Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | eqid 2737 |
. . . 4
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
2 | | dalawlem.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
3 | | simp11 1204 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β πΎ β HL) |
4 | 3 | hllatd 37829 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β πΎ β Lat) |
5 | | simp21 1207 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β π β π΄) |
6 | | simp22 1208 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β π β π΄) |
7 | | dalawlem.j |
. . . . . . 7
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
8 | | dalawlem.a |
. . . . . . 7
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
9 | 1, 7, 8 | hlatjcl 37832 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
10 | 3, 5, 6, 9 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
11 | | simp31 1210 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β π β π΄) |
12 | | simp32 1211 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β π β π΄) |
13 | 1, 7, 8 | hlatjcl 37832 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
14 | 3, 11, 12, 13 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
15 | | dalawlem.m |
. . . . . 6
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
16 | 1, 15 | latmcl 18330 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β (BaseβπΎ)) |
17 | 4, 10, 14, 16 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β (BaseβπΎ)) |
18 | | simp23 1209 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β π
β π΄) |
19 | 1, 7, 8 | hlatjcl 37832 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β (π β¨ π
) β (BaseβπΎ)) |
20 | 3, 6, 18, 19 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (π β¨ π
) β (BaseβπΎ)) |
21 | 1, 2, 15 | latmle1 18354 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π)) |
22 | 4, 10, 14, 21 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π)) |
23 | | simp12 1205 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β π β€ (π β¨ π
)) |
24 | 1, 8 | atbase 37754 |
. . . . . . 7
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
25 | 6, 24 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β π β (BaseβπΎ)) |
26 | 1, 8 | atbase 37754 |
. . . . . . 7
β’ (π
β π΄ β π
β (BaseβπΎ)) |
27 | 18, 26 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β π
β (BaseβπΎ)) |
28 | 1, 2, 7 | latlej1 18338 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ π β (BaseβπΎ) β§ π
β (BaseβπΎ)) β π β€ (π β¨ π
)) |
29 | 4, 25, 27, 28 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β π β€ (π β¨ π
)) |
30 | 1, 8 | atbase 37754 |
. . . . . . 7
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
31 | 5, 30 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β π β (BaseβπΎ)) |
32 | 1, 2, 7 | latjle12 18340 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π
) β (BaseβπΎ))) β ((π β€ (π β¨ π
) β§ π β€ (π β¨ π
)) β (π β¨ π) β€ (π β¨ π
))) |
33 | 4, 31, 25, 20, 32 | syl13anc 1373 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β€ (π β¨ π
) β§ π β€ (π β¨ π
)) β (π β¨ π) β€ (π β¨ π
))) |
34 | 23, 29, 33 | mpbi2and 711 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (π β¨ π) β€ (π β¨ π
)) |
35 | 1, 2, 4, 17, 10, 20, 22, 34 | lattrd 18336 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
)) |
36 | 1, 8 | atbase 37754 |
. . . . . . . 8
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
37 | 12, 36 | syl 17 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β π β (BaseβπΎ)) |
38 | 1, 7 | latjcl 18329 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π) β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
39 | 4, 10, 37, 38 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π) β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
40 | 1, 15 | latmcl 18330 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ ((π β¨ π) β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) β (((π β¨ π) β¨ π) β§ (π β¨ π)) β (BaseβπΎ)) |
41 | 4, 39, 14, 40 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (((π β¨ π) β¨ π) β§ (π β¨ π)) β (BaseβπΎ)) |
42 | 1, 7, 8 | hlatjcl 37832 |
. . . . . . . . 9
β’ ((πΎ β HL β§ π
β π΄ β§ π β π΄) β (π
β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
43 | 3, 18, 5, 42 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (π
β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
44 | | simp33 1212 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β π β π΄) |
45 | 1, 7, 8 | hlatjcl 37832 |
. . . . . . . . 9
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
46 | 3, 44, 11, 45 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
47 | 1, 15 | latmcl 18330 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β Lat β§ (π
β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) β ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)) β (BaseβπΎ)) |
48 | 4, 43, 46, 47 | syl3anc 1372 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)) β (BaseβπΎ)) |
49 | 1, 8 | atbase 37754 |
. . . . . . . 8
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
50 | 44, 49 | syl 17 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β π β (BaseβπΎ)) |
51 | 1, 7 | latjcl 18329 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β Lat β§ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β (((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)) β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
52 | 4, 48, 50, 51 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)) β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
