Theorem tanord1 26533

Description: The tangent function is strictly increasing on the nonnegative part of its principal domain. (Lemma for tanord 26534.) (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.) Revised to replace an OLD theorem. (Revised by Wolf Lammen, 20-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
tanord1	⊢ ((𝐴 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝐵 ∈ (0[,)(π / 2))) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (tan‘𝐴) < (tan‘𝐵)))

Proof of Theorem tanord1

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tru 1537	. 2 ⊢ ⊤
2		fveq2 6896	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (tan‘𝑥) = (tan‘𝑦))
3		fveq2 6896	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (tan‘𝑥) = (tan‘𝐴))
4		fveq2 6896	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (tan‘𝑥) = (tan‘𝐵))
5		0re 11253	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
6		halfpire 26461	. . . . 5 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
7	6	rexri 11309	. . . 4 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ*
8		icossre 13445	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → (0[,)(π / 2)) ⊆ ℝ)
9	5, 7, 8	mp2an 690	. . 3 ⊢ (0[,)(π / 2)) ⊆ ℝ
10	9	sseli 3972	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑥 ∈ ℝ)
11		neghalfpirx 26463	. . . . . . . . 9 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ*
12		pire 26455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℝ
13		2re 12324	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
14		pipos 26457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < π
15		2pos 12353	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 2
16	12, 13, 14, 15	divgt0ii 12169	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < (π / 2)
17		lt0neg2 11758	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ → (0 < (π / 2) ↔ -(π / 2) < 0))
18	6, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 < (π / 2) ↔ -(π / 2) < 0)
19	16, 18	mpbi 229	. . . . . . . . 9 ⊢ -(π / 2) < 0
20		df-ioo 13368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
21		df-ico 13370	. . . . . . . . . 10 ⊢ [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
22		xrltletr 13176	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → ((-(π / 2) < 0 ∧ 0 ≤ 𝑤) → -(π / 2) < 𝑤))
23	20, 21, 22	ixxss1 13382	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ -(π / 2) < 0) → (0[,)(π / 2)) ⊆ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
24	11, 19, 23	mp2an 690	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,)(π / 2)) ⊆ (-(π / 2)(,)(π / 2))
25	24	sseli 3972	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑥 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
26		cosq14gt0 26507	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 0 < (cos‘𝑥))
27	25, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → 0 < (cos‘𝑥))
28	27	gt0ne0d 11815	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → (cos‘𝑥) ≠ 0)
29	10, 28	retancld 16133	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → (tan‘𝑥) ∈ ℝ)
30	29	adantl 480	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0[,)(π / 2))) → (tan‘𝑥) ∈ ℝ)
31	10	resincld 16131	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → (sin‘𝑥) ∈ ℝ)
32	10	recoscld 16132	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → (cos‘𝑥) ∈ ℝ)
33	31, 32, 28	redivcld 12080	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)) ∈ ℝ)
34	33	3ad2ant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)) ∈ ℝ)
35	9	sseli 3972	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑦 ∈ ℝ)
36	35	3ad2ant2 1131	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
37	36	resincld 16131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (sin‘𝑦) ∈ ℝ)
38	32	3ad2ant1 1130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (cos‘𝑥) ∈ ℝ)
39	28	3ad2ant1 1130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (cos‘𝑥) ≠ 0)
40	37, 38, 39	redivcld 12080	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑥)) ∈ ℝ)
41	36	recoscld 16132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (cos‘𝑦) ∈ ℝ)
42	24	sseli 3972	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑦 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
43		cosq14gt0 26507	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 0 < (cos‘𝑦))
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) → 0 < (cos‘𝑦))
45	44	gt0ne0d 11815	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) → (cos‘𝑦) ≠ 0)
46	45	3ad2ant2 1131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (cos‘𝑦) ≠ 0)
47	37, 41, 46	redivcld 12080	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑦)) ∈ ℝ)
48		ioossicc 13450	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ⊆ (-(π / 2)[,](π / 2))
49	24, 48	sstri 3986	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0[,)(π / 2)) ⊆ (-(π / 2)[,](π / 2))
50	49	sseli 3972	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)))
51	49	sseli 3972	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑦 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)))
52		sinord 26530	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2))) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (sin‘𝑥) < (sin‘𝑦)))
53	50, 51, 52	syl2an 594	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2))) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (sin‘𝑥) < (sin‘𝑦)))
54	53	biimp3a 1465	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (sin‘𝑥) < (sin‘𝑦))
55	10	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ)
56	55	resincld 16131	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (sin‘𝑥) ∈ ℝ)
57	27	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 < (cos‘𝑥))
58		ltdiv1 12116	. . . . . . . . 9 ⊢ (((sin‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (sin‘𝑦) ∈ ℝ ∧ ((cos‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (cos‘𝑥))) → ((sin‘𝑥) < (sin‘𝑦) ↔ ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)) < ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑥))))
59	56, 37, 38, 57, 58	syl112anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((sin‘𝑥) < (sin‘𝑦) ↔ ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)) < ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑥))))
60	54, 59	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)) < ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑥)))
61	12	rexri 11309	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ π ∈ ℝ*
