Theorem tanord1 26597

Description: The tangent function is strictly increasing on the nonnegative part of its principal domain. (Lemma for tanord 26598.) (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.) Revised to replace an OLD theorem. (Revised by Wolf Lammen, 20-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
tanord1	⊢ ((𝐴 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝐵 ∈ (0[,)(π / 2))) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (tan‘𝐴) < (tan‘𝐵)))

Proof of Theorem tanord1

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tru 1541	. 2 ⊢ ⊤
2		fveq2 6920	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (tan‘𝑥) = (tan‘𝑦))
3		fveq2 6920	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (tan‘𝑥) = (tan‘𝐴))
4		fveq2 6920	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (tan‘𝑥) = (tan‘𝐵))
5		0re 11292	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
6		halfpire 26524	. . . . 5 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
7	6	rexri 11348	. . . 4 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ*
8		icossre 13488	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → (0[,)(π / 2)) ⊆ ℝ)
9	5, 7, 8	mp2an 691	. . 3 ⊢ (0[,)(π / 2)) ⊆ ℝ
10	9	sseli 4004	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑥 ∈ ℝ)
11		neghalfpirx 26526	. . . . . . . . 9 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ*
12		pire 26518	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℝ
13		2re 12367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
14		pipos 26520	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < π
15		2pos 12396	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 2
16	12, 13, 14, 15	divgt0ii 12212	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < (π / 2)
17		lt0neg2 11797	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ → (0 < (π / 2) ↔ -(π / 2) < 0))
18	6, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 < (π / 2) ↔ -(π / 2) < 0)
19	16, 18	mpbi 230	. . . . . . . . 9 ⊢ -(π / 2) < 0
20		df-ioo 13411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
21		df-ico 13413	. . . . . . . . . 10 ⊢ [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
22		xrltletr 13219	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → ((-(π / 2) < 0 ∧ 0 ≤ 𝑤) → -(π / 2) < 𝑤))
23	20, 21, 22	ixxss1 13425	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ -(π / 2) < 0) → (0[,)(π / 2)) ⊆ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
24	11, 19, 23	mp2an 691	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,)(π / 2)) ⊆ (-(π / 2)(,)(π / 2))
25	24	sseli 4004	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑥 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
26		cosq14gt0 26570	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 0 < (cos‘𝑥))
27	25, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → 0 < (cos‘𝑥))
28	27	gt0ne0d 11854	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → (cos‘𝑥) ≠ 0)
29	10, 28	retancld 16193	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → (tan‘𝑥) ∈ ℝ)
30	29	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0[,)(π / 2))) → (tan‘𝑥) ∈ ℝ)
31	10	resincld 16191	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → (sin‘𝑥) ∈ ℝ)
32	10	recoscld 16192	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → (cos‘𝑥) ∈ ℝ)
33	31, 32, 28	redivcld 12122	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)) ∈ ℝ)
34	33	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)) ∈ ℝ)
35	9	sseli 4004	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑦 ∈ ℝ)
36	35	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
37	36	resincld 16191	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (sin‘𝑦) ∈ ℝ)
38	32	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (cos‘𝑥) ∈ ℝ)
39	28	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (cos‘𝑥) ≠ 0)
40	37, 38, 39	redivcld 12122	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑥)) ∈ ℝ)
41	36	recoscld 16192	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (cos‘𝑦) ∈ ℝ)
42	24	sseli 4004	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑦 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
43		cosq14gt0 26570	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 0 < (cos‘𝑦))
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) → 0 < (cos‘𝑦))
45	44	gt0ne0d 11854	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) → (cos‘𝑦) ≠ 0)
46	45	3ad2ant2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (cos‘𝑦) ≠ 0)
47	37, 41, 46	redivcld 12122	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑦)) ∈ ℝ)
48		ioossicc 13493	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ⊆ (-(π / 2)[,](π / 2))
49	24, 48	sstri 4018	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0[,)(π / 2)) ⊆ (-(π / 2)[,](π / 2))
50	49	sseli 4004	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)))
51	49	sseli 4004	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑦 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)))
52		sinord 26594	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2))) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (sin‘𝑥) < (sin‘𝑦)))
53	50, 51, 52	syl2an 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2))) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (sin‘𝑥) < (sin‘𝑦)))
54	53	biimp3a 1469	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (sin‘𝑥) < (sin‘𝑦))
55	10	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ)
56	55	resincld 16191	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (sin‘𝑥) ∈ ℝ)
57	27	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 < (cos‘𝑥))
58		ltdiv1 12159	. . . . . . . . 9 ⊢ (((sin‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (sin‘𝑦) ∈ ℝ ∧ ((cos‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (cos‘𝑥))) → ((sin‘𝑥) < (sin‘𝑦) ↔ ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)) < ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑥))))
59	56, 37, 38, 57, 58	syl112anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((sin‘𝑥) < (sin‘𝑦) ↔ ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)) < ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑥))))
60	54, 59	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)) < ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑥)))
61	12	rexri 11348	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ π ∈ ℝ*
62		pirp 26521	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ∈ ℝ+
63		rphalflt 13086	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (π ∈ ℝ+ → (π / 2) < π)
64	62, 63	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (π / 2) < π
65		df-icc 13414	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
66		xrlttr 13202	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → ((𝑤 < (π / 2) ∧ (π / 2) < π) → 𝑤 < π))
