Theorem tanord1 26387

Description: The tangent function is strictly increasing on the nonnegative part of its principal domain. (Lemma for tanord 26388.) (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.) Revised to replace an OLD theorem. (Revised by Wolf Lammen, 20-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
tanord1	⊢ ((𝐴 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝐵 ∈ (0[,)(π / 2))) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (tan‘𝐴) < (tan‘𝐵)))

Proof of Theorem tanord1

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tru 1544	. 2 ⊢ ⊤
2		fveq2 6891	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (tan‘𝑥) = (tan‘𝑦))
3		fveq2 6891	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (tan‘𝑥) = (tan‘𝐴))
4		fveq2 6891	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (tan‘𝑥) = (tan‘𝐵))
5		0re 11223	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
6		halfpire 26315	. . . . 5 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
7	6	rexri 11279	. . . 4 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ*
8		icossre 13412	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → (0[,)(π / 2)) ⊆ ℝ)
9	5, 7, 8	mp2an 689	. . 3 ⊢ (0[,)(π / 2)) ⊆ ℝ
10	9	sseli 3978	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑥 ∈ ℝ)
11		neghalfpirx 26317	. . . . . . . . 9 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ*
12		pire 26309	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℝ
13		2re 12293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
14		pipos 26311	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < π
15		2pos 12322	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 2
16	12, 13, 14, 15	divgt0ii 12138	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < (π / 2)
17		lt0neg2 11728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ → (0 < (π / 2) ↔ -(π / 2) < 0))
18	6, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 < (π / 2) ↔ -(π / 2) < 0)
19	16, 18	mpbi 229	. . . . . . . . 9 ⊢ -(π / 2) < 0
20		df-ioo 13335	. . . . . . . . . 10 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
21		df-ico 13337	. . . . . . . . . 10 ⊢ [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
22		xrltletr 13143	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → ((-(π / 2) < 0 ∧ 0 ≤ 𝑤) → -(π / 2) < 𝑤))
23	20, 21, 22	ixxss1 13349	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ -(π / 2) < 0) → (0[,)(π / 2)) ⊆ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
24	11, 19, 23	mp2an 689	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,)(π / 2)) ⊆ (-(π / 2)(,)(π / 2))
25	24	sseli 3978	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑥 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
26		cosq14gt0 26361	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 0 < (cos‘𝑥))
27	25, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → 0 < (cos‘𝑥))
28	27	gt0ne0d 11785	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → (cos‘𝑥) ≠ 0)
29	10, 28	retancld 16095	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → (tan‘𝑥) ∈ ℝ)
30	29	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0[,)(π / 2))) → (tan‘𝑥) ∈ ℝ)
31	10	resincld 16093	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → (sin‘𝑥) ∈ ℝ)
32	10	recoscld 16094	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → (cos‘𝑥) ∈ ℝ)
33	31, 32, 28	redivcld 12049	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)) ∈ ℝ)
34	33	3ad2ant1 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)) ∈ ℝ)
35	9	sseli 3978	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑦 ∈ ℝ)
36	35	3ad2ant2 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
37	36	resincld 16093	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (sin‘𝑦) ∈ ℝ)
38	32	3ad2ant1 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (cos‘𝑥) ∈ ℝ)
39	28	3ad2ant1 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (cos‘𝑥) ≠ 0)
40	37, 38, 39	redivcld 12049	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑥)) ∈ ℝ)
41	36	recoscld 16094	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (cos‘𝑦) ∈ ℝ)
42	24	sseli 3978	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑦 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
43		cosq14gt0 26361	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 0 < (cos‘𝑦))
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) → 0 < (cos‘𝑦))
45	44	gt0ne0d 11785	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) → (cos‘𝑦) ≠ 0)
46	45	3ad2ant2 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (cos‘𝑦) ≠ 0)
47	37, 41, 46	redivcld 12049	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑦)) ∈ ℝ)
48		ioossicc 13417	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ⊆ (-(π / 2)[,](π / 2))
49	24, 48	sstri 3991	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0[,)(π / 2)) ⊆ (-(π / 2)[,](π / 2))
50	49	sseli 3978	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)))
51	49	sseli 3978	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑦 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)))
52		sinord 26384	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2))) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (sin‘𝑥) < (sin‘𝑦)))
53	50, 51, 52	syl2an 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2))) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (sin‘𝑥) < (sin‘𝑦)))
54	53	biimp3a 1468	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (sin‘𝑥) < (sin‘𝑦))
55	10	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ)
56	55	resincld 16093	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (sin‘𝑥) ∈ ℝ)
57	27	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 < (cos‘𝑥))
58		ltdiv1 12085	. . . . . . . . 9 ⊢ (((sin‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (sin‘𝑦) ∈ ℝ ∧ ((cos‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (cos‘𝑥))) → ((sin‘𝑥) < (sin‘𝑦) ↔ ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)) < ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑥))))
59	56, 37, 38, 57, 58	syl112anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((sin‘𝑥) < (sin‘𝑦) ↔ ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)) < ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑥))))
60	54, 59	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)) < ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑥)))
61	12	rexri 11279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ π ∈ ℝ*
62		pirp 26312	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ∈ ℝ+
63		rphalflt 13010	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (π ∈ ℝ+ → (π / 2) < π)
64	62, 63	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (π / 2) < π
65		df-icc 13338	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
66		xrlttr 13126	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → ((𝑤 < (π / 2) ∧ (π / 2) < π) → 𝑤 < π))
67		xrltle 13135	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (𝑤 < π → 𝑤 ≤ π))