62		pirp 26458	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ∈ ℝ+
63		rphalflt 13043	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (π ∈ ℝ+ → (π / 2) < π)
64	62, 63	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (π / 2) < π
65		df-icc 13371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
66		xrlttr 13159	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → ((𝑤 < (π / 2) ∧ (π / 2) < π) → 𝑤 < π))
67		xrltle 13168	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (𝑤 < π → 𝑤 ≤ π))
68	67	3adant2 1128	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (𝑤 < π → 𝑤 ≤ π))
69	66, 68	syld 47	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → ((𝑤 < (π / 2) ∧ (π / 2) < π) → 𝑤 ≤ π))
70	65, 21, 69	ixxss2 13383	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((π ∈ ℝ* ∧ (π / 2) < π) → (0[,)(π / 2)) ⊆ (0[,]π))
71	61, 64, 70	mp2an 690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0[,)(π / 2)) ⊆ (0[,]π)
72	71	sseli 3972	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑥 ∈ (0[,]π))
73	71	sseli 3972	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑦 ∈ (0[,]π))
74		cosord 26527	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (cos‘𝑦) < (cos‘𝑥)))
75	72, 73, 74	syl2an 594	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2))) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (cos‘𝑦) < (cos‘𝑥)))
76	75	biimp3a 1465	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (cos‘𝑦) < (cos‘𝑥))
77		0red 11254	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 ∈ ℝ)
78		simp1 1133	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)))
79		elico2 13428	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (π / 2))))
80	5, 7, 79	mp2an 690	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (π / 2)))
81	78, 80	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (π / 2)))
82	81	simp2d 1140	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 ≤ 𝑥)
83		simp3 1135	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 < 𝑦)
84	77, 55, 36, 82, 83	lelttrd 11409	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 < 𝑦)
85		simp2 1134	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)))
86		elico2 13428	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (π / 2))))
87	5, 7, 86	mp2an 690	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (π / 2)))
88	85, 87	sylib 217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (π / 2)))
89	88	simp3d 1141	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 < (π / 2))
90		0xr 11298	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℝ*
91		elioo2 13405	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < (π / 2))))
92	90, 7, 91	mp2an 690	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < (π / 2)))
93	36, 84, 89, 92	syl3anbrc 1340	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ (0(,)(π / 2)))
94		sincosq1sgn 26495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < (sin‘𝑦) ∧ 0 < (cos‘𝑦)))
95	93, 94	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (0 < (sin‘𝑦) ∧ 0 < (cos‘𝑦)))
96	95	simprd 494	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 < (cos‘𝑦))
97	95	simpld 493	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 < (sin‘𝑦))
98		ltdiv2 12138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((cos‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 < (cos‘𝑦)) ∧ ((cos‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (cos‘𝑥)) ∧ ((sin‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 < (sin‘𝑦))) → ((cos‘𝑦) < (cos‘𝑥) ↔ ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑥)) < ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑦))))
99	41, 96, 38, 57, 37, 97, 98	syl222anc 1383	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((cos‘𝑦) < (cos‘𝑥) ↔ ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑥)) < ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑦))))
100	76, 99	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑥)) < ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑦)))
101	34, 40, 47, 60, 100	lttrd 11412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)) < ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑦)))
102	10	recnd 11279	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑥 ∈ ℂ)
103		tanval 16116	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝑥) ≠ 0) → (tan‘𝑥) = ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)))
104	102, 28, 103	syl2anc 582	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) → (tan‘𝑥) = ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)))
105	104	3ad2ant1 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (tan‘𝑥) = ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)))
106	35	recnd 11279	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) → 𝑦 ∈ ℂ)
107	106	3ad2ant2 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℂ)
108		tanval 16116	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝑦) ≠ 0) → (tan‘𝑦) = ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑦)))
109	107, 46, 108	syl2anc 582	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (tan‘𝑦) = ((sin‘𝑦) / (cos‘𝑦)))
110	101, 105, 109	3brtr4d 5181	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (tan‘𝑥) < (tan‘𝑦))
111	110	3expia 1118	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2))) → (𝑥 < 𝑦 → (tan‘𝑥) < (tan‘𝑦)))
112	111	adantl 480	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)(π / 2)))) → (𝑥 < 𝑦 → (tan‘𝑥) < (tan‘𝑦)))
113	2, 3, 4, 9, 30, 112	ltord1 11777	. 2 ⊢ ((⊤ ∧ (𝐴 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝐵 ∈ (0[,)(π / 2)))) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (tan‘𝐴) < (tan‘𝐵)))
114	1, 113	mpan 688	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,)(π / 2)) ∧ 𝐵 ∈ (0[,)(π / 2))) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (tan‘𝐴) < (tan‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  ⊤wtru 1534   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929   ⊆ wss 3944   class class class wbr 5149  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  ℂcc 11143  ℝcr 11144  0cc0 11145  ℝ^*cxr 11284   < clt 11285   ≤ cle 11286  -cneg 11482   / cdiv 11908  2c2 12305  ℝ⁺crp 13014  (,)cioo 13364  [,)cico 13366  [,]cicc 13367  sincsin 16051  cosccos 16052  tanctan 16053  πcpi 16054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9671  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222  ax-pre-sup 11223  ax-addf 11224

