Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemk51 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemk51 37959
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. Line 6, p. 120. 𝐺, 𝐼 stand for g, h. 𝑋 represents tau. TODO: Combine into cdlemk52 37960? (Contributed by NM, 23-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk5.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk5.l = (le‘𝐾)
cdlemk5.j = (join‘𝐾)
cdlemk5.m = (meet‘𝐾)
cdlemk5.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk5.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk5.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.z 𝑍 = ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))))
cdlemk5.y 𝑌 = ((𝑃 (𝑅𝑔)) (𝑍 (𝑅‘(𝑔𝑏))))
cdlemk5.x 𝑋 = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑃) = 𝑌))
Assertion
Ref Expression
cdlemk51 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼 / 𝑔𝑋)) ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺 / 𝑔𝑋))) (((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼)) ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺))))
Distinct variable groups:   ,𝑔   ,𝑔   𝐵,𝑔   𝑃,𝑔   𝑅,𝑔   𝑇,𝑔   𝑔,𝑍   𝑔,𝑏,𝐺,𝑧   ,𝑏,𝑧   ,𝑏   𝑧,𝑔,   ,𝑏,𝑧   𝐴,𝑏,𝑔,𝑧   𝐵,𝑏,𝑧   𝐹,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝐺   𝐻,𝑏,𝑔,𝑧   𝐾,𝑏,𝑔,𝑧   𝑁,𝑏,𝑔,𝑧   𝑃,𝑏,𝑧   𝑅,𝑏,𝑧   𝑇,𝑏,𝑧   𝑊,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝑌   𝐺,𝑏   𝐼,𝑏,𝑔,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑋(𝑧,𝑔,𝑏)   𝑌(𝑔,𝑏)   𝑍(𝑧,𝑏)

Proof of Theorem cdlemk51
StepHypRef Expression
1 simp11 1197 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp12 1198 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
3 simp3 1132 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
4 simp21 1200 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑁𝑇)
5 simp22 1201 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
6 simp23 1202 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))
7 cdlemk5.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
8 cdlemk5.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
9 cdlemk5.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
10 cdlemk5.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
11 cdlemk5.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
12 cdlemk5.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
13 cdlemk5.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
14 cdlemk5.r . . . . 5 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
15 cdlemk5.z . . . . 5 𝑍 = ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))))
16 cdlemk5.y . . . . 5 𝑌 = ((𝑃 (𝑅𝑔)) (𝑍 (𝑅‘(𝑔𝑏))))
17 cdlemk5.x . . . . 5 𝑋 = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑃) = 𝑌))
187, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17cdlemk39s 37945 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → (𝑅𝐼 / 𝑔𝑋) (𝑅𝐼))
191, 2, 3, 4, 5, 6, 18syl132anc 1382 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑅𝐼 / 𝑔𝑋) (𝑅𝐼))
20 simp11l 1278 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐾 ∈ HL)
2120hllatd 36370 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐾 ∈ Lat)
227, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17cdlemk35s 37943 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → 𝐼 / 𝑔𝑋𝑇)
231, 2, 3, 4, 5, 6, 22syl132anc 1382 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐼 / 𝑔𝑋𝑇)
247, 12, 13, 14trlcl 37170 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐼 / 𝑔𝑋𝑇) → (𝑅𝐼 / 𝑔𝑋) ∈ 𝐵)
251, 23, 24syl2anc 584 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑅𝐼 / 𝑔𝑋) ∈ 𝐵)
26 simp3l 1195 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐼𝑇)
27 simp3r 1196 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))
287, 11, 12, 13, 14trlnidat 37179 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅𝐼) ∈ 𝐴)
291, 26, 27, 28syl3anc 1365 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑅𝐼) ∈ 𝐴)
307, 11atbase 36295 . . . . 5 ((𝑅𝐼) ∈ 𝐴 → (𝑅𝐼) ∈ 𝐵)
3129, 30syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑅𝐼) ∈ 𝐵)
32 simp13 1199 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
337, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17cdlemk35s 37943 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → 𝐺 / 𝑔𝑋𝑇)
341, 2, 32, 4, 5, 6, 33syl132anc 1382 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐺 / 𝑔𝑋𝑇)
35 simp22l 1286 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑃𝐴)
368, 11, 12, 13ltrnat 37146 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺 / 𝑔𝑋𝑇𝑃𝐴) → (𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) ∈ 𝐴)
371, 34, 35, 36syl3anc 1365 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) ∈ 𝐴)
387, 11atbase 36295 . . . . 5 ((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) ∈ 𝐴 → (𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) ∈ 𝐵)
3937, 38syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) ∈ 𝐵)
407, 8, 9latjlej2 17669 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑅𝐼 / 𝑔𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅𝐼) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) ∈ 𝐵)) → ((𝑅𝐼 / 𝑔𝑋) (𝑅𝐼) → ((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼 / 𝑔𝑋)) ((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼))))
4121, 25, 31, 39, 40syl13anc 1366 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑅𝐼 / 𝑔𝑋) (𝑅𝐼) → ((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼 / 𝑔𝑋)) ((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼))))
4219, 41mpd 15 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼 / 𝑔𝑋)) ((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼)))
437, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17cdlemk39s 37945 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → (𝑅𝐺 / 𝑔𝑋) (𝑅𝐺))
