MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limsupgord Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupgord 15418
Description: Ordering property of the superior limit function. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
limsupgord ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → sup(((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ sup(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))

Proof of Theorem limsupgord
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rexr 11262 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
213ad2ant1 1133 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3 simp3 1138 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
4 df-ico 13332 . . . . . 6 [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
5 xrletr 13139 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐵𝐵𝑤) → 𝐴𝑤))
64, 4, 5ixxss1 13344 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → (𝐵[,)+∞) ⊆ (𝐴[,)+∞))
72, 3, 6syl2anc 584 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵[,)+∞) ⊆ (𝐴[,)+∞))
8 imass2 6101 . . . 4 ((𝐵[,)+∞) ⊆ (𝐴[,)+∞) → (𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ⊆ (𝐹 “ (𝐴[,)+∞)))
9 ssrin 4233 . . . 4 ((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ⊆ (𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) → ((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*))
107, 8, 93syl 18 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*))
11 inss2 4229 . . . . . 6 ((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
12 supxrcl 13296 . . . . . 6 (((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ* → sup(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
1311, 12ax-mp 5 . . . . 5 sup(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*
14 xrleid 13132 . . . . 5 (sup(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ* → sup(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ sup(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
1513, 14ax-mp 5 . . . 4 sup(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ sup(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )
16 supxrleub 13307 . . . . 5 ((((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ* ∧ sup(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (sup(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ sup(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥 ≤ sup(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
1711, 13, 16mp2an 690 . . . 4 (sup(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ sup(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥 ≤ sup(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
1815, 17mpbi 229 . . 3 𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥 ≤ sup(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )
19 ssralv 4050 . . 3 (((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*) → (∀𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥 ≤ sup(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) → ∀𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥 ≤ sup(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
2010, 18, 19mpisyl 21 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → ∀𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥 ≤ sup(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
21 inss2 4229 . . 3 ((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
22 supxrleub 13307 . . 3 ((((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ* ∧ sup(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (sup(((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ sup(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥 ≤ sup(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
2321, 13, 22mp2an 690 . 2 (sup(((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ sup(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥 ≤ sup(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
2420, 23sylibr 233 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → sup(((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ sup(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  w3a 1087  wcel 2106  wral 3061  cin 3947  wss 3948   class class class wbr 5148  cima 5679  (class class class)co 7411  supcsup 9437  cr 11111  +∞cpnf 11247  *cxr 11249   < clt 11250  cle 11251  [,)cico 13328
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-ico 13332
This theorem is referenced by:  limsupval2  15426
  Copyright terms: Public domain W3C validator