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Theorem regr1lem 23234
Description: Lemma for regr1 23245. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
kqval.2 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ π‘₯ ∈ 𝑦})
regr1lem.2 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
regr1lem.3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Reg)
regr1lem.4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
regr1lem.5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
regr1lem.6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐽)
regr1lem.7 (πœ‘ β†’ Β¬ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)βˆƒπ‘› ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π΄) ∈ π‘š ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))
Assertion
Ref Expression
regr1lem (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ π‘ˆ β†’ 𝐡 ∈ π‘ˆ))
Distinct variable groups:   π‘š,𝑛,π‘₯,𝑦,𝐴   𝐡,π‘š,𝑛,π‘₯,𝑦   π‘š,𝐽,𝑛,π‘₯,𝑦   π‘š,𝐹,𝑛   π‘š,𝑋,𝑛,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦,π‘š,𝑛)   π‘ˆ(π‘₯,𝑦,π‘š,𝑛)   𝐹(π‘₯,𝑦)
Proof of Theorem regr1lem
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 regr1lem.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Reg)
21adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐽 ∈ Reg)
3 regr1lem.6 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐽)
43adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐽)
5 simpr 485 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
6 regsep 22829 . . . 4 ((𝐽 ∈ Reg ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))
72, 4, 5, 6syl3anc 1371 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))
8 regr1lem.7 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Β¬ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)βˆƒπ‘› ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π΄) ∈ π‘š ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))
98ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) β†’ Β¬ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)βˆƒπ‘› ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π΄) ∈ π‘š ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))
10 regr1lem.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
1110ad3antrrr 728 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
12 simplrl 775 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑧 ∈ 𝐽)
13 kqval.2 . . . . . . . 8 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ π‘₯ ∈ 𝑦})
1413kqopn 23229 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽) β†’ (𝐹 β€œ 𝑧) ∈ (KQβ€˜π½))
1511, 12, 14syl2anc 584 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐹 β€œ 𝑧) ∈ (KQβ€˜π½))
16 toponuni 22407 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
1711, 16syl 17 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
1817difeq1d 4120 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§)) = (βˆͺ 𝐽 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§)))
19 topontop 22406 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
2011, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐽 ∈ Top)
21 elssuni 4940 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ 𝐽 β†’ 𝑧 βŠ† βˆͺ 𝐽)
2212, 21syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑧 βŠ† βˆͺ 𝐽)
23 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
2423clscld 22542 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑧 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) ∈ (Clsdβ€˜π½))
2520, 22, 24syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) ∈ (Clsdβ€˜π½))
2623cldopn 22526 . . . . . . . . 9 (((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) ∈ (Clsdβ€˜π½) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§)) ∈ 𝐽)
2725, 26syl 17 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§)) ∈ 𝐽)
2818, 27eqeltrd 2833 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§)) ∈ 𝐽)
2913kqopn 23229 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§)) ∈ 𝐽) β†’ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§))) ∈ (KQβ€˜π½))
3011, 28, 29syl2anc 584 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§))) ∈ (KQβ€˜π½))
31 simprrl 779 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) β†’ 𝐴 ∈ 𝑧)
3231adantr 481 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐴 ∈ 𝑧)
33 regr1lem.4 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
3433ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
3513kqfvima 23225 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 ∈ 𝑧 ↔ (πΉβ€˜π΄) ∈ (𝐹 β€œ 𝑧)))
3611, 12, 34, 35syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐴 ∈ 𝑧 ↔ (πΉβ€˜π΄) ∈ (𝐹 β€œ 𝑧)))
3732, 36mpbid 231 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ (𝐹 β€œ 𝑧))
38 regr1lem.5 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
3938ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
40 simprrr 780 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ)
4140sseld 3980 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) β†’ (𝐡 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) β†’ 𝐡 ∈ π‘ˆ))
4241con3dimp 409 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ Β¬ 𝐡 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§))
4339, 42eldifd 3958 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐡 ∈ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§)))
4413kqfvima 23225 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§)) ∈ 𝐽 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡 ∈ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§)) ↔ (πΉβ€˜π΅) ∈ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§)))))
