Theorem rlimcnp2 26909

Description: Relate a limit of a real-valued sequence at infinity to the continuity of the function 𝑆(𝑦) = 𝑅(1 / 𝑦) at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimcnp2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (0[,)+∞))
rlimcnp2.0	⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐴)
rlimcnp2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
rlimcnp2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
rlimcnp2.r	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑆 ∈ ℂ)
rlimcnp2.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ (1 / 𝑦) ∈ 𝐴))
rlimcnp2.s	⊢ (𝑦 = (1 / 𝑥) → 𝑆 = 𝑅)
rlimcnp2.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
rlimcnp2.k	⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
rlimcnp2	⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑥 = 0, 𝐶, 𝑅)) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘0)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑦,𝑅   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑦)   𝐽(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem rlimcnp2

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss1 4196	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∩ (1[,)+∞)) ⊆ 𝐵
2		resmpt 5997	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∩ (1[,)+∞)) ⊆ 𝐵 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ↾ (𝐵 ∩ (1[,)+∞))) = (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ (1[,)+∞)) ↦ 𝑆))
3	1, 2	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ↾ (𝐵 ∩ (1[,)+∞))) = (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ (1[,)+∞)) ↦ 𝑆))
4		0xr 11197	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ*
5		0lt1 11676	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 1
6		df-ioo 13286	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
7		df-ico 13288	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
8		xrltletr 13093	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝑤) → 0 < 𝑤))
9	6, 7, 8	ixxss1 13300	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 0 < 1) → (1[,)+∞) ⊆ (0(,)+∞))
10	4, 5, 9	mp2an 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1[,)+∞) ⊆ (0(,)+∞)
11		ioorp 13362	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0(,)+∞) = ℝ+
12	10, 11	sseqtri 3992	. . . . . . . . 9 ⊢ (1[,)+∞) ⊆ ℝ+
13		sslin 4202	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1[,)+∞) ⊆ ℝ+ → (𝐵 ∩ (1[,)+∞)) ⊆ (𝐵 ∩ ℝ+))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∩ (1[,)+∞)) ⊆ (𝐵 ∩ ℝ+)
15		resmpt 5997	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∩ (1[,)+∞)) ⊆ (𝐵 ∩ ℝ+) → ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ (𝐵 ∩ (1[,)+∞))) = (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ (1[,)+∞)) ↦ 𝑆))
16	14, 15	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ (𝐵 ∩ (1[,)+∞))) = (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ (1[,)+∞)) ↦ 𝑆))
17	3, 16	eqtr4d 2767	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ↾ (𝐵 ∩ (1[,)+∞))) = ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ (𝐵 ∩ (1[,)+∞))))
18		resres 5952	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ↾ 𝐵) ↾ (1[,)+∞)) = ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ↾ (𝐵 ∩ (1[,)+∞)))
19		resres 5952	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ 𝐵) ↾ (1[,)+∞)) = ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ (𝐵 ∩ (1[,)+∞)))
20	17, 18, 19	3eqtr4g 2789	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ↾ 𝐵) ↾ (1[,)+∞)) = (((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ 𝐵) ↾ (1[,)+∞)))
21		rlimcnp2.r	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑆 ∈ ℂ)
22	21	fmpttd 7069	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆):𝐵⟶ℂ)
23	22	ffnd 6671	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) Fn 𝐵)
24		fnresdm 6619	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) Fn 𝐵 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ↾ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆))
25	23, 24	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ↾ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆))
26	25	reseq1d 5938	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ↾ 𝐵) ↾ (1[,)+∞)) = ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ↾ (1[,)+∞)))
27		elinel1 4160	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) → 𝑦 ∈ 𝐵)
28	27, 21	sylan2 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) → 𝑆 ∈ ℂ)
29	28	fmpttd 7069	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆):(𝐵 ∩ ℝ+)⟶ℂ)
