Theorem tanord1 26702

Description: The tangent function is strictly increasing on the nonnegative part of its principal domain. (Lemma for tanord 26703.) (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.) Revised to replace an OLD theorem. (Revised by Wolf Lammen, 20-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
tanord1	⊢ ((𝐴 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝐵 ∈ (0[,)(π / 2))) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (tan‘𝐴) < (tan‘𝐵)))

Proof of Theorem tanord1

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tru 1574	. 2 ⊢ ⊤
2		fveq2 6881	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (tan‘𝑥) = (tan‘𝑦))
3		fveq2 6881	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (tan‘𝑥) = (tan‘𝐴))
4		fveq2 6881	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (tan‘𝑥) = (tan‘𝐵))
5		0re 11205	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
6		halfpire 26629	. . . . 5 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
7	6	rexri 11262	. . . 4 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ*
8		icossre 13450	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → (0[,)(π / 2)) ⊆ ℝ)
9	5, 7, 8	mp2an 704	. . 3 ⊢ (0[,)(π / 2)) ⊆ ℝ
10	9	sseli 3933	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑥 ∈ ℝ)
11		neghalfpirx 26631	. . . . . . . . 9 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ*
12		pire 26619	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℝ
13		2re 12310	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
14		pipos 26623	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < π
15		2pos 12340	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 2
16	12, 13, 14, 15	divgt0ii 12127	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < (π / 2)
17		lt0neg2 11716	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ → (0 < (π / 2) ↔ -(π / 2) < 0))
18	6, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 < (π / 2) ↔ -(π / 2) < 0)
19	16, 18	mpbi 233	. . . . . . . . 9 ⊢ -(π / 2) < 0
20		df-ioo 13371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
21		df-ico 13373	. . . . . . . . . 10 ⊢ [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
22		xrltletr 13177	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → ((-(π / 2) < 0 ∧ 0 ≤ 𝑤) → -(π / 2) < 𝑤))
23	20, 21, 22	ixxss1 13385	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ -(π / 2) < 0) → (0[,)(π / 2)) ⊆ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
24	11, 19, 23	mp2an 704	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,)(π / 2)) ⊆ (-(π / 2)(,)(π / 2))
25	24	sseli 3933	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑥 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
26		cosq14gt0 26675	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 0 < (cos‘𝑥))
27	25, 26	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → 0 < (cos‘𝑥))
28	27	gt0ne0d 11773	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → (cos‘𝑥) ≠ 0)
29	10, 28	retancld 16196	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → (tan‘𝑥) ∈ ℝ)
30	29	adantl 486	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0[,)(π / 2))) → (tan‘𝑥) ∈ ℝ)
31	10	resincld 16194	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → (sin‘𝑥) ∈ ℝ)
32	10	recoscld 16195	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → (cos‘𝑥) ∈ ℝ)
33	31, 32, 28	redivcld 12038	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)) ∈ ℝ)
34	33	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)) ∈ ℝ)
35	9	sseli 3933	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑦 ∈ ℝ)
36	35	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
37	36	resincld 16194	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (sin‘𝑦) ∈ ℝ)
38	32	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (cos‘𝑥) ∈ ℝ)
39	28	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (cos‘𝑥) ≠ 0)
40	37, 38, 39	redivcld 12038	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑥)) ∈ ℝ)
41	36	recoscld 16195	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (cos‘𝑦) ∈ ℝ)
42	24	sseli 3933	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑦 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
43		cosq14gt0 26675	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 0 < (cos‘𝑦))
44	42, 43	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) → 0 < (cos‘𝑦))
45	44	gt0ne0d 11773	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) → (cos‘𝑦) ≠ 0)
46	45	3ad2ant2 1152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (cos‘𝑦) ≠ 0)
47	37, 41, 46	redivcld 12038	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑦)) ∈ ℝ)
48		ioossicc 13455	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ⊆ (-(π / 2)[,](π / 2))
49	24, 48	sstri 3946	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0[,)(π / 2)) ⊆ (-(π / 2)[,](π / 2))
50	49	sseli 3933	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)))
51	49	sseli 3933	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑦 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)))
52		sinord 26699	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2))) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (sin‘𝑥) < (sin‘𝑦)))
53	50, 51, 52	syl2an 607	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2))) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (sin‘𝑥) < (sin‘𝑦)))
54	53	biimp3a 1498	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (sin‘𝑥) < (sin‘𝑦))
55	10	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ)
56	55	resincld 16194	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (sin‘𝑥) ∈ ℝ)
57	27	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 < (cos‘𝑥))
58		ltdiv1 12074	. . . . . . . . 9 ⊢ (((sin‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (sin‘𝑦) ∈ ℝ ∧ ((cos‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (cos‘𝑥))) → ((sin‘𝑥) < (sin‘𝑦) ↔ ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)) < ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑥))))
59	56, 37, 38, 57, 58	syl112anc 1401	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((sin‘𝑥) < (sin‘𝑦) ↔ ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)) < ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑥))))
