆) β‡π‘Ÿ 𝐢 ↔ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝑑 < 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧)))
209207, 208syl5ibr 246 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝑑 < 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧) β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝑆) β‡π‘Ÿ 𝐢))
210204, 209impbid 211 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝑆) β‡π‘Ÿ 𝐢 ↔ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝑑 < 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐢)) < 𝑧)))
211 cnxmet 24159 . . . . 5 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
212 xmetres2 23737 . . . . 5 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 𝐴 βŠ† β„‚) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ (∞Metβ€˜π΄))
213211, 141, 212sylancr 588 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ (∞Metβ€˜π΄))
214211a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚))
215 eqid 2733 . . . . 5 (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)))
216 rlimcnp.j . . . . . 6 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
217216cnfldtopn 24168 . . . . 5 𝐽 = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
218215, 217metcnp2 23921 . . . 4 ((((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ (∞Metβ€˜π΄) ∧ (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 0 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) ∈ (((MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))) CnP 𝐽)β€˜0) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅):π΄βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))0) < π‘Ÿ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜π‘€)(abs ∘ βˆ’ )((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜0)) < 𝑧))))
219213, 214, 93, 218syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) ∈ (((MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))) CnP 𝐽)β€˜0) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅):π΄βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))0) < π‘Ÿ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜π‘€)(abs ∘ βˆ’ )((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)β€˜0)) < 𝑧))))
220173, 210, 2193bitr4d 311 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝑆) β‡π‘Ÿ 𝐢 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) ∈ (((MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))) CnP 𝐽)β€˜0)))
221 rlimcnp.k . . . . . 6 𝐾 = (𝐽 β†Ύt 𝐴)
222 eqid 2733 . . . . . . . 8 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))
223222, 217, 215metrest 23903 . . . . . . 7 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 𝐴 βŠ† β„‚) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))))
224211, 141, 223sylancr 588 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))))
225221, 224eqtrid 2785 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))))
226225oveq1d 7376 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾 CnP 𝐽) = ((MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))) CnP 𝐽))
227226fveq1d 6848 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐾 CnP 𝐽)β€˜0) = (((MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))) CnP 𝐽)β€˜0))
228227eleq2d 2820 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)β€˜0) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) ∈ (((MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))) CnP 𝐽)β€˜0)))
229220, 228bitr4d 282 1 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝑆) β‡π‘Ÿ 𝐢 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)β€˜0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βˆ– cdif 3911   βˆͺ cun 3912   βŠ† wss 3914  {csn 4590   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192   Γ— cxp 5635   β†Ύ cres 5639   ∘ ccom 5641  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„‚cc 11057  β„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060  +∞cpnf 11194  β„*cxr 11196   < clt 11197   ≀ cle 11198   βˆ’ cmin 11393   / cdiv 11820  β„+crp 12923  (,)cioo 13273  [,)cico 13275  abscabs 15128   β‡π‘Ÿ crli 15376   β†Ύt crest 17310  TopOpenctopn 17311  βˆžMetcxmet 20804  MetOpencmopn 20809  β„‚fldccnfld 20819   CnP ccnp 22599
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-fz 13434  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-rlim 15380  df-struct 17027  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-rest 17312  df-topn 17313  df-topgen 17333  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-cnfld 20820  df-top 22266  df-topon 22283  df-bases 22319  df-cnp 22602
This theorem is referenced by:  rlimcnp2  26339
  Copyright terms: Public domain W3C validator