Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tanord1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tanord1 25108
 Description: The tangent function is strictly increasing on the nonnegative part of its principal domain. (Lemma for tanord 25109.) (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.) Revised to replace an OLD theorem. (Revised by Wolf Lammen, 20-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
tanord1 ((𝐴 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝐵 ∈ (0[,)(π / 2))) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (tan‘𝐴) < (tan‘𝐵)))

Proof of Theorem tanord1
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tru 1541 . 2
2 fveq2 6646 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (tan‘𝑥) = (tan‘𝑦))
3 fveq2 6646 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (tan‘𝑥) = (tan‘𝐴))
4 fveq2 6646 . . 3 (𝑥 = 𝐵 → (tan‘𝑥) = (tan‘𝐵))
5 0re 10621 . . . 4 0 ∈ ℝ
6 halfpire 25036 . . . . 5 (π / 2) ∈ ℝ
76rexri 10677 . . . 4 (π / 2) ∈ ℝ*
8 icossre 12797 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → (0[,)(π / 2)) ⊆ ℝ)
95, 7, 8mp2an 690 . . 3 (0[,)(π / 2)) ⊆ ℝ
109sseli 3942 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑥 ∈ ℝ)
11 neghalfpirx 25038 . . . . . . . . 9 -(π / 2) ∈ ℝ*
12 pire 25030 . . . . . . . . . . 11 π ∈ ℝ
13 2re 11690 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
14 pipos 25032 . . . . . . . . . . 11 0 < π
15 2pos 11719 . . . . . . . . . . 11 0 < 2
1612, 13, 14, 15divgt0ii 11535 . . . . . . . . . 10 0 < (π / 2)
17 lt0neg2 11125 . . . . . . . . . . 11 ((π / 2) ∈ ℝ → (0 < (π / 2) ↔ -(π / 2) < 0))
186, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (0 < (π / 2) ↔ -(π / 2) < 0)
1916, 18mpbi 232 . . . . . . . . 9 -(π / 2) < 0
20 df-ioo 12721 . . . . . . . . . 10 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
21 df-ico 12723 . . . . . . . . . 10 [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
22 xrltletr 12529 . . . . . . . . . 10 ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((-(π / 2) < 0 ∧ 0 ≤ 𝑤) → -(π / 2) < 𝑤))
2320, 21, 22ixxss1 12735 . . . . . . . . 9 ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ -(π / 2) < 0) → (0[,)(π / 2)) ⊆ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
2411, 19, 23mp2an 690 . . . . . . . 8 (0[,)(π / 2)) ⊆ (-(π / 2)(,)(π / 2))
2524sseli 3942 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑥 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
26 cosq14gt0 25082 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 0 < (cos‘𝑥))
2725, 26syl 17 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → 0 < (cos‘𝑥))
2827gt0ne0d 11182 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → (cos‘𝑥) ≠ 0)
2910, 28retancld 15478 . . . 4 (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → (tan‘𝑥) ∈ ℝ)
3029adantl 484 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0[,)(π / 2))) → (tan‘𝑥) ∈ ℝ)
3110resincld 15476 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → (sin‘𝑥) ∈ ℝ)
3210recoscld 15477 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → (cos‘𝑥) ∈ ℝ)
3331, 32, 28redivcld 11446 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)) ∈ ℝ)
34333ad2ant1 1129 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)) ∈ ℝ)
359sseli 3942 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑦 ∈ ℝ)
36353ad2ant2 1130 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
3736resincld 15476 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (sin‘𝑦) ∈ ℝ)
38323ad2ant1 1129 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (cos‘𝑥) ∈ ℝ)
39283ad2ant1 1129 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (cos‘𝑥) ≠ 0)
4037, 38, 39redivcld 11446 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑥)) ∈ ℝ)
4136recoscld 15477 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (cos‘𝑦) ∈ ℝ)
4224sseli 3942 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑦 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
43 cosq14gt0 25082 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 0 < (cos‘𝑦))
4442, 43syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) → 0 < (cos‘𝑦))
4544gt0ne0d 11182 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) → (cos‘𝑦) ≠ 0)
46453ad2ant2 1130 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (cos‘𝑦) ≠ 0)
4737, 41, 46redivcld 11446 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑦)) ∈ ℝ)
48 ioossicc 12802 . . . . . . . . . . . 12 (-(π / 2)(,)(π / 2)) ⊆ (-(π / 2)[,](π / 2))
4924, 48sstri 3955 . . . . . . . . . . 11 (0[,)(π / 2)) ⊆ (-(π / 2)[,](π / 2))
5049sseli 3942 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)))
5149sseli 3942 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑦 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)))
52 sinord 25105 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2))) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (sin‘𝑥) < (sin‘𝑦)))