53 | 1, 7 | latjcl 18329 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ (((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)) β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β ((((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)) β¨ π) β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
54 | 4, 52, 37, 53 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)) β¨ π) β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
55 | 1, 2, 7 | latlej1 18338 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β (π β¨ π) β€ ((π β¨ π) β¨ π)) |
56 | 4, 10, 37, 55 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (π β¨ π) β€ ((π β¨ π) β¨ π)) |
57 | 1, 2, 15 | latmlem1 18359 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β Lat β§ ((π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ ((π β¨ π) β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ))) β ((π β¨ π) β€ ((π β¨ π) β¨ π) β ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (((π β¨ π) β¨ π) β§ (π β¨ π)))) |
58 | 4, 10, 39, 14, 57 | syl13anc 1373 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π) β€ ((π β¨ π) β¨ π) β ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (((π β¨ π) β¨ π) β§ (π β¨ π)))) |
59 | 56, 58 | mpd 15 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (((π β¨ π) β¨ π) β§ (π β¨ π))) |
60 | 1, 2, 7 | latlej2 18339 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β π β€ ((π β¨ π) β¨ π)) |
61 | 4, 10, 37, 60 | syl3anc 1372 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β π β€ ((π β¨ π) β¨ π)) |
62 | 1, 2, 7, 15, 8 | atmod2i2 38328 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ ((π β¨ π) β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β§ π β€ ((π β¨ π) β¨ π)) β ((((π β¨ π) β¨ π) β§ π) β¨ π) = (((π β¨ π) β¨ π) β§ (π β¨ π))) |
63 | 3, 11, 39, 37, 61, 62 | syl131anc 1384 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((((π β¨ π) β¨ π) β§ π) β¨ π) = (((π β¨ π) β¨ π) β§ (π β¨ π))) |
64 | 1, 7, 8 | hlatjcl 37832 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
65 | 3, 6, 12, 64 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
66 | 1, 7, 8 | hlatjcl 37832 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
67 | 3, 5, 11, 66 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
68 | 1, 15 | latmcom 18353 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) = ((π β¨ π) β§ (π β¨ π))) |
69 | 4, 65, 67, 68 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) = ((π β¨ π) β§ (π β¨ π))) |
70 | | simp13 1206 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) |
71 | 69, 70 | eqbrtrd 5128 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) |
72 | 1, 15 | latmcl 18330 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β (BaseβπΎ)) |
73 | 4, 65, 67, 72 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β (BaseβπΎ)) |
74 | 1, 7, 8 | hlatjcl 37832 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((πΎ β HL β§ π
β π΄ β§ π β π΄) β (π
β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
75 | 3, 18, 44, 74 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (π
β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
76 | 1, 2, 7 | latjlej2 18344 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((πΎ β Lat β§ (((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β (BaseβπΎ) β§ (π
β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ))) β (((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π) β (π β¨ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π))) β€ (π β¨ (π
β¨ π)))) |
77 | 4, 73, 75, 31, 76 | syl13anc 1373 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π) β (π β¨ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π))) β€ (π β¨ (π
β¨ π)))) |
78 | 71, 77 | mpd 15 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (π β¨ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π))) β€ (π β¨ (π
β¨ π))) |
79 | 1, 8 | atbase 37754 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
80 | 11, 79 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β π β (BaseβπΎ)) |
81 | 1, 2, 7 | latlej1 18338 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((πΎ β Lat β§ π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β π β€ (π β¨ π)) |
82 | 4, 31, 80, 81 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β π β€ (π β¨ π)) |
83 | 1, 2, 7, 15, 8 | atmod1i1 38323 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) β§ π β€ (π β¨ π)) β (π β¨ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π))) = ((π β¨ (π β¨ π)) β§ (π β¨ π))) |
84 | 3, 5, 65, 67, 82, 83 | syl131anc 1384 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (π β¨ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π))) = ((π β¨ (π β¨ π)) β§ (π β¨ π))) |
85 | 7, 8 | hlatjass 37835 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π
β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π
) β¨ π) = (π β¨ (π
β¨ π))) |
86 | 3, 5, 18, 44, 85 | syl13anc 1373 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π
) β¨ π) = (π β¨ (π
β¨ π))) |
87 | 7, 8 | hlatjcom 37833 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β (π β¨ π
) = (π
β¨ π)) |
88 | 3, 5, 18, 87 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (π β¨ π
) = (π
β¨ π)) |
89 | 88 | oveq1d 7373 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π
) β¨ π) = ((π
β¨ π) β¨ π)) |
90 | 86, 89 | eqtr3d 2779 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (π β¨ (π
β¨ π)) = ((π
β¨ π) β¨ π)) |