30		frel 6675	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆):(𝐵 ∩ ℝ+)⟶ℂ → Rel (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆))
31	29, 30	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Rel (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆))
32		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) = (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆)
33	32, 28	dmmptd 6645	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) = (𝐵 ∩ ℝ+))
34		inss1 4196	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∩ ℝ+) ⊆ 𝐵
35	33, 34	eqsstrdi 3988	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ⊆ 𝐵)
36		relssres 5982	. . . . . . 7 ⊢ ((Rel (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ∧ dom (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ⊆ 𝐵) → ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ 𝐵) = (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆))
37	31, 35, 36	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ 𝐵) = (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆))
38	37	reseq1d 5938	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ 𝐵) ↾ (1[,)+∞)) = ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ (1[,)+∞)))
39	20, 26, 38	3eqtr3d 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ↾ (1[,)+∞)) = ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ (1[,)+∞)))
40	39	breq1d 5112	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ↾ (1[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ (1[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐶))
41		rlimcnp2.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
42		1red 11151	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
43	22, 41, 42	rlimresb 15507	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ↾ (1[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐶))
44	34, 41	sstrid 3955	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∩ ℝ+) ⊆ ℝ)
45	29, 44, 42	rlimresb 15507	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ (1[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐶))
46	40, 43, 45	3bitr4d 311	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ⇝𝑟 𝐶))
47		inss2 4197	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∩ ℝ+) ⊆ ℝ+
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∩ ℝ+) ⊆ ℝ+)
49	48	sselda 3943	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
50	49	rpreccld 12981	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ+)
51	50	rpne0d 12976	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) → (1 / 𝑦) ≠ 0)
52	51	neneqd 2930	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) → ¬ (1 / 𝑦) = 0)
53	52	iffalsed 4495	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) → if((1 / 𝑦) = 0, 𝐶, ⦋(1 / 𝑦) / 𝑥⦌𝑅) = ⦋(1 / 𝑦) / 𝑥⦌𝑅)
54		oveq2 7377	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (1 / 𝑦) → (1 / 𝑥) = (1 / (1 / 𝑦)))
55		rpcnne0 12946	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0))
56		recrec 11855	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (1 / (1 / 𝑦)) = 𝑦)
57	49, 55, 56	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) → (1 / (1 / 𝑦)) = 𝑦)
58	54, 57	sylan9eqr 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) ∧ 𝑥 = (1 / 𝑦)) → (1 / 𝑥) = 𝑦)
59	58	eqcomd 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) ∧ 𝑥 = (1 / 𝑦)) → 𝑦 = (1 / 𝑥))
60		rlimcnp2.s	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (1 / 𝑥) → 𝑆 = 𝑅)
61	59, 60	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) ∧ 𝑥 = (1 / 𝑦)) → 𝑆 = 𝑅)
62	61	eqcomd 2735	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) ∧ 𝑥 = (1 / 𝑦)) → 𝑅 = 𝑆)
63	50, 62	csbied 3895	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) → ⦋(1 / 𝑦) / 𝑥⦌𝑅 = 𝑆)
64	53, 63	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) → if((1 / 𝑦) = 0, 𝐶, ⦋(1 / 𝑦) / 𝑥⦌𝑅) = 𝑆)
65	64	mpteq2dva 5195	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ if((1 / 𝑦) = 0, 𝐶, ⦋(1 / 𝑦) / 𝑥⦌𝑅)) = (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆))
66	65	breq1d 5112	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ if((1 / 𝑦) = 0, 𝐶, ⦋(1 / 𝑦) / 𝑥⦌𝑅)) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ⇝𝑟 𝐶))
67		rlimcnp2.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (0[,)+∞))
68		rlimcnp2.0	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐴)
69		rlimcnp2.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
70	69	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 = 0) → 𝐶 ∈ ℂ)
71	67	sselda 3943	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ (0[,)+∞))
72		0re 11152	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℝ
73		pnfxr 11204	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
