Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | eqid 2737 |
. 2
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
2 | | dalawlem.l |
. 2
β’ β€ =
(leβπΎ) |
3 | | simp11 1204 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β πΎ β HL) |
4 | 3 | hllatd 37829 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β πΎ β Lat) |
5 | | simp21 1207 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β π β π΄) |
6 | | simp22 1208 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β π β π΄) |
7 | | dalawlem.j |
. . . . . 6
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
8 | | dalawlem.a |
. . . . . 6
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
9 | 1, 7, 8 | hlatjcl 37832 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
10 | 3, 5, 6, 9 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
11 | | simp31 1210 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β π β π΄) |
12 | 1, 8 | atbase 37754 |
. . . . 5
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
13 | 11, 12 | syl 17 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β π β (BaseβπΎ)) |
14 | 1, 7 | latjcl 18329 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π) β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
15 | 4, 10, 13, 14 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π) β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
16 | | simp32 1211 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β π β π΄) |
17 | 1, 8 | atbase 37754 |
. . . 4
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
18 | 16, 17 | syl 17 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β π β (BaseβπΎ)) |
19 | | dalawlem.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
20 | 1, 19 | latmcl 18330 |
. . 3
β’ ((πΎ β Lat β§ ((π β¨ π) β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β (((π β¨ π) β¨ π) β§ π) β (BaseβπΎ)) |
21 | 4, 15, 18, 20 | syl3anc 1372 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (((π β¨ π) β¨ π) β§ π) β (BaseβπΎ)) |
22 | | simp23 1209 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β π
β π΄) |
23 | 1, 7, 8 | hlatjcl 37832 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β (π β¨ π
) β (BaseβπΎ)) |
24 | 3, 6, 22, 23 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (π β¨ π
) β (BaseβπΎ)) |
25 | | simp33 1212 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β π β π΄) |
26 | 1, 7, 8 | hlatjcl 37832 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
27 | 3, 16, 25, 26 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
28 | 1, 19 | latmcl 18330 |
. . 3
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π
) β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)) β (BaseβπΎ)) |
29 | 4, 24, 27, 28 | syl3anc 1372 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)) β (BaseβπΎ)) |
30 | 1, 7, 8 | hlatjcl 37832 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ π
β π΄ β§ π β π΄) β (π
β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
31 | 3, 22, 5, 30 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (π
β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
32 | 1, 7, 8 | hlatjcl 37832 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
33 | 3, 25, 11, 32 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
34 | 1, 19 | latmcl 18330 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ (π
β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) β ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)) β (BaseβπΎ)) |
35 | 4, 31, 33, 34 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)) β (BaseβπΎ)) |
36 | 1, 7 | latjcl 18329 |
. . 3
β’ ((πΎ β Lat β§ ((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)) β (BaseβπΎ) β§ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)) β (BaseβπΎ)) β (((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)) β¨ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π))) β (BaseβπΎ)) |
37 | 4, 29, 35, 36 | syl3anc 1372 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)) β¨ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π))) β (BaseβπΎ)) |
38 | | hlol 37826 |
. . . . . 6
β’ (πΎ β HL β πΎ β OL) |
39 | 3, 38 | syl 17 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β πΎ β OL) |
40 | 1, 7, 8 | hlatjcl 37832 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
41 | 3, 5, 11, 40 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
42 | 1, 8 | atbase 37754 |
. . . . . . 7
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
43 | 6, 42 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β π β (BaseβπΎ)) |
44 | 1, 7 | latjcl 18329 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π) β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
45 | 4, 41, 43, 44 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π) β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
46 | 1, 7, 8 | hlatjcl 37832 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
47 | 3, 6, 16, 46 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
48 | 1, 19 | latmassOLD 37694 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β OL β§ (((π β¨ π) β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ))) β ((((π β¨ π) β¨ π) β§ (π β¨ π)) β§ π) = (((π β¨ π) β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ π))) |
49 | 39, 45, 47, 18, 48 | syl13anc 1373 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((((π β¨ π) β¨ π) β§ (π β¨ π)) β§ π) = (((π β¨ π) β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ π))) |
50 | 7, 8 | hlatj32 37837 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π) β¨ π) = ((π β¨ π) β¨ π)) |
51 | 3, 5, 11, 6, 50 | syl13anc 1373 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π) β¨ π) = ((π β¨ π) β¨ π)) |
