Theorem iooss1 13280

Description: Subset relationship for open intervals of extended reals. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iooss1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐴(,)𝐶))

Proof of Theorem iooss1

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ioo 13249	. 2 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
2		xrlelttr 13055	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝑤) → 𝐴 < 𝑤))
3	1, 1, 2	ixxss1 13263	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐴(,)𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3897   class class class wbr 5089  (class class class)co 7346  ℝ^*cxr 11145   < clt 11146   ≤ cle 11147  (,)cioo 13245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-ioo 13249

This theorem is referenced by:  ioodisj  13382  tgqioo  24715  ioorcl2  25500  itg2gt0  25688  itgsplitioo  25766  ditgcl  25786  ditgswap  25787  ditgsplitlem  25788  dvferm1lem  25915  dvferm  25919  dvlip  25925  dvgt0lem1  25934  dvivthlem1  25940  lhop1lem  25945  lhop2  25947  dvcvx  25952  dvfsumle  25953  dvfsumleOLD  25954  dvfsumge  25955  dvfsumabs  25956  ftc1lem1  25969  ftc1a  25971  ftc1lem4  25973  ftc2ditglem  25979  tanregt0  26475  basellem4  27021  pntlemp  27548  radcnvrat  44406  limcresiooub  45739  fourierdlem46  46249  fourierdlem48  46251  fourierdlem49  46252  fourierdlem74  46277  fourierdlem104  46307  fourierdlem113  46316  fouriersw  46328