MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimcnp2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimcnp2 27024
Description: Relate a limit of a real-valued sequence at infinity to the continuity of the function 𝑆(𝑦) = 𝑅(1 / 𝑦) at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimcnp2.a (𝜑𝐴 ⊆ (0[,)+∞))
rlimcnp2.0 (𝜑 → 0 ∈ 𝐴)
rlimcnp2.b (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
rlimcnp2.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
rlimcnp2.r ((𝜑𝑦𝐵) → 𝑆 ∈ ℂ)
rlimcnp2.d ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦𝐵 ↔ (1 / 𝑦) ∈ 𝐴))
rlimcnp2.s (𝑦 = (1 / 𝑥) → 𝑆 = 𝑅)
rlimcnp2.j 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
rlimcnp2.k 𝐾 = (𝐽t 𝐴)
Assertion
Ref Expression
rlimcnp2 (𝜑 → ((𝑦𝐵𝑆) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥 = 0, 𝐶, 𝑅)) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘0)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑦,𝑅   𝑥,𝑆
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑦)   𝐽(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem rlimcnp2
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 4245 . . . . . . . 8 (𝐵 ∩ (1[,)+∞)) ⊆ 𝐵
2 resmpt 6057 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∩ (1[,)+∞)) ⊆ 𝐵 → ((𝑦𝐵𝑆) ↾ (𝐵 ∩ (1[,)+∞))) = (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ (1[,)+∞)) ↦ 𝑆))
31, 2mp1i 13 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑦𝐵𝑆) ↾ (𝐵 ∩ (1[,)+∞))) = (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ (1[,)+∞)) ↦ 𝑆))
4 0xr 11306 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
5 0lt1 11783 . . . . . . . . . . 11 0 < 1
6 df-ioo 13388 . . . . . . . . . . . 12 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
7 df-ico 13390 . . . . . . . . . . . 12 [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
8 xrltletr 13196 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝑤) → 0 < 𝑤))
96, 7, 8ixxss1 13402 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ* ∧ 0 < 1) → (1[,)+∞) ⊆ (0(,)+∞))
104, 5, 9mp2an 692 . . . . . . . . . 10 (1[,)+∞) ⊆ (0(,)+∞)
11 ioorp 13462 . . . . . . . . . 10 (0(,)+∞) = ℝ+
1210, 11sseqtri 4032 . . . . . . . . 9 (1[,)+∞) ⊆ ℝ+
13 sslin 4251 . . . . . . . . 9 ((1[,)+∞) ⊆ ℝ+ → (𝐵 ∩ (1[,)+∞)) ⊆ (𝐵 ∩ ℝ+))
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝐵 ∩ (1[,)+∞)) ⊆ (𝐵 ∩ ℝ+)
15 resmpt 6057 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∩ (1[,)+∞)) ⊆ (𝐵 ∩ ℝ+) → ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ (𝐵 ∩ (1[,)+∞))) = (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ (1[,)+∞)) ↦ 𝑆))
1614, 15mp1i 13 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ (𝐵 ∩ (1[,)+∞))) = (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ (1[,)+∞)) ↦ 𝑆))
173, 16eqtr4d 2778 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑦𝐵𝑆) ↾ (𝐵 ∩ (1[,)+∞))) = ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ (𝐵 ∩ (1[,)+∞))))
18 resres 6013 . . . . . 6 (((𝑦𝐵𝑆) ↾ 𝐵) ↾ (1[,)+∞)) = ((𝑦𝐵𝑆) ↾ (𝐵 ∩ (1[,)+∞)))
19 resres 6013 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ 𝐵) ↾ (1[,)+∞)) = ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ (𝐵 ∩ (1[,)+∞)))
2017, 18, 193eqtr4g 2800 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑦𝐵𝑆) ↾ 𝐵) ↾ (1[,)+∞)) = (((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ 𝐵) ↾ (1[,)+∞)))
21 rlimcnp2.r . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐵) → 𝑆 ∈ ℂ)
2221fmpttd 7135 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦𝐵𝑆):𝐵⟶ℂ)
2322ffnd 6738 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦𝐵𝑆) Fn 𝐵)
24 fnresdm 6688 . . . . . . 7 ((𝑦𝐵𝑆) Fn 𝐵 → ((𝑦𝐵𝑆) ↾ 𝐵) = (𝑦𝐵𝑆))
2523, 24syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑦𝐵𝑆) ↾ 𝐵) = (𝑦𝐵𝑆))
2625reseq1d 5999 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑦𝐵𝑆) ↾ 𝐵) ↾ (1[,)+∞)) = ((𝑦𝐵𝑆) ↾ (1[,)+∞)))
27 elinel1 4211 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) → 𝑦𝐵)
2827, 21sylan2 593 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) → 𝑆 ∈ ℂ)
2928fmpttd 7135 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆):(𝐵 ∩ ℝ+)⟶ℂ)
