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Theorem regr1lem 23106
Description: Lemma for regr1 23117. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
kqval.2 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ π‘₯ ∈ 𝑦})
regr1lem.2 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
regr1lem.3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Reg)
regr1lem.4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
regr1lem.5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
regr1lem.6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐽)
regr1lem.7 (πœ‘ β†’ Β¬ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)βˆƒπ‘› ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π΄) ∈ π‘š ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))
Assertion
Ref Expression
regr1lem (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ π‘ˆ β†’ 𝐡 ∈ π‘ˆ))
Distinct variable groups:   π‘š,𝑛,π‘₯,𝑦,𝐴   𝐡,π‘š,𝑛,π‘₯,𝑦   π‘š,𝐽,𝑛,π‘₯,𝑦   π‘š,𝐹,𝑛   π‘š,𝑋,𝑛,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦,π‘š,𝑛)   π‘ˆ(π‘₯,𝑦,π‘š,𝑛)   𝐹(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem regr1lem
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 regr1lem.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Reg)
21adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐽 ∈ Reg)
3 regr1lem.6 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐽)
43adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐽)
5 simpr 486 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
6 regsep 22701 . . . 4 ((𝐽 ∈ Reg ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))
72, 4, 5, 6syl3anc 1372 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))
8 regr1lem.7 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Β¬ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)βˆƒπ‘› ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π΄) ∈ π‘š ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))
98ad2antrr 725 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) β†’ Β¬ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)βˆƒπ‘› ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π΄) ∈ π‘š ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))
10 regr1lem.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
1110ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
12 simplrl 776 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑧 ∈ 𝐽)
13 kqval.2 . . . . . . . 8 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ π‘₯ ∈ 𝑦})
1413kqopn 23101 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽) β†’ (𝐹 β€œ 𝑧) ∈ (KQβ€˜π½))
1511, 12, 14syl2anc 585 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐹 β€œ 𝑧) ∈ (KQβ€˜π½))
16 toponuni 22279 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
1711, 16syl 17 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
1817difeq1d 4086 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§)) = (βˆͺ 𝐽 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§)))
19 topontop 22278 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
2011, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐽 ∈ Top)
21 elssuni 4903 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ 𝐽 β†’ 𝑧 βŠ† βˆͺ 𝐽)
2212, 21syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑧 βŠ† βˆͺ 𝐽)
23 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
2423clscld 22414 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑧 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) ∈ (Clsdβ€˜π½))
2520, 22, 24syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) ∈ (Clsdβ€˜π½))
2623cldopn 22398 . . . . . . . . 9 (((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) ∈ (Clsdβ€˜π½) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§)) ∈ 𝐽)
2725, 26syl 17 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§)) ∈ 𝐽)
2818, 27eqeltrd 2838 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§)) ∈ 𝐽)
2913kqopn 23101 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§)) ∈ 𝐽) β†’ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§))) ∈ (KQβ€˜π½))
3011, 28, 29syl2anc 585 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§))) ∈ (KQβ€˜π½))
31 simprrl 780 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) β†’ 𝐴 ∈ 𝑧)
3231adantr 482 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐴 ∈ 𝑧)
33 regr1lem.4 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
3433ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
3513kqfvima 23097 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 ∈ 𝑧 ↔ (πΉβ€˜π΄) ∈ (𝐹 β€œ 𝑧)))
3611, 12, 34, 35syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐴 ∈ 𝑧 ↔ (πΉβ€˜π΄) ∈ (𝐹 β€œ 𝑧)))
3732, 36mpbid 231 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ (𝐹 β€œ 𝑧))
38 regr1lem.5 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
3938ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
40 simprrr 781 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ)
4140sseld 3948 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) β†’ (𝐡 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) β†’ 𝐡 ∈ π‘ˆ))
4241con3dimp 410 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ Β¬ 𝐡 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§))
4339, 42eldifd 3926 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐡 ∈ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§)))
4413kqfvima 23097 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§)) ∈ 𝐽 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡 ∈ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§)) ↔ (πΉβ€˜π΅) ∈ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§)))))