5350, 51, 52syl2an 597 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2))) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (sin‘𝑥) < (sin‘𝑦)))
5453biimp3a 1465 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (sin‘𝑥) < (sin‘𝑦))
55103ad2ant1 1129 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ)
5655resincld 15476 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (sin‘𝑥) ∈ ℝ)
57273ad2ant1 1129 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 < (cos‘𝑥))
58 ltdiv1 11482 . . . . . . . . 9 (((sin‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (sin‘𝑦) ∈ ℝ ∧ ((cos‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (cos‘𝑥))) → ((sin‘𝑥) < (sin‘𝑦) ↔ ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)) < ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑥))))
5956, 37, 38, 57, 58syl112anc 1370 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((sin‘𝑥) < (sin‘𝑦) ↔ ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)) < ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑥))))
6054, 59mpbid 234 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)) < ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑥)))
6112rexri 10677 . . . . . . . . . . . 12 π ∈ ℝ*
62 pirp 25033 . . . . . . . . . . . . 13 π ∈ ℝ+
63 rphalflt 12397 . . . . . . . . . . . . 13 (π ∈ ℝ+ → (π / 2) < π)
6462, 63ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (π / 2) < π
65 df-icc 12724 . . . . . . . . . . . . 13 [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)})
66 xrlttr 12512 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → ((𝑤 < (π / 2) ∧ (π / 2) < π) → 𝑤 < π))
67 xrltle 12521 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (𝑤 < π → 𝑤 ≤ π))
68673adant2 1127 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (𝑤 < π → 𝑤 ≤ π))
6966, 68syld 47 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → ((𝑤 < (π / 2) ∧ (π / 2) < π) → 𝑤 ≤ π))
7065, 21, 69ixxss2 12736 . . . . . . . . . . . 12 ((π ∈ ℝ* ∧ (π / 2) < π) → (0[,)(π / 2)) ⊆ (0[,]π))
7161, 64, 70mp2an 690 . . . . . . . . . . 11 (0[,)(π / 2)) ⊆ (0[,]π)
7271sseli 3942 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑥 ∈ (0[,]π))
7371sseli 3942 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑦 ∈ (0[,]π))
74 cosord 25102 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (cos‘𝑦) < (cos‘𝑥)))
7572, 73, 74syl2an 597 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2))) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (cos‘𝑦) < (cos‘𝑥)))
7675biimp3a 1465 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (cos‘𝑦) < (cos‘𝑥))
77 0red 10622 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 ∈ ℝ)
78 simp1 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)))
79 elico2 12780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥 < (π / 2))))
805, 7, 79mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥 < (π / 2)))
8178, 80sylib 220 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥 < (π / 2)))
8281simp2d 1139 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 ≤ 𝑥)
83 simp3 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 < 𝑦)
8477, 55, 36, 82, 83lelttrd 10776 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 < 𝑦)
85 simp2 1133 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)))
86 elico2 12780 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦𝑦 < (π / 2))))
875, 7, 86mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦𝑦 < (π / 2)))
8885, 87sylib 220 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦𝑦 < (π / 2)))
8988simp3d 1140 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 < (π / 2))
90 0xr 10666 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ*
91 elioo2 12758 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑦𝑦 < (π / 2))))
9290, 7, 91mp2an 690 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑦𝑦 < (π / 2)))
9336, 84, 89, 92syl3anbrc 1339 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ (0(,)(π / 2)))
94 sincosq1sgn 25070 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < (sin‘𝑦) ∧ 0 < (cos‘𝑦)))
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (0 < (sin‘𝑦) ∧ 0 < (cos‘𝑦)))
9695simprd 498 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 < (cos‘𝑦))
9795simpld 497 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 < (sin‘𝑦))
98 ltdiv2 11504 . . . . . . . . 9 ((((cos‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 < (cos‘𝑦)) ∧ ((cos‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (cos‘𝑥)) ∧ ((sin‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 < (sin‘𝑦))) → ((cos‘𝑦) < (cos‘𝑥) ↔ ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑥)) < ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑦))))
9941, 96, 38, 57, 37, 97, 98syl222anc 1382 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((cos‘𝑦) < (cos‘𝑥) ↔ ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑥)) < ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑦))))