30 frel 6742 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆):(𝐵 ∩ ℝ+)⟶ℂ → Rel (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆))
3129, 30syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → Rel (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆))
32 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) = (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆)
3332, 28dmmptd 6714 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) = (𝐵 ∩ ℝ+))
34 inss1 4245 . . . . . . . 8 (𝐵 ∩ ℝ+) ⊆ 𝐵
3533, 34eqsstrdi 4050 . . . . . . 7 (𝜑 → dom (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ⊆ 𝐵)
36 relssres 6042 . . . . . . 7 ((Rel (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ∧ dom (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ⊆ 𝐵) → ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ 𝐵) = (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆))
3731, 35, 36syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ 𝐵) = (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆))
3837reseq1d 5999 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ 𝐵) ↾ (1[,)+∞)) = ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ (1[,)+∞)))
3920, 26, 383eqtr3d 2783 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦𝐵𝑆) ↾ (1[,)+∞)) = ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ (1[,)+∞)))
4039breq1d 5158 . . 3 (𝜑 → (((𝑦𝐵𝑆) ↾ (1[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ (1[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐶))
41 rlimcnp2.b . . . 4 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
42 1red 11260 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
4322, 41, 42rlimresb 15598 . . 3 (𝜑 → ((𝑦𝐵𝑆) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ((𝑦𝐵𝑆) ↾ (1[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐶))
4434, 41sstrid 4007 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 ∩ ℝ+) ⊆ ℝ)
4529, 44, 42rlimresb 15598 . . 3 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ (1[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐶))
4640, 43, 453bitr4d 311 . 2 (𝜑 → ((𝑦𝐵𝑆) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ⇝𝑟 𝐶))
47 inss2 4246 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∩ ℝ+) ⊆ ℝ+
4847a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 ∩ ℝ+) ⊆ ℝ+)
4948sselda 3995 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
5049rpreccld 13085 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ+)
5150rpne0d 13080 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) → (1 / 𝑦) ≠ 0)
5251neneqd 2943 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) → ¬ (1 / 𝑦) = 0)
5352iffalsed 4542 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) → if((1 / 𝑦) = 0, 𝐶, (1 / 𝑦) / 𝑥𝑅) = (1 / 𝑦) / 𝑥𝑅)
54 oveq2 7439 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (1 / 𝑦) → (1 / 𝑥) = (1 / (1 / 𝑦)))
55 rpcnne0 13051 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0))
56 recrec 11962 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (1 / (1 / 𝑦)) = 𝑦)
5749, 55, 563syl 18 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) → (1 / (1 / 𝑦)) = 𝑦)
5854, 57sylan9eqr 2797 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) ∧ 𝑥 = (1 / 𝑦)) → (1 / 𝑥) = 𝑦)
5958eqcomd 2741 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) ∧ 𝑥 = (1 / 𝑦)) → 𝑦 = (1 / 𝑥))
60 rlimcnp2.s . . . . . . . 8 (𝑦 = (1 / 𝑥) → 𝑆 = 𝑅)
6159, 60syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) ∧ 𝑥 = (1 / 𝑦)) → 𝑆 = 𝑅)
6261eqcomd 2741 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) ∧ 𝑥 = (1 / 𝑦)) → 𝑅 = 𝑆)
6350, 62csbied 3946 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) → (1 / 𝑦) / 𝑥𝑅 = 𝑆)
6453, 63eqtrd 2775 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) → if((1 / 𝑦) = 0, 𝐶, (1 / 𝑦) / 𝑥𝑅) = 𝑆)
6564mpteq2dva 5248 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ if((1 / 𝑦) = 0, 𝐶, (1 / 𝑦) / 𝑥𝑅)) = (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆))
6665breq1d 5158 . 2 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ if((1 / 𝑦) = 0, 𝐶, (1 / 𝑦) / 𝑥𝑅)) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ⇝𝑟 𝐶))
