MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tanord1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tanord1 24690
Description: The tangent function is strictly increasing on the nonnegative part of its principal domain. (Lemma for tanord 24691.) (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.) Revised to replace an OLD theorem. (Revised by Wolf Lammen, 20-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
tanord1 ((𝐴 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝐵 ∈ (0[,)(π / 2))) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (tan‘𝐴) < (tan‘𝐵)))

Proof of Theorem tanord1
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tru 1661 . 2
2 fveq2 6437 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (tan‘𝑥) = (tan‘𝑦))
3 fveq2 6437 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (tan‘𝑥) = (tan‘𝐴))
4 fveq2 6437 . . 3 (𝑥 = 𝐵 → (tan‘𝑥) = (tan‘𝐵))
5 0re 10365 . . . 4 0 ∈ ℝ
6 halfpire 24623 . . . . 5 (π / 2) ∈ ℝ
76rexri 10422 . . . 4 (π / 2) ∈ ℝ*
8 icossre 12549 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → (0[,)(π / 2)) ⊆ ℝ)
95, 7, 8mp2an 683 . . 3 (0[,)(π / 2)) ⊆ ℝ
109sseli 3823 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑥 ∈ ℝ)
11 neghalfpirx 24625 . . . . . . . . 9 -(π / 2) ∈ ℝ*
12 pire 24617 . . . . . . . . . . 11 π ∈ ℝ
13 2re 11432 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
14 pipos 24619 . . . . . . . . . . 11 0 < π
15 2pos 11468 . . . . . . . . . . 11 0 < 2
1612, 13, 14, 15divgt0ii 11278 . . . . . . . . . 10 0 < (π / 2)
17 lt0neg2 10866 . . . . . . . . . . 11 ((π / 2) ∈ ℝ → (0 < (π / 2) ↔ -(π / 2) < 0))
186, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (0 < (π / 2) ↔ -(π / 2) < 0)
1916, 18mpbi 222 . . . . . . . . 9 -(π / 2) < 0
20 df-ioo 12474 . . . . . . . . . 10 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
21 df-ico 12476 . . . . . . . . . 10 [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
22 xrltletr 12283 . . . . . . . . . 10 ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((-(π / 2) < 0 ∧ 0 ≤ 𝑤) → -(π / 2) < 𝑤))
2320, 21, 22ixxss1 12488 . . . . . . . . 9 ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ -(π / 2) < 0) → (0[,)(π / 2)) ⊆ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
2411, 19, 23mp2an 683 . . . . . . . 8 (0[,)(π / 2)) ⊆ (-(π / 2)(,)(π / 2))
2524sseli 3823 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑥 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
26 cosq14gt0 24669 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 0 < (cos‘𝑥))
2725, 26syl 17 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → 0 < (cos‘𝑥))
2827gt0ne0d 10923 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → (cos‘𝑥) ≠ 0)
2910, 28retancld 15254 . . . 4 (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → (tan‘𝑥) ∈ ℝ)
3029adantl 475 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0[,)(π / 2))) → (tan‘𝑥) ∈ ℝ)
3110resincld 15252 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → (sin‘𝑥) ∈ ℝ)
3210recoscld 15253 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → (cos‘𝑥) ∈ ℝ)
3331, 32, 28redivcld 11186 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)) ∈ ℝ)
34333ad2ant1 1167 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)) ∈ ℝ)
359sseli 3823 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑦 ∈ ℝ)
36353ad2ant2 1168 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
3736resincld 15252 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (sin‘𝑦) ∈ ℝ)
38323ad2ant1 1167 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (cos‘𝑥) ∈ ℝ)
39283ad2ant1 1167 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (cos‘𝑥) ≠ 0)
4037, 38, 39redivcld 11186 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑥)) ∈ ℝ)
4136recoscld 15253 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (cos‘𝑦) ∈ ℝ)
4224sseli 3823 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑦 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
43 cosq14gt0 24669 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 0 < (cos‘𝑦))
4442, 43syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) → 0 < (cos‘𝑦))
4544gt0ne0d 10923 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) → (cos‘𝑦) ≠ 0)
46453ad2ant2 1168 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (cos‘𝑦) ≠ 0)
4737, 41, 46redivcld 11186 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑦)) ∈ ℝ)
48 ioossicc 12554 . . . . . . . . . . . 12 (-(π / 2)(,)(π / 2)) ⊆ (-(π / 2)[,](π / 2))
4924, 48sstri 3836 . . . . . . . . . . 11 (0[,)(π / 2)) ⊆ (-(π / 2)[,](π / 2))
5049sseli 3823 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)))
5149sseli 3823 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑦 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)))
