Theorem limsupgord 15421

Description: Ordering property of the superior limit function. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
limsupgord	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → sup(((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ sup(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))

Proof of Theorem limsupgord

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 11265	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2	1	3ad2ant1 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		simp3 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
4		df-ico 13335	. . . . . 6 ⊢ [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
5		xrletr 13142	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑤) → 𝐴 ≤ 𝑤))
6	4, 4, 5	ixxss1 13347	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵[,)+∞) ⊆ (𝐴[,)+∞))
7	2, 3, 6	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵[,)+∞) ⊆ (𝐴[,)+∞))
8		imass2 6102	. . . 4 ⊢ ((𝐵[,)+∞) ⊆ (𝐴[,)+∞) → (𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ⊆ (𝐹 “ (𝐴[,)+∞)))
9		ssrin 4234	. . . 4 ⊢ ((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ⊆ (𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) → ((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*))
10	7, 8, 9	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*))
11		inss2 4230	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
12		supxrcl 13299	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ* → sup(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ sup(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*
14		xrleid 13135	. . . . 5 ⊢ (sup(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ* → sup(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ sup(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
15	13, 14	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ sup(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ sup(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )
16		supxrleub 13310	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ* ∧ sup(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (sup(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ sup(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥 ≤ sup(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
17	11, 13, 16	mp2an 689	. . . 4 ⊢ (sup(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ sup(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥 ≤ sup(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
18	15, 17	mpbi 229	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥 ≤ sup(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )
19		ssralv 4051	. . 3 ⊢ (((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*) → (∀𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥 ≤ sup(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) → ∀𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥 ≤ sup(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
20	10, 18, 19	mpisyl 21	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥 ≤ sup(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
21		inss2 4230	. . 3 ⊢ ((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
22		supxrleub 13310	. . 3 ⊢ ((((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ* ∧ sup(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (sup(((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ sup(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥 ≤ sup(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
23	21, 13, 22	mp2an 689	. 2 ⊢ (sup(((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ sup(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥 ≤ sup(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
24	20, 23	sylibr 233	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → sup(((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ sup(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2105  ∀wral 3060   ∩ cin 3948   ⊆ wss 3949   class class class wbr 5149   “ cima 5680  (class class class)co 7412  supcsup 9438  ℝcr 11112  +∞cpnf 11250  ℝ^*cxr 11252   < clt 11253   ≤ cle 11254  [,)cico 13331

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9440  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-ico 13335

This theorem is referenced by:  limsupval2  15429