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Theorem lble 12115
Description: If a set of reals contains a lower bound, the lower bound is less than or equal to all members of the set. (Contributed by NM, 9-Oct-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
lble ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦𝐴𝑆) → (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ≤ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑆   𝑦,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem lble
StepHypRef Expression
1 lbreu 12113 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) → ∃!𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦)
2 nfcv 2904 . . . . . . 7 𝑥𝑆
3 nfriota1 7324 . . . . . . . 8 𝑥(𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦)
4 nfcv 2904 . . . . . . . 8 𝑥
5 nfcv 2904 . . . . . . . 8 𝑥𝑦
63, 4, 5nfbr 5156 . . . . . . 7 𝑥(𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ≤ 𝑦
72, 6nfralw 3293 . . . . . 6 𝑥𝑦𝑆 (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ≤ 𝑦
8 eqid 2733 . . . . . 6 (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) = (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦)
9 nfra1 3266 . . . . . . . . 9 𝑦𝑦𝑆 𝑥𝑦
10 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 𝑦𝑆
119, 10nfriota 7330 . . . . . . . 8 𝑦(𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦)
1211nfeq2 2921 . . . . . . 7 𝑦 𝑥 = (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦)
13 breq1 5112 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) → (𝑥𝑦 ↔ (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ≤ 𝑦))
1412, 13ralbid 3255 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) → (∀𝑦𝑆 𝑥𝑦 ↔ ∀𝑦𝑆 (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ≤ 𝑦))
157, 8, 14riotaprop 7345 . . . . 5 (∃!𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦 → ((𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ≤ 𝑦))
161, 15syl 17 . . . 4 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) → ((𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ≤ 𝑦))
1716simprd 497 . . 3 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) → ∀𝑦𝑆 (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ≤ 𝑦)
18 nfcv 2904 . . . . 5 𝑦
19 nfcv 2904 . . . . 5 𝑦𝐴
2011, 18, 19nfbr 5156 . . . 4 𝑦(𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ≤ 𝐴
21 breq2 5113 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 → ((𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ≤ 𝑦 ↔ (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ≤ 𝐴))
2220, 21rspc 3571 . . 3 (𝐴𝑆 → (∀𝑦𝑆 (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ≤ 𝑦 → (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ≤ 𝐴))
2317, 22mpan9 508 . 2 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∧ 𝐴𝑆) → (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ≤ 𝐴)
24233impa 1111 1 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦𝐴𝑆) → (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ≤ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3061  wrex 3070  ∃!wreu 3350  wss 3914   class class class wbr 5109  crio 7316  cr 11058  cle 11198
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-resscn 11116  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203
This theorem is referenced by:  lbinf  12116  lbinfle  12118
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