Theorem lbinf 12169

Description: If a set of reals contains a lower bound, the lower bound is its infimum. (Contributed by NM, 9-Oct-2005.) (Revised by AV, 4-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lbinf	⊢ ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦) → inf(𝑆, ℝ, < ) = (℩𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦))

Distinct variable group:   𝑥,𝑆,𝑦

Proof of Theorem lbinf

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltso 11291	. . 3 ⊢ < Or ℝ
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦) → < Or ℝ)
3		lbcl 12167	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦) → (℩𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦) ∈ 𝑆)
4		ssel 3932	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ ℝ → ((℩𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦) ∈ 𝑆 → (℩𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦) ∈ ℝ))
5	4	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦) → ((℩𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦) ∈ 𝑆 → (℩𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦) ∈ ℝ))
6	3, 5	mpd 16	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦) → (℩𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦) ∈ ℝ)
7	6	adantr 485	. . 3 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (℩𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦) ∈ ℝ)
8		ssel2 3933	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ ℝ)
9	8	adantlr 727	. . 3 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ ℝ)
10		lble 12168	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (℩𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦) ≤ 𝑧)
11	10	3expa 1136	. . 3 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (℩𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦) ≤ 𝑧)
12	7, 9, 11	lensymd 11362	. 2 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ¬ 𝑧 < (℩𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦))
13	2, 6, 3, 12	infmin 9457	1 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦) → inf(𝑆, ℝ, < ) = (℩𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ∃wrex 3089   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5110   Or wor 5570  ℩crio 7368  infcinf 9402  ℝcr 11100   < clt 11244   ≤ cle 11245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-resscn 11158  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-sup 9403  df-inf 9404  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250

This theorem is referenced by:  lbinfcl  12170  lbinfle  12171