60	54, 59	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)) < ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑥)))
61	12	rexri 11262	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ π ∈ ℝ*
62		pirp 26626	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ∈ ℝ+
63		rphalflt 13042	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (π ∈ ℝ+ → (π / 2) < π)
64	62, 63	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (π / 2) < π
65		df-icc 13374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
66		xrlttr 13160	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → ((𝑤 < (π / 2) ∧ (π / 2) < π) → 𝑤 < π))
67		xrltle 13169	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (𝑤 < π → 𝑤 ≤ π))
68	67	3adant2 1149	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (𝑤 < π → 𝑤 ≤ π))
69	66, 68	syld 48	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → ((𝑤 < (π / 2) ∧ (π / 2) < π) → 𝑤 ≤ π))
70	65, 21, 69	ixxss2 13386	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((π ∈ ℝ* ∧ (π / 2) < π) → (0[,)(π / 2)) ⊆ (0[,]π))
71	61, 64, 70	mp2an 704	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0[,)(π / 2)) ⊆ (0[,]π)
72	71	sseli 3933	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑥 ∈ (0[,]π))
73	71	sseli 3933	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑦 ∈ (0[,]π))
74		cosord 26696	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (cos‘𝑦) < (cos‘𝑥)))
75	72, 73, 74	syl2an 607	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2))) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (cos‘𝑦) < (cos‘𝑥)))
76	75	biimp3a 1498	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (cos‘𝑦) < (cos‘𝑥))
77		0red 11206	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 ∈ ℝ)
78		simp1 1154	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)))
79		elico2 13432	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (π / 2))))
80	5, 7, 79	mp2an 704	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (π / 2)))
81	78, 80	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (π / 2)))
82	81	simp2d 1161	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 ≤ 𝑥)
83		simp3 1156	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 < 𝑦)
84	77, 55, 36, 82, 83	lelttrd 11363	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 < 𝑦)
85		simp2 1155	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)))
86		elico2 13432	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (π / 2))))
87	5, 7, 86	mp2an 704	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (π / 2)))
88	85, 87	sylib 221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (π / 2)))
89	88	simp3d 1162	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 < (π / 2))
90		0xr 11251	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℝ*
91		elioo2 13408	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < (π / 2))))
92	90, 7, 91	mp2an 704	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < (π / 2)))
93	36, 84, 89, 92	syl3anbrc 1362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ (0(,)(π / 2)))
94		sincosq1sgn 26663	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < (sin‘𝑦) ∧ 0 < (cos‘𝑦)))
95	93, 94	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (0 < (sin‘𝑦) ∧ 0 < (cos‘𝑦)))
96	95	simprd 500	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 < (cos‘𝑦))
97	95	simpld 499	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 < (sin‘𝑦))
98		ltdiv2 12096	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((cos‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 < (cos‘𝑦)) ∧ ((cos‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (cos‘𝑥)) ∧ ((sin‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 < (sin‘𝑦))) → ((cos‘𝑦) < (cos‘𝑥) ↔ ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑥)) < ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑦))))
99	41, 96, 38, 57, 37, 97, 98	syl222anc 1413	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((cos‘𝑦) < (cos‘𝑥) ↔ ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑥)) < ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑦))))
100	76, 99	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑥)) < ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑦)))
101	34, 40, 47, 60, 100	lttrd 11366	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)) < ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑦)))
102	10	recnd 11232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑥 ∈ ℂ)
103		tanval 16179	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝑥) ≠ 0) → (tan‘𝑥) = ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)))
104	102, 28, 103	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → (tan‘𝑥) = ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)))
105	104	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (tan‘𝑥) = ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)))
106	35	recnd 11232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑦 ∈ ℂ)
107	106	3ad2ant2 1152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℂ)
108		tanval 16179	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝑦) ≠ 0) → (tan‘𝑦) = ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑦)))
109	107, 46, 108	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (tan‘𝑦) = ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑦)))
110	101, 105, 109	3brtr4d 5143	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (tan‘𝑥) < (tan‘𝑦))
111	110	3expia 1139	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2))) → (𝑥 < 𝑦 → (tan‘𝑥) < (tan‘𝑦)))
112	111	adantl 486	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)))) → (𝑥 < 𝑦 → (tan‘𝑥) < (tan‘𝑦)))
113	2, 3, 4, 9, 30, 112	ltord1 11735	. 2 ⊢ ((⊤ ∧ (𝐴 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝐵 ∈ (0[,)(π / 2)))) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (tan‘𝐴) < (tan‘𝐵)))
114	1, 113	mpan 702	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝐵 ∈ (0[,)(π / 2))) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (tan‘𝐴) < (tan‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11093  ℝcr 11094  0cc0 11095  ℝ^*cxr 11237   < clt 11238   ≤ cle 11239  -cneg 11437   / cdiv 11866  2c2 12290  ℝ⁺crp 13011  (,)cioo 13367  [,)cico 13369  [,]cicc 13370  sincsin 16112  cosccos 16113  tanctan 16114  πcpi 16115

