MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iooss1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iooss1 13362
Description: Subset relationship for open intervals of extended reals. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
iooss1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐴(,)𝐶))

Proof of Theorem iooss1
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ioo 13331 . 2 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
2 xrlelttr 13138 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐵𝐵 < 𝑤) → 𝐴 < 𝑤))
31, 1, 2ixxss1 13345 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐴(,)𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2098  wss 3943   class class class wbr 5141  (class class class)co 7404  *cxr 11248   < clt 11249  cle 11250  (,)cioo 13327
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-ioo 13331
This theorem is referenced by:  ioodisj  13462  tgqioo  24667  ioorcl2  25452  itg2gt0  25641  itgsplitioo  25718  ditgcl  25738  ditgswap  25739  ditgsplitlem  25740  dvferm1lem  25867  dvferm  25871  dvlip  25877  dvgt0lem1  25886  dvivthlem1  25892  lhop1lem  25897  lhop2  25899  dvcvx  25904  dvfsumle  25905  dvfsumleOLD  25906  dvfsumge  25907  dvfsumabs  25908  ftc1lem1  25921  ftc1a  25923  ftc1lem4  25925  ftc2ditglem  25931  tanregt0  26424  basellem4  26967  pntlemp  27494  radcnvrat  43630  limcresiooub  44911  fourierdlem46  45421  fourierdlem48  45423  fourierdlem49  45424  fourierdlem74  45449  fourierdlem104  45479  fourierdlem113  45488  fouriersw  45500
  Copyright terms: Public domain W3C validator