74		elico2 13347	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑤 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑤 ∧ 𝑤 < +∞)))
75	72, 73, 74	mp2an 692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑤 ∧ 𝑤 < +∞))
76	71, 75	sylib 218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑤 ∧ 𝑤 < +∞))
77	76	simp1d 1142	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ ℝ)
78	77	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → 𝑤 ∈ ℝ)
79	76	simp2d 1143	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝑤)
80		leloe 11236	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑤 ↔ (0 < 𝑤 ∨ 0 = 𝑤)))
81	72, 77, 80	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (0 ≤ 𝑤 ↔ (0 < 𝑤 ∨ 0 = 𝑤)))
82	79, 81	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (0 < 𝑤 ∨ 0 = 𝑤))
83	82	ord 864	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (¬ 0 < 𝑤 → 0 = 𝑤))
84		eqcom 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 = 𝑤 ↔ 𝑤 = 0)
85	83, 84	imbitrdi 251	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (¬ 0 < 𝑤 → 𝑤 = 0))
86	85	con1d 145	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑤 = 0 → 0 < 𝑤))
87	86	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → 0 < 𝑤)
88	78, 87	elrpd 12968	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → 𝑤 ∈ ℝ+)
89		rpcnne0 12946	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ+ → (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0))
90		recrec 11855	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) → (1 / (1 / 𝑤)) = 𝑤)
91	89, 90	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ+ → (1 / (1 / 𝑤)) = 𝑤)
92	88, 91	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → (1 / (1 / 𝑤)) = 𝑤)
93	92	csbeq1d 3863	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → ⦋(1 / (1 / 𝑤)) / 𝑥⦌𝑅 = ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝑅)
94		oveq2 7377	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (1 / 𝑤) → (1 / 𝑦) = (1 / (1 / 𝑤)))
95	94	csbeq1d 3863	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (1 / 𝑤) → ⦋(1 / 𝑦) / 𝑥⦌𝑅 = ⦋(1 / (1 / 𝑤)) / 𝑥⦌𝑅)
96	95	eleq1d 2813	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (1 / 𝑤) → (⦋(1 / 𝑦) / 𝑥⦌𝑅 ∈ ℂ ↔ ⦋(1 / (1 / 𝑤)) / 𝑥⦌𝑅 ∈ ℂ))
97	63, 28	eqeltrd 2828	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) → ⦋(1 / 𝑦) / 𝑥⦌𝑅 ∈ ℂ)
98	97	ralrimiva 3125	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)⦋(1 / 𝑦) / 𝑥⦌𝑅 ∈ ℂ)
99	98	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → ∀𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)⦋(1 / 𝑦) / 𝑥⦌𝑅 ∈ ℂ)
100		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → 𝑤 ∈ 𝐴)
101		simpll 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → 𝜑)
102		eleq1 2816	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (1 / 𝑤) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ (1 / 𝑤) ∈ 𝐵))
103	94	eleq1d 2813	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (1 / 𝑤) → ((1 / 𝑦) ∈ 𝐴 ↔ (1 / (1 / 𝑤)) ∈ 𝐴))
104	102, 103	bibi12d 345	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (1 / 𝑤) → ((𝑦 ∈ 𝐵 ↔ (1 / 𝑦) ∈ 𝐴) ↔ ((1 / 𝑤) ∈ 𝐵 ↔ (1 / (1 / 𝑤)) ∈ 𝐴)))
105		rlimcnp2.d	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ (1 / 𝑦) ∈ 𝐴))
106	105	ralrimiva 3125	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ+ (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ (1 / 𝑦) ∈ 𝐴))
107	106	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ (1 / 𝑦) ∈ 𝐴))
108		rpreccl 12955	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑤) ∈ ℝ+)
109	108	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑤) ∈ ℝ+)
110	104, 107, 109	rspcdva 3586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ((1 / 𝑤) ∈ 𝐵 ↔ (1 / (1 / 𝑤)) ∈ 𝐴))
111	91	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (1 / (1 / 𝑤)) = 𝑤)
112	111	eleq1d 2813	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ((1 / (1 / 𝑤)) ∈ 𝐴 ↔ 𝑤 ∈ 𝐴))
113	110, 112	bitr2d 280	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑤 ∈ 𝐴 ↔ (1 / 𝑤) ∈ 𝐵))
114	101, 88, 113	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → (𝑤 ∈ 𝐴 ↔ (1 / 𝑤) ∈ 𝐵))
115	100, 114	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → (1 / 𝑤) ∈ 𝐵)
116	88	rpreccld 12981	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → (1 / 𝑤) ∈ ℝ+)
117	115, 116	elind 4159	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → (1 / 𝑤) ∈ (𝐵 ∩ ℝ+))
118	96, 99, 117	rspcdva 3586	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → ⦋(1 / (1 / 𝑤)) / 𝑥⦌𝑅 ∈ ℂ)
119	93, 118	eqeltrrd 2829	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝑅 ∈ ℂ)