67		xrltle 13211	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (𝑤 < π → 𝑤 ≤ π))
68	67	3adant2 1131	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (𝑤 < π → 𝑤 ≤ π))
69	66, 68	syld 47	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → ((𝑤 < (π / 2) ∧ (π / 2) < π) → 𝑤 ≤ π))
70	65, 21, 69	ixxss2 13426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((π ∈ ℝ* ∧ (π / 2) < π) → (0[,)(π / 2)) ⊆ (0[,]π))
71	61, 64, 70	mp2an 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0[,)(π / 2)) ⊆ (0[,]π)
72	71	sseli 4004	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑥 ∈ (0[,]π))
73	71	sseli 4004	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑦 ∈ (0[,]π))
74		cosord 26591	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (cos‘𝑦) < (cos‘𝑥)))
75	72, 73, 74	syl2an 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2))) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (cos‘𝑦) < (cos‘𝑥)))
76	75	biimp3a 1469	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (cos‘𝑦) < (cos‘𝑥))
77		0red 11293	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 ∈ ℝ)
78		simp1 1136	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)))
79		elico2 13471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (π / 2))))
80	5, 7, 79	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (π / 2)))
81	78, 80	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (π / 2)))
82	81	simp2d 1143	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 ≤ 𝑥)
83		simp3 1138	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 < 𝑦)
84	77, 55, 36, 82, 83	lelttrd 11448	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 < 𝑦)
85		simp2 1137	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)))
86		elico2 13471	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (π / 2))))
87	5, 7, 86	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (π / 2)))
88	85, 87	sylib 218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (π / 2)))
89	88	simp3d 1144	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 < (π / 2))
90		0xr 11337	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℝ*
91		elioo2 13448	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < (π / 2))))
92	90, 7, 91	mp2an 691	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < (π / 2)))
93	36, 84, 89, 92	syl3anbrc 1343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ (0(,)(π / 2)))
94		sincosq1sgn 26558	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < (sin‘𝑦) ∧ 0 < (cos‘𝑦)))
95	93, 94	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (0 < (sin‘𝑦) ∧ 0 < (cos‘𝑦)))
96	95	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 < (cos‘𝑦))
97	95	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 < (sin‘𝑦))
98		ltdiv2 12181	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((cos‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 < (cos‘𝑦)) ∧ ((cos‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (cos‘𝑥)) ∧ ((sin‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 < (sin‘𝑦))) → ((cos‘𝑦) < (cos‘𝑥) ↔ ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑥)) < ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑦))))
99	41, 96, 38, 57, 37, 97, 98	syl222anc 1386	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((cos‘𝑦) < (cos‘𝑥) ↔ ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑥)) < ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑦))))
100	76, 99	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑥)) < ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑦)))
101	34, 40, 47, 60, 100	lttrd 11451	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)) < ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑦)))
102	10	recnd 11318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑥 ∈ ℂ)
103		tanval 16176	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝑥) ≠ 0) → (tan‘𝑥) = ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)))
104	102, 28, 103	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → (tan‘𝑥) = ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)))
105	104	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (tan‘𝑥) = ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)))
106	35	recnd 11318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑦 ∈ ℂ)
107	106	3ad2ant2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℂ)
108		tanval 16176	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝑦) ≠ 0) → (tan‘𝑦) = ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑦)))
109	107, 46, 108	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (tan‘𝑦) = ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑦)))
110	101, 105, 109	3brtr4d 5198	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (tan‘𝑥) < (tan‘𝑦))
111	110	3expia 1121	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2))) → (𝑥 < 𝑦 → (tan‘𝑥) < (tan‘𝑦)))
112	111	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)))) → (𝑥 < 𝑦 → (tan‘𝑥) < (tan‘𝑦)))
113	2, 3, 4, 9, 30, 112	ltord1 11816	. 2 ⊢ ((⊤ ∧ (𝐴 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝐵 ∈ (0[,)(π / 2)))) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (tan‘𝐴) < (tan‘𝐵)))
114	1, 113	mpan 689	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝐵 ∈ (0[,)(π / 2))) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (tan‘𝐴) < (tan‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537  ⊤wtru 1538   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324   ≤ cle 11325  -cneg 11521   / cdiv 11947  2c2 12348  ℝ⁺crp 13057  (,)cioo 13407  [,)cico 13409  [,]cicc 13410  sincsin 16111  cosccos 16112  tanctan 16113  πcpi 16114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-ioc 13412  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-seq 14053  df-exp 14113  df-fac 14323  df-bc 14352  df-hash 14380  df-shft 15116  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-limsup 15517  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-sum 15735  df-ef 16115  df-sin 16117  df-cos 16118  df-tan 16119  df-pi 16120  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17482  df-topn 17483  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-topgen 17503  df-pt 17504  df-prds 17507  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-mulg 19108  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-fbas 21384  df-fg 21385  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cld 23048  df-ntr 23049  df-cls 23050  df-nei 23127  df-lp 23165  df-perf 23166  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-haus 23344  df-tx 23591  df-hmeo 23784  df-fil 23875  df-fm 23967  df-flim 23968  df-flf 23969  df-xms 24351  df-ms 24352  df-tms 24353  df-cncf 24923  df-limc 25921  df-dv 25922

This theorem is referenced by:  tanord  26598