Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpocnel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhpocnel 36628
Description: The orthocomplement of a co-atom is an atom not under it. Provides a convenient construction when we need the existence of any object with this property. (Contributed by NM, 25-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpocnel.l = (le‘𝐾)
lhpocnel.o = (oc‘𝐾)
lhpocnel.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpocnel.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lhpocnel ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (( 𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( 𝑊) 𝑊))

Proof of Theorem lhpocnel
StepHypRef Expression
1 lhpocnel.o . . 3 = (oc‘𝐾)
2 lhpocnel.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3 lhpocnel.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
41, 2, 3lhpocat 36627 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( 𝑊) ∈ 𝐴)
5 lhpocnel.l . . 3 = (le‘𝐾)
65, 1, 3lhpocnle 36626 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ¬ ( 