Theorem tanord1 26755

Description: The tangent function is strictly increasing on the nonnegative part of its principal domain. (Lemma for tanord 26756.) (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.) Revised to replace an OLD theorem. (Revised by Wolf Lammen, 20-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
tanord1	⊢ ((𝐴 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝐵 ∈ (0[,)(π / 2))) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (tan‘𝐴) < (tan‘𝐵)))

Proof of Theorem tanord1

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tru 1574	. 2 ⊢ ⊤
2		fveq2 6885	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (tan‘𝑥) = (tan‘𝑦))
3		fveq2 6885	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (tan‘𝑥) = (tan‘𝐴))
4		fveq2 6885	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (tan‘𝑥) = (tan‘𝐵))
5		0re 11227	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
6		halfpire 26682	. . . . 5 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
7	6	rexri 11284	. . . 4 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ*
8		icossre 13473	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → (0[,)(π / 2)) ⊆ ℝ)
9	5, 7, 8	mp2an 705	. . 3 ⊢ (0[,)(π / 2)) ⊆ ℝ
10	9	sseli 3934	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑥 ∈ ℝ)
11		neghalfpirx 26684	. . . . . . . . 9 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ*
12		pire 26672	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℝ
13		2re 12332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
14		pipos 26676	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < π
15		2pos 12362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 2
16	12, 13, 14, 15	divgt0ii 12149	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < (π / 2)
17		lt0neg2 11738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ → (0 < (π / 2) ↔ -(π / 2) < 0))
18	6, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 < (π / 2) ↔ -(π / 2) < 0)
19	16, 18	mpbi 233	. . . . . . . . 9 ⊢ -(π / 2) < 0
20		df-ioo 13394	. . . . . . . . . 10 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
21		df-ico 13396	. . . . . . . . . 10 ⊢ [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
22		xrltletr 13200	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → ((-(π / 2) < 0 ∧ 0 ≤ 𝑤) → -(π / 2) < 𝑤))
23	20, 21, 22	ixxss1 13408	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ -(π / 2) < 0) → (0[,)(π / 2)) ⊆ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
24	11, 19, 23	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,)(π / 2)) ⊆ (-(π / 2)(,)(π / 2))
25	24	sseli 3934	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑥 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
26		cosq14gt0 26728	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 0 < (cos‘𝑥))
27	25, 26	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → 0 < (cos‘𝑥))
28	27	gt0ne0d 11795	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → (cos‘𝑥) ≠ 0)
29	10, 28	retancld 16225	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → (tan‘𝑥) ∈ ℝ)
30	29	adantl 487	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0[,)(π / 2))) → (tan‘𝑥) ∈ ℝ)
31	10	resincld 16223	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → (sin‘𝑥) ∈ ℝ)
32	10	recoscld 16224	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → (cos‘𝑥) ∈ ℝ)
33	31, 32, 28	redivcld 12060	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)) ∈ ℝ)
34	33	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)) ∈ ℝ)
35	9	sseli 3934	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑦 ∈ ℝ)
36	35	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
37	36	resincld 16223	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (sin‘𝑦) ∈ ℝ)
38	32	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (cos‘𝑥) ∈ ℝ)
39	28	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (cos‘𝑥) ≠ 0)
40	37, 38, 39	redivcld 12060	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑥)) ∈ ℝ)
41	36	recoscld 16224	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (cos‘𝑦) ∈ ℝ)
42	24	sseli 3934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑦 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
43		cosq14gt0 26728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 0 < (cos‘𝑦))
44	42, 43	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) → 0 < (cos‘𝑦))
45	44	gt0ne0d 11795	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) → (cos‘𝑦) ≠ 0)
46	45	3ad2ant2 1152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (cos‘𝑦) ≠ 0)
47	37, 41, 46	redivcld 12060	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑦)) ∈ ℝ)
48		ioossicc 13478	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ⊆ (-(π / 2)[,](π / 2))
49	24, 48	sstri 3947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0[,)(π / 2)) ⊆ (-(π / 2)[,](π / 2))
50	49	sseli 3934	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)))
51	49	sseli 3934	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑦 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)))
52		sinord 26752	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2))) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (sin‘𝑥) < (sin‘𝑦)))
53	50, 51, 52	syl2an 608	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2))) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (sin‘𝑥) < (sin‘𝑦)))
54	53	biimp3a 1498	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (sin‘𝑥) < (sin‘𝑦))
55	10	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ)
56	55	resincld 16223	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (sin‘𝑥) ∈ ℝ)
57	27	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 < (cos‘𝑥))
58		ltdiv1 12096	. . . . . . . . 9 ⊢ (((sin‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (sin‘𝑦) ∈ ℝ ∧ ((cos‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (cos‘𝑥))) → ((sin‘𝑥) < (sin‘𝑦) ↔ ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)) < ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑥))))
59	56, 37, 38, 57, 58	syl112anc 1401	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((sin‘𝑥) < (sin‘𝑦) ↔ ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)) < ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑥))))