91 | 78, 84, 90 | 3brtr3d 5137 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ (π β¨ π)) β§ (π β¨ π)) β€ ((π
β¨ π) β¨ π)) |
92 | 1, 2, 7 | latlej2 18339 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((πΎ β Lat β§ π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β π β€ (π β¨ π)) |
93 | 4, 50, 80, 92 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β π β€ (π β¨ π)) |
94 | 1, 7 | latjcl 18329 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((πΎ β Lat β§ π β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) β (π β¨ (π β¨ π)) β (BaseβπΎ)) |
95 | 4, 31, 65, 94 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (π β¨ (π β¨ π)) β (BaseβπΎ)) |
96 | 1, 15 | latmcl 18330 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ (π β¨ π)) β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ (π β¨ π)) β§ (π β¨ π)) β (BaseβπΎ)) |
97 | 4, 95, 67, 96 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ (π β¨ π)) β§ (π β¨ π)) β (BaseβπΎ)) |
98 | 1, 7 | latjcl 18329 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((πΎ β Lat β§ (π
β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β ((π
β¨ π) β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
99 | 4, 43, 50, 98 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π
β¨ π) β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
100 | 1, 2, 15 | latmlem12 18361 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((πΎ β Lat β§ (((π β¨ (π β¨ π)) β§ (π β¨ π)) β (BaseβπΎ) β§ ((π
β¨ π) β¨ π) β (BaseβπΎ)) β§ (π β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ))) β ((((π β¨ (π β¨ π)) β§ (π β¨ π)) β€ ((π
β¨ π) β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)) β (((π β¨ (π β¨ π)) β§ (π β¨ π)) β§ π) β€ (((π
β¨ π) β¨ π) β§ (π β¨ π)))) |
101 | 4, 97, 99, 80, 46, 100 | syl122anc 1380 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((((π β¨ (π β¨ π)) β§ (π β¨ π)) β€ ((π
β¨ π) β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)) β (((π β¨ (π β¨ π)) β§ (π β¨ π)) β§ π) β€ (((π
β¨ π) β¨ π) β§ (π β¨ π)))) |
102 | 91, 93, 101 | mp2and 698 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (((π β¨ (π β¨ π)) β§ (π β¨ π)) β§ π) β€ (((π
β¨ π) β¨ π) β§ (π β¨ π))) |
103 | | hlol 37826 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (πΎ β HL β πΎ β OL) |
104 | 3, 103 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β πΎ β OL) |
105 | 1, 15 | latmassOLD 37694 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((πΎ β OL β§ ((π β¨ (π β¨ π)) β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ))) β (((π β¨ (π β¨ π)) β§ (π β¨ π)) β§ π) = ((π β¨ (π β¨ π)) β§ ((π β¨ π) β§ π))) |
106 | 104, 95, 67, 80, 105 | syl13anc 1373 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (((π β¨ (π β¨ π)) β§ (π β¨ π)) β§ π) = ((π β¨ (π β¨ π)) β§ ((π β¨ π) β§ π))) |
107 | 7, 8 | hlatjass 37835 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π) β¨ π) = (π β¨ (π β¨ π))) |
108 | 3, 5, 6, 12, 107 | syl13anc 1373 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π) β¨ π) = (π β¨ (π β¨ π))) |
109 | 108 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (π β¨ (π β¨ π)) = ((π β¨ π) β¨ π)) |
110 | 1, 2, 7 | latlej2 18339 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((πΎ β Lat β§ π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β π β€ (π β¨ π)) |
111 | 4, 31, 80, 110 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β π β€ (π β¨ π)) |
112 | 1, 2, 15 | latleeqm2 18358 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((πΎ β Lat β§ π β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) β (π β€ (π β¨ π) β ((π β¨ π) β§ π) = π)) |
113 | 4, 80, 67, 112 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (π β€ (π β¨ π) β ((π β¨ π) β§ π) = π)) |
114 | 111, 113 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π) β§ π) = π) |
115 | 109, 114 | oveq12d 7376 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ (π β¨ π)) β§ ((π β¨ π) β§ π)) = (((π β¨ π) β¨ π) β§ π)) |
116 | 106, 115 | eqtr2d 2778 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (((π β¨ π) β¨ π) β§ π) = (((π β¨ (π β¨ π)) β§ (π β¨ π)) β§ π)) |
117 | 1, 2, 7 | latlej1 18338 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((πΎ β Lat β§ π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β π β€ (π β¨ π)) |
118 | 4, 50, 80, 117 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β π β€ (π β¨ π)) |
119 | 1, 2, 7, 15, 8 | atmod4i1 38332 |
. . . . . . . . 9
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ (π
β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) β§ π β€ (π β¨ π)) β (((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)) β¨ π) = (((π
β¨ π) β¨ π) β§ (π β¨ π))) |
120 | 3, 44, 43, 46, 118, 119 | syl131anc 1384 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)) β¨ π) = (((π
β¨ π) β¨ π) β§ (π β¨ π))) |
121 | 102, 116,
120 | 3brtr4d 5138 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (((π β¨ π) β¨ π) β§ π) β€ (((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)) β¨ π)) |
122 | 1, 15 | latmcl 18330 |
. . . . . . . . 9
β’ ((πΎ β Lat β§ ((π β¨ π) β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β (((π β¨ π) β¨ π) β§ π) β (BaseβπΎ)) |
123 | 4, 39, 80, 122 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (((π β¨ π) β¨ π) β§ π) β (BaseβπΎ)) |
