Theorem rlimcnp2 25226

Description: Relate a limit of a real-valued sequence at infinity to the continuity of the function 𝑆(𝑦) = 𝑅(1 / 𝑦) at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimcnp2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (0[,)+∞))
rlimcnp2.0	⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐴)
rlimcnp2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
rlimcnp2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
rlimcnp2.r	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑆 ∈ ℂ)
rlimcnp2.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ (1 / 𝑦) ∈ 𝐴))
rlimcnp2.s	⊢ (𝑦 = (1 / 𝑥) → 𝑆 = 𝑅)
rlimcnp2.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
rlimcnp2.k	⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
rlimcnp2	⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑥 = 0, 𝐶, 𝑅)) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘0)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑦,𝑅   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑦)   𝐽(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem rlimcnp2

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss1 4127	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∩ (1[,)+∞)) ⊆ 𝐵
2		resmpt 5789	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∩ (1[,)+∞)) ⊆ 𝐵 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ↾ (𝐵 ∩ (1[,)+∞))) = (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ (1[,)+∞)) ↦ 𝑆))
3	1, 2	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ↾ (𝐵 ∩ (1[,)+∞))) = (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ (1[,)+∞)) ↦ 𝑆))
4		0xr 10537	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ*
5		0lt1 11012	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 1
6		df-ioo 12592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
7		df-ico 12594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
8		xrltletr 12400	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝑤) → 0 < 𝑤))
9	6, 7, 8	ixxss1 12606	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 0 < 1) → (1[,)+∞) ⊆ (0(,)+∞))
10	4, 5, 9	mp2an 688	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1[,)+∞) ⊆ (0(,)+∞)
11		ioorp 12664	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0(,)+∞) = ℝ+
12	10, 11	sseqtri 3926	. . . . . . . . 9 ⊢ (1[,)+∞) ⊆ ℝ+
13		sslin 4133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1[,)+∞) ⊆ ℝ+ → (𝐵 ∩ (1[,)+∞)) ⊆ (𝐵 ∩ ℝ+))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∩ (1[,)+∞)) ⊆ (𝐵 ∩ ℝ+)
15		resmpt 5789	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∩ (1[,)+∞)) ⊆ (𝐵 ∩ ℝ+) → ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ (𝐵 ∩ (1[,)+∞))) = (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ (1[,)+∞)) ↦ 𝑆))
16	14, 15	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ (𝐵 ∩ (1[,)+∞))) = (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ (1[,)+∞)) ↦ 𝑆))
17	3, 16	eqtr4d 2833	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ↾ (𝐵 ∩ (1[,)+∞))) = ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ (𝐵 ∩ (1[,)+∞))))
18		resres 5750	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ↾ 𝐵) ↾ (1[,)+∞)) = ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ↾ (𝐵 ∩ (1[,)+∞)))
19		resres 5750	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ 𝐵) ↾ (1[,)+∞)) = ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ (𝐵 ∩ (1[,)+∞)))
20	17, 18, 19	3eqtr4g 2855	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ↾ 𝐵) ↾ (1[,)+∞)) = (((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ 𝐵) ↾ (1[,)+∞)))
21		rlimcnp2.r	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑆 ∈ ℂ)
22	21	fmpttd 6745	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆):𝐵⟶ℂ)
23	22	ffnd 6386	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) Fn 𝐵)
24		fnresdm 6339	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) Fn 𝐵 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ↾ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆))
25	23, 24	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ↾ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆))
