MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iooss1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iooss1 13306
Description: Subset relationship for open intervals of extended reals. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
iooss1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐴(,)𝐶))

Proof of Theorem iooss1
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ioo 13275 . 2 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
2 xrlelttr 13082 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐵𝐵 < 𝑤) → 𝐴 < 𝑤))
31, 1, 2ixxss1 13289 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐴(,)𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wcel 2107  wss 3915   class class class wbr 5110  (class class class)co 7362  *cxr 11195   < clt 11196  cle 11197  (,)cioo 13271
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-ioo 13275
This theorem is referenced by:  ioodisj  13406  tgqioo  24179  ioorcl2  24952  itg2gt0  25141  itgsplitioo  25218  ditgcl  25238  ditgswap  25239  ditgsplitlem  25240  dvferm1lem  25364  dvferm  25368  dvlip  25373  dvgt0lem1  25382  dvivthlem1  25388  lhop1lem  25393  lhop2  25395  dvcvx  25400  dvfsumle  25401  dvfsumge  25402  dvfsumabs  25403  ftc1lem1  25415  ftc1a  25417  ftc1lem4  25419  ftc2ditglem  25425  tanregt0  25911  basellem4  26449  pntlemp  26974  radcnvrat  42668  limcresiooub  43957  fourierdlem46  44467  fourierdlem48  44469  fourierdlem49  44470  fourierdlem74  44495  fourierdlem104  44525  fourierdlem113  44534  fouriersw  44546
  Copyright terms: Public domain W3C validator