Theorem dihat 41296

Description: There exists at least one atom in the subspaces of vector space H. (Contributed by NM, 12-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihat.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihat.p	⊢ 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
dihat.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihat.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihat.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
dihat.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
dihat	⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑃) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem dihat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihat.k	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		dihat.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
3		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
4		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
5		dihat.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6	3, 4, 5	lhpocat 39978	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾))
7	1, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾))
8	2, 7	eqeltrid 2837	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (Atoms‘𝐾))
9		dihat.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
10		dihat.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
11		dihat.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
12	4, 5, 9, 10, 11	dihatlat 41295	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (𝐼‘𝑃) ∈ 𝐴)
13	1, 8, 12	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑃) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6541  occoc 17281  LSAtomsclsa 38934  Atomscatm 39223  HLchlt 39310  LHypclh 39945  DVecHcdvh 41039  DIsoHcdih 41189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214  ax-riotaBAD 38913

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-iin 4974  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-tpos 8233  df-undef 8280  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-er 8727  df-map 8850  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-n0 12510  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13530  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17230  df-ress 17253  df-plusg 17286  df-mulr 17287  df-sca 17289  df-vsca 17290  df-0g 17457  df-proset 18310  df-poset 18329  df-plt 18344  df-lub 18360  df-glb 18361  df-join 18362  df-meet 18363  df-p0 18439  df-p1 18440  df-lat 18446  df-clat 18513  df-mgm 18622  df-sgrp 18701  df-mnd 18717  df-submnd 18766  df-grp 18923  df-minusg 18924  df-sbg 18925  df-subg 19110  df-cntz 19304  df-lsm 19622  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-mgp 20106  df-rng 20118  df-ur 20147  df-ring 20200  df-oppr 20302  df-dvdsr 20325  df-unit 20326  df-invr 20356  df-dvr 20369  df-drng 20699  df-lmod 20828  df-lss 20898  df-lsp 20938  df-lvec 21070  df-lsatoms 38936  df-oposet 39136  df-ol 39138  df-oml 39139  df-covers 39226  df-ats 39227  df-atl 39258  df-cvlat 39282  df-hlat 39311  df-llines 39459  df-lplanes 39460  df-lvols 39461  df-lines 39462  df-psubsp 39464  df-pmap 39465  df-padd 39757  df-lhyp 39949  df-laut 39950  df-ldil 40065  df-ltrn 40066  df-trl 40120  df-tendo 40716  df-edring 40718  df-disoa 40990  df-dvech 41040  df-dib 41100  df-dic 41134  df-dih 41190

This theorem is referenced by:  dihpN  41297  dvh1dimat  41402