4511, 28, 39, 44syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐡 ∈ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§)) ↔ (πΉβ€˜π΅) ∈ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§)))))
4643, 45mpbid 231 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§))))
4723sscls 22423 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑧 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ 𝑧 βŠ† ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§))
4820, 22, 47syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑧 βŠ† ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§))
4948sscond 4106 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§)) βŠ† (𝑋 βˆ– 𝑧))
50 imass2 6059 . . . . . . . 8 ((𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§)) βŠ† (𝑋 βˆ– 𝑧) β†’ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§))) βŠ† (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– 𝑧)))
51 sslin 4199 . . . . . . . 8 ((𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§))) βŠ† (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– 𝑧)) β†’ ((𝐹 β€œ 𝑧) ∩ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§)))) βŠ† ((𝐹 β€œ 𝑧) ∩ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– 𝑧))))
5249, 50, 513syl 18 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝐹 β€œ 𝑧) ∩ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§)))) βŠ† ((𝐹 β€œ 𝑧) ∩ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– 𝑧))))
5313kqdisj 23099 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽) β†’ ((𝐹 β€œ 𝑧) ∩ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– 𝑧))) = βˆ…)
5411, 12, 53syl2anc 585 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝐹 β€œ 𝑧) ∩ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– 𝑧))) = βˆ…)
55 sseq0 4364 . . . . . . 7 ((((𝐹 β€œ 𝑧) ∩ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§)))) βŠ† ((𝐹 β€œ 𝑧) ∩ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– 𝑧))) ∧ ((𝐹 β€œ 𝑧) ∩ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– 𝑧))) = βˆ…) β†’ ((𝐹 β€œ 𝑧) ∩ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§)))) = βˆ…)
5652, 54, 55syl2anc 585 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝐹 β€œ 𝑧) ∩ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§)))) = βˆ…)
57 eleq2 2827 . . . . . . . 8 (π‘š = (𝐹 β€œ 𝑧) β†’ ((πΉβ€˜π΄) ∈ π‘š ↔ (πΉβ€˜π΄) ∈ (𝐹 β€œ 𝑧)))
58 ineq1 4170 . . . . . . . . 9 (π‘š = (𝐹 β€œ 𝑧) β†’ (π‘š ∩ 𝑛) = ((𝐹 β€œ 𝑧) ∩ 𝑛))
5958eqeq1d 2739 . . . . . . . 8 (π‘š = (𝐹 β€œ 𝑧) β†’ ((π‘š ∩ 𝑛) = βˆ… ↔ ((𝐹 β€œ 𝑧) ∩ 𝑛) = βˆ…))
6057, 593anbi13d 1439 . . . . . . 7 (π‘š = (𝐹 β€œ 𝑧) β†’ (((πΉβ€˜π΄) ∈ π‘š ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…) ↔ ((πΉβ€˜π΄) ∈ (𝐹 β€œ 𝑧) ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ 𝑛 ∧ ((𝐹 β€œ 𝑧) ∩ 𝑛) = βˆ…)))
61 eleq2 2827 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§))) β†’ ((πΉβ€˜π΅) ∈ 𝑛 ↔ (πΉβ€˜π΅) ∈ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§)))))
62 ineq2 4171 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§))) β†’ ((𝐹 β€œ 𝑧) ∩ 𝑛) = ((𝐹 β€œ 𝑧) ∩ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§)))))
6362eqeq1d 2739 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§))) β†’ (((𝐹 β€œ 𝑧) ∩ 𝑛) = βˆ… ↔ ((𝐹 β€œ 𝑧) ∩ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§)))) = βˆ…))
6461, 633anbi23d 1440 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§))) β†’ (((πΉβ€˜π΄) ∈ (𝐹 β€œ 𝑧) ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ 𝑛 ∧ ((𝐹 β€œ 𝑧) ∩ 𝑛) = βˆ…) ↔ ((πΉβ€˜π΄) ∈ (𝐹 β€œ 𝑧) ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§))) ∧ ((𝐹 β€œ 𝑧) ∩ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§)))) = βˆ…)))
6560, 64rspc2ev 3595 . . . . . 6 (((𝐹 β€œ 𝑧) ∈ (KQβ€˜π½) ∧ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§))) ∈ (KQβ€˜π½) ∧ ((πΉβ€˜π΄) ∈ (𝐹 β€œ 𝑧) ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§))) ∧ ((𝐹 β€œ 𝑧) ∩ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§)))) = βˆ…)) β†’ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)βˆƒπ‘› ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π΄) ∈ π‘š ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))
6615, 30, 37, 46, 56, 65syl113anc 1383 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)βˆƒπ‘› ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π΄) ∈ π‘š ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))
6766ex 414 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) β†’ (Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ β†’ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)βˆƒπ‘› ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π΄) ∈ π‘š ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…)))
689, 67mt3d 148 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) β†’ 𝐡 ∈ π‘ˆ)
697, 68rexlimddv 3159 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐡 ∈ π‘ˆ)
7069ex 414 1 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ π‘ˆ β†’ 𝐡 ∈ π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3074  {crab 3410   βˆ– cdif 3912   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  βˆͺ cuni 4870   ↦ cmpt 5193   β€œ cima 5641  β€˜cfv 6501  Topctop 22258  TopOnctopon 22275  Clsdccld 22383  clsccl 22385  Regcreg 22676  KQckq 23060
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-qtop 17396  df-top 22259  df-topon 22276  df-cld 22386  df-cls 22388  df-reg 22683  df-kq 23061
This theorem is referenced by:  regr1lem2  23107
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