441, 2, 32, 4, 5, 6, 43syl132anc 1382 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑅𝐺 / 𝑔𝑋) (𝑅𝐺))
457, 12, 13, 14trlcl 37170 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺 / 𝑔𝑋𝑇) → (𝑅𝐺 / 𝑔𝑋) ∈ 𝐵)
461, 34, 45syl2anc 584 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑅𝐺 / 𝑔𝑋) ∈ 𝐵)
47 simp13l 1282 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐺𝑇)
48 simp13r 1283 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))
497, 11, 12, 13, 14trlnidat 37179 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅𝐺) ∈ 𝐴)
501, 47, 48, 49syl3anc 1365 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑅𝐺) ∈ 𝐴)
517, 11atbase 36295 . . . . 5 ((𝑅𝐺) ∈ 𝐴 → (𝑅𝐺) ∈ 𝐵)
5250, 51syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑅𝐺) ∈ 𝐵)
538, 11, 12, 13ltrnat 37146 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐼 / 𝑔𝑋𝑇𝑃𝐴) → (𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) ∈ 𝐴)
541, 23, 35, 53syl3anc 1365 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) ∈ 𝐴)
557, 11atbase 36295 . . . . 5 ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) ∈ 𝐴 → (𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) ∈ 𝐵)
5654, 55syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) ∈ 𝐵)
577, 8, 9latjlej2 17669 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑅𝐺 / 𝑔𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅𝐺) ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) ∈ 𝐵)) → ((𝑅𝐺 / 𝑔𝑋) (𝑅𝐺) → ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺 / 𝑔𝑋)) ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺))))
5821, 46, 52, 56, 57syl13anc 1366 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑅𝐺 / 𝑔𝑋) (𝑅𝐺) → ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺 / 𝑔𝑋)) ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺))))
5944, 58mpd 15 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺 / 𝑔𝑋)) ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺)))
607, 9latjcl 17654 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅𝐼 / 𝑔𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼 / 𝑔𝑋)) ∈ 𝐵)
6121, 39, 25, 60syl3anc 1365 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼 / 𝑔𝑋)) ∈ 𝐵)
627, 9, 11hlatjcl 36373 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) ∈ 𝐴 ∧ (𝑅𝐼) ∈ 𝐴) → ((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼)) ∈ 𝐵)
6320, 37, 29, 62syl3anc 1365 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼)) ∈ 𝐵)
647, 9latjcl 17654 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅𝐺 / 𝑔𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺 / 𝑔𝑋)) ∈ 𝐵)
6521, 56, 46, 64syl3anc 1365 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺 / 𝑔𝑋)) ∈ 𝐵)
667, 9, 11hlatjcl 36373 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) ∈ 𝐴 ∧ (𝑅𝐺) ∈ 𝐴) → ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺)) ∈ 𝐵)
6720, 54, 50, 66syl3anc 1365 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺)) ∈ 𝐵)
687, 8, 10latmlem12 17686 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼 / 𝑔𝑋)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼)) ∈ 𝐵) ∧ (((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺 / 𝑔𝑋)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺)) ∈ 𝐵)) → ((((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼 / 𝑔𝑋)) ((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼)) ∧ ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺 / 𝑔𝑋)) ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺))) → (((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼 / 𝑔𝑋)) ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺 / 𝑔𝑋))) (((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼)) ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺)))))
6921, 61, 63, 65, 67, 68syl122anc 1373 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼 / 𝑔𝑋)) ((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼)) ∧ ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺 / 𝑔𝑋)) ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺))) → (((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼 / 𝑔𝑋)) ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺 / 𝑔𝑋))) (((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼)) ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺)))))
7042, 59, 69mp2and 695 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼 / 𝑔𝑋)) ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺 / 𝑔𝑋))) (((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼)) ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3020  wral 3142  csb 3886   class class class wbr 5062   I cid 5457  ccnv 5552  cres 5555  ccom 5557  cfv 6351  crio 7108  (class class class)co 7151  Basecbs 16476  lecple 16565  joincjn 17547  meetcmee 17548  Latclat 17648  Atomscatm 36269  HLchlt 36356  LHypclh 36990  LTrncltrn 37107  trLctrl 37164
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-riotaBAD 35959
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-iin 4919  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-id 5458  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-undef 7933  df-map 8401  df-proset 17531  df-poset 17549  df-plt 17561  df-lub 17577  df-glb 17578  df-join 17579  df-meet 17580  df-p0 17642  df-p1 17643  df-lat 17649  df-clat 17711  df-oposet 36182  df-ol 36184  df-oml 36185  df-covers 36272  df-ats 36273  df-atl 36304  df-cvlat 36328  df-hlat 36357  df-llines 36504  df-lplanes 36505  df-lvols 36506  df-lines 36507  df-psubsp 36509  df-pmap 36510  df-padd 36802  df-lhyp 36994  df-laut 36995  df-ldil 37110  df-ltrn 37111  df-trl 37165
This theorem is referenced by:  cdlemk52  37960
  Copyright terms: Public domain W3C validator