MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tanord1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tanord1 25893
Description: The tangent function is strictly increasing on the nonnegative part of its principal domain. (Lemma for tanord 25894.) (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.) Revised to replace an OLD theorem. (Revised by Wolf Lammen, 20-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
tanord1 ((𝐴 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝐵 ∈ (0[,)(π / 2))) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (tan‘𝐴) < (tan‘𝐵)))

Proof of Theorem tanord1
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tru 1545 . 2
2 fveq2 6842 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (tan‘𝑥) = (tan‘𝑦))
3 fveq2 6842 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (tan‘𝑥) = (tan‘𝐴))
4 fveq2 6842 . . 3 (𝑥 = 𝐵 → (tan‘𝑥) = (tan‘𝐵))
5 0re 11157 . . . 4 0 ∈ ℝ
6 halfpire 25821 . . . . 5 (π / 2) ∈ ℝ
76rexri 11213 . . . 4 (π / 2) ∈ ℝ*
8 icossre 13345 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → (0[,)(π / 2)) ⊆ ℝ)
95, 7, 8mp2an 690 . . 3 (0[,)(π / 2)) ⊆ ℝ
109sseli 3940 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑥 ∈ ℝ)
11 neghalfpirx 25823 . . . . . . . . 9 -(π / 2) ∈ ℝ*
12 pire 25815 . . . . . . . . . . 11 π ∈ ℝ
13 2re 12227 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
14 pipos 25817 . . . . . . . . . . 11 0 < π
15 2pos 12256 . . . . . . . . . . 11 0 < 2
1612, 13, 14, 15divgt0ii 12072 . . . . . . . . . 10 0 < (π / 2)
17 lt0neg2 11662 . . . . . . . . . . 11 ((π / 2) ∈ ℝ → (0 < (π / 2) ↔ -(π / 2) < 0))
186, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (0 < (π / 2) ↔ -(π / 2) < 0)
1916, 18mpbi 229 . . . . . . . . 9 -(π / 2) < 0
20 df-ioo 13268 . . . . . . . . . 10 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
21 df-ico 13270 . . . . . . . . . 10 [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
22 xrltletr 13076 . . . . . . . . . 10 ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((-(π / 2) < 0 ∧ 0 ≤ 𝑤) → -(π / 2) < 𝑤))
2320, 21, 22ixxss1 13282 . . . . . . . . 9 ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ -(π / 2) < 0) → (0[,)(π / 2)) ⊆ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
2411, 19, 23mp2an 690 . . . . . . . 8 (0[,)(π / 2)) ⊆ (-(π / 2)(,)(π / 2))
2524sseli 3940 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑥 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
26 cosq14gt0 25867 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 0 < (cos‘𝑥))
2725, 26syl 17 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → 0 < (cos‘𝑥))
2827gt0ne0d 11719 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → (cos‘𝑥) ≠ 0)
2910, 28retancld 16027 . . . 4 (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → (tan‘𝑥) ∈ ℝ)
3029adantl 482 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0[,)(π / 2))) → (tan‘𝑥) ∈ ℝ)
3110resincld 16025 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → (sin‘𝑥) ∈ ℝ)
3210recoscld 16026 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → (cos‘𝑥) ∈ ℝ)
3331, 32, 28redivcld 11983 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)) ∈ ℝ)
34333ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)) ∈ ℝ)
359sseli 3940 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑦 ∈ ℝ)
36353ad2ant2 1134 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
3736resincld 16025 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (sin‘𝑦) ∈ ℝ)
38323ad2ant1 1133 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (cos‘𝑥) ∈ ℝ)
39283ad2ant1 1133 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (cos‘𝑥) ≠ 0)
4037, 38, 39redivcld 11983 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑥)) ∈ ℝ)
4136recoscld 16026 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (cos‘𝑦) ∈ ℝ)
4224sseli 3940 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑦 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
43 cosq14gt0 25867 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 0 < (cos‘𝑦))
4442, 43syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) → 0 < (cos‘𝑦))
4544gt0ne0d 11719 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) → (cos‘𝑦) ≠ 0)
46453ad2ant2 1134 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (cos‘𝑦) ≠ 0)
4737, 41, 46redivcld 11983 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑦)) ∈ ℝ)
48 ioossicc 13350 . . . . . . . . . . . 12 (-(π / 2)(,)(π / 2)) ⊆ (-(π / 2)[,](π / 2))
4924, 48sstri 3953 . . . . . . . . . . 11 (0[,)(π / 2)) ⊆ (-(π / 2)[,](π / 2))
5049sseli 3940 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)))
5149sseli 3940 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑦 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)))
52 sinord 25890 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2))) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (sin‘𝑥) < (sin‘𝑦)))
5350, 51, 52syl2an 596 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2))) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (sin‘𝑥) < (sin‘𝑦)))
5453biimp3a 1469 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (sin‘𝑥) < (sin‘𝑦))
55103ad2ant1 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ)
5655resincld 16025 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (sin‘𝑥) ∈ ℝ)
57273ad2ant1 1133 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 < (cos‘𝑥))
58 ltdiv1 12019 . . . . . . . . 9 (((sin‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (sin‘𝑦) ∈ ℝ ∧ ((cos‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (cos‘𝑥))) → ((sin‘𝑥) < (sin‘𝑦) ↔ ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)) < ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑥))))
5956, 37, 38, 57, 58syl112anc 1374 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((sin‘𝑥) < (sin‘𝑦) ↔ ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)) < ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑥))))
6054, 59mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)) < ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑥)))
6112rexri 11213 . . . . . . . . . . . 12 π ∈ ℝ*
