Theorem rlimcnp2 27093

Description: Relate a limit of a real-valued sequence at infinity to the continuity of the function 𝑆(𝑦) = 𝑅(1 / 𝑦) at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimcnp2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (0[,)+∞))
rlimcnp2.0	⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐴)
rlimcnp2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
rlimcnp2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
rlimcnp2.r	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑆 ∈ ℂ)
rlimcnp2.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ (1 / 𝑦) ∈ 𝐴))
rlimcnp2.s	⊢ (𝑦 = (1 / 𝑥) → 𝑆 = 𝑅)
rlimcnp2.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
rlimcnp2.k	⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
rlimcnp2	⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑥 = 0, 𝐶, 𝑅)) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘0)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑦,𝑅   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑦)   𝐽(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem rlimcnp2

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss1 4197	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∩ (1[,)+∞)) ⊆ 𝐵
2		resmpt 6037	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∩ (1[,)+∞)) ⊆ 𝐵 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ↾ (𝐵 ∩ (1[,)+∞))) = (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ (1[,)+∞)) ↦ 𝑆))
3	1, 2	mp1i 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ↾ (𝐵 ∩ (1[,)+∞))) = (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ (1[,)+∞)) ↦ 𝑆))
4		0xr 11252	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ*
5		0lt1 11732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 1
6		df-ioo 13372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
7		df-ico 13374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
8		xrltletr 13178	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝑤) → 0 < 𝑤))
9	6, 7, 8	ixxss1 13386	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 0 < 1) → (1[,)+∞) ⊆ (0(,)+∞))
10	4, 5, 9	mp2an 704	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1[,)+∞) ⊆ (0(,)+∞)
11		ioorp 13448	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0(,)+∞) = ℝ+
12	10, 11	sseqtri 3993	. . . . . . . . 9 ⊢ (1[,)+∞) ⊆ ℝ+
13		sslin 4203	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1[,)+∞) ⊆ ℝ+ → (𝐵 ∩ (1[,)+∞)) ⊆ (𝐵 ∩ ℝ+))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∩ (1[,)+∞)) ⊆ (𝐵 ∩ ℝ+)
15		resmpt 6037	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∩ (1[,)+∞)) ⊆ (𝐵 ∩ ℝ+) → ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ (𝐵 ∩ (1[,)+∞))) = (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ (1[,)+∞)) ↦ 𝑆))
16	14, 15	mp1i 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ (𝐵 ∩ (1[,)+∞))) = (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ (1[,)+∞)) ↦ 𝑆))
17	3, 16	eqtr4d 2807	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ↾ (𝐵 ∩ (1[,)+∞))) = ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ (𝐵 ∩ (1[,)+∞))))
18		resres 5989	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ↾ 𝐵) ↾ (1[,)+∞)) = ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ↾ (𝐵 ∩ (1[,)+∞)))
19		resres 5989	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ 𝐵) ↾ (1[,)+∞)) = ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ (𝐵 ∩ (1[,)+∞)))
20	17, 18, 19	3eqtr4g 2829	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ↾ 𝐵) ↾ (1[,)+∞)) = (((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ 𝐵) ↾ (1[,)+∞)))
21		rlimcnp2.r	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑆 ∈ ℂ)
22	21	fmpttd 7108	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆):𝐵⟶ℂ)
23	22	ffnd 6704	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) Fn 𝐵)
24		fnresdm 6652	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) Fn 𝐵 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ↾ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆))
25	23, 24	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ↾ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆))
26	25	reseq1d 5975	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ↾ 𝐵) ↾ (1[,)+∞)) = ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ↾ (1[,)+∞)))
27		elinel1 4162	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) → 𝑦 ∈ 𝐵)
28	27, 21	sylan2 604	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) → 𝑆 ∈ ℂ)
29	28	fmpttd 7108	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆):(𝐵 ∩ ℝ+)⟶ℂ)
30		frel 6709	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆):(𝐵 ∩ ℝ+)⟶ℂ → Rel (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆))
