MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tanord1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tanord1 26579
Description: The tangent function is strictly increasing on the nonnegative part of its principal domain. (Lemma for tanord 26580.) (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.) Revised to replace an OLD theorem. (Revised by Wolf Lammen, 20-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
tanord1 ((𝐴 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝐵 ∈ (0[,)(π / 2))) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (tan‘𝐴) < (tan‘𝐵)))

Proof of Theorem tanord1
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tru 1544 . 2
2 fveq2 6906 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (tan‘𝑥) = (tan‘𝑦))
3 fveq2 6906 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (tan‘𝑥) = (tan‘𝐴))
4 fveq2 6906 . . 3 (𝑥 = 𝐵 → (tan‘𝑥) = (tan‘𝐵))
5 0re 11263 . . . 4 0 ∈ ℝ
6 halfpire 26506 . . . . 5 (π / 2) ∈ ℝ
76rexri 11319 . . . 4 (π / 2) ∈ ℝ*
8 icossre 13468 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → (0[,)(π / 2)) ⊆ ℝ)
95, 7, 8mp2an 692 . . 3 (0[,)(π / 2)) ⊆ ℝ
109sseli 3979 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑥 ∈ ℝ)
11 neghalfpirx 26508 . . . . . . . . 9 -(π / 2) ∈ ℝ*
12 pire 26500 . . . . . . . . . . 11 π ∈ ℝ
13 2re 12340 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
14 pipos 26502 . . . . . . . . . . 11 0 < π
15 2pos 12369 . . . . . . . . . . 11 0 < 2
1612, 13, 14, 15divgt0ii 12185 . . . . . . . . . 10 0 < (π / 2)
17 lt0neg2 11770 . . . . . . . . . . 11 ((π / 2) ∈ ℝ → (0 < (π / 2) ↔ -(π / 2) < 0))
186, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (0 < (π / 2) ↔ -(π / 2) < 0)
1916, 18mpbi 230 . . . . . . . . 9 -(π / 2) < 0
20 df-ioo 13391 . . . . . . . . . 10 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
21 df-ico 13393 . . . . . . . . . 10 [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
22 xrltletr 13199 . . . . . . . . . 10 ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((-(π / 2) < 0 ∧ 0 ≤ 𝑤) → -(π / 2) < 𝑤))
2320, 21, 22ixxss1 13405 . . . . . . . . 9 ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ -(π / 2) < 0) → (0[,)(π / 2)) ⊆ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
2411, 19, 23mp2an 692 . . . . . . . 8 (0[,)(π / 2)) ⊆ (-(π / 2)(,)(π / 2))
2524sseli 3979 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑥 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
26 cosq14gt0 26552 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 0 < (cos‘𝑥))
2725, 26syl 17 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → 0 < (cos‘𝑥))
2827gt0ne0d 11827 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → (cos‘𝑥) ≠ 0)
2910, 28retancld 16181 . . . 4 (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → (tan‘𝑥) ∈ ℝ)
3029adantl 481 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0[,)(π / 2))) → (tan‘𝑥) ∈ ℝ)
3110resincld 16179 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → (sin‘𝑥) ∈ ℝ)
3210recoscld 16180 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → (cos‘𝑥) ∈ ℝ)
3331, 32, 28redivcld 12095 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)) ∈ ℝ)
34333ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)) ∈ ℝ)
359sseli 3979 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑦 ∈ ℝ)
36353ad2ant2 1135 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
3736resincld 16179 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (sin‘𝑦) ∈ ℝ)
38323ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (cos‘𝑥) ∈ ℝ)
39283ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (cos‘𝑥) ≠ 0)
4037, 38, 39redivcld 12095 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑥)) ∈ ℝ)
4136recoscld 16180 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (cos‘𝑦) ∈ ℝ)
4224sseli 3979 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑦 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
43 cosq14gt0 26552 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 0 < (cos‘𝑦))
4442, 43syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) → 0 < (cos‘𝑦))
4544gt0ne0d 11827 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) → (cos‘𝑦) ≠ 0)
46453ad2ant2 1135 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (cos‘𝑦) ≠ 0)
4737, 41, 46redivcld 12095 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑦)) ∈ ℝ)
48 ioossicc 13473 . . . . . . . . . . . 12 (-(π / 2)(,)(π / 2)) ⊆ (-(π / 2)[,](π / 2))
4924, 48sstri 3993 . . . . . . . . . . 11 (0[,)(π / 2)) ⊆ (-(π / 2)[,](π / 2))
5049sseli 3979 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)))
5149sseli 3979 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑦 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)))
52 sinord 26576 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2))) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (sin‘𝑥) < (sin‘𝑦)))
5350, 51, 52syl2an 596 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2))) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (sin‘𝑥) < (sin‘𝑦)))
5453biimp3a 1471 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (sin‘𝑥) < (sin‘𝑦))
55103ad2ant1 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ)
5655resincld 16179 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (sin‘𝑥) ∈ ℝ)
57273ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 < (cos‘𝑥))
58 ltdiv1 12132 . . . . . . . . 9 (((sin‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (sin‘𝑦) ∈ ℝ ∧ ((cos‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (cos‘𝑥))) → ((sin‘𝑥) < (sin‘𝑦) ↔ ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)) < ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑥))))
5956, 37, 38, 57, 58syl112anc 1376 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((sin‘𝑥) < (sin‘𝑦) ↔ ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)) < ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑥))))
6054, 59mpbid 232 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)) < ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑥)))
6112rexri 11319 . . . . . . . . . . . 12 π ∈ ℝ*
62 pirp 26503 . . . . . . . . . . . . 13 π ∈ ℝ+
