MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tanord1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tanord1 24575
Description: The tangent function is strictly increasing on the nonnegative part of its principal domain. (Lemma for tanord 24576.) (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.) Revised to replace an OLD theorem. (Revised by Wolf Lammen, 20-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
tanord1 ((𝐴 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝐵 ∈ (0[,)(π / 2))) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (tan‘𝐴) < (tan‘𝐵)))

Proof of Theorem tanord1
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tru 1657 . 2
2 fveq2 6375 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (tan‘𝑥) = (tan‘𝑦))
3 fveq2 6375 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (tan‘𝑥) = (tan‘𝐴))
4 fveq2 6375 . . 3 (𝑥 = 𝐵 → (tan‘𝑥) = (tan‘𝐵))
5 0re 10295 . . . 4 0 ∈ ℝ
6 halfpire 24508 . . . . 5 (π / 2) ∈ ℝ
76rexri 10351 . . . 4 (π / 2) ∈ ℝ*
8 icossre 12456 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → (0[,)(π / 2)) ⊆ ℝ)
95, 7, 8mp2an 683 . . 3 (0[,)(π / 2)) ⊆ ℝ
109sseli 3757 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑥 ∈ ℝ)
11 neghalfpirx 24510 . . . . . . . . 9 -(π / 2) ∈ ℝ*
12 pire 24502 . . . . . . . . . . 11 π ∈ ℝ
13 2re 11346 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
14 pipos 24504 . . . . . . . . . . 11 0 < π
15 2pos 11382 . . . . . . . . . . 11 0 < 2
1612, 13, 14, 15divgt0ii 11195 . . . . . . . . . 10 0 < (π / 2)
17 lt0neg2 10789 . . . . . . . . . . 11 ((π / 2) ∈ ℝ → (0 < (π / 2) ↔ -(π / 2) < 0))
186, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (0 < (π / 2) ↔ -(π / 2) < 0)
1916, 18mpbi 221 . . . . . . . . 9 -(π / 2) < 0
20 df-ioo 12381 . . . . . . . . . 10 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
21 df-ico 12383 . . . . . . . . . 10 [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
22 xrltletr 12190 . . . . . . . . . 10 ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((-(π / 2) < 0 ∧ 0 ≤ 𝑤) → -(π / 2) < 𝑤))
2320, 21, 22ixxss1 12395 . . . . . . . . 9 ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ -(π / 2) < 0) → (0[,)(π / 2)) ⊆ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
2411, 19, 23mp2an 683 . . . . . . . 8 (0[,)(π / 2)) ⊆ (-(π / 2)(,)(π / 2))
2524sseli 3757 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑥 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
26 cosq14gt0 24554 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 0 < (cos‘𝑥))
2725, 26syl 17 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → 0 < (cos‘𝑥))
2827gt0ne0d 10846 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → (cos‘𝑥) ≠ 0)
2910, 28retancld 15157 . . . 4 (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → (tan‘𝑥) ∈ ℝ)
3029adantl 473 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0[,)(π / 2))) → (tan‘𝑥) ∈ ℝ)
3110resincld 15155 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → (sin‘𝑥) ∈ ℝ)
3210recoscld 15156 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → (cos‘𝑥) ∈ ℝ)
3331, 32, 28redivcld 11107 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)) ∈ ℝ)
34333ad2ant1 1163 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)) ∈ ℝ)
359sseli 3757 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑦 ∈ ℝ)
36353ad2ant2 1164 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
3736resincld 15155 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (sin‘𝑦) ∈ ℝ)
38323ad2ant1 1163 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (cos‘𝑥) ∈ ℝ)
39283ad2ant1 1163 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (cos‘𝑥) ≠ 0)
4037, 38, 39redivcld 11107 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑥)) ∈ ℝ)
4136recoscld 15156 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (cos‘𝑦) ∈ ℝ)
4224sseli 3757 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑦 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
43 cosq14gt0 24554 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 0 < (cos‘𝑦))
4442, 43syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) → 0 < (cos‘𝑦))
4544gt0ne0d 10846 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) → (cos‘𝑦) ≠ 0)
46453ad2ant2 1164 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (cos‘𝑦) ≠ 0)
4737, 41, 46redivcld 11107 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑦)) ∈ ℝ)
48 ioossicc 12461 . . . . . . . . . . . 12 (-(π / 2)(,)(π / 2)) ⊆ (-(π / 2)[,](π / 2))
4924, 48sstri 3770 . . . . . . . . . . 11 (0[,)(π / 2)) ⊆ (-(π / 2)[,](π / 2))