4511, 28, 39, 44syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐡 ∈ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§)) ↔ (πΉβ€˜π΅) ∈ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§)))))
4643, 45mpbid 231 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§))))
4723sscls 22551 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑧 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ 𝑧 βŠ† ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§))
4820, 22, 47syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑧 βŠ† ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§))
4948sscond 4140 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§)) βŠ† (𝑋 βˆ– 𝑧))
50 imass2 6098 . . . . . . . 8 ((𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§)) βŠ† (𝑋 βˆ– 𝑧) β†’ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§))) βŠ† (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– 𝑧)))
51 sslin 4233 . . . . . . . 8 ((𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§))) βŠ† (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– 𝑧)) β†’ ((𝐹 β€œ 𝑧) ∩ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§)))) βŠ† ((𝐹 β€œ 𝑧) ∩ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– 𝑧))))
5249, 50, 513syl 18 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝐹 β€œ 𝑧) ∩ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§)))) βŠ† ((𝐹 β€œ 𝑧) ∩ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– 𝑧))))
5313kqdisj 23227 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽) β†’ ((𝐹 β€œ 𝑧) ∩ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– 𝑧))) = βˆ…)
5411, 12, 53syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝐹 β€œ 𝑧) ∩ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– 𝑧))) = βˆ…)
55 sseq0 4398 . . . . . . 7 ((((𝐹 β€œ 𝑧) ∩ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§)))) βŠ† ((𝐹 β€œ 𝑧) ∩ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– 𝑧))) ∧ ((𝐹 β€œ 𝑧) ∩ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– 𝑧))) = βˆ…) β†’ ((𝐹 β€œ 𝑧) ∩ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§)))) = βˆ…)
5652, 54, 55syl2anc 584 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝐹 β€œ 𝑧) ∩ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§)))) = βˆ…)
57 eleq2 2822 . . . . . . . 8 (π‘š = (𝐹 β€œ 𝑧) β†’ ((πΉβ€˜π΄) ∈ π‘š ↔ (πΉβ€˜π΄) ∈ (𝐹 β€œ 𝑧)))
58 ineq1 4204 . . . . . . . . 9 (π‘š = (𝐹 β€œ 𝑧) β†’ (π‘š ∩ 𝑛) = ((𝐹 β€œ 𝑧) ∩ 𝑛))
5958eqeq1d 2734 . . . . . . . 8 (π‘š = (𝐹 β€œ 𝑧) β†’ ((π‘š ∩ 𝑛) = βˆ… ↔ ((𝐹 β€œ 𝑧) ∩ 𝑛) = βˆ…))
6057, 593anbi13d 1438 . . . . . . 7 (π‘š = (𝐹 β€œ 𝑧) β†’ (((πΉβ€˜π΄) ∈ π‘š ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…) ↔ ((πΉβ€˜π΄) ∈ (𝐹 β€œ 𝑧) ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ 𝑛 ∧ ((𝐹 β€œ 𝑧) ∩ 𝑛) = βˆ…)))
61 eleq2 2822 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§))) β†’ ((πΉβ€˜π΅) ∈ 𝑛 ↔ (πΉβ€˜π΅) ∈ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§)))))
62 ineq2 4205 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§))) β†’ ((𝐹 β€œ 𝑧) ∩ 𝑛) = ((𝐹 β€œ 𝑧) ∩ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§)))))
6362eqeq1d 2734 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§))) β†’ (((𝐹 β€œ 𝑧) ∩ 𝑛) = βˆ… ↔ ((𝐹 β€œ 𝑧) ∩ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§)))) = βˆ…))
6461, 633anbi23d 1439 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§))) β†’ (((πΉβ€˜π΄) ∈ (𝐹 β€œ 𝑧) ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ 𝑛 ∧ ((𝐹 β€œ 𝑧) ∩ 𝑛) = βˆ…) ↔ ((πΉβ€˜π΄) ∈ (𝐹 β€œ 𝑧) ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§))) ∧ ((𝐹 β€œ 𝑧) ∩ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§)))) = βˆ…)))
6560, 64rspc2ev 3623 . . . . . 6 (((𝐹 β€œ 𝑧) ∈ (KQβ€˜π½) ∧ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§))) ∈ (KQβ€˜π½) ∧ ((πΉβ€˜π΄) ∈ (𝐹 β€œ 𝑧) ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§))) ∧ ((𝐹 β€œ 𝑧) ∩ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§)))) = βˆ…)) β†’ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)βˆƒπ‘› ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π΄) ∈ π‘š ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))
6615, 30, 37, 46, 56, 65syl113anc 1382 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)βˆƒπ‘› ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π΄) ∈ π‘š ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))
6766ex 413 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) β†’ (Β¬ 𝐡 ∈ π‘ˆ β†’ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)βˆƒπ‘› ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π΄) ∈ π‘š ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…)))
689, 67mt3d 148 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘§) βŠ† π‘ˆ))) β†’ 𝐡 ∈ π‘ˆ)
697, 68rexlimddv 3161 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐡 ∈ π‘ˆ)
7069ex 413 1 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ π‘ˆ β†’ 𝐡 ∈ π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3070  {crab 3432   βˆ– cdif 3944   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  βˆͺ cuni 4907   ↦ cmpt 5230   β€œ cima 5678  β€˜cfv 6540  Topctop 22386  TopOnctopon 22403  Clsdccld 22511  clsccl 22513  Regcreg 22804  KQckq 23188
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-qtop 17449  df-top 22387  df-topon 22404  df-cld 22514  df-cls 22516  df-reg 22811  df-kq 23189
This theorem is referenced by:  regr1lem2  23235
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