MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latmlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latmlem1 18168
Description: Add meet to both sides of a lattice ordering. (Contributed by NM, 10-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latmle.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latmle.l = (le‘𝐾)
latmle.m = (meet‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latmlem1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 𝑌 → (𝑋 𝑍) (𝑌 𝑍)))

Proof of Theorem latmlem1
StepHypRef Expression
1 latmle.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 latmle.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
3 latmle.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
41, 2, 3latmle1 18163 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑍𝐵) → (𝑋 𝑍) 𝑋)
543adant3r2 1181 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 𝑍) 𝑋)
6 simpl 482 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
71, 3latmcl 18139 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑍𝐵) → (𝑋 𝑍) ∈ 𝐵)
873adant3r2 1181 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 𝑍) ∈ 𝐵)
9 simpr1 1192 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑋𝐵)
10 simpr2 1193 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑌𝐵)
111, 2lattr 18143 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋 𝑍) ∈ 𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (((𝑋 𝑍) 𝑋𝑋 𝑌) → (𝑋 𝑍) 𝑌))
126, 8, 9, 10, 11syl13anc 1370 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (((𝑋 𝑍) 𝑋𝑋 𝑌) → (𝑋 𝑍) 𝑌))
135, 12mpand 691 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 𝑌 → (𝑋 𝑍) 𝑌))
141, 2, 3latmle2 18164 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑍𝐵) → (𝑋 𝑍) 𝑍)
15143adant3r2 1181 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 𝑍) 𝑍)
1613, 15jctird 526 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 𝑌 → ((𝑋 𝑍) 𝑌 ∧ (𝑋 𝑍) 𝑍)))
17 simpr3 1194 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑍𝐵)
188, 10, 173jca 1126 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑍) ∈ 𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵))
191, 2, 3latlem12 18165 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋 𝑍) ∈ 𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (((𝑋 𝑍) 𝑌 ∧ (𝑋 𝑍) 𝑍) ↔ (𝑋 𝑍) (𝑌 𝑍)))
2018, 19syldan 590 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (((𝑋 𝑍) 𝑌 ∧ (𝑋 𝑍) 𝑍) ↔ (𝑋 𝑍) (𝑌 𝑍)))
2116, 20sylibd 238 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 𝑌 → (𝑋 𝑍) (𝑌 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1541  wcel 2109   class class class wbr 5078  cfv 6430  (class class class)co 7268  Basecbs 16893  lecple 16950  meetcmee 18011  Latclat 18130
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-poset 18012  df-lub 18045  df-glb 18046  df-join 18047  df-meet 18048  df-lat 18131
This theorem is referenced by:  latmlem2  18169  latmlem12  18170  dalem25  37691  dalawlem2  37865  dalawlem11  37874  dalawlem12  37875  cdleme22d  38336  cdleme30a  38371  cdleme32c  38436  cdleme32e  38438  trlcolem  38719  cdlemk5u  38854  cdlemk39  38909  cdlemm10N  39111  cdlemn2  39188  dihord1  39211
  Copyright terms: Public domain W3C validator