5049sseli 3757 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)))
5149sseli 3757 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑦 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)))
52 sinord 24572 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2))) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (sin‘𝑥) < (sin‘𝑦)))
5350, 51, 52syl2an 589 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2))) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (sin‘𝑥) < (sin‘𝑦)))
5453biimp3a 1593 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (sin‘𝑥) < (sin‘𝑦))
55103ad2ant1 1163 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ)
5655resincld 15155 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (sin‘𝑥) ∈ ℝ)
57273ad2ant1 1163 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 < (cos‘𝑥))
58 ltdiv1 11141 . . . . . . . . 9 (((sin‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (sin‘𝑦) ∈ ℝ ∧ ((cos‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (cos‘𝑥))) → ((sin‘𝑥) < (sin‘𝑦) ↔ ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)) < ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑥))))
5956, 37, 38, 57, 58syl112anc 1493 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((sin‘𝑥) < (sin‘𝑦) ↔ ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)) < ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑥))))
6054, 59mpbid 223 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)) < ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑥)))
6112rexri 10351 . . . . . . . . . . . 12 π ∈ ℝ*
62 pirp 24505 . . . . . . . . . . . . 13 π ∈ ℝ+
63 rphalflt 12058 . . . . . . . . . . . . 13 (π ∈ ℝ+ → (π / 2) < π)
6462, 63ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (π / 2) < π
65 df-icc 12384 . . . . . . . . . . . . 13 [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)})
66 xrlttr 12173 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → ((𝑤 < (π / 2) ∧ (π / 2) < π) → 𝑤 < π))
67 xrltle 12182 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (𝑤 < π → 𝑤 ≤ π))
68673adant2 1161 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (𝑤 < π → 𝑤 ≤ π))
6966, 68syld 47 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → ((𝑤 < (π / 2) ∧ (π / 2) < π) → 𝑤 ≤ π))
7065, 21, 69ixxss2 12396 . . . . . . . . . . . 12 ((π ∈ ℝ* ∧ (π / 2) < π) → (0[,)(π / 2)) ⊆ (0[,]π))
7161, 64, 70mp2an 683 . . . . . . . . . . 11 (0[,)(π / 2)) ⊆ (0[,]π)
7271sseli 3757 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑥 ∈ (0[,]π))
7371sseli 3757 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑦 ∈ (0[,]π))
74 cosord 24570 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (cos‘𝑦) < (cos‘𝑥)))
7572, 73, 74syl2an 589 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2))) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (cos‘𝑦) < (cos‘𝑥)))
7675biimp3a 1593 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (cos‘𝑦) < (cos‘𝑥))
77 0red 10297 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 ∈ ℝ)
78 simp1 1166 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)))
79 elico2 12439 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥 < (π / 2))))
805, 7, 79mp2an 683 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥 < (π / 2)))
8178, 80sylib 209 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥 < (π / 2)))
8281simp2d 1173 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 ≤ 𝑥)
83 simp3 1168 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 < 𝑦)
8477, 55, 36, 82, 83lelttrd 10449 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 < 𝑦)
85 simp2 1167 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)))
86 elico2 12439 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦𝑦 < (π / 2))))
875, 7, 86mp2an 683 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦𝑦 < (π / 2)))
8885, 87sylib 209 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦𝑦 < (π / 2)))
8988simp3d 1174 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 < (π / 2))
90 0xr 10340 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ*
91 elioo2 12418 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑦𝑦 < (π / 2))))
9290, 7, 91mp2an 683 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑦𝑦 < (π / 2)))
9336, 84, 89, 92syl3anbrc 1443 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ (0(,)(π / 2)))
94 sincosq1sgn 24542 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < (sin‘𝑦) ∧ 0 < (cos‘𝑦)))
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (0 < (sin‘𝑦) ∧ 0 < (cos‘𝑦)))