31	29, 30	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Rel (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆))
32		eqid 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) = (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆)
33	32, 28	dmmptd 6678	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) = (𝐵 ∩ ℝ+))
34		inss1 4197	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∩ ℝ+) ⊆ 𝐵
35	33, 34	eqsstrdi 3989	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ⊆ 𝐵)
36		relssres 6019	. . . . . . 7 ⊢ ((Rel (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ∧ dom (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ⊆ 𝐵) → ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ 𝐵) = (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆))
37	31, 35, 36	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ 𝐵) = (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆))
38	37	reseq1d 5975	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ 𝐵) ↾ (1[,)+∞)) = ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ (1[,)+∞)))
39	20, 26, 38	3eqtr3d 2812	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ↾ (1[,)+∞)) = ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ (1[,)+∞)))
40	39	breq1d 5120	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ↾ (1[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ (1[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐶))
41		rlimcnp2.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
42		1red 11205	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
43	22, 41, 42	rlimresb 15612	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ↾ (1[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐶))
44	34, 41	sstrid 3956	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∩ ℝ+) ⊆ ℝ)
45	29, 44, 42	rlimresb 15612	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ (1[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐶))
46	40, 43, 45	3bitr4d 314	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ⇝𝑟 𝐶))
47		inss2 4198	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∩ ℝ+) ⊆ ℝ+
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∩ ℝ+) ⊆ ℝ+)
49	48	sselda 3945	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
50	49	rpreccld 13066	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ+)
51	50	rpne0d 13061	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) → (1 / 𝑦) ≠ 0)
52	51	neneqd 2969	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) → ¬ (1 / 𝑦) = 0)
53	52	iffalsed 4500	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) → if((1 / 𝑦) = 0, 𝐶, ⦋(1 / 𝑦) / 𝑥⦌𝑅) = ⦋(1 / 𝑦) / 𝑥⦌𝑅)
54		oveq2 7416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (1 / 𝑦) → (1 / 𝑥) = (1 / (1 / 𝑦)))
55		rpcnne0 13031	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0))
56		recrec 11908	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (1 / (1 / 𝑦)) = 𝑦)
57	49, 55, 56	3syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) → (1 / (1 / 𝑦)) = 𝑦)
58	54, 57	sylan9eqr 2826	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) ∧ 𝑥 = (1 / 𝑦)) → (1 / 𝑥) = 𝑦)
59	58	eqcomd 2775	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) ∧ 𝑥 = (1 / 𝑦)) → 𝑦 = (1 / 𝑥))
60		rlimcnp2.s	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (1 / 𝑥) → 𝑆 = 𝑅)
61	59, 60	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) ∧ 𝑥 = (1 / 𝑦)) → 𝑆 = 𝑅)
62	61	eqcomd 2775	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) ∧ 𝑥 = (1 / 𝑦)) → 𝑅 = 𝑆)
63	50, 62	csbied 3897	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) → ⦋(1 / 𝑦) / 𝑥⦌𝑅 = 𝑆)
64	53, 63	eqtrd 2804	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) → if((1 / 𝑦) = 0, 𝐶, ⦋(1 / 𝑦) / 𝑥⦌𝑅) = 𝑆)
65	64	mpteq2dva 5205	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ if((1 / 𝑦) = 0, 𝐶, ⦋(1 / 𝑦) / 𝑥⦌𝑅)) = (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆))
66	65	breq1d 5120	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ if((1 / 𝑦) = 0, 𝐶, ⦋(1 / 𝑦) / 𝑥⦌𝑅)) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ⇝𝑟 𝐶))
67		rlimcnp2.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (0[,)+∞))
68		rlimcnp2.0	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐴)
69		rlimcnp2.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
70	69	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 = 0) → 𝐶 ∈ ℂ)
71	67	sselda 3945	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ (0[,)+∞))
72		0re 11206	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℝ
73		pnfxr 11259	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