120	70, 119	ifclda 4520	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → if(𝑤 = 0, 𝐶, ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝑅) ∈ ℂ)
121	109	biantrud 531	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ((1 / 𝑤) ∈ 𝐵 ↔ ((1 / 𝑤) ∈ 𝐵 ∧ (1 / 𝑤) ∈ ℝ+)))
122	113, 121	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑤 ∈ 𝐴 ↔ ((1 / 𝑤) ∈ 𝐵 ∧ (1 / 𝑤) ∈ ℝ+)))
123		elin 3927	. . . . 5 ⊢ ((1 / 𝑤) ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↔ ((1 / 𝑤) ∈ 𝐵 ∧ (1 / 𝑤) ∈ ℝ+))
124	122, 123	bitr4di 289	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑤 ∈ 𝐴 ↔ (1 / 𝑤) ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)))
125		iftrue 4490	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 0 → if(𝑤 = 0, 𝐶, ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝑅) = 𝐶)
126		eqeq1 2733	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (1 / 𝑦) → (𝑤 = 0 ↔ (1 / 𝑦) = 0))
127		csbeq1 3862	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (1 / 𝑦) → ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝑅 = ⦋(1 / 𝑦) / 𝑥⦌𝑅)
128	126, 127	ifbieq2d 4511	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (1 / 𝑦) → if(𝑤 = 0, 𝐶, ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝑅) = if((1 / 𝑦) = 0, 𝐶, ⦋(1 / 𝑦) / 𝑥⦌𝑅))
129		rlimcnp2.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
130		rlimcnp2.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝐴)
131	67, 68, 48, 120, 124, 125, 128, 129, 130	rlimcnp 26908	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ if((1 / 𝑦) = 0, 𝐶, ⦋(1 / 𝑦) / 𝑥⦌𝑅)) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑤 = 0, 𝐶, ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝑅)) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘0)))
132		nfcv 2891	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑤if(𝑥 = 0, 𝐶, 𝑅)
133		nfv 1914	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑤 = 0
134		nfcv 2891	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
135		nfcsb1v 3883	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑤 / 𝑥⦌𝑅
136	133, 134, 135	nfif 4515	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥if(𝑤 = 0, 𝐶, ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝑅)
137		eqeq1 2733	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑤 = 0))
138		csbeq1a 3873	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → 𝑅 = ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝑅)
139	137, 138	ifbieq2d 4511	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → if(𝑥 = 0, 𝐶, 𝑅) = if(𝑤 = 0, 𝐶, ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝑅))
140	132, 136, 139	cbvmpt 5204	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑥 = 0, 𝐶, 𝑅)) = (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑤 = 0, 𝐶, ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝑅))
141	140	eleq1i 2819	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑥 = 0, 𝐶, 𝑅)) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘0) ↔ (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑤 = 0, 𝐶, ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝑅)) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘0))
142	131, 141	bitr4di 289	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ if((1 / 𝑦) = 0, 𝐶, ⦋(1 / 𝑦) / 𝑥⦌𝑅)) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑥 = 0, 𝐶, 𝑅)) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘0)))
143	46, 66, 142	3bitr2d 307	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑥 = 0, 𝐶, 𝑅)) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘0)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ⦋csb 3859   ∩ cin 3910   ⊆ wss 3911  ifcif 4484   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183  dom cdm 5631   ↾ cres 5633  Rel wrel 5636   Fn wfn 6494  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℂcc 11042  ℝcr 11043  0cc0 11044  1c1 11045  +∞cpnf 11181  ℝ^*cxr 11183   < clt 11184   ≤ cle 11185   / cdiv 11811  ℝ⁺crp 12927  (,)cioo 13282  [,)cico 13284   ⇝_𝑟 crli 15427   ↾_t crest 17359  TopOpenctopn 17360  ℂ_fldccnfld 21296   CnP ccnp 23145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-xneg 13048  df-xadd 13049  df-xmul 13050  df-ioo 13286  df-ico 13288  df-fz 13445  df-seq 13943  df-exp 14003  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-rlim 15431  df-struct 17093  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-rest 17361  df-topn 17362  df-topgen 17382  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-cnfld 21297  df-top 22814  df-topon 22831  df-bases 22866  df-cnp 23148

This theorem is referenced by:  rlimcnp3  26910