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Theorem cdlemk51 40127
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. Line 6, p. 120. 𝐺, 𝐼 stand for g, h. 𝑋 represents tau. TODO: Combine into cdlemk52 40128? (Contributed by NM, 23-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk5.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemk5.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemk5.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemk5.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemk5.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemk5.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemk5.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk5.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk5.z 𝑍 = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))))
cdlemk5.y π‘Œ = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘”)) ∧ (𝑍 ∨ (π‘…β€˜(𝑔 ∘ ◑𝑏))))
cdlemk5.x 𝑋 = (℩𝑧 ∈ 𝑇 βˆ€π‘ ∈ 𝑇 ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜π‘”)) β†’ (π‘§β€˜π‘ƒ) = π‘Œ))
Assertion
Ref Expression
cdlemk51 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜β¦‹πΌ / π‘”β¦Œπ‘‹)) ∧ ((⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜β¦‹πΊ / π‘”β¦Œπ‘‹))) ≀ (((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜πΌ)) ∧ ((⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜πΊ))))
Distinct variable groups:   ∧ ,𝑔   ∨ ,𝑔   𝐡,𝑔   𝑃,𝑔   𝑅,𝑔   𝑇,𝑔   𝑔,𝑍   𝑔,𝑏,𝐺,𝑧   ∧ ,𝑏,𝑧   ≀ ,𝑏   𝑧,𝑔, ≀   ∨ ,𝑏,𝑧   𝐴,𝑏,𝑔,𝑧   𝐡,𝑏,𝑧   𝐹,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝐺   𝐻,𝑏,𝑔,𝑧   𝐾,𝑏,𝑔,𝑧   𝑁,𝑏,𝑔,𝑧   𝑃,𝑏,𝑧   𝑅,𝑏,𝑧   𝑇,𝑏,𝑧   π‘Š,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,π‘Œ   𝐺,𝑏   𝐼,𝑏,𝑔,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑋(𝑧,𝑔,𝑏)   π‘Œ(𝑔,𝑏)   𝑍(𝑧,𝑏)
Proof of Theorem cdlemk51
StepHypRef Expression
1 simp11 1203 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 simp12 1204 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))
3 simp3 1138 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))
4 simp21 1206 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ 𝑁 ∈ 𝑇)
5 simp22 1207 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
6 simp23 1208 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))
7 cdlemk5.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
8 cdlemk5.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
9 cdlemk5.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
10 cdlemk5.m . . . . 5 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
11 cdlemk5.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
12 cdlemk5.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
13 cdlemk5.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
14 cdlemk5.r . . . . 5 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
15 cdlemk5.z . . . . 5 𝑍 = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))))
16 cdlemk5.y . . . . 5 π‘Œ = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘”)) ∧ (𝑍 ∨ (π‘…β€˜(𝑔 ∘ ◑𝑏))))
17 cdlemk5.x . . . . 5 𝑋 = (℩𝑧 ∈ 𝑇 βˆ€π‘ ∈ 𝑇 ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜π‘”)) β†’ (π‘§β€˜π‘ƒ) = π‘Œ))
187, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17cdlemk39s 40113 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) β†’ (π‘…β€˜β¦‹πΌ / π‘”β¦Œπ‘‹) ≀ (π‘…β€˜πΌ))
191, 2, 3, 4, 5, 6, 18syl132anc 1388 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘…β€˜β¦‹πΌ / π‘”β¦Œπ‘‹) ≀ (π‘…β€˜πΌ))
20 simp11l 1284 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2120hllatd 38537 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
227, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17cdlemk35s 40111 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) β†’ ⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∈ 𝑇)
231, 2, 3, 4, 5, 6, 22syl132anc 1388 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ ⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∈ 𝑇)
247, 12, 13, 14trlcl 39338 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜β¦‹πΌ / π‘”β¦Œπ‘‹) ∈ 𝐡)
251, 23, 24syl2anc 584 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘…β€˜β¦‹πΌ / π‘”β¦Œπ‘‹) ∈ 𝐡)
26 simp3l 1201 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ 𝐼 ∈ 𝑇)