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9393  df-fi 9441  df-sup 9472  df-inf 9473  df-oi 9540  df-card 9969  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-div 11909  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13368  df-ioc 13369  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13798  df-seq 14008  df-exp 14068  df-fac 14277  df-bc 14306  df-hash 14334  df-shft 15058  df-cj 15090  df-re 15091  df-im 15092  df-sqrt 15226  df-abs 15227  df-limsup 15459  df-clim 15476  df-rlim 15477  df-sum 15677  df-ef 16055  df-sin 16057  df-cos 16058  df-tan 16059  df-pi 16060  df-struct 17135  df-sets 17152  df-slot 17170  df-ndx 17182  df-base 17200  df-ress 17229  df-plusg 17265  df-mulr 17266  df-starv 17267  df-sca 17268  df-vsca 17269  df-ip 17270  df-tset 17271  df-ple 17272  df-ds 17274  df-unif 17275  df-hom 17276  df-cco 17277  df-rest 17423  df-topn 17424  df-0g 17442  df-gsum 17443  df-topgen 17444  df-pt 17445  df-prds 17448  df-xrs 17503  df-qtop 17508  df-imas 17509  df-xps 17511  df-mre 17585  df-mrc 17586  df-acs 17588  df-mgm 18619  df-sgrp 18698  df-mnd 18714  df-submnd 18760  df-mulg 19048  df-cntz 19297  df-cmn 19766  df-psmet 21305  df-xmet 21306  df-met 21307  df-bl 21308  df-mopn 21309  df-fbas 21310  df-fg 21311  df-cnfld 21314  df-top 22857  df-topon 22874  df-topsp 22896  df-bases 22910  df-cld 22984  df-ntr 22985  df-cls 22986  df-nei 23063  df-lp 23101  df-perf 23102  df-cn 23192  df-cnp 23193  df-haus 23280  df-tx 23527  df-hmeo 23720  df-fil 23811  df-fm 23903  df-flim 23904  df-flf 23905  df-xms 24287  df-ms 24288  df-tms 24289  df-cncf 24859  df-limc 25856  df-dv 25857

This theorem is referenced by:  tanord  26534