68	67	3adant2 1130	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (𝑤 < π → 𝑤 ≤ π))
69	66, 68	syld 47	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → ((𝑤 < (π / 2) ∧ (π / 2) < π) → 𝑤 ≤ π))
70	65, 21, 69	ixxss2 13350	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((π ∈ ℝ* ∧ (π / 2) < π) → (0[,)(π / 2)) ⊆ (0[,]π))
71	61, 64, 70	mp2an 689	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0[,)(π / 2)) ⊆ (0[,]π)
72	71	sseli 3978	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑥 ∈ (0[,]π))
73	71	sseli 3978	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑦 ∈ (0[,]π))
74		cosord 26381	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (cos‘𝑦) < (cos‘𝑥)))
75	72, 73, 74	syl2an 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2))) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (cos‘𝑦) < (cos‘𝑥)))
76	75	biimp3a 1468	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (cos‘𝑦) < (cos‘𝑥))
77		0red 11224	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 ∈ ℝ)
78		simp1 1135	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)))
79		elico2 13395	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (π / 2))))
80	5, 7, 79	mp2an 689	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (π / 2)))
81	78, 80	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (π / 2)))
82	81	simp2d 1142	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 ≤ 𝑥)
83		simp3 1137	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 < 𝑦)
84	77, 55, 36, 82, 83	lelttrd 11379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 < 𝑦)
85		simp2 1136	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)))
86		elico2 13395	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (π / 2))))
87	5, 7, 86	mp2an 689	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (π / 2)))
88	85, 87	sylib 217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (π / 2)))
89	88	simp3d 1143	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 < (π / 2))
90		0xr 11268	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℝ*
91		elioo2 13372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < (π / 2))))
92	90, 7, 91	mp2an 689	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < (π / 2)))
93	36, 84, 89, 92	syl3anbrc 1342	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ (0(,)(π / 2)))
94		sincosq1sgn 26349	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < (sin‘𝑦) ∧ 0 < (cos‘𝑦)))
95	93, 94	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (0 < (sin‘𝑦) ∧ 0 < (cos‘𝑦)))
96	95	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 < (cos‘𝑦))
97	95	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 < (sin‘𝑦))
98		ltdiv2 12107	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((cos‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 < (cos‘𝑦)) ∧ ((cos‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (cos‘𝑥)) ∧ ((sin‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 < (sin‘𝑦))) → ((cos‘𝑦) < (cos‘𝑥) ↔ ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑥)) < ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑦))))
99	41, 96, 38, 57, 37, 97, 98	syl222anc 1385	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((cos‘𝑦) < (cos‘𝑥) ↔ ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑥)) < ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑦))))
100	76, 99	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑥)) < ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑦)))
101	34, 40, 47, 60, 100	lttrd 11382	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)) < ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑦)))
102	10	recnd 11249	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑥 ∈ ℂ)
103		tanval 16078	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝑥) ≠ 0) → (tan‘𝑥) = ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)))
104	102, 28, 103	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → (tan‘𝑥) = ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)))
105	104	3ad2ant1 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (tan‘𝑥) = ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)))
106	35	recnd 11249	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑦 ∈ ℂ)
107	106	3ad2ant2 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℂ)
108		tanval 16078	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝑦) ≠ 0) → (tan‘𝑦) = ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑦)))
109	107, 46, 108	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (tan‘𝑦) = ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑦)))
110	101, 105, 109	3brtr4d 5180	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (tan‘𝑥) < (tan‘𝑦))
111	110	3expia 1120	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2))) → (𝑥 < 𝑦 → (tan‘𝑥) < (tan‘𝑦)))
112	111	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)))) → (𝑥 < 𝑦 → (tan‘𝑥) < (tan‘𝑦)))
113	2, 3, 4, 9, 30, 112	ltord1 11747	. 2 ⊢ ((⊤ ∧ (𝐴 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝐵 ∈ (0[,)(π / 2)))) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (tan‘𝐴) < (tan‘𝐵)))
114	1, 113	mpan 687	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝐵 ∈ (0[,)(π / 2))) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (tan‘𝐴) < (tan‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939   ⊆ wss 3948   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ℂcc 11114  ℝcr 11115  0cc0 11116  ℝ^*cxr 11254   < clt 11255   ≤ cle 11256  -cneg 11452   / cdiv 11878  2c2 12274  ℝ⁺crp 12981  (,)cioo 13331  [,)cico 13333  [,]cicc 13334  sincsin 16014  cosccos 16015  tanctan 16016  πcpi 16017

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194  ax-addf 11195

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-fi 9412  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-ioo 13335  df-ioc 13336  df-ico 13337  df-icc 13338  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-fl 13764  df-seq 13974  df-exp 14035  df-fac 14241  df-bc 14270  df-hash 14298  df-shft 15021  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-limsup 15422  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-sum 15640  df-ef 16018  df-sin 16020  df-cos 16021  df-tan 16022  df-pi 16023  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-pt 17397  df-prds 17400  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-mulg 18994  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-psmet 21226  df-xmet 21227  df-met 21228  df-bl 21229  df-mopn 21230  df-fbas 21231  df-fg 21232  df-cnfld 21235  df-top 22717  df-topon 22734  df-topsp 22756  df-bases 22770  df-cld 22844  df-ntr 22845  df-cls 22846  df-nei 22923  df-lp 22961  df-perf 22962  df-cn 23052  df-cnp 23053  df-haus 23140  df-tx 23387  df-hmeo 23580  df-fil 23671  df-fm 23763  df-flim 23764  df-flf 23765  df-xms 24147  df-ms 24148  df-tms 24149  df-cncf 24719  df-limc 25716  df-dv 25717

This theorem is referenced by:  tanord  26388