MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lbinf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lbinf 11582
Description: If a set of reals contains a lower bound, the lower bound is its infimum. (Contributed by NM, 9-Oct-2005.) (Revised by AV, 4-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
lbinf ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) → inf(𝑆, ℝ, < ) = (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦))
Distinct variable group:   𝑥,𝑆,𝑦

Proof of Theorem lbinf
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltso 10709 . . 3 < Or ℝ
21a1i 11 . 2 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) → < Or ℝ)
3 lbcl 11580 . . 3 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) → (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∈ 𝑆)
4 ssel 3958 . . . 4 (𝑆 ⊆ ℝ → ((𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∈ ℝ))
54adantr 481 . . 3 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) → ((𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∈ ℝ))
63, 5mpd 15 . 2 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) → (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∈ ℝ)
76adantr 481 . . 3 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∈ ℝ)
8 ssel2 3959 . . . 4 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑧𝑆) → 𝑧 ∈ ℝ)
98adantlr 711 . . 3 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑧 ∈ ℝ)
10 lble 11581 . . . 4 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦𝑧𝑆) → (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ≤ 𝑧)
11103expa 1110 . . 3 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ≤ 𝑧)
127, 9, 11lensymd 10779 . 2 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∧ 𝑧𝑆) → ¬ 𝑧 < (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦))
132, 6, 3, 12infmin 8946 1 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) → inf(𝑆, ℝ, < ) = (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  wrex 3136  wss 3933   class class class wbr 5057   Or wor 5466  crio 7102  infcinf 8893  cr 10524   < clt 10663  cle 10664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669
This theorem is referenced by:  lbinfcl  11583  lbinfle  11584
  Copyright terms: Public domain W3C validator