26	25	reseq1d 5736	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ↾ 𝐵) ↾ (1[,)+∞)) = ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ↾ (1[,)+∞)))
27		elinel1 4095	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) → 𝑦 ∈ 𝐵)
28	27, 21	sylan2 592	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) → 𝑆 ∈ ℂ)
29	28	fmpttd 6745	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆):(𝐵 ∩ ℝ+)⟶ℂ)
30		frel 6390	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆):(𝐵 ∩ ℝ+)⟶ℂ → Rel (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆))
31	29, 30	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Rel (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆))
32		eqid 2794	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) = (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆)
33	32, 28	dmmptd 6364	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) = (𝐵 ∩ ℝ+))
34		inss1 4127	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∩ ℝ+) ⊆ 𝐵
35	33, 34	syl6eqss 3944	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ⊆ 𝐵)
36		relssres 5777	. . . . . . 7 ⊢ ((Rel (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ∧ dom (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ⊆ 𝐵) → ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ 𝐵) = (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆))
37	31, 35, 36	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ 𝐵) = (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆))
38	37	reseq1d 5736	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ 𝐵) ↾ (1[,)+∞)) = ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ (1[,)+∞)))
39	20, 26, 38	3eqtr3d 2838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ↾ (1[,)+∞)) = ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ (1[,)+∞)))
40	39	breq1d 4974	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ↾ (1[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ (1[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐶))
41		rlimcnp2.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
42		1red 10491	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
43	22, 41, 42	rlimresb 14756	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ↾ (1[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐶))
44	34, 41	sstrid 3902	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∩ ℝ+) ⊆ ℝ)
45	29, 44, 42	rlimresb 14756	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ (1[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐶))
46	40, 43, 45	3bitr4d 312	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ⇝𝑟 𝐶))
47		inss2 4128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∩ ℝ+) ⊆ ℝ+
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∩ ℝ+) ⊆ ℝ+)
49	48	sselda 3891	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
50	49	rpreccld 12291	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ+)
51	50	rpne0d 12286	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) → (1 / 𝑦) ≠ 0)
52	51	neneqd 2988	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) → ¬ (1 / 𝑦) = 0)
53	52	iffalsed 4394	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) → if((1 / 𝑦) = 0, 𝐶, ⦋(1 / 𝑦) / 𝑥⦌𝑅) = ⦋(1 / 𝑦) / 𝑥⦌𝑅)
54		oveq2 7027	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (1 / 𝑦) → (1 / 𝑥) = (1 / (1 / 𝑦)))
55		rpcnne0 12257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0))
56		recrec 11187	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (1 / (1 / 𝑦)) = 𝑦)
57	49, 55, 56	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) → (1 / (1 / 𝑦)) = 𝑦)
58	54, 57	sylan9eqr 2852	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) ∧ 𝑥 = (1 / 𝑦)) → (1 / 𝑥) = 𝑦)
59	58	eqcomd 2800	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) ∧ 𝑥 = (1 / 𝑦)) → 𝑦 = (1 / 𝑥))
60		rlimcnp2.s	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (1 / 𝑥) → 𝑆 = 𝑅)
61	59, 60	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) ∧ 𝑥 = (1 / 𝑦)) → 𝑆 = 𝑅)
62	61	eqcomd 2800	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) ∧ 𝑥 = (1 / 𝑦)) → 𝑅 = 𝑆)
63	50, 62	csbied 3846	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) → ⦋(1 / 𝑦) / 𝑥⦌𝑅 = 𝑆)
