Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemk51 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemk51 38565
 Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. Line 6, p. 120. 𝐺, 𝐼 stand for g, h. 𝑋 represents tau. TODO: Combine into cdlemk52 38566? (Contributed by NM, 23-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk5.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk5.l = (le‘𝐾)
cdlemk5.j = (join‘𝐾)
cdlemk5.m = (meet‘𝐾)
cdlemk5.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk5.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk5.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.z 𝑍 = ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))))
cdlemk5.y 𝑌 = ((𝑃 (𝑅𝑔)) (𝑍 (𝑅‘(𝑔𝑏))))
cdlemk5.x 𝑋 = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑃) = 𝑌))
Assertion
Ref Expression
cdlemk51 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼 / 𝑔𝑋)) ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺 / 𝑔𝑋))) (((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼)) ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺))))
Distinct variable groups:   ,𝑔   ,𝑔   𝐵,𝑔   𝑃,𝑔   𝑅,𝑔   𝑇,𝑔   𝑔,𝑍   𝑔,𝑏,𝐺,𝑧   ,𝑏,𝑧   ,𝑏   𝑧,𝑔,   ,𝑏,𝑧   𝐴,𝑏,𝑔,𝑧   𝐵,𝑏,𝑧   𝐹,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝐺   𝐻,𝑏,𝑔,𝑧   𝐾,𝑏,𝑔,𝑧   𝑁,𝑏,𝑔,𝑧   𝑃,𝑏,𝑧   𝑅,𝑏,𝑧   𝑇,𝑏,𝑧   𝑊,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝑌   𝐺,𝑏   𝐼,𝑏,𝑔,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑋(𝑧,𝑔,𝑏)   𝑌(𝑔,𝑏)   𝑍(𝑧,𝑏)

Proof of Theorem cdlemk51
StepHypRef Expression
1 simp11 1201 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp12 1202 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
3 simp3 1136 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
4 simp21 1204 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑁𝑇)
5 simp22 1205 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
6 simp23 1206 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))
7 cdlemk5.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
8 cdlemk5.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
9 cdlemk5.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
10 cdlemk5.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
11 cdlemk5.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
12 cdlemk5.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
13 cdlemk5.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
14 cdlemk5.r . . . . 5 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
15 cdlemk5.z . . . . 5 𝑍 = ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))))
16 cdlemk5.y . . . . 5 𝑌 = ((𝑃 (𝑅𝑔)) (𝑍 (𝑅‘(𝑔𝑏))))
17 cdlemk5.x . . . . 5 𝑋 = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑃) = 𝑌))
187, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17cdlemk39s 38551 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → (𝑅𝐼 / 𝑔𝑋) (𝑅𝐼))
191, 2, 3, 4, 5, 6, 18syl132anc 1386 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑅𝐼 / 𝑔𝑋) (𝑅𝐼))
20 simp11l 1282 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐾 ∈ HL)
2120hllatd 36976 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐾 ∈ Lat)
227, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17cdlemk35s 38549 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → 𝐼 / 𝑔𝑋𝑇)
231, 2, 3, 4, 5, 6, 22syl132anc 1386 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐼 / 𝑔𝑋𝑇)
247, 12, 13, 14trlcl 37776 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐼 / 𝑔𝑋𝑇) → (𝑅𝐼 / 𝑔𝑋) ∈ 𝐵)
251, 23, 24syl2anc 587 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑅𝐼 / 𝑔𝑋) ∈ 𝐵)
26 simp3l 1199 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐼𝑇)
27 simp3r 1200 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))
287, 11, 12, 13, 14trlnidat 37785 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅𝐼) ∈ 𝐴)
291, 26, 27, 28syl3anc 1369 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑅𝐼) ∈ 𝐴)
307, 11atbase 36901 . . . . 5 ((𝑅𝐼) ∈ 𝐴 → (𝑅𝐼) ∈ 𝐵)
3129, 30syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑅𝐼) ∈ 𝐵)
32 simp13 1203 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
337, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17cdlemk35s 38549 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → 𝐺 / 𝑔𝑋𝑇)
341, 2, 32, 4, 5, 6, 33syl132anc 1386 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐺 / 𝑔𝑋𝑇)
35 simp22l 1290 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑃𝐴)
368, 11, 12, 13ltrnat 37752 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺 / 𝑔𝑋𝑇𝑃𝐴) → (𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) ∈ 𝐴)
371, 34, 35, 36syl3anc 1369 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) ∈ 𝐴)
387, 11atbase 36901 . . . . 5 ((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) ∈ 𝐴 → (𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) ∈ 𝐵)
3937, 38syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) ∈ 𝐵)
407, 8, 9latjlej2 17757 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑅𝐼 / 𝑔𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅𝐼) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) ∈ 𝐵)) → ((𝑅𝐼 / 𝑔𝑋) (𝑅𝐼) → ((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼 / 𝑔𝑋)) ((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼))))
4121, 25, 31, 39, 40syl13anc 1370 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑅𝐼 / 𝑔𝑋) (𝑅𝐼) → ((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼 / 𝑔𝑋)) ((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼))))
4219, 41mpd 15 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼 / 𝑔𝑋)) ((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼)))
437, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17cdlemk39s 38551 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → (𝑅𝐺 / 𝑔𝑋) (𝑅𝐺))
441, 2, 32, 4, 5, 6, 43syl132anc 1386 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑅𝐺 / 𝑔𝑋) (𝑅𝐺))
