Theorem iooss1 13408

Description: Subset relationship for open intervals of extended reals. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iooss1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐴(,)𝐶))

Proof of Theorem iooss1

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ioo 13377	. 2 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
2		xrlelttr 13182	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝑤) → 𝐴 < 𝑤))
3	1, 1, 2	ixxss1 13391	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐴(,)𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5110  (class class class)co 7412  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244   ≤ cle 11245  (,)cioo 13373

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-ioo 13377

This theorem is referenced by:  ioodisj  13510  tgqioo  24938  ioorcl2  25712  itg2gt0  25900  itgsplitioo  25978  ditgcl  25998  ditgswap  25999  ditgsplitlem  26000  dvferm1lem  26124  dvferm  26128  dvlip  26133  dvgt0lem1  26142  dvivthlem1  26148  lhop1lem  26153  lhop2  26155  dvcvx  26160  dvfsumle  26161  dvfsumge  26162  dvfsumabs  26163  ftc1lem1  26175  ftc1a  26177  ftc1lem4  26179  ftc2ditglem  26185  tanregt0  26682  basellem4  27226  pntlemp  27752  radcnvrat  45004  limcresiooub  46336  fourierdlem46  46846  fourierdlem48  46848  fourierdlem49  46849  fourierdlem74  46874  fourierdlem104  46904  fourierdlem113  46913  fouriersw  46925