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Theorem regr1lem 23659
Description: Lemma for regr1 23670. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
kqval.2 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ π‘₯ ∈ 𝑦})
regr1lem.2 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
regr1lem.3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Reg)
regr1lem.4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
regr1lem.5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
regr1lem.6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐽)
regr1lem.7 (πœ‘ β†’ Β¬ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)βˆƒπ‘› ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π΄) ∈ π‘š ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))
Assertion
Ref Expression
regr1lem (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ π‘ˆ β†’ 𝐡 ∈ π‘ˆ))
Distinct variable groups:   π‘š,𝑛,π‘₯,𝑦,𝐴   𝐡,π‘š,𝑛,π‘₯,𝑦   π‘š,𝐽,𝑛,π‘₯,𝑦   π‘š,𝐹,𝑛   π‘š,𝑋,𝑛,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦,π‘š,𝑛)   π‘ˆ(π‘₯,𝑦,π‘š,𝑛)   𝐹(π‘₯,𝑦)
Proof of Theorem regr1lem
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 regr1lem.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Reg)
21adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐽 ∈ Reg)
3 regr1lem.6 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐽)
43adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐽)
5 simpr 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
6 regsep 23254 . . . 4 ((𝐽 ∈ Reg ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))
72, 4, 5, 6syl3anc 1368 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))
8 regr1lem.7 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Β¬ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)βˆƒπ‘› ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π΄) ∈ π‘š ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))
98ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) β†’ Β¬ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)βˆƒπ‘› ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π΄) ∈ π‘š ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))
10 regr1lem.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
1110ad3antrrr 728 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
12 simplrl 775 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑧 ∈ 𝐽)
13 kqval.2 . . . . . . . 8 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ π‘₯ ∈ 𝑦})
1413kqopn 23654 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽) β†’ (𝐹 β€œ 𝑧) ∈ (KQβ€˜π½))
1511, 12, 14syl2anc 582 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐹 β€œ 𝑧) ∈ (KQβ€˜π½))
16 toponuni 22832 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
1711, 16syl 17 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
1817difeq1d 4111 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§)) = (βˆͺ 𝐽 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§)))
19 topontop 22831 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
2011, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐽 ∈ Top)
21 elssuni 4933 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ 𝐽 β†’ 𝑧 βŠ† βˆͺ 𝐽)
2212, 21syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑧 βŠ† βˆͺ 𝐽)
23 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
2423clscld 22967 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑧 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) ∈ (Clsdβ€˜π½))
2520, 22, 24syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) ∈ (Clsdβ€˜π½))
2623cldopn 22951 . . . . . . . . 9 (((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) ∈ (Clsdβ€˜π½) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§)) ∈ 𝐽)
2725, 26syl 17 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§)) ∈ 𝐽)
2818, 27eqeltrd 2825 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§)) ∈ 𝐽)
2913kqopn 23654 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§)) ∈ 𝐽) β†’ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§))) ∈ (KQβ€˜π½))
3011, 28, 29syl2anc 582 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§))) ∈ (KQβ€˜π½))
31 simprrl 779 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) β†’ 𝐴 ∈ 𝑧)
3231adantr 479 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐴 ∈ 𝑧)
33 regr1lem.4 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
3433ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
3513kqfvima 23650 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 ∈ 𝑧 ↔ (πΉβ€˜π΄) ∈ (𝐹 β€œ 𝑧)))
3611, 12, 34, 35syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐴 ∈ 𝑧 ↔ (πΉβ€˜π΄) ∈ (𝐹 β€œ 𝑧)))
3732, 36mpbid 231 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ (𝐹 β€œ 𝑧))
38 regr1lem.5 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
3938ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
40 simprrr 780 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ)
4140sseld 3971 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) β†’ (𝐡 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) β†’ 𝐡 ∈ π‘ˆ))
4241con3dimp 407 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ Β¬ 𝐡 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§))
4339, 42eldifd 3950 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐡 ∈ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§)))
4413kqfvima 23650 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§)) ∈ 𝐽 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡 ∈ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§)) ↔ (πΉβ€˜π΅) ∈ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§)))))
