Theorem lbinfle 12102

Description: If a set of reals contains a lower bound, its infimum is less than or equal to all members of the set. (Contributed by NM, 11-Oct-2005.) (Revised by AV, 4-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lbinfle	⊢ ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑆,𝑦   𝑦,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem lbinfle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lbinf 12100	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦) → inf(𝑆, ℝ, < ) = (℩𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦))
2	1	3adant3 1133	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → inf(𝑆, ℝ, < ) = (℩𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦))
3		lble 12099	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (℩𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦) ≤ 𝐴)
4	2, 3	eqbrtrd 5108	1 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086  ℩crio 7316  infcinf 9347  ℝcr 11028   < clt 11170   ≤ cle 11171

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9348  df-inf 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176

This theorem is referenced by:  infssuzle  12872  aks4d1p5  42533  aks4d1p8  42540  rencldnfilem  43266  stoweidlem29  46475  hoidmvlelem2  47042