63 rphalflt 13064 . . . . . . . . . . . . 13 (π ∈ ℝ+ → (π / 2) < π)
6462, 63ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (π / 2) < π
65 df-icc 13394 . . . . . . . . . . . . 13 [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)})
66 xrlttr 13182 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → ((𝑤 < (π / 2) ∧ (π / 2) < π) → 𝑤 < π))
67 xrltle 13191 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (𝑤 < π → 𝑤 ≤ π))
68673adant2 1132 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (𝑤 < π → 𝑤 ≤ π))
6966, 68syld 47 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → ((𝑤 < (π / 2) ∧ (π / 2) < π) → 𝑤 ≤ π))
7065, 21, 69ixxss2 13406 . . . . . . . . . . . 12 ((π ∈ ℝ* ∧ (π / 2) < π) → (0[,)(π / 2)) ⊆ (0[,]π))
7161, 64, 70mp2an 692 . . . . . . . . . . 11 (0[,)(π / 2)) ⊆ (0[,]π)
7271sseli 3979 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑥 ∈ (0[,]π))
7371sseli 3979 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑦 ∈ (0[,]π))
74 cosord 26573 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (cos‘𝑦) < (cos‘𝑥)))
7572, 73, 74syl2an 596 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2))) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (cos‘𝑦) < (cos‘𝑥)))
7675biimp3a 1471 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (cos‘𝑦) < (cos‘𝑥))
77 0red 11264 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 ∈ ℝ)
78 simp1 1137 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)))
79 elico2 13451 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥 < (π / 2))))
805, 7, 79mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥 < (π / 2)))
8178, 80sylib 218 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥 < (π / 2)))
8281simp2d 1144 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 ≤ 𝑥)
83 simp3 1139 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 < 𝑦)
8477, 55, 36, 82, 83lelttrd 11419 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 < 𝑦)
85 simp2 1138 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)))
86 elico2 13451 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦𝑦 < (π / 2))))
875, 7, 86mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦𝑦 < (π / 2)))
8885, 87sylib 218 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦𝑦 < (π / 2)))
8988simp3d 1145 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 < (π / 2))
90 0xr 11308 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ*
91 elioo2 13428 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑦𝑦 < (π / 2))))
9290, 7, 91mp2an 692 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑦𝑦 < (π / 2)))
9336, 84, 89, 92syl3anbrc 1344 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ (0(,)(π / 2)))
94 sincosq1sgn 26540 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < (sin‘𝑦) ∧ 0 < (cos‘𝑦)))
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (0 < (sin‘𝑦) ∧ 0 < (cos‘𝑦)))
9695simprd 495 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 < (cos‘𝑦))
9795simpld 494 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 < (sin‘𝑦))
98 ltdiv2 12154 . . . . . . . . 9 ((((cos‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 < (cos‘𝑦)) ∧ ((cos‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (cos‘𝑥)) ∧ ((sin‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 < (sin‘𝑦))) → ((cos‘𝑦) < (cos‘𝑥) ↔ ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑥)) < ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑦))))
9941, 96, 38, 57, 37, 97, 98syl222anc 1388 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((cos‘𝑦) < (cos‘𝑥) ↔ ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑥)) < ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑦))))
10076, 99mpbid 232 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑥)) < ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑦)))
10134, 40, 47, 60, 100lttrd 11422 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)) < ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑦)))
10210recnd 11289 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑥 ∈ ℂ)
103 tanval 16164 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝑥) ≠ 0) → (tan‘𝑥) = ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)))
104102, 28, 103syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → (tan‘𝑥) = ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)))
1051043ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (tan‘𝑥) = ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)))
10635recnd 11289 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑦 ∈ ℂ)
1071063ad2ant2 1135 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℂ)
108 tanval 16164 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝑦) ≠ 0) → (tan‘𝑦) = ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑦)))
109107, 46, 108syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (tan‘𝑦) = ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑦)))
110101, 105, 1093brtr4d 5175 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (tan‘𝑥) < (tan‘𝑦))
1111103expia 1122 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2))) → (𝑥 < 𝑦 → (tan‘𝑥) < (tan‘𝑦)))
112111adantl 481 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)))) → (𝑥 < 𝑦 → (tan‘𝑥) < (tan‘𝑦)))
1132, 3, 4, 9, 30, 112ltord1 11789 . 2 ((⊤ ∧ (𝐴 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝐵 ∈ (0[,)(π / 2)))) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (tan‘𝐴) < (tan‘𝐵)))
1141, 113mpan 690 1 ((𝐴 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝐵 ∈ (0[,)(π / 2))) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (tan‘𝐴) < (tan‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wtru 1541  wcel 2108  wne 2940  wss 3951   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  -cneg 11493   / cdiv 11920  2c2 12321  +crp 13034  (,)cioo 13387  [,)cico 13389  [,]cicc 13390  sincsin 16099  cosccos 16100  tanctan 16101  πcpi 16102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-tan 16107  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902
This theorem is referenced by:  tanord  26580
  Copyright terms: Public domain W3C validator