Theorem latmlem1 17683

Description: Add meet to both sides of a lattice ordering. (Contributed by NM, 10-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latmle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latmle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latmle.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latmlem1	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≤ 𝑌 → (𝑋 ∧ 𝑍) ≤ (𝑌 ∧ 𝑍)))

Proof of Theorem latmlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latmle.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latmle.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latmle.m	. . . . . 6 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4	1, 2, 3	latmle1 17678	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑍) ≤ 𝑋)
5	4	3adant3r2 1180	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ 𝑍) ≤ 𝑋)
6		simpl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
7	1, 3	latmcl 17654	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵)
8	7	3adant3r2 1180	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵)
9		simpr1 1191	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		simpr2 1192	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
11	1, 2	lattr 17658	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 ∧ 𝑍) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑋 ∧ 𝑍) ≤ 𝑌))
12	6, 8, 9, 10, 11	syl13anc 1369	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 ∧ 𝑍) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑋 ∧ 𝑍) ≤ 𝑌))
13	5, 12	mpand 694	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≤ 𝑌 → (𝑋 ∧ 𝑍) ≤ 𝑌))
14	1, 2, 3	latmle2 17679	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑍) ≤ 𝑍)
15	14	3adant3r2 1180	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ 𝑍) ≤ 𝑍)
16	13, 15	jctird 530	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≤ 𝑌 → ((𝑋 ∧ 𝑍) ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑍) ≤ 𝑍)))
17		simpr3 1193	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
18	8, 10, 17	3jca 1125	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵))
19	1, 2, 3	latlem12 17680	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 ∧ 𝑍) ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑍) ≤ 𝑍) ↔ (𝑋 ∧ 𝑍) ≤ (𝑌 ∧ 𝑍)))
20	18, 19	syldan 594	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 ∧ 𝑍) ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑍) ≤ 𝑍) ↔ (𝑋 ∧ 𝑍) ≤ (𝑌 ∧ 𝑍)))
21	16, 20	sylibd 242	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≤ 𝑌 → (𝑋 ∧ 𝑍) ≤ (𝑌 ∧ 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16475  lecple 16564  meetcmee 17547  Latclat 17647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-poset 17548  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-lat 17648

This theorem is referenced by:  latmlem2  17684  latmlem12  17685  dalem25  36994  dalawlem2  37168  dalawlem11  37177  dalawlem12  37178  cdleme22d  37639  cdleme30a  37674  cdleme32c  37739  cdleme32e  37741  trlcolem  38022  cdlemk5u  38157  cdlemk39  38212  cdlemm10N  38414  cdlemn2  38491  dihord1  38514