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173  ax-addf 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-q 12968  df-rp 13012  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13371  df-ioc 13372  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-seq 14034  df-exp 14094  df-fac 14306  df-bc 14335  df-hash 14363  df-shft 15100  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-limsup 15518  df-clim 15535  df-rlim 15536  df-sum 15734  df-ef 16116  df-sin 16118  df-cos 16119  df-tan 16120  df-pi 16121  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-starv 17320  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-unif 17328  df-hom 17329  df-cco 17330  df-rest 17470  df-topn 17471  df-0g 17489  df-gsum 17490  df-topgen 17491  df-pt 17492  df-prds 17495  df-xrs 17551  df-qtop 17556  df-imas 17557  df-xps 17559  df-mre 17633  df-mrc 17634  df-acs 17636  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-submnd 18837  df-mulg 19129  df-cntz 19382  df-cmn 19847  df-psmet 21514  df-xmet 21515  df-met 21516  df-bl 21517  df-mopn 21518  df-fbas 21519  df-fg 21520  df-cnfld 21523  df-top 23051  df-topon 23068  df-topsp 23090  df-bases 23103  df-cld 23176  df-ntr 23177  df-cls 23178  df-nei 23255  df-lp 23293  df-perf 23294  df-cn 23384  df-cnp 23385  df-haus 23472  df-tx 23719  df-hmeo 23912  df-fil 24003  df-fm 24095  df-flim 24096  df-flf 24097  df-xms 24477  df-ms 24478  df-tms 24479  df-cncf 25037  df-limc 26025  df-dv 26026

This theorem is referenced by:  tanord  26703