60	54, 59	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)) < ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑥)))
61	12	rexri 11284	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ π ∈ ℝ*
62		pirp 26679	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ∈ ℝ+
63		rphalflt 13065	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (π ∈ ℝ+ → (π / 2) < π)
64	62, 63	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (π / 2) < π
65		df-icc 13397	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
66		xrlttr 13183	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → ((𝑤 < (π / 2) ∧ (π / 2) < π) → 𝑤 < π))
67		xrltle 13192	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (𝑤 < π → 𝑤 ≤ π))
68	67	3adant2 1149	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (𝑤 < π → 𝑤 ≤ π))
69	66, 68	syld 48	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → ((𝑤 < (π / 2) ∧ (π / 2) < π) → 𝑤 ≤ π))
70	65, 21, 69	ixxss2 13409	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((π ∈ ℝ* ∧ (π / 2) < π) → (0[,)(π / 2)) ⊆ (0[,]π))
71	61, 64, 70	mp2an 705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0[,)(π / 2)) ⊆ (0[,]π)
72	71	sseli 3934	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑥 ∈ (0[,]π))
73	71	sseli 3934	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑦 ∈ (0[,]π))
74		cosord 26749	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (cos‘𝑦) < (cos‘𝑥)))
75	72, 73, 74	syl2an 608	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2))) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (cos‘𝑦) < (cos‘𝑥)))
76	75	biimp3a 1498	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (cos‘𝑦) < (cos‘𝑥))
77		0red 11228	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 ∈ ℝ)
78		simp1 1154	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)))
79		elico2 13455	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (π / 2))))
80	5, 7, 79	mp2an 705	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (π / 2)))
81	78, 80	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (π / 2)))
82	81	simp2d 1161	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 ≤ 𝑥)
83		simp3 1156	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 < 𝑦)
84	77, 55, 36, 82, 83	lelttrd 11385	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 < 𝑦)
85		simp2 1155	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)))
86		elico2 13455	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (π / 2))))
87	5, 7, 86	mp2an 705	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (π / 2)))
88	85, 87	sylib 221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (π / 2)))
89	88	simp3d 1162	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 < (π / 2))
90		0xr 11273	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℝ*
91		elioo2 13431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < (π / 2))))
92	90, 7, 91	mp2an 705	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < (π / 2)))
93	36, 84, 89, 92	syl3anbrc 1362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ (0(,)(π / 2)))
94		sincosq1sgn 26716	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < (sin‘𝑦) ∧ 0 < (cos‘𝑦)))
95	93, 94	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (0 < (sin‘𝑦) ∧ 0 < (cos‘𝑦)))
96	95	simprd 501	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 < (cos‘𝑦))
97	95	simpld 500	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 < (sin‘𝑦))
98		ltdiv2 12118	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((cos‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 < (cos‘𝑦)) ∧ ((cos‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (cos‘𝑥)) ∧ ((sin‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 < (sin‘𝑦))) → ((cos‘𝑦) < (cos‘𝑥) ↔ ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑥)) < ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑦))))
99	41, 96, 38, 57, 37, 97, 98	syl222anc 1413	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((cos‘𝑦) < (cos‘𝑥) ↔ ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑥)) < ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑦))))
100	76, 99	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑥)) < ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑦)))
101	34, 40, 47, 60, 100	lttrd 11388	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)) < ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑦)))
102	10	recnd 11254	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑥 ∈ ℂ)
103		tanval 16208	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝑥) ≠ 0) → (tan‘𝑥) = ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)))
104	102, 28, 103	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → (tan‘𝑥) = ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)))
105	104	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (tan‘𝑥) = ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)))
106	35	recnd 11254	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑦 ∈ ℂ)
107	106	3ad2ant2 1152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℂ)
108		tanval 16208	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝑦) ≠ 0) → (tan‘𝑦) = ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑦)))
109	107, 46, 108	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (tan‘𝑦) = ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑦)))
110	101, 105, 109	3brtr4d 5145	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (tan‘𝑥) < (tan‘𝑦))
111	110	3expia 1139	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2))) → (𝑥 < 𝑦 → (tan‘𝑥) < (tan‘𝑦)))
112	111	adantl 487	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)))) → (𝑥 < 𝑦 → (tan‘𝑥) < (tan‘𝑦)))
113	2, 3, 4, 9, 30, 112	ltord1 11757	. 2 ⊢ ((⊤ ∧ (𝐴 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝐵 ∈ (0[,)(π / 2)))) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (tan‘𝐴) < (tan‘𝐵)))
114	1, 113	mpan 703	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝐵 ∈ (0[,)(π / 2))) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (tan‘𝐴) < (tan‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℂcc 11115  ℝcr 11116  0cc0 11117  ℝ^*cxr 11259   < clt 11260   ≤ cle 11261  -cneg 11459   / cdiv 11888  2c2 12312  ℝ⁺crp 13034  (,)cioo 13390  [,)cico 13392  [,]cicc 13393  sincsin 16141  cosccos 16142  tanctan 16143  πcpi 16144