64	53, 63	eqtrd 2830	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) → if((1 / 𝑦) = 0, 𝐶, ⦋(1 / 𝑦) / 𝑥⦌𝑅) = 𝑆)
65	64	mpteq2dva 5058	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ if((1 / 𝑦) = 0, 𝐶, ⦋(1 / 𝑦) / 𝑥⦌𝑅)) = (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆))
66	65	breq1d 4974	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ if((1 / 𝑦) = 0, 𝐶, ⦋(1 / 𝑦) / 𝑥⦌𝑅)) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ⇝𝑟 𝐶))
67		rlimcnp2.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (0[,)+∞))
68		rlimcnp2.0	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐴)
69		rlimcnp2.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
70	69	ad2antrr 722	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 = 0) → 𝐶 ∈ ℂ)
71	67	sselda 3891	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ (0[,)+∞))
72		0re 10492	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℝ
73		pnfxr 10544	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
74		elico2 12650	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑤 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑤 ∧ 𝑤 < +∞)))
75	72, 73, 74	mp2an 688	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑤 ∧ 𝑤 < +∞))
76	71, 75	sylib 219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑤 ∧ 𝑤 < +∞))
77	76	simp1d 1135	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ ℝ)
78	77	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → 𝑤 ∈ ℝ)
79	76	simp2d 1136	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝑤)
80		leloe 10576	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑤 ↔ (0 < 𝑤 ∨ 0 = 𝑤)))
81	72, 77, 80	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (0 ≤ 𝑤 ↔ (0 < 𝑤 ∨ 0 = 𝑤)))
82	79, 81	mpbid 233	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (0 < 𝑤 ∨ 0 = 𝑤))
83	82	ord 859	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (¬ 0 < 𝑤 → 0 = 𝑤))
84		eqcom 2801	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 = 𝑤 ↔ 𝑤 = 0)
85	83, 84	syl6ib 252	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (¬ 0 < 𝑤 → 𝑤 = 0))
86	85	con1d 147	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑤 = 0 → 0 < 𝑤))
87	86	imp 407	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → 0 < 𝑤)
88	78, 87	elrpd 12278	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → 𝑤 ∈ ℝ+)
89		rpcnne0 12257	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ+ → (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0))
90		recrec 11187	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) → (1 / (1 / 𝑤)) = 𝑤)
91	89, 90	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ+ → (1 / (1 / 𝑤)) = 𝑤)
92	88, 91	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → (1 / (1 / 𝑤)) = 𝑤)
93	92	csbeq1d 3817	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → ⦋(1 / (1 / 𝑤)) / 𝑥⦌𝑅 = ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝑅)
94		oveq2 7027	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (1 / 𝑤) → (1 / 𝑦) = (1 / (1 / 𝑤)))
95	94	csbeq1d 3817	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (1 / 𝑤) → ⦋(1 / 𝑦) / 𝑥⦌𝑅 = ⦋(1 / (1 / 𝑤)) / 𝑥⦌𝑅)
96	95	eleq1d 2866	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (1 / 𝑤) → (⦋(1 / 𝑦) / 𝑥⦌𝑅 ∈ ℂ ↔ ⦋(1 / (1 / 𝑤)) / 𝑥⦌𝑅 ∈ ℂ))
97	63, 28	eqeltrd 2882	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) → ⦋(1 / 𝑦) / 𝑥⦌𝑅 ∈ ℂ)
98	97	ralrimiva 3148	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)⦋(1 / 𝑦) / 𝑥⦌𝑅 ∈ ℂ)
99	98	ad2antrr 722	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → ∀𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)⦋(1 / 𝑦) / 𝑥⦌𝑅 ∈ ℂ)
100		simplr 765	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → 𝑤 ∈ 𝐴)
101		simpll 763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → 𝜑)
102		eleq1 2869	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (1 / 𝑤) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ (1 / 𝑤) ∈ 𝐵))
103	94	eleq1d 2866	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (1 / 𝑤) → ((1 / 𝑦) ∈ 𝐴 ↔ (1 / (1 / 𝑤)) ∈ 𝐴))
104	102, 103	bibi12d 347	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (1 / 𝑤) → ((𝑦 ∈ 𝐵 ↔ (1 / 𝑦) ∈ 𝐴) ↔ ((1 / 𝑤) ∈ 𝐵 ↔ (1 / (1 / 𝑤)) ∈ 𝐴)))
