MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lbinf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lbinf 12174
Description: If a set of reals contains a lower bound, the lower bound is its infimum. (Contributed by NM, 9-Oct-2005.) (Revised by AV, 4-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
lbinf ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) → inf(𝑆, ℝ, < ) = (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦))
Distinct variable group:   𝑥,𝑆,𝑦

Proof of Theorem lbinf
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltso 11301 . . 3 < Or ℝ
21a1i 11 . 2 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) → < Or ℝ)
3 lbcl 12172 . . 3 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) → (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∈ 𝑆)
4 ssel 3975 . . . 4 (𝑆 ⊆ ℝ → ((𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∈ ℝ))
54adantr 480 . . 3 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) → ((𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∈ ℝ))
63, 5mpd 15 . 2 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) → (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∈ ℝ)
76adantr 480 . . 3 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∈ ℝ)
8 ssel2 3977 . . . 4 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑧𝑆) → 𝑧 ∈ ℝ)
98adantlr 712 . . 3 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑧 ∈ ℝ)
10 lble 12173 . . . 4 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦𝑧𝑆) → (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ≤ 𝑧)
11103expa 1117 . . 3 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ≤ 𝑧)
127, 9, 11lensymd 11372 . 2 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∧ 𝑧𝑆) → ¬ 𝑧 < (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦))
132, 6, 3, 12infmin 9495 1 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) → inf(𝑆, ℝ, < ) = (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3060  wrex 3069  wss 3948   class class class wbr 5148   Or wor 5587  crio 7367  infcinf 9442  cr 11115   < clt 11255  cle 11256
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-resscn 11173  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9443  df-inf 9444  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261
This theorem is referenced by:  lbinfcl  12175  lbinfle  12176
  Copyright terms: Public domain W3C validator