74		elico2 13433	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑤 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑤 ∧ 𝑤 < +∞)))
75	72, 73, 74	mp2an 704	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑤 ∧ 𝑤 < +∞))
76	71, 75	sylib 221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑤 ∧ 𝑤 < +∞))
77	76	simp1d 1158	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ ℝ)
78	77	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → 𝑤 ∈ ℝ)
79	76	simp2d 1159	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝑤)
80		leloe 11292	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑤 ↔ (0 < 𝑤 ∨ 0 = 𝑤)))
81	72, 77, 80	sylancr 598	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (0 ≤ 𝑤 ↔ (0 < 𝑤 ∨ 0 = 𝑤)))
82	79, 81	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (0 < 𝑤 ∨ 0 = 𝑤))
83	82	ord 877	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (¬ 0 < 𝑤 → 0 = 𝑤))
84		eqcom 2776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 = 𝑤 ↔ 𝑤 = 0)
85	83, 84	imbitrdi 254	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (¬ 0 < 𝑤 → 𝑤 = 0))
86	85	con1d 146	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑤 = 0 → 0 < 𝑤))
87	86	imp 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → 0 < 𝑤)
88	78, 87	elrpd 13053	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → 𝑤 ∈ ℝ+)
89		rpcnne0 13031	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ+ → (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0))
90		recrec 11908	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) → (1 / (1 / 𝑤)) = 𝑤)
91	89, 90	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ+ → (1 / (1 / 𝑤)) = 𝑤)
92	88, 91	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → (1 / (1 / 𝑤)) = 𝑤)
93	92	csbeq1d 3865	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → ⦋(1 / (1 / 𝑤)) / 𝑥⦌𝑅 = ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝑅)
94		oveq2 7416	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (1 / 𝑤) → (1 / 𝑦) = (1 / (1 / 𝑤)))
95	94	csbeq1d 3865	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (1 / 𝑤) → ⦋(1 / 𝑦) / 𝑥⦌𝑅 = ⦋(1 / (1 / 𝑤)) / 𝑥⦌𝑅)
96	95	eleq1d 2854	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (1 / 𝑤) → (⦋(1 / 𝑦) / 𝑥⦌𝑅 ∈ ℂ ↔ ⦋(1 / (1 / 𝑤)) / 𝑥⦌𝑅 ∈ ℂ))
97	63, 28	eqeltrd 2869	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) → ⦋(1 / 𝑦) / 𝑥⦌𝑅 ∈ ℂ)
98	97	ralrimiva 3163	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)⦋(1 / 𝑦) / 𝑥⦌𝑅 ∈ ℂ)
99	98	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → ∀𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)⦋(1 / 𝑦) / 𝑥⦌𝑅 ∈ ℂ)
100		simplr 780	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → 𝑤 ∈ 𝐴)
101		simpll 778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → 𝜑)
102		eleq1 2857	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (1 / 𝑤) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ (1 / 𝑤) ∈ 𝐵))
103	94	eleq1d 2854	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (1 / 𝑤) → ((1 / 𝑦) ∈ 𝐴 ↔ (1 / (1 / 𝑤)) ∈ 𝐴))
104	102, 103	bibi12d 348	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (1 / 𝑤) → ((𝑦 ∈ 𝐵 ↔ (1 / 𝑦) ∈ 𝐴) ↔ ((1 / 𝑤) ∈ 𝐵 ↔ (1 / (1 / 𝑤)) ∈ 𝐴)))
105		rlimcnp2.d	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ (1 / 𝑦) ∈ 𝐴))
106	105	ralrimiva 3163	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ+ (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ (1 / 𝑦) ∈ 𝐴))
107	106	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ (1 / 𝑦) ∈ 𝐴))
108		rpreccl 13040	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑤) ∈ ℝ+)
109	108	adantl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑤) ∈ ℝ+)
110	104, 107, 109	rspcdva 3591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ((1 / 𝑤) ∈ 𝐵 ↔ (1 / (1 / 𝑤)) ∈ 𝐴))
111	91	adantl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (1 / (1 / 𝑤)) = 𝑤)
112	111	eleq1d 2854	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ((1 / (1 / 𝑤)) ∈ 𝐴 ↔ 𝑤 ∈ 𝐴))
113	110, 112	bitr2d 283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑤 ∈ 𝐴 ↔ (1 / 𝑤) ∈ 𝐵))
114	101, 88, 113	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → (𝑤 ∈ 𝐴 ↔ (1 / 𝑤) ∈ 𝐵))
115	100, 114	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → (1 / 𝑤) ∈ 𝐵)
116	88	rpreccld 13066	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → (1 / 𝑤) ∈ ℝ+)
117	115, 116	elind 4161	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → (1 / 𝑤) ∈ (𝐵 ∩ ℝ+))
118	96, 99, 117	rspcdva 3591	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → ⦋(1 / (1 / 𝑤)) / 𝑥⦌𝑅 ∈ ℂ)
119	93, 118	eqeltrrd 2870	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝑅 ∈ ℂ)