124 | 1, 2, 7 | latjlej1 18343 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β Lat β§ ((((π β¨ π) β¨ π) β§ π) β (BaseβπΎ) β§ (((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)) β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ))) β ((((π β¨ π) β¨ π) β§ π) β€ (((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)) β¨ π) β ((((π β¨ π) β¨ π) β§ π) β¨ π) β€ ((((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)) β¨ π) β¨ π))) |
125 | 4, 123, 52, 37, 124 | syl13anc 1373 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((((π β¨ π) β¨ π) β§ π) β€ (((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)) β¨ π) β ((((π β¨ π) β¨ π) β§ π) β¨ π) β€ ((((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)) β¨ π) β¨ π))) |
126 | 121, 125 | mpd 15 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((((π β¨ π) β¨ π) β§ π) β¨ π) β€ ((((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)) β¨ π) β¨ π)) |
127 | 63, 126 | eqbrtrrd 5130 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (((π β¨ π) β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ ((((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)) β¨ π) β¨ π)) |
128 | 1, 2, 4, 17, 41, 54, 59, 127 | lattrd 18336 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ ((((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)) β¨ π) β¨ π)) |
129 | 1, 7 | latj31 18377 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ (((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ))) β ((((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)) β¨ π) β¨ π) = ((π β¨ π) β¨ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)))) |
130 | 4, 48, 50, 37, 129 | syl13anc 1373 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)) β¨ π) β¨ π) = ((π β¨ π) β¨ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)))) |
131 | 128, 130 | breqtrd 5132 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ ((π β¨ π) β¨ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)))) |
132 | 1, 7, 8 | hlatjcl 37832 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
133 | 3, 12, 44, 132 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
134 | 1, 7 | latjcl 18329 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)) β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π) β¨ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π))) β (BaseβπΎ)) |
135 | 4, 133, 48, 134 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π) β¨ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π))) β (BaseβπΎ)) |
136 | 1, 2, 15 | latlem12 18356 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ (((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π
) β (BaseβπΎ) β§ ((π β¨ π) β¨ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π))) β (BaseβπΎ))) β ((((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ ((π β¨ π) β¨ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)))) β ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ ((π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β¨ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)))))) |
137 | 4, 17, 20, 135, 136 | syl13anc 1373 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ ((π β¨ π) β¨ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)))) β ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ ((π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β¨ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)))))) |
138 | 35, 131, 137 | mpbi2and 711 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ ((π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β¨ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π))))) |
139 | 1, 2, 15 | latmle1 18354 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ (π
β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) β ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) |
140 | 4, 43, 46, 139 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) |
141 | 1, 2, 7 | latlej2 18339 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ π β (BaseβπΎ) β§ π
β (BaseβπΎ)) β π
β€ (π β¨ π
)) |
142 | 4, 25, 27, 141 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β π
β€ (π β¨ π
)) |
143 | 1, 2, 7 | latjle12 18340 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ (π
β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π
) β (BaseβπΎ))) β ((π
β€ (π β¨ π
) β§ π β€ (π β¨ π
)) β (π
β¨ π) β€ (π β¨ π
))) |
144 | 4, 27, 31, 20, 143 | syl13anc 1373 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π
β€ (π β¨ π
) β§ π β€ (π β¨ π
)) β (π
β¨ π) β€ (π β¨ π
))) |
145 | 142, 23, 144 | mpbi2and 711 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (π
β¨ π) β€ (π β¨ π
)) |
146 | 1, 2, 4, 48, 43, 20, 140, 145 | lattrd 18336 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
)) |
147 | 1, 2, 7, 15, 8 | llnmod2i2 38329 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ (π β¨ π
) β (BaseβπΎ) β§ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)) β (BaseβπΎ)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
)) β (((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)) β¨ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π))) = ((π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β¨ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π))))) |
148 | 3, 20, 48, 12, 44, 146, 147 | syl321anc 1393 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)) β¨ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π))) = ((π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β¨ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π))))) |
149 | 138, 148 | breqtrrd 5134 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)) β¨ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)))) |