105		rlimcnp2.d	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ (1 / 𝑦) ∈ 𝐴))
106	105	ralrimiva 3148	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ+ (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ (1 / 𝑦) ∈ 𝐴))
107	106	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ (1 / 𝑦) ∈ 𝐴))
108		rpreccl 12265	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑤) ∈ ℝ+)
109	108	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑤) ∈ ℝ+)
110	104, 107, 109	rspcdva 3563	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ((1 / 𝑤) ∈ 𝐵 ↔ (1 / (1 / 𝑤)) ∈ 𝐴))
111	91	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (1 / (1 / 𝑤)) = 𝑤)
112	111	eleq1d 2866	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ((1 / (1 / 𝑤)) ∈ 𝐴 ↔ 𝑤 ∈ 𝐴))
113	110, 112	bitr2d 281	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑤 ∈ 𝐴 ↔ (1 / 𝑤) ∈ 𝐵))
114	101, 88, 113	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → (𝑤 ∈ 𝐴 ↔ (1 / 𝑤) ∈ 𝐵))
115	100, 114	mpbid 233	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → (1 / 𝑤) ∈ 𝐵)
116	88	rpreccld 12291	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → (1 / 𝑤) ∈ ℝ+)
117	115, 116	elind 4094	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → (1 / 𝑤) ∈ (𝐵 ∩ ℝ+))
118	96, 99, 117	rspcdva 3563	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → ⦋(1 / (1 / 𝑤)) / 𝑥⦌𝑅 ∈ ℂ)
119	93, 118	eqeltrrd 2883	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝑅 ∈ ℂ)
120	70, 119	ifclda 4417	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → if(𝑤 = 0, 𝐶, ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝑅) ∈ ℂ)
121	109	biantrud 532	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ((1 / 𝑤) ∈ 𝐵 ↔ ((1 / 𝑤) ∈ 𝐵 ∧ (1 / 𝑤) ∈ ℝ+)))
122	113, 121	bitrd 280	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑤 ∈ 𝐴 ↔ ((1 / 𝑤) ∈ 𝐵 ∧ (1 / 𝑤) ∈ ℝ+)))
123		elin 4092	. . . . 5 ⊢ ((1 / 𝑤) ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↔ ((1 / 𝑤) ∈ 𝐵 ∧ (1 / 𝑤) ∈ ℝ+))
124	122, 123	syl6bbr 290	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑤 ∈ 𝐴 ↔ (1 / 𝑤) ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)))
125		iftrue 4389	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 0 → if(𝑤 = 0, 𝐶, ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝑅) = 𝐶)
126		eqeq1 2798	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (1 / 𝑦) → (𝑤 = 0 ↔ (1 / 𝑦) = 0))
127		csbeq1 3816	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (1 / 𝑦) → ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝑅 = ⦋(1 / 𝑦) / 𝑥⦌𝑅)
128	126, 127	ifbieq2d 4408	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (1 / 𝑦) → if(𝑤 = 0, 𝐶, ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝑅) = if((1 / 𝑦) = 0, 𝐶, ⦋(1 / 𝑦) / 𝑥⦌𝑅))
129		rlimcnp2.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
130		rlimcnp2.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝐴)
131	67, 68, 48, 120, 124, 125, 128, 129, 130	rlimcnp 25225	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ if((1 / 𝑦) = 0, 𝐶, ⦋(1 / 𝑦) / 𝑥⦌𝑅)) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑤 = 0, 𝐶, ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝑅)) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘0)))
132		nfcv 2948	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑤if(𝑥 = 0, 𝐶, 𝑅)
133		nfv 1893	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑤 = 0
134		nfcv 2948	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
135		nfcsb1v 3835	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑤 / 𝑥⦌𝑅
136	133, 134, 135	nfif 4412	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥if(𝑤 = 0, 𝐶, ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝑅)
137		eqeq1 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑤 = 0))
138		csbeq1a 3826	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → 𝑅 = ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝑅)
139	137, 138	ifbieq2d 4408	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → if(𝑥 = 0, 𝐶, 𝑅) = if(𝑤 = 0, 𝐶, ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝑅))