120	70, 119	ifclda 4525	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → if(𝑤 = 0, 𝐶, ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝑅) ∈ ℂ)
121	109	biantrud 540	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ((1 / 𝑤) ∈ 𝐵 ↔ ((1 / 𝑤) ∈ 𝐵 ∧ (1 / 𝑤) ∈ ℝ+)))
122	113, 121	bitrd 282	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑤 ∈ 𝐴 ↔ ((1 / 𝑤) ∈ 𝐵 ∧ (1 / 𝑤) ∈ ℝ+)))
123		elin 3929	. . . . 5 ⊢ ((1 / 𝑤) ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↔ ((1 / 𝑤) ∈ 𝐵 ∧ (1 / 𝑤) ∈ ℝ+))
124	122, 123	bitr4di 292	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑤 ∈ 𝐴 ↔ (1 / 𝑤) ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)))
125		iftrue 4495	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 0 → if(𝑤 = 0, 𝐶, ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝑅) = 𝐶)
126		eqeq1 2773	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (1 / 𝑦) → (𝑤 = 0 ↔ (1 / 𝑦) = 0))
127		csbeq1 3864	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (1 / 𝑦) → ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝑅 = ⦋(1 / 𝑦) / 𝑥⦌𝑅)
128	126, 127	ifbieq2d 4516	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (1 / 𝑦) → if(𝑤 = 0, 𝐶, ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝑅) = if((1 / 𝑦) = 0, 𝐶, ⦋(1 / 𝑦) / 𝑥⦌𝑅))
129		rlimcnp2.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
130		rlimcnp2.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝐴)
131	67, 68, 48, 120, 124, 125, 128, 129, 130	rlimcnp 27092	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ if((1 / 𝑦) = 0, 𝐶, ⦋(1 / 𝑦) / 𝑥⦌𝑅)) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑤 = 0, 𝐶, ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝑅)) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘0)))
132		nfcv 2931	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑤if(𝑥 = 0, 𝐶, 𝑅)
133		nfv 1941	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑤 = 0
134		nfcv 2931	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
135		nfcsb1v 3885	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑤 / 𝑥⦌𝑅
136	133, 134, 135	nfif 4520	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥if(𝑤 = 0, 𝐶, ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝑅)
137		eqeq1 2773	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑤 = 0))
138		csbeq1a 3875	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → 𝑅 = ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝑅)
139	137, 138	ifbieq2d 4516	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → if(𝑥 = 0, 𝐶, 𝑅) = if(𝑤 = 0, 𝐶, ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝑅))
140	132, 136, 139	cbvmpt 5214	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑥 = 0, 𝐶, 𝑅)) = (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑤 = 0, 𝐶, ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝑅))
141	140	eleq1i 2860	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑥 = 0, 𝐶, 𝑅)) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘0) ↔ (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑤 = 0, 𝐶, ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝑅)) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘0))
142	131, 141	bitr4di 292	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ if((1 / 𝑦) = 0, 𝐶, ⦋(1 / 𝑦) / 𝑥⦌𝑅)) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑥 = 0, 𝐶, 𝑅)) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘0)))
143	46, 66, 142	3bitr2d 310	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑥 = 0, 𝐶, 𝑅)) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘0)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∀wral 3085  ⦋csb 3861   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913  ifcif 4489   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  dom cdm 5659   ↾ cres 5661  Rel wrel 5664   Fn wfn 6529  ⟶wf 6530  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408  ℂcc 11094  ℝcr 11095  0cc0 11096  1c1 11097  +∞cpnf 11236  ℝ^*cxr 11238   < clt 11239   ≤ cle 11240   / cdiv 11867  ℝ⁺crp 13012  (,)cioo 13368  [,)cico 13370   ⇝_𝑟 crli 15532   ↾_t crest 17469  TopOpenctopn 17470  ℂ_fldccnfld 21487   CnP ccnp 23347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-ioo 13372  df-ico 13374  df-fz 13532  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-rlim 15536  df-struct 17203  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-starv 17321  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-unif 17329  df-rest 17471  df-topn 17472  df-topgen 17492  df-psmet 21479  df-xmet 21480  df-met 21481  df-bl 21482  df-mopn 21483  df-cnfld 21488  df-top 23016  df-topon 23033  df-bases 23068  df-cnp 23350

This theorem is referenced by:  rlimcnp3  27094