Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp1l 1198 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β πΎ β HL) |
2 | 1 | hllatd 37872 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β πΎ β Lat) |
3 | | simp22l 1293 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
4 | | eqid 2733 |
. . . . . 6
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
5 | | cdleme19.a |
. . . . . 6
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
6 | 4, 5 | atbase 37797 |
. . . . 5
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
7 | 3, 6 | syl 17 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
8 | | simp21 1207 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π
β π΄) |
9 | 4, 5 | atbase 37797 |
. . . . 5
β’ (π
β π΄ β π
β (BaseβπΎ)) |
10 | 8, 9 | syl 17 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π
β (BaseβπΎ)) |
11 | | simp23l 1295 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
12 | 4, 5 | atbase 37797 |
. . . . 5
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
13 | 11, 12 | syl 17 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
14 | | cdleme19.j |
. . . . 5
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
15 | 4, 14 | latj31 18381 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β (BaseβπΎ) β§ π
β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ))) β ((π β¨ π
) β¨ π) = ((π β¨ π
) β¨ π)) |
16 | 2, 7, 10, 13, 15 | syl13anc 1373 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β ((π β¨ π
) β¨ π) = ((π β¨ π
) β¨ π)) |
17 | 16 | oveq1d 7373 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (((π β¨ π
) β¨ π) β§ π) = (((π β¨ π
) β¨ π) β§ π)) |
18 | | simp1r 1199 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π β π») |
19 | | simp22r 1294 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β Β¬ π β€ π) |
20 | | simp31 1210 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β Β¬ π β€ (π β¨ π)) |
21 | | simp33 1212 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π
β€ (π β¨ π)) |
22 | | cdleme19.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
23 | | cdleme19.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
24 | | cdleme19.h |
. . . 4
β’ π» = (LHypβπΎ) |
25 | | cdleme19.u |
. . . 4
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
26 | | cdleme19.f |
. . . 4
β’ πΉ = ((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) |
27 | | cdleme19.g |
. . . 4
β’ πΊ = ((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) |
28 | | cdleme19.d |
. . . 4
β’ π· = ((π
β¨ π) β§ π) |
29 | | cdleme19.y |
. . . 4
β’ π = ((π
β¨ π) β§ π) |
30 | | cdleme20.v |
. . . 4
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
31 | 22, 14, 23, 5, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30 | cdleme20aN 38818 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (π β¨ π·) = (((π β¨ π
) β¨ π) β§ π)) |
32 | 1, 18, 8, 3, 19, 11, 20, 21, 31 | syl233anc 1400 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (π β¨ π·) = (((π β¨ π
) β¨ π) β§ π)) |
33 | 14, 5 | hlatjcom 37876 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
34 | 1, 3, 11, 33 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
35 | 34 | oveq1d 7373 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β ((π β¨ π) β§ π) = ((π β¨ π) β§ π)) |
36 | 30, 35 | eqtrid 2785 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π = ((π β¨ π) β§ π)) |
37 | 36 | oveq1d 7373 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (π β¨ π) = (((π β¨ π) β§ π) β¨ π)) |
38 | | simp23r 1296 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β Β¬ π β€ π) |
39 | | simp32 1211 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β Β¬ π β€ (π β¨ π)) |
40 | | eqid 2733 |
. . . . 5
β’ ((π β¨ π) β§ π) = ((π β¨ π) β§ π) |
41 | 22, 14, 23, 5, 24, 25, 27, 26, 29, 28, 40 | cdleme20aN 38818 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (((π β¨ π) β§ π) β¨ π) = (((π β¨ π
) β¨ π) β§ π)) |
42 | 1, 18, 8, 11, 38, 3, 39, 21, 41 | syl233anc 1400 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (((π β¨ π) β§ π) β¨ π) = (((π β¨ π
) β¨ π) β§ π)) |
43 | 37, 42 | eqtrd 2773 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (π β¨ π) = (((π β¨ π
) β¨ π) β§ π)) |
44 | 17, 32, 43 | 3eqtr4d 2783 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (π β¨ π·) = (π β¨ π)) |