67 rlimcnp2.a . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ (0[,)+∞))
68 rlimcnp2.0 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ 𝐴)
69 rlimcnp2.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
7069ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ 𝑤 = 0) → 𝐶 ∈ ℂ)
7167sselda 3995 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤𝐴) → 𝑤 ∈ (0[,)+∞))
72 0re 11261 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ
73 pnfxr 11313 . . . . . . . . . . . . 13 +∞ ∈ ℝ*
74 elico2 13448 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑤 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑤𝑤 < +∞)))
7572, 73, 74mp2an 692 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑤𝑤 < +∞))
7671, 75sylib 218 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤𝐴) → (𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑤𝑤 < +∞))
7776simp1d 1141 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤𝐴) → 𝑤 ∈ ℝ)
7877adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → 𝑤 ∈ ℝ)
7976simp2d 1142 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑤𝐴) → 0 ≤ 𝑤)
80 leloe 11345 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑤 ↔ (0 < 𝑤 ∨ 0 = 𝑤)))
8172, 77, 80sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑤𝐴) → (0 ≤ 𝑤 ↔ (0 < 𝑤 ∨ 0 = 𝑤)))
8279, 81mpbid 232 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑤𝐴) → (0 < 𝑤 ∨ 0 = 𝑤))
8382ord 864 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤𝐴) → (¬ 0 < 𝑤 → 0 = 𝑤))
84 eqcom 2742 . . . . . . . . . . . 12 (0 = 𝑤𝑤 = 0)
8583, 84imbitrdi 251 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤𝐴) → (¬ 0 < 𝑤𝑤 = 0))
8685con1d 145 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤𝐴) → (¬ 𝑤 = 0 → 0 < 𝑤))
8786imp 406 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → 0 < 𝑤)
8878, 87elrpd 13072 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → 𝑤 ∈ ℝ+)
89 rpcnne0 13051 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ℝ+ → (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0))
90 recrec 11962 . . . . . . . . 9 ((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) → (1 / (1 / 𝑤)) = 𝑤)
9189, 90syl 17 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ ℝ+ → (1 / (1 / 𝑤)) = 𝑤)
9288, 91syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → (1 / (1 / 𝑤)) = 𝑤)
9392csbeq1d 3912 . . . . . 6 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → (1 / (1 / 𝑤)) / 𝑥𝑅 = 𝑤 / 𝑥𝑅)
94 oveq2 7439 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (1 / 𝑤) → (1 / 𝑦) = (1 / (1 / 𝑤)))
9594csbeq1d 3912 . . . . . . . 8 (𝑦 = (1 / 𝑤) → (1 / 𝑦) / 𝑥𝑅 = (1 / (1 / 𝑤)) / 𝑥𝑅)
9695eleq1d 2824 . . . . . . 7 (𝑦 = (1 / 𝑤) → ((1 / 𝑦) / 𝑥𝑅 ∈ ℂ ↔ (1 / (1 / 𝑤)) / 𝑥𝑅 ∈ ℂ))
9763, 28eqeltrd 2839 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) → (1 / 𝑦) / 𝑥𝑅 ∈ ℂ)
9897ralrimiva 3144 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)(1 / 𝑦) / 𝑥𝑅 ∈ ℂ)
9998ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → ∀𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)(1 / 𝑦) / 𝑥𝑅 ∈ ℂ)
100 simplr 769 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → 𝑤𝐴)
101 simpll 767 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → 𝜑)
102 eleq1 2827 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (1 / 𝑤) → (𝑦𝐵 ↔ (1 / 𝑤) ∈ 𝐵))
10394eleq1d 2824 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (1 / 𝑤) → ((1 / 𝑦) ∈ 𝐴 ↔ (1 / (1 / 𝑤)) ∈ 𝐴))
104102, 103bibi12d 345 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (1 / 𝑤) → ((𝑦𝐵 ↔ (1 / 𝑦) ∈ 𝐴) ↔ ((1 / 𝑤) ∈ 𝐵 ↔ (1 / (1 / 𝑤)) ∈ 𝐴)))
105 rlimcnp2.d . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦𝐵 ↔ (1 / 𝑦) ∈ 𝐴))
106105ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ+ (𝑦𝐵 ↔ (1 / 𝑦) ∈ 𝐴))
107106adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ (𝑦𝐵 ↔ (1 / 𝑦) ∈ 𝐴))
108 rpreccl 13059 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑤) ∈ ℝ+)
109108adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑤) ∈ ℝ+)
110104, 107, 109rspcdva 3623 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → ((1 / 𝑤) ∈ 𝐵 ↔ (1 / (1 / 𝑤)) ∈ 𝐴))