27 simp3r 1202 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
287, 11, 12, 13, 14trlnidat 39347 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘…β€˜πΌ) ∈ 𝐴)
291, 26, 27, 28syl3anc 1371 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘…β€˜πΌ) ∈ 𝐴)
307, 11atbase 38462 . . . . 5 ((π‘…β€˜πΌ) ∈ 𝐴 β†’ (π‘…β€˜πΌ) ∈ 𝐡)
3129, 30syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘…β€˜πΌ) ∈ 𝐡)
32 simp13 1205 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))
337, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17cdlemk35s 40111 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) β†’ ⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∈ 𝑇)
341, 2, 32, 4, 5, 6, 33syl132anc 1388 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ ⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∈ 𝑇)
35 simp22l 1292 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
368, 11, 12, 13ltrnat 39314 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
371, 34, 35, 36syl3anc 1371 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
387, 11atbase 38462 . . . . 5 ((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 β†’ (⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡)
3937, 38syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡)
407, 8, 9latjlej2 18411 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((π‘…β€˜β¦‹πΌ / π‘”β¦Œπ‘‹) ∈ 𝐡 ∧ (π‘…β€˜πΌ) ∈ 𝐡 ∧ (⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘…β€˜β¦‹πΌ / π‘”β¦Œπ‘‹) ≀ (π‘…β€˜πΌ) β†’ ((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜β¦‹πΌ / π‘”β¦Œπ‘‹)) ≀ ((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜πΌ))))
4121, 25, 31, 39, 40syl13anc 1372 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ ((π‘…β€˜β¦‹πΌ / π‘”β¦Œπ‘‹) ≀ (π‘…β€˜πΌ) β†’ ((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜β¦‹πΌ / π‘”β¦Œπ‘‹)) ≀ ((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜πΌ))))
4219, 41mpd 15 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ ((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜β¦‹πΌ / π‘”β¦Œπ‘‹)) ≀ ((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜πΌ)))
437, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17cdlemk39s 40113 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) β†’ (π‘…β€˜β¦‹πΊ / π‘”β¦Œπ‘‹) ≀ (π‘…β€˜πΊ))
441, 2, 32, 4, 5, 6, 43syl132anc 1388 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘…β€˜β¦‹πΊ / π‘”β¦Œπ‘‹) ≀ (π‘…β€˜πΊ))
457, 12, 13, 14trlcl 39338 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜β¦‹πΊ / π‘”β¦Œπ‘‹) ∈ 𝐡)
461, 34, 45syl2anc 584 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘…β€˜β¦‹πΊ / π‘”β¦Œπ‘‹) ∈ 𝐡)
47 simp13l 1288 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
48 simp13r 1289 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
497, 11, 12, 13, 14trlnidat 39347 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘…β€˜πΊ) ∈ 𝐴)
501, 47, 48, 49syl3anc 1371 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘…β€˜πΊ) ∈ 𝐴)
517, 11atbase 38462 . . . . 5 ((π‘…β€˜πΊ) ∈ 𝐴 β†’ (π‘…β€˜πΊ) ∈ 𝐡)
5250, 51syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘…β€˜πΊ) ∈ 𝐡)
538, 11, 12, 13ltrnat 39314 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
541, 23, 35, 53syl3anc 1371 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
557, 11atbase 38462 . . . . 5 ((⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 β†’ (⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡)
5654, 55syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡)
577, 8, 9latjlej2 18411 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((π‘…β€˜β¦‹πΊ / π‘”β¦Œπ‘‹) ∈ 𝐡 ∧ (π‘…β€˜πΊ) ∈ 𝐡 ∧ (⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘…β€˜β¦‹πΊ / π‘”β¦Œπ‘‹) ≀ (π‘…β€˜πΊ) β†’ ((⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜β¦‹πΊ / π‘”β¦Œπ‘‹)) ≀ ((⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜πΊ))))
5821, 46, 52, 56, 57syl13anc 1372 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ ((π‘…β€˜β¦‹πΊ / π‘”β¦Œπ‘‹) ≀ (π‘…β€˜πΊ) β†’ ((⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜β¦‹πΊ / π‘”β¦Œπ‘‹)) ≀ ((⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜πΊ))))
5944, 58mpd 15 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ ((⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜β¦‹πΊ / π‘”β¦Œπ‘‹)) ≀ ((⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)))
607, 9latjcl 18396 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡 ∧ (π‘…β€˜β¦‹πΌ / π‘”β¦Œπ‘‹) ∈ 𝐡) β†’ ((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜β¦‹πΌ / π‘”β¦Œπ‘‹)) ∈ 𝐡)
6121, 39, 25, 60syl3anc 1371 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ ((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜β¦‹πΌ / π‘”β¦Œπ‘‹)) ∈ 𝐡)
627, 9, 11hlatjcl 38540 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ (π‘…β€˜πΌ) ∈ 𝐴) β†’ ((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜πΌ)) ∈ 𝐡)
6320, 37, 29, 62syl3anc 1371 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ ((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜πΌ)) ∈ 𝐡)
647, 9latjcl 18396 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡 ∧ (π‘…β€˜β¦‹πΊ / π‘”β¦Œπ‘‹) ∈ 𝐡) β†’ ((⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜β¦‹πΊ / π‘”β¦Œπ‘‹)) ∈ 𝐡)
6521, 56, 46, 64syl3anc 1371 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ ((⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜β¦‹πΊ / π‘”β¦Œπ‘‹)) ∈ 𝐡)
667, 9, 11hlatjcl 38540 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ (π‘…β€˜πΊ) ∈ 𝐴) β†’ ((⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∈ 𝐡)
6720, 54, 50, 66syl3anc 1371 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ ((⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∈ 𝐡)
687, 8, 10latmlem12 18428 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜β¦‹πΌ / π‘”β¦Œπ‘‹)) ∈ 𝐡 ∧ ((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜πΌ)) ∈ 𝐡) ∧ (((⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜β¦‹πΊ / π‘”β¦Œπ‘‹)) ∈ 𝐡 ∧ ((⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∈ 𝐡)) β†’ ((((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜β¦‹πΌ / π‘”β¦Œπ‘‹)) ≀ ((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜πΌ)) ∧ ((⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜β¦‹πΊ / π‘”β¦Œπ‘‹)) ≀ ((⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜β¦‹πΌ / π‘”β¦Œπ‘‹)) ∧ ((⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜β¦‹πΊ / π‘”β¦Œπ‘‹))) ≀ (((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜πΌ)) ∧ ((⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)))))
6921, 61, 63, 65, 67, 68syl122anc 1379 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ ((((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜β¦‹πΌ / π‘”β¦Œπ‘‹)) ≀ ((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜πΌ)) ∧ ((⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜β¦‹πΊ / π‘”β¦Œπ‘‹)) ≀ ((⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜β¦‹πΌ / π‘”β¦Œπ‘‹)) ∧ ((⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜β¦‹πΊ / π‘”β¦Œπ‘‹))) ≀ (((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜πΌ)) ∧ ((⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)))))
7042, 59, 69mp2and 697 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜β¦‹πΌ / π‘”β¦Œπ‘‹)) ∧ ((⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜β¦‹πΊ / π‘”β¦Œπ‘‹))) ≀ (((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜πΌ)) ∧ ((⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜πΊ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  β¦‹csb 3893   class class class wbr 5148   I cid 5573  β—‘ccnv 5675   β†Ύ cres 5678   ∘ ccom 5680  β€˜cfv 6543  β„©crio 7366  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  lecple 17208  joincjn 18268  meetcmee 18269  Latclat 18388  Atomscatm 38436  HLchlt 38523  LHypclh 39158  LTrncltrn 39275  trLctrl 39332
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-riotaBAD 38126
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-undef 8260  df-map 8824  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-p1 18383  df-lat 18389  df-clat 18456  df-oposet 38349  df-ol 38351  df-oml 38352  df-covers 38439  df-ats 38440  df-atl 38471  df-cvlat 38495  df-hlat 38524  df-llines 38672  df-lplanes 38673  df-lvols 38674  df-lines 38675  df-psubsp 38677  df-pmap 38678  df-padd 38970  df-lhyp 39162  df-laut 39163  df-ldil 39278  df-ltrn 39279  df-trl 39333
This theorem is referenced by:  cdlemk52  40128
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