9695simprd 489 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 < (cos‘𝑦))
9795simpld 488 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 < (sin‘𝑦))
98 ltdiv2 11163 . . . . . . . . 9 ((((cos‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 < (cos‘𝑦)) ∧ ((cos‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (cos‘𝑥)) ∧ ((sin‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 < (sin‘𝑦))) → ((cos‘𝑦) < (cos‘𝑥) ↔ ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑥)) < ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑦))))
9941, 96, 38, 57, 37, 97, 98syl222anc 1505 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((cos‘𝑦) < (cos‘𝑥) ↔ ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑥)) < ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑦))))
10076, 99mpbid 223 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑥)) < ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑦)))
10134, 40, 47, 60, 100lttrd 10452 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)) < ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑦)))
10210recnd 10322 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑥 ∈ ℂ)
103 tanval 15140 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝑥) ≠ 0) → (tan‘𝑥) = ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)))
104102, 28, 103syl2anc 579 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → (tan‘𝑥) = ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)))
1051043ad2ant1 1163 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (tan‘𝑥) = ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)))
10635recnd 10322 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑦 ∈ ℂ)
1071063ad2ant2 1164 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℂ)
108 tanval 15140 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝑦) ≠ 0) → (tan‘𝑦) = ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑦)))
109107, 46, 108syl2anc 579 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (tan‘𝑦) = ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑦)))
110101, 105, 1093brtr4d 4841 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (tan‘𝑥) < (tan‘𝑦))
1111103expia 1150 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2))) → (𝑥 < 𝑦 → (tan‘𝑥) < (tan‘𝑦)))
112111adantl 473 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)))) → (𝑥 < 𝑦 → (tan‘𝑥) < (tan‘𝑦)))
1132, 3, 4, 9, 30, 112ltord1 10808 . 2 ((⊤ ∧ (𝐴 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝐵 ∈ (0[,)(π / 2)))) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (tan‘𝐴) < (tan‘𝐵)))
1141, 113mpan 681 1 ((𝐴 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝐵 ∈ (0[,)(π / 2))) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (tan‘𝐴) < (tan‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wtru 1653  wcel 2155  wne 2937  wss 3732   class class class wbr 4809  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189  *cxr 10327   < clt 10328  cle 10329  -cneg 10521   / cdiv 10938  2c2 11327  +crp 12028  (,)cioo 12377  [,)cico 12379  [,]cicc 12380  sincsin 15076  cosccos 15077  tanctan 15078  πcpi 15079
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ioo 12381  df-ioc 12382  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14092  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-limsup 14487  df-clim 14504  df-rlim 14505  df-sum 14702  df-ef 15080  df-sin 15082  df-cos 15083  df-tan 15084  df-pi 15085  df-struct 16132  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-plusg 16227  df-mulr 16228  df-starv 16229  df-sca 16230  df-vsca 16231  df-ip 16232  df-tset 16233  df-ple 16234  df-ds 16236  df-unif 16237  df-hom 16238  df-cco 16239  df-rest 16349  df-topn 16350  df-0g 16368  df-gsum 16369  df-topgen 16370  df-pt 16371  df-prds 16374  df-xrs 16428  df-qtop 16433  df-imas 16434  df-xps 16436  df-mre 16512  df-mrc 16513  df-acs 16515  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-submnd 17602  df-mulg 17808  df-cntz 18013  df-cmn 18461  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-fbas 20016  df-fg 20017  df-cnfld 20020  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-cld 21103  df-ntr 21104  df-cls 21105  df-nei 21182  df-lp 21220  df-perf 21221  df-cn 21311  df-cnp 21312  df-haus 21399  df-tx 21645  df-hmeo 21838  df-fil 21929  df-fm 22021  df-flim 22022  df-flf 22023  df-xms 22404  df-ms 22405  df-tms 22406  df-cncf 22960  df-limc 23921  df-dv 23922
This theorem is referenced by:  tanord  24576
  Copyright terms: Public domain W3C validator