52 sinord 24687 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2))) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (sin‘𝑥) < (sin‘𝑦)))
5350, 51, 52syl2an 589 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2))) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (sin‘𝑥) < (sin‘𝑦)))
5453biimp3a 1597 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (sin‘𝑥) < (sin‘𝑦))
55103ad2ant1 1167 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ)
5655resincld 15252 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (sin‘𝑥) ∈ ℝ)
57273ad2ant1 1167 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 < (cos‘𝑥))
58 ltdiv1 11224 . . . . . . . . 9 (((sin‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (sin‘𝑦) ∈ ℝ ∧ ((cos‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (cos‘𝑥))) → ((sin‘𝑥) < (sin‘𝑦) ↔ ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)) < ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑥))))
5956, 37, 38, 57, 58syl112anc 1497 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((sin‘𝑥) < (sin‘𝑦) ↔ ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)) < ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑥))))
6054, 59mpbid 224 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)) < ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑥)))
6112rexri 10422 . . . . . . . . . . . 12 π ∈ ℝ*
62 pirp 24620 . . . . . . . . . . . . 13 π ∈ ℝ+
63 rphalflt 12150 . . . . . . . . . . . . 13 (π ∈ ℝ+ → (π / 2) < π)
6462, 63ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (π / 2) < π
65 df-icc 12477 . . . . . . . . . . . . 13 [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)})
66 xrlttr 12266 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → ((𝑤 < (π / 2) ∧ (π / 2) < π) → 𝑤 < π))
67 xrltle 12275 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (𝑤 < π → 𝑤 ≤ π))
68673adant2 1165 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (𝑤 < π → 𝑤 ≤ π))
6966, 68syld 47 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → ((𝑤 < (π / 2) ∧ (π / 2) < π) → 𝑤 ≤ π))
7065, 21, 69ixxss2 12489 . . . . . . . . . . . 12 ((π ∈ ℝ* ∧ (π / 2) < π) → (0[,)(π / 2)) ⊆ (0[,]π))
7161, 64, 70mp2an 683 . . . . . . . . . . 11 (0[,)(π / 2)) ⊆ (0[,]π)
7271sseli 3823 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑥 ∈ (0[,]π))
7371sseli 3823 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑦 ∈ (0[,]π))
74 cosord 24685 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (cos‘𝑦) < (cos‘𝑥)))
7572, 73, 74syl2an 589 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2))) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (cos‘𝑦) < (cos‘𝑥)))
7675biimp3a 1597 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (cos‘𝑦) < (cos‘𝑥))
77 0red 10367 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 ∈ ℝ)
78 simp1 1170 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)))
79 elico2 12532 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥 < (π / 2))))
805, 7, 79mp2an 683 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥 < (π / 2)))
8178, 80sylib 210 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥 < (π / 2)))
8281simp2d 1177 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 ≤ 𝑥)
83 simp3 1172 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 < 𝑦)
8477, 55, 36, 82, 83lelttrd 10521 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 < 𝑦)
85 simp2 1171 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)))
86 elico2 12532 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦𝑦 < (π / 2))))
875, 7, 86mp2an 683 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦𝑦 < (π / 2)))
8885, 87sylib 210 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦𝑦 < (π / 2)))
8988simp3d 1178 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 < (π / 2))
90 0xr 10410 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ*
91 elioo2 12511 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑦𝑦 < (π / 2))))
9290, 7, 91mp2an 683 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑦𝑦 < (π / 2)))
9336, 84, 89, 92syl3anbrc 1447 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ (0(,)(π / 2)))
94 sincosq1sgn 24657 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < (sin‘𝑦) ∧ 0 < (cos‘𝑦)))
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (0 < (sin‘𝑦) ∧ 0 < (cos‘𝑦)))
9695simprd 491 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 < (cos‘𝑦))
9795simpld 490 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 < (sin‘𝑦))
98 ltdiv2 11246 . . . . . . . . 9 ((((cos‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 < (cos‘𝑦)) ∧ ((cos‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (cos‘𝑥)) ∧ ((sin‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 < (sin‘𝑦))) → ((cos‘𝑦) < (cos‘𝑥) ↔ ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑥)) < ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑦))))
