MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latmlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latmlem1 18514
Description: Add meet to both sides of a lattice ordering. (Contributed by NM, 10-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latmle.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latmle.l = (le‘𝐾)
latmle.m = (meet‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latmlem1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 𝑌 → (𝑋 𝑍) (𝑌 𝑍)))

Proof of Theorem latmlem1
StepHypRef Expression
1 latmle.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 latmle.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
3 latmle.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
41, 2, 3latmle1 18509 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑍𝐵) → (𝑋 𝑍) 𝑋)
543adant3r2 1184 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 𝑍) 𝑋)
6 simpl 482 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
71, 3latmcl 18485 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑍𝐵) → (𝑋 𝑍) ∈ 𝐵)
873adant3r2 1184 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 𝑍) ∈ 𝐵)
9 simpr1 1195 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑋𝐵)
10 simpr2 1196 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑌𝐵)
111, 2lattr 18489 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋 𝑍) ∈ 𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (((𝑋 𝑍) 𝑋𝑋 𝑌) → (𝑋 𝑍) 𝑌))
126, 8, 9, 10, 11syl13anc 1374 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (((𝑋 𝑍) 𝑋𝑋 𝑌) → (𝑋 𝑍) 𝑌))
135, 12mpand 695 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 𝑌 → (𝑋 𝑍) 𝑌))
141, 2, 3latmle2 18510 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑍𝐵) → (𝑋 𝑍) 𝑍)
15143adant3r2 1184 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 𝑍) 𝑍)
1613, 15jctird 526 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 𝑌 → ((𝑋 𝑍) 𝑌 ∧ (𝑋 𝑍) 𝑍)))
17 simpr3 1197 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑍𝐵)
188, 10, 173jca 1129 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑍) ∈ 𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵))
191, 2, 3latlem12 18511 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋 𝑍) ∈ 𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (((𝑋 𝑍) 𝑌 ∧ (𝑋 𝑍) 𝑍) ↔ (𝑋 𝑍) (𝑌 𝑍)))
2018, 19syldan 591 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (((𝑋 𝑍) 𝑌 ∧ (𝑋 𝑍) 𝑍) ↔ (𝑋 𝑍) (𝑌 𝑍)))
2116, 20sylibd 239 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 𝑌 → (𝑋 𝑍) (𝑌 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  lecple 17304  meetcmee 18358  Latclat 18476
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-poset 18359  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-lat 18477
This theorem is referenced by:  latmlem2  18515  latmlem12  18516  dalem25  39700  dalawlem2  39874  dalawlem11  39883  dalawlem12  39884  cdleme22d  40345  cdleme30a  40380  cdleme32c  40445  cdleme32e  40447  trlcolem  40728  cdlemk5u  40863  cdlemk39  40918  cdlemm10N  41120  cdlemn2  41197  dihord1  41220
  Copyright terms: Public domain W3C validator