10076, 99mpbid 234 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑥)) < ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑦)))
10134, 40, 47, 60, 100lttrd 10779 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)) < ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑦)))
10210recnd 10647 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑥 ∈ ℂ)
103 tanval 15461 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝑥) ≠ 0) → (tan‘𝑥) = ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)))
104102, 28, 103syl2anc 586 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → (tan‘𝑥) = ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)))
1051043ad2ant1 1129 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (tan‘𝑥) = ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)))
10635recnd 10647 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑦 ∈ ℂ)
1071063ad2ant2 1130 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℂ)
108 tanval 15461 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝑦) ≠ 0) → (tan‘𝑦) = ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑦)))
109107, 46, 108syl2anc 586 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (tan‘𝑦) = ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑦)))
110101, 105, 1093brtr4d 5074 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (tan‘𝑥) < (tan‘𝑦))
1111103expia 1117 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2))) → (𝑥 < 𝑦 → (tan‘𝑥) < (tan‘𝑦)))
112111adantl 484 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)))) → (𝑥 < 𝑦 → (tan‘𝑥) < (tan‘𝑦)))
1132, 3, 4, 9, 30, 112ltord1 11144 . 2 ((⊤ ∧ (𝐴 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝐵 ∈ (0[,)(π / 2)))) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (tan‘𝐴) < (tan‘𝐵)))
1141, 113mpan 688 1 ((𝐴 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝐵 ∈ (0[,)(π / 2))) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (tan‘𝐴) < (tan‘𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537  ⊤wtru 1538   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3006   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5042  ‘cfv 6331  (class class class)co 7133  ℂcc 10513  ℝcr 10514  0cc0 10515  ℝ*cxr 10652   < clt 10653   ≤ cle 10654  -cneg 10849   / cdiv 11275  2c2 11671  ℝ+crp 12368  (,)cioo 12717  [,)cico 12719  [,]cicc 12720  sincsin 15397  cosccos 15398  tanctan 15399  πcpi 15400 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-inf2 9082  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592  ax-pre-sup 10593  ax-addf 10594  ax-mulf 10595 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-iin 4898  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-se 5491  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-isom 6340  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-of 7387  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-supp 7809  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-2o 8081  df-oadd 8084  df-er 8267  df-map 8386  df-pm 8387  df-ixp 8440  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-fsupp 8812  df-fi 8853  df-sup 8884  df-inf 8885  df-oi 8952  df-card 9346  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-div 11276  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-4 11681  df-5 11682  df-6 11683  df-7 11684  df-8 11685  df-9 11686  df-n0 11877  df-z 11961  df-dec 12078  df-uz 12223  df-q 12328  df-rp 12369  df-xneg 12486  df-xadd 12487  df-xmul 12488  df-ioo 12721  df-ioc 12722  df-ico 12723  df-icc 12724  df-fz 12877  df-fzo 13018  df-fl 13146  df-seq 13354  df-exp 13415  df-fac 13619  df-bc 13648  df-hash 13676  df-shft 14406  df-cj 14438  df-re 14439  df-im 14440  df-sqrt 14574  df-abs 14575  df-limsup 14808  df-clim 14825  df-rlim 14826  df-sum 15023  df-ef 15401  df-sin 15403  df-cos 15404  df-tan 15405  df-pi 15406  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-starv 16559  df-sca 16560  df-vsca 16561  df-ip 16562  df-tset 16563  df-ple 16564  df-ds 16566  df-unif 16567  df-hom 16568  df-cco 16569  df-rest 16675  df-topn 16676  df-0g 16694  df-gsum 16695  df-topgen 16696  df-pt 16697  df-prds 16700  df-xrs 16754  df-qtop 16759  df-imas 16760  df-xps 16762  df-mre 16836  df-mrc 16837  df-acs 16839  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-submnd 17936  df-mulg 18204  df-cntz 18426  df-cmn 18887  df-psmet 20513  df-xmet 20514  df-met 20515  df-bl 20516  df-mopn 20517  df-fbas 20518  df-fg 20519  df-cnfld 20522  df-top 21478  df-topon 21495  df-topsp 21517  df-bases 21530  df-cld 21603  df-ntr 21604  df-cls 21605  df-nei 21682  df-lp 21720  df-perf 21721  df-cn 21811  df-cnp 21812  df-haus 21899  df-tx 22146  df-hmeo 22339  df-fil 22430  df-fm 22522  df-flim 22523  df-flf 22524  df-xms 22906  df-ms 22907  df-tms 22908  df-cncf 23462  df-limc 24448  df-dv 24449 This theorem is referenced by:  tanord  25109
 Copyright terms: Public domain W3C validator