Theorem latmlem1 18643

Description: Add meet to both sides of a lattice ordering. (Contributed by NM, 10-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latmle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latmle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latmle.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latmlem1	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≤ 𝑌 → (𝑋 ∧ 𝑍) ≤ (𝑌 ∧ 𝑍)))

Proof of Theorem latmlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latmle.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latmle.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latmle.m	. . . . . 6 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4	1, 2, 3	latmle1 18638	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑍) ≤ 𝑋)
5	4	3adant3r2 1202	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ 𝑍) ≤ 𝑋)
6		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
7	1, 3	latmcl 18614	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵)
8	7	3adant3r2 1202	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵)
9		simpr1 1213	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		simpr2 1214	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
11	1, 2	lattr 18618	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 ∧ 𝑍) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑋 ∧ 𝑍) ≤ 𝑌))
12	6, 8, 9, 10, 11	syl13anc 1399	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 ∧ 𝑍) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑋 ∧ 𝑍) ≤ 𝑌))
13	5, 12	mpand 708	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≤ 𝑌 → (𝑋 ∧ 𝑍) ≤ 𝑌))
14	1, 2, 3	latmle2 18639	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑍) ≤ 𝑍)
15	14	3adant3r2 1202	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ 𝑍) ≤ 𝑍)
16	13, 15	jctird 536	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≤ 𝑌 → ((𝑋 ∧ 𝑍) ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑍) ≤ 𝑍)))
17		simpr3 1215	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
18	8, 10, 17	3jca 1146	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵))
19	1, 2, 3	latlem12 18640	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 ∧ 𝑍) ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑍) ≤ 𝑍) ↔ (𝑋 ∧ 𝑍) ≤ (𝑌 ∧ 𝑍)))
20	18, 19	syldan 603	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 ∧ 𝑍) ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑍) ≤ 𝑍) ↔ (𝑋 ∧ 𝑍) ≤ (𝑌 ∧ 𝑍)))
21	16, 20	sylibd 242	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≤ 𝑌 → (𝑋 ∧ 𝑍) ≤ (𝑌 ∧ 𝑍)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  lecple 17435  meetcmee 18486  Latclat 18605

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-poset 18487  df-lub 18518  df-glb 18519  df-join 18520  df-meet 18521  df-lat 18606

This theorem is used by:  latmlem2  18644  latmlem12  18645  dalem25  40755  dalawlem2  40929  dalawlem11  40938  dalawlem12  40939  cdleme22d  41400  cdleme30a  41435  cdleme32c  41500  cdleme32e  41502  trlcolem  41783  cdlemk5u  41918  cdlemk39  41973  cdlemm10N  42175  cdlemn2  42252  dihord1  42275