4511, 28, 39, 44syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐡 ∈ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§)) ↔ (πΉβ€˜π΅) ∈ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§)))))
4643, 45mpbid 231 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§))))
4723sscls 22976 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑧 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ 𝑧 βŠ† ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§))
4820, 22, 47syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑧 βŠ† ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§))
4948sscond 4132 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§)) βŠ† (𝑋 βˆ– 𝑧))
50 imass2 6099 . . . . . . . 8 ((𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§)) βŠ† (𝑋 βˆ– 𝑧) β†’ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§))) βŠ† (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– 𝑧)))
51 sslin 4227 . . . . . . . 8 ((𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§))) βŠ† (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– 𝑧)) β†’ ((𝐹 β€œ 𝑧) ∩ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§)))) βŠ† ((𝐹 β€œ 𝑧) ∩ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– 𝑧))))
5249, 50, 513syl 18 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝐹 β€œ 𝑧) ∩ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§)))) βŠ† ((𝐹 β€œ 𝑧) ∩ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– 𝑧))))
5313kqdisj 23652 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽) β†’ ((𝐹 β€œ 𝑧) ∩ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– 𝑧))) = βˆ…)
5411, 12, 53syl2anc 582 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝐹 β€œ 𝑧) ∩ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– 𝑧))) = βˆ…)
55 sseq0 4393 . . . . . . 7 ((((𝐹 β€œ 𝑧) ∩ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§)))) βŠ† ((𝐹 β€œ 𝑧) ∩ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– 𝑧))) ∧ ((𝐹 β€œ 𝑧) ∩ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– 𝑧))) = βˆ…) β†’ ((𝐹 β€œ 𝑧) ∩ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§)))) = βˆ…)
5652, 54, 55syl2anc 582 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝐹 β€œ 𝑧) ∩ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§)))) = βˆ…)
57 eleq2 2814 . . . . . . . 8 (π‘š = (𝐹 β€œ 𝑧) β†’ ((πΉβ€˜π΄) ∈ π‘š ↔ (πΉβ€˜π΄) ∈ (𝐹 β€œ 𝑧)))
58 ineq1 4197 . . . . . . . . 9 (π‘š = (𝐹 β€œ 𝑧) β†’ (π‘š ∩ 𝑛) = ((𝐹 β€œ 𝑧) ∩ 𝑛))
5958eqeq1d 2727 . . . . . . . 8 (π‘š = (𝐹 β€œ 𝑧) β†’ ((π‘š ∩ 𝑛) = βˆ… ↔ ((𝐹 β€œ 𝑧) ∩ 𝑛) = βˆ…))
6057, 593anbi13d 1434 . . . . . . 7 (π‘š = (𝐹 β€œ 𝑧) β†’ (((πΉβ€˜π΄) ∈ π‘š ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…) ↔ ((πΉβ€˜π΄) ∈ (𝐹 β€œ 𝑧) ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ 𝑛 ∧ ((𝐹 β€œ 𝑧) ∩ 𝑛) = βˆ…)))
61 eleq2 2814 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§))) β†’ ((πΉβ€˜π΅) ∈ 𝑛 ↔ (πΉβ€˜π΅) ∈ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§)))))
62 ineq2 4198 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§))) β†’ ((𝐹 β€œ 𝑧) ∩ 𝑛) = ((𝐹 β€œ 𝑧) ∩ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§)))))
6362eqeq1d 2727 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§))) β†’ (((𝐹 β€œ 𝑧) ∩ 𝑛) = βˆ… ↔ ((𝐹 β€œ 𝑧) ∩ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§)))) = βˆ…))
6461, 633anbi23d 1435 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§))) β†’ (((πΉβ€˜π΄) ∈ (𝐹 β€œ 𝑧) ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ 𝑛 ∧ ((𝐹 β€œ 𝑧) ∩ 𝑛) = βˆ…) ↔ ((πΉβ€˜π΄) ∈ (𝐹 β€œ 𝑧) ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§))) ∧ ((𝐹 β€œ 𝑧) ∩ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§)))) = βˆ…)))
6560, 64rspc2ev 3614 . . . . . 6 (((𝐹 β€œ 𝑧) ∈ (KQβ€˜π½) ∧ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§))) ∈ (KQβ€˜π½) ∧ ((πΉβ€˜π΄) ∈ (𝐹 β€œ 𝑧) ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§))) ∧ ((𝐹 β€œ 𝑧) ∩ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§)))) = βˆ…)) β†’ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)βˆƒπ‘› ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π΄) ∈ π‘š ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))
6615, 30, 37, 46, 56, 65syl113anc 1379 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)βˆƒπ‘› ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π΄) ∈ π‘š ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))
6766ex 411 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) β†’ (Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ β†’ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)βˆƒπ‘› ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π΄) ∈ π‘š ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…)))
689, 67mt3d 148 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) β†’ 𝐡 ∈ π‘ˆ)
697, 68rexlimddv 3151 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐡 ∈ π‘ˆ)
7069ex 411 1 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ π‘ˆ β†’ 𝐡 ∈ π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3060  {crab 3419   βˆ– cdif 3936   ∩ cin 3938   βŠ† wss 3939  βˆ…c0 4316  βˆͺ cuni 4901   ↦ cmpt 5224   β€œ cima 5673  β€˜cfv 6541  Topctop 22811  TopOnctopon 22828  Clsdccld 22936  clsccl 22938  Regcreg 23229  KQckq 23613
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4943  df-iun 4991  df-iin 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5568  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-qtop 17486  df-top 22812  df-topon 22829  df-cld 22939  df-cls 22941  df-reg 23236  df-kq 23614
This theorem is referenced by:  regr1lem2  23660
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