457, 12, 13, 14trlcl 37776 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺 / 𝑔𝑋𝑇) → (𝑅𝐺 / 𝑔𝑋) ∈ 𝐵)
461, 34, 45syl2anc 587 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑅𝐺 / 𝑔𝑋) ∈ 𝐵)
47 simp13l 1286 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐺𝑇)
48 simp13r 1287 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))
497, 11, 12, 13, 14trlnidat 37785 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅𝐺) ∈ 𝐴)
501, 47, 48, 49syl3anc 1369 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑅𝐺) ∈ 𝐴)
517, 11atbase 36901 . . . . 5 ((𝑅𝐺) ∈ 𝐴 → (𝑅𝐺) ∈ 𝐵)
5250, 51syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑅𝐺) ∈ 𝐵)
538, 11, 12, 13ltrnat 37752 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐼 / 𝑔𝑋𝑇𝑃𝐴) → (𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) ∈ 𝐴)
541, 23, 35, 53syl3anc 1369 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) ∈ 𝐴)
557, 11atbase 36901 . . . . 5 ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) ∈ 𝐴 → (𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) ∈ 𝐵)
5654, 55syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) ∈ 𝐵)
577, 8, 9latjlej2 17757 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑅𝐺 / 𝑔𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅𝐺) ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) ∈ 𝐵)) → ((𝑅𝐺 / 𝑔𝑋) (𝑅𝐺) → ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺 / 𝑔𝑋)) ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺))))
5821, 46, 52, 56, 57syl13anc 1370 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑅𝐺 / 𝑔𝑋) (𝑅𝐺) → ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺 / 𝑔𝑋)) ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺))))
5944, 58mpd 15 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺 / 𝑔𝑋)) ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺)))
607, 9latjcl 17742 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅𝐼 / 𝑔𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼 / 𝑔𝑋)) ∈ 𝐵)
6121, 39, 25, 60syl3anc 1369 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼 / 𝑔𝑋)) ∈ 𝐵)
627, 9, 11hlatjcl 36979 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) ∈ 𝐴 ∧ (𝑅𝐼) ∈ 𝐴) → ((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼)) ∈ 𝐵)
6320, 37, 29, 62syl3anc 1369 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼)) ∈ 𝐵)
647, 9latjcl 17742 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅𝐺 / 𝑔𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺 / 𝑔𝑋)) ∈ 𝐵)
6521, 56, 46, 64syl3anc 1369 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺 / 𝑔𝑋)) ∈ 𝐵)
667, 9, 11hlatjcl 36979 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) ∈ 𝐴 ∧ (𝑅𝐺) ∈ 𝐴) → ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺)) ∈ 𝐵)
6720, 54, 50, 66syl3anc 1369 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺)) ∈ 𝐵)
687, 8, 10latmlem12 17774 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼 / 𝑔𝑋)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼)) ∈ 𝐵) ∧ (((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺 / 𝑔𝑋)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺)) ∈ 𝐵)) → ((((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼 / 𝑔𝑋)) ((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼)) ∧ ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺 / 𝑔𝑋)) ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺))) → (((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼 / 𝑔𝑋)) ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺 / 𝑔𝑋))) (((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼)) ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺)))))
6921, 61, 63, 65, 67, 68syl122anc 1377 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼 / 𝑔𝑋)) ((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼)) ∧ ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺 / 𝑔𝑋)) ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺))) → (((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼 / 𝑔𝑋)) ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺 / 𝑔𝑋))) (((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼)) ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺)))))
7042, 59, 69mp2and 698 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼 / 𝑔𝑋)) ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺 / 𝑔𝑋))) (((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼)) ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2952  ∀wral 3071  ⦋csb 3808   class class class wbr 5037   I cid 5434  ◡ccnv 5528   ↾ cres 5531   ∘ ccom 5533  ‘cfv 6341  ℩crio 7114  (class class class)co 7157  Basecbs 16556  lecple 16645  joincjn 17635  meetcmee 17636  Latclat 17736  Atomscatm 36875  HLchlt 36962  LHypclh 37596  LTrncltrn 37713  trLctrl 37770 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5161  ax-sep 5174  ax-nul 5181  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7466  ax-riotaBAD 36565 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3700  df-csb 3809  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3878  df-nul 4229  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-op 4533  df-uni 4803  df-iun 4889  df-iin 4890  df-br 5038  df-opab 5100  df-mpt 5118  df-id 5435  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-riota 7115  df-ov 7160  df-oprab 7161  df-mpo 7162  df-1st 7700  df-2nd 7701  df-undef 7956  df-map 8425  df-proset 17619  df-poset 17637  df-plt 17649  df-lub 17665  df-glb 17666  df-join 17667  df-meet 17668  df-p0 17730  df-p1 17731  df-lat 17737  df-clat 17799  df-oposet 36788  df-ol 36790  df-oml 36791  df-covers 36878  df-ats 36879  df-atl 36910  df-cvlat 36934  df-hlat 36963  df-llines 37110  df-lplanes 37111  df-lvols 37112  df-lines 37113  df-psubsp 37115  df-pmap 37116  df-padd 37408  df-lhyp 37600  df-laut 37601  df-ldil 37716  df-ltrn 37717  df-trl 37771 This theorem is referenced by:  cdlemk52  38566
 Copyright terms: Public domain W3C validator