MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latmlem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem latmlem1 18426
Description: Add meet to both sides of a lattice ordering. (Contributed by NM, 10-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latmle.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
latmle.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
latmle.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
latmlem1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ β†’ (𝑋 ∧ 𝑍) ≀ (π‘Œ ∧ 𝑍)))
Proof of Theorem latmlem1
StepHypRef Expression
1 latmle.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 latmle.l . . . . . 6 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 latmle.m . . . . . 6 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
41, 2, 3latmle1 18421 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ 𝑍) ≀ 𝑋)
543adant3r2 1183 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∧ 𝑍) ≀ 𝑋)
6 simpl 483 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
71, 3latmcl 18397 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐡)
873adant3r2 1183 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐡)
9 simpr1 1194 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
10 simpr2 1195 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
111, 2lattr 18401 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑋 ∧ 𝑍) ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑋 ∧ 𝑍) ≀ π‘Œ))
126, 8, 9, 10, 11syl13anc 1372 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑋 ∧ 𝑍) ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑋 ∧ 𝑍) ≀ π‘Œ))
135, 12mpand 693 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ β†’ (𝑋 ∧ 𝑍) ≀ π‘Œ))
141, 2, 3latmle2 18422 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ 𝑍) ≀ 𝑍)
15143adant3r2 1183 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∧ 𝑍) ≀ 𝑍)
1613, 15jctird 527 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ β†’ ((𝑋 ∧ 𝑍) ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ 𝑍) ≀ 𝑍)))
17 simpr3 1196 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
188, 10, 173jca 1128 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡))
191, 2, 3latlem12 18423 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑋 ∧ 𝑍) ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ 𝑍) ≀ 𝑍) ↔ (𝑋 ∧ 𝑍) ≀ (π‘Œ ∧ 𝑍)))
2018, 19syldan 591 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑋 ∧ 𝑍) ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ 𝑍) ≀ 𝑍) ↔ (𝑋 ∧ 𝑍) ≀ (π‘Œ ∧ 𝑍)))
2116, 20sylibd 238 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ β†’ (𝑋 ∧ 𝑍) ≀ (π‘Œ ∧ 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  lecple 17208  meetcmee 18269  Latclat 18388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-poset 18270  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-lat 18389
This theorem is referenced by:  latmlem2  18427  latmlem12  18428  dalem25  38872  dalawlem2  39046  dalawlem11  39055  dalawlem12  39056  cdleme22d  39517  cdleme30a  39552  cdleme32c  39617  cdleme32e  39619  trlcolem  39900  cdlemk5u  40035  cdlemk39  40090  cdlemm10N  40292  cdlemn2  40369  dihord1  40392
  Copyright terms: Public domain W3C validator