62 pirp 25818 . . . . . . . . . . . . 13 π ∈ ℝ+
63 rphalflt 12944 . . . . . . . . . . . . 13 (π ∈ ℝ+ → (π / 2) < π)
6462, 63ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (π / 2) < π
65 df-icc 13271 . . . . . . . . . . . . 13 [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)})
66 xrlttr 13059 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → ((𝑤 < (π / 2) ∧ (π / 2) < π) → 𝑤 < π))
67 xrltle 13068 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (𝑤 < π → 𝑤 ≤ π))
68673adant2 1131 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (𝑤 < π → 𝑤 ≤ π))
6966, 68syld 47 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → ((𝑤 < (π / 2) ∧ (π / 2) < π) → 𝑤 ≤ π))
7065, 21, 69ixxss2 13283 . . . . . . . . . . . 12 ((π ∈ ℝ* ∧ (π / 2) < π) → (0[,)(π / 2)) ⊆ (0[,]π))
7161, 64, 70mp2an 690 . . . . . . . . . . 11 (0[,)(π / 2)) ⊆ (0[,]π)
7271sseli 3940 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑥 ∈ (0[,]π))
7371sseli 3940 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑦 ∈ (0[,]π))
74 cosord 25887 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (cos‘𝑦) < (cos‘𝑥)))
7572, 73, 74syl2an 596 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2))) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (cos‘𝑦) < (cos‘𝑥)))
7675biimp3a 1469 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (cos‘𝑦) < (cos‘𝑥))
77 0red 11158 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 ∈ ℝ)
78 simp1 1136 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)))
79 elico2 13328 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥 < (π / 2))))
805, 7, 79mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥 < (π / 2)))
8178, 80sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥 < (π / 2)))
8281simp2d 1143 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 ≤ 𝑥)
83 simp3 1138 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 < 𝑦)
8477, 55, 36, 82, 83lelttrd 11313 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 < 𝑦)
85 simp2 1137 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)))
86 elico2 13328 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦𝑦 < (π / 2))))
875, 7, 86mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦𝑦 < (π / 2)))
8885, 87sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦𝑦 < (π / 2)))
8988simp3d 1144 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 < (π / 2))
90 0xr 11202 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ*
91 elioo2 13305 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑦𝑦 < (π / 2))))
9290, 7, 91mp2an 690 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑦𝑦 < (π / 2)))
9336, 84, 89, 92syl3anbrc 1343 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ (0(,)(π / 2)))
94 sincosq1sgn 25855 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < (sin‘𝑦) ∧ 0 < (cos‘𝑦)))
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (0 < (sin‘𝑦) ∧ 0 < (cos‘𝑦)))
9695simprd 496 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 < (cos‘𝑦))
9795simpld 495 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 < (sin‘𝑦))
98 ltdiv2 12041 . . . . . . . . 9 ((((cos‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 < (cos‘𝑦)) ∧ ((cos‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (cos‘𝑥)) ∧ ((sin‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 < (sin‘𝑦))) → ((cos‘𝑦) < (cos‘𝑥) ↔ ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑥)) < ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑦))))
9941, 96, 38, 57, 37, 97, 98syl222anc 1386 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((cos‘𝑦) < (cos‘𝑥) ↔ ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑥)) < ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑦))))
10076, 99mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑥)) < ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑦)))
10134, 40, 47, 60, 100lttrd 11316 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)) < ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑦)))
10210recnd 11183 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑥 ∈ ℂ)
103 tanval 16010 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝑥) ≠ 0) → (tan‘𝑥) = ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)))
104102, 28, 103syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → (tan‘𝑥) = ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)))
1051043ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (tan‘𝑥) = ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)))
10635recnd 11183 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑦 ∈ ℂ)
1071063ad2ant2 1134 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℂ)
108 tanval 16010 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝑦) ≠ 0) → (tan‘𝑦) = ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑦)))
109107, 46, 108syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (tan‘𝑦) = ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑦)))
110101, 105, 1093brtr4d 5137 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (tan‘𝑥) < (tan‘𝑦))
1111103expia 1121 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2))) → (𝑥 < 𝑦 → (tan‘𝑥) < (tan‘𝑦)))
112111adantl 482 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)))) → (𝑥 < 𝑦 → (tan‘𝑥) < (tan‘𝑦)))
1132, 3, 4, 9, 30, 112ltord1 11681 . 2 ((⊤ ∧ (𝐴 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝐵 ∈ (0[,)(π / 2)))) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (tan‘𝐴) < (tan‘𝐵)))
1141, 113mpan 688 1 ((𝐴 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝐵 ∈ (0[,)(π / 2))) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (tan‘𝐴) < (tan‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wtru 1542  wcel 2106  wne 2943  wss 3910   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  -cneg 11386   / cdiv 11812  2c2 12208  +crp 12915  (,)cioo 13264  [,)cico 13266  [,]cicc 13267  sincsin 15946  cosccos 15947  tanctan 15948  πcpi 15949
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-tan 15954  df-pi 15955  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231
This theorem is referenced by:  tanord  25894
  Copyright terms: Public domain W3C validator