9941, 96, 38, 57, 37, 97, 98syl222anc 1509 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((cos‘𝑦) < (cos‘𝑥) ↔ ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑥)) < ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑦))))
10076, 99mpbid 224 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑥)) < ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑦)))
10134, 40, 47, 60, 100lttrd 10524 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)) < ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑦)))
10210recnd 10392 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑥 ∈ ℂ)
103 tanval 15237 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝑥) ≠ 0) → (tan‘𝑥) = ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)))
104102, 28, 103syl2anc 579 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → (tan‘𝑥) = ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)))
1051043ad2ant1 1167 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (tan‘𝑥) = ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)))
10635recnd 10392 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑦 ∈ ℂ)
1071063ad2ant2 1168 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℂ)
108 tanval 15237 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝑦) ≠ 0) → (tan‘𝑦) = ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑦)))
109107, 46, 108syl2anc 579 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (tan‘𝑦) = ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑦)))
110101, 105, 1093brtr4d 4907 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (tan‘𝑥) < (tan‘𝑦))
1111103expia 1154 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2))) → (𝑥 < 𝑦 → (tan‘𝑥) < (tan‘𝑦)))
112111adantl 475 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)))) → (𝑥 < 𝑦 → (tan‘𝑥) < (tan‘𝑦)))
1132, 3, 4, 9, 30, 112ltord1 10885 . 2 ((⊤ ∧ (𝐴 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝐵 ∈ (0[,)(π / 2)))) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (tan‘𝐴) < (tan‘𝐵)))
1141, 113mpan 681 1 ((𝐴 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝐵 ∈ (0[,)(π / 2))) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (tan‘𝐴) < (tan‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1111   = wceq 1656  wtru 1657  wcel 2164  wne 2999  wss 3798   class class class wbr 4875  cfv 6127  (class class class)co 6910  cc 10257  cr 10258  0cc0 10259  *cxr 10397   < clt 10398  cle 10399  -cneg 10593   / cdiv 11016  2c2 11413  +crp 12119  (,)cioo 12470  [,)cico 12472  [,]cicc 12473  sincsin 15173  cosccos 15174  tanctan 15175  πcpi 15176
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337  ax-addf 10338  ax-mulf 10339
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-iin 4745  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-of 7162  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-supp 7565  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-2o 7832  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-pm 8130  df-ixp 8182  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-fsupp 8551  df-fi 8592  df-sup 8623  df-inf 8624  df-oi 8691  df-card 9085  df-cda 9312  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-z 11712  df-dec 11829  df-uz 11976  df-q 12079  df-rp 12120  df-xneg 12239  df-xadd 12240  df-xmul 12241  df-ioo 12474  df-ioc 12475  df-ico 12476  df-icc 12477  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-fl 12895  df-seq 13103  df-exp 13162  df-fac 13361  df-bc 13390  df-hash 13418  df-shft 14191  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-abs 14360  df-limsup 14586  df-clim 14603  df-rlim 14604  df-sum 14801  df-ef 15177  df-sin 15179  df-cos 15180  df-tan 15181  df-pi 15182  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-starv 16327  df-sca 16328  df-vsca 16329  df-ip 16330  df-tset 16331  df-ple 16332  df-ds 16334  df-unif 16335  df-hom 16336  df-cco 16337  df-rest 16443  df-topn 16444  df-0g 16462  df-gsum 16463  df-topgen 16464  df-pt 16465  df-prds 16468  df-xrs 16522  df-qtop 16527  df-imas 16528  df-xps 16530  df-mre 16606  df-mrc 16607  df-acs 16609  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-submnd 17696  df-mulg 17902  df-cntz 18107  df-cmn 18555  df-psmet 20105  df-xmet 20106  df-met 20107  df-bl 20108  df-mopn 20109  df-fbas 20110  df-fg 20111  df-cnfld 20114  df-top 21076  df-topon 21093  df-topsp 21115  df-bases 21128  df-cld 21201  df-ntr 21202  df-cls 21203  df-nei 21280  df-lp 21318  df-perf 21319  df-cn 21409  df-cnp 21410  df-haus 21497  df-tx 21743  df-hmeo 21936  df-fil 22027  df-fm 22119  df-flim 22120  df-flf 22121  df-xms 22502  df-ms 22503  df-tms 22504  df-cncf 23058  df-limc 24036  df-dv 24037
This theorem is referenced by:  tanord  24691
  Copyright terms: Public domain W3C validator