52 | 2, 7, 8 | hlatlej2 37841 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β π β€ (π β¨ π)) |
53 | 3, 6, 16, 52 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β π β€ (π β¨ π)) |
54 | 1, 2, 19 | latleeqm2 18358 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β Lat β§ π β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) β (π β€ (π β¨ π) β ((π β¨ π) β§ π) = π)) |
55 | 4, 18, 47, 54 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (π β€ (π β¨ π) β ((π β¨ π) β§ π) = π)) |
56 | 53, 55 | mpbid 231 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π) β§ π) = π) |
57 | 51, 56 | oveq12d 7376 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (((π β¨ π) β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ π)) = (((π β¨ π) β¨ π) β§ π)) |
58 | 49, 57 | eqtr2d 2778 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (((π β¨ π) β¨ π) β§ π) = ((((π β¨ π) β¨ π) β§ (π β¨ π)) β§ π)) |
59 | | simp12 1205 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
)) |
60 | 1, 19 | latmcl 18330 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β (BaseβπΎ)) |
61 | 4, 41, 47, 60 | syl3anc 1372 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β (BaseβπΎ)) |
62 | 1, 2, 7 | latjlej1 18343 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β Lat β§ (((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π
) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ))) β (((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β (((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β¨ π) β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) |
63 | 4, 61, 24, 43, 62 | syl13anc 1373 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β (((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β¨ π) β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) |
64 | 59, 63 | mpd 15 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β¨ π) β€ ((π β¨ π
) β¨ π)) |
65 | 2, 7, 8 | hlatlej1 37840 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β π β€ (π β¨ π)) |
66 | 3, 6, 16, 65 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β π β€ (π β¨ π)) |
67 | 1, 2, 7, 19, 8 | atmod4i1 38332 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) β§ π β€ (π β¨ π)) β (((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β¨ π) = (((π β¨ π) β¨ π) β§ (π β¨ π))) |
68 | 3, 6, 41, 47, 66, 67 | syl131anc 1384 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β¨ π) = (((π β¨ π) β¨ π) β§ (π β¨ π))) |
69 | 7, 8 | hlatj32 37837 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π
β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π
) β¨ π) = ((π β¨ π) β¨ π
)) |
70 | 3, 6, 22, 6, 69 | syl13anc 1373 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π
) β¨ π) = ((π β¨ π) β¨ π
)) |
71 | 1, 7 | latjidm 18352 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β Lat β§ π β (BaseβπΎ)) β (π β¨ π) = π) |
72 | 4, 43, 71 | syl2anc 585 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (π β¨ π) = π) |
73 | 72 | oveq1d 7373 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π) β¨ π
) = (π β¨ π
)) |
74 | 70, 73 | eqtrd 2777 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π
) β¨ π) = (π β¨ π
)) |
75 | 64, 68, 74 | 3brtr3d 5137 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (((π β¨ π) β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
)) |
76 | 2, 7, 8 | hlatlej1 37840 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β π β€ (π β¨ π)) |
77 | 3, 16, 25, 76 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β π β€ (π β¨ π)) |
78 | 1, 19 | latmcl 18330 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ ((π β¨ π) β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) β (((π β¨ π) β¨ π) β§ (π β¨ π)) β (BaseβπΎ)) |
79 | 4, 45, 47, 78 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (((π β¨ π) β¨ π) β§ (π β¨ π)) β (BaseβπΎ)) |
80 | 1, 2, 19 | latmlem12 18361 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ ((((π β¨ π) β¨ π) β§ (π β¨ π)) β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π
) β (BaseβπΎ)) β§ (π β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ))) β (((((π β¨ π) β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ π β€ (π β¨ π)) β ((((π β¨ π) β¨ π) β§ (π β¨ π)) β§ π) β€ ((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)))) |
81 | 4, 79, 24, 18, 27, 80 | syl122anc 1380 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (((((π β¨ π) β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ π β€ (π β¨ π)) β ((((π β¨ π) β¨ π) β§ (π β¨ π)) β§ π) β€ ((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)))) |
82 | 75, 77, 81 | mp2and 698 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((((π β¨ π) β¨ π) β§ (π β¨ π)) β§ π) β€ ((π β¨ π
) β§ (π β¨ π))) |
83 | 58, 82 | eqbrtrd 5128 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (((π β¨ π) β¨ π) β§ π) β€ ((π β¨ π
) β§ (π β¨ π))) |
84 | 1, 2, 7 | latlej1 18338 |
. . 3
β’ ((πΎ β Lat β§ ((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)) β (BaseβπΎ) β§ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)) β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)) β€ (((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)) β¨ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)))) |
85 | 4, 29, 35, 84 | syl3anc 1372 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)) β€ (((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)) β¨ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)))) |
86 | 1, 2, 4, 21, 29, 37, 83, 85 | lattrd 18336 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π
β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (((π β¨ π) β¨ π) β§ π) β€ (((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)) β¨ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)))) |