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195  ax-addf 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-fi 9378  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12522  df-z 12609  df-dec 12730  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13394  df-ioc 13395  df-ico 13396  df-icc 13397  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-seq 14058  df-exp 14118  df-fac 14330  df-bc 14359  df-hash 14387  df-shft 15130  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-limsup 15548  df-clim 15565  df-rlim 15566  df-sum 15764  df-ef 16145  df-sin 16147  df-cos 16148  df-tan 16149  df-pi 16150  df-struct 17231  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-ress 17315  df-plusg 17347  df-mulr 17348  df-starv 17349  df-sca 17350  df-vsca 17351  df-ip 17352  df-tset 17353  df-ple 17354  df-ds 17356  df-unif 17357  df-hom 17358  df-cco 17359  df-rest 17499  df-topn 17500  df-0g 17518  df-gsum 17519  df-topgen 17520  df-pt 17521  df-prds 17524  df-xrs 17580  df-qtop 17585  df-imas 17586  df-xps 17588  df-mre 17662  df-mrc 17663  df-acs 17665  df-mgm 18722  df-sgrp 18811  df-mnd 18827  df-submnd 18881  df-mulg 19180  df-cntz 19433  df-cmn 19898  df-psmet 21566  df-xmet 21567  df-met 21568  df-bl 21569  df-mopn 21570  df-fbas 21571  df-fg 21572  df-cnfld 21575  df-top 23103  df-topon 23120  df-topsp 23142  df-bases 23155  df-cld 23228  df-ntr 23229  df-cls 23230  df-nei 23307  df-lp 23345  df-perf 23346  df-cn 23436  df-cnp 23437  df-haus 23524  df-tx 23772  df-hmeo 23965  df-fil 24056  df-fm 24148  df-flim 24149  df-flf 24150  df-xms 24530  df-ms 24531  df-tms 24532  df-cncf 25090  df-limc 26078  df-dv 26079

This theorem is used by:  tanord  26756