140	132, 136, 139	cbvmpt 5063	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑥 = 0, 𝐶, 𝑅)) = (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑤 = 0, 𝐶, ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝑅))
141	140	eleq1i 2872	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑥 = 0, 𝐶, 𝑅)) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘0) ↔ (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑤 = 0, 𝐶, ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝑅)) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘0))
142	131, 141	syl6bbr 290	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ if((1 / 𝑦) = 0, 𝐶, ⦋(1 / 𝑦) / 𝑥⦌𝑅)) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑥 = 0, 𝐶, 𝑅)) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘0)))
143	46, 66, 142	3bitr2d 308	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑥 = 0, 𝐶, 𝑅)) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘0)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 842   ∧ w3a 1080   = wceq 1522   ∈ wcel 2080   ≠ wne 2983  ∀wral 3104  ⦋csb 3813   ∩ cin 3860   ⊆ wss 3861  ifcif 4383   class class class wbr 4964   ↦ cmpt 5043  dom cdm 5446   ↾ cres 5448  Rel wrel 5451   Fn wfn 6223  ⟶wf 6224  ‘cfv 6228  (class class class)co 7019  ℂcc 10384  ℝcr 10385  0cc0 10386  1c1 10387  +∞cpnf 10521  ℝ^*cxr 10523   < clt 10524   ≤ cle 10525   / cdiv 11147  ℝ⁺crp 12239  (,)cioo 12588  [,)cico 12590   ⇝_𝑟 crli 14676   ↾_t crest 16523  TopOpenctopn 16524  ℂ_fldccnfld 20227   CnP ccnp 21517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1778  ax-4 1792  ax-5 1889  ax-6 1948  ax-7 1993  ax-8 2082  ax-9 2090  ax-10 2111  ax-11 2125  ax-12 2140  ax-13 2343  ax-ext 2768  ax-rep 5084  ax-sep 5097  ax-nul 5104  ax-pow 5160  ax-pr 5224  ax-un 7322  ax-cnex 10442  ax-resscn 10443  ax-1cn 10444  ax-icn 10445  ax-addcl 10446  ax-addrcl 10447  ax-mulcl 10448  ax-mulrcl 10449  ax-mulcom 10450  ax-addass 10451  ax-mulass 10452  ax-distr 10453  ax-i2m1 10454  ax-1ne0 10455  ax-1rid 10456  ax-rnegex 10457  ax-rrecex 10458  ax-cnre 10459  ax-pre-lttri 10460  ax-pre-lttrn 10461  ax-pre-ltadd 10462  ax-pre-mulgt0 10463  ax-pre-sup 10464

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1763  df-nf 1767  df-sb 2042  df-mo 2575  df-eu 2611  df-clab 2775  df-cleq 2787  df-clel 2862  df-nfc 2934  df-ne 2984  df-nel 3090  df-ral 3109  df-rex 3110  df-reu 3111  df-rmo 3112  df-rab 3113  df-v 3438  df-sbc 3708  df-csb 3814  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4214  df-if 4384  df-pw 4457  df-sn 4475  df-pr 4477  df-tp 4479  df-op 4481  df-uni 4748  df-int 4785  df-iun 4829  df-br 4965  df-opab 5027  df-mpt 5044  df-tr 5067  df-id 5351  df-eprel 5356  df-po 5365  df-so 5366  df-fr 5405  df-we 5407  df-xp 5452  df-rel 5453  df-cnv 5454  df-co 5455  df-dm 5456  df-rn 5457  df-res 5458  df-ima 5459  df-pred 6026  df-ord 6072  df-on 6073  df-lim 6074  df-suc 6075  df-iota 6192  df-fun 6230  df-fn 6231  df-f 6232  df-f1 6233  df-fo 6234  df-f1o 6235  df-fv 6236  df-riota 6980  df-ov 7022  df-oprab 7023  df-mpo 7024  df-om 7440  df-1st 7548  df-2nd 7549  df-wrecs 7801  df-recs 7863  df-rdg 7901  df-1o 7956  df-oadd 7960  df-er 8142  df-map 8261  df-pm 8262  df-en 8361  df-dom 8362  df-sdom 8363  df-fin 8364  df-sup 8755  df-inf 8756  df-pnf 10526  df-mnf 10527  df-xr 10528  df-ltxr 10529  df-le 10530  df-sub 10721  df-neg 10722  df-div 11148  df-nn 11489  df-2 11550  df-3 11551  df-4 11552  df-5 11553  df-6 11554  df-7 11555  df-8 11556  df-9 11557  df-n0 11748  df-z 11832  df-dec 11949  df-uz 12094  df-q 12198  df-rp 12240  df-xneg 12357  df-xadd 12358  df-xmul 12359  df-ioo 12592  df-ico 12594  df-fz 12743  df-seq 13220  df-exp 13280  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-rlim 14680  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-starv 16409  df-tset 16413  df-ple 16414  df-ds 16416  df-unif 16417  df-rest 16525  df-topn 16526  df-topgen 16546  df-psmet 20219  df-xmet 20220  df-met 20221  df-bl 20222  df-mopn 20223  df-cnfld 20228  df-top 21186  df-topon 21203  df-bases 21238  df-cnp 21520

This theorem is referenced by:  rlimcnp3  25227