11191adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → (1 / (1 / 𝑤)) = 𝑤)
112111eleq1d 2824 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → ((1 / (1 / 𝑤)) ∈ 𝐴𝑤𝐴))
113110, 112bitr2d 280 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑤𝐴 ↔ (1 / 𝑤) ∈ 𝐵))
114101, 88, 113syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → (𝑤𝐴 ↔ (1 / 𝑤) ∈ 𝐵))
115100, 114mpbid 232 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → (1 / 𝑤) ∈ 𝐵)
11688rpreccld 13085 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → (1 / 𝑤) ∈ ℝ+)
117115, 116elind 4210 . . . . . . 7 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → (1 / 𝑤) ∈ (𝐵 ∩ ℝ+))
11896, 99, 117rspcdva 3623 . . . . . 6 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → (1 / (1 / 𝑤)) / 𝑥𝑅 ∈ ℂ)
11993, 118eqeltrrd 2840 . . . . 5 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → 𝑤 / 𝑥𝑅 ∈ ℂ)
12070, 119ifclda 4566 . . . 4 ((𝜑𝑤𝐴) → if(𝑤 = 0, 𝐶, 𝑤 / 𝑥𝑅) ∈ ℂ)
121109biantrud 531 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → ((1 / 𝑤) ∈ 𝐵 ↔ ((1 / 𝑤) ∈ 𝐵 ∧ (1 / 𝑤) ∈ ℝ+)))
122113, 121bitrd 279 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑤𝐴 ↔ ((1 / 𝑤) ∈ 𝐵 ∧ (1 / 𝑤) ∈ ℝ+)))
123 elin 3979 . . . . 5 ((1 / 𝑤) ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↔ ((1 / 𝑤) ∈ 𝐵 ∧ (1 / 𝑤) ∈ ℝ+))
124122, 123bitr4di 289 . . . 4 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑤𝐴 ↔ (1 / 𝑤) ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)))
125 iftrue 4537 . . . 4 (𝑤 = 0 → if(𝑤 = 0, 𝐶, 𝑤 / 𝑥𝑅) = 𝐶)
126 eqeq1 2739 . . . . 5 (𝑤 = (1 / 𝑦) → (𝑤 = 0 ↔ (1 / 𝑦) = 0))
127 csbeq1 3911 . . . . 5 (𝑤 = (1 / 𝑦) → 𝑤 / 𝑥𝑅 = (1 / 𝑦) / 𝑥𝑅)
128126, 127ifbieq2d 4557 . . . 4 (𝑤 = (1 / 𝑦) → if(𝑤 = 0, 𝐶, 𝑤 / 𝑥𝑅) = if((1 / 𝑦) = 0, 𝐶, (1 / 𝑦) / 𝑥𝑅))
129 rlimcnp2.j . . . 4 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
130 rlimcnp2.k . . . 4 𝐾 = (𝐽t 𝐴)
13167, 68, 48, 120, 124, 125, 128, 129, 130rlimcnp 27023 . . 3 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ if((1 / 𝑦) = 0, 𝐶, (1 / 𝑦) / 𝑥𝑅)) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑤𝐴 ↦ if(𝑤 = 0, 𝐶, 𝑤 / 𝑥𝑅)) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘0)))
132 nfcv 2903 . . . . 5 𝑤if(𝑥 = 0, 𝐶, 𝑅)
133 nfv 1912 . . . . . 6 𝑥 𝑤 = 0
134 nfcv 2903 . . . . . 6 𝑥𝐶
135 nfcsb1v 3933 . . . . . 6 𝑥𝑤 / 𝑥𝑅
136133, 134, 135nfif 4561 . . . . 5 𝑥if(𝑤 = 0, 𝐶, 𝑤 / 𝑥𝑅)
137 eqeq1 2739 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑤 = 0))
138 csbeq1a 3922 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑤𝑅 = 𝑤 / 𝑥𝑅)
139137, 138ifbieq2d 4557 . . . . 5 (𝑥 = 𝑤 → if(𝑥 = 0, 𝐶, 𝑅) = if(𝑤 = 0, 𝐶, 𝑤 / 𝑥𝑅))
140132, 136, 139cbvmpt 5259 . . . 4 (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥 = 0, 𝐶, 𝑅)) = (𝑤𝐴 ↦ if(𝑤 = 0, 𝐶, 𝑤 / 𝑥𝑅))
141140eleq1i 2830 . . 3 ((𝑥𝐴 ↦ if(𝑥 = 0, 𝐶, 𝑅)) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘0) ↔ (𝑤𝐴 ↦ if(𝑤 = 0, 𝐶, 𝑤 / 𝑥𝑅)) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘0))
142131, 141bitr4di 289 . 2 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ if((1 / 𝑦) = 0, 𝐶, (1 / 𝑦) / 𝑥𝑅)) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥 = 0, 𝐶, 𝑅)) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘0)))
14346, 66, 1423bitr2d 307 1 (𝜑 → ((𝑦𝐵𝑆) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥 = 0, 𝐶, 𝑅)) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  csb 3908  cin 3962  wss 3963  ifcif 4531   class class class wbr 5148  cmpt 5231  dom cdm 5689  cres 5691  Rel wrel 5694   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154  +∞cpnf 11290  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294   / cdiv 11918  +crp 13032  (,)cioo 13384  [,)cico 13386  𝑟 crli 15518  t crest 17467  TopOpenctopn 17468  fldccnfld 21382   CnP ccnp 23249
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-fz 13545  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-rlim 15522  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-rest 17469  df-topn 17470  df-topgen 17490  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-bases 22969  df-cnp 23252
This theorem is referenced by:  rlimcnp3  27025
  Copyright terms: Public domain W3C validator