Theorem iooss1 13392

Description: Subset relationship for open intervals of extended reals. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iooss1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐴(,)𝐶))

Proof of Theorem iooss1

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ioo 13361	. 2 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
2		xrlelttr 13168	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝑤) → 𝐴 < 𝑤))
3	1, 1, 2	ixxss1 13375	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐴(,)𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2099   ⊆ wss 3947   class class class wbr 5148  (class class class)co 7420  ℝ^*cxr 11278   < clt 11279   ≤ cle 11280  (,)cioo 13357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-ioo 13361

This theorem is referenced by:  ioodisj  13492  tgqioo  24729  ioorcl2  25514  itg2gt0  25703  itgsplitioo  25780  ditgcl  25800  ditgswap  25801  ditgsplitlem  25802  dvferm1lem  25929  dvferm  25933  dvlip  25939  dvgt0lem1  25948  dvivthlem1  25954  lhop1lem  25959  lhop2  25961  dvcvx  25966  dvfsumle  25967  dvfsumleOLD  25968  dvfsumge  25969  dvfsumabs  25970  ftc1lem1  25983  ftc1a  25985  ftc1lem4  25987  ftc2ditglem  25993  tanregt0  26486  basellem4  27029  pntlemp  27556  radcnvrat  43751  limcresiooub  45030  fourierdlem46  45540  fourierdlem48  45542  fourierdlem49  45543  fourierdlem74  45568  fourierdlem104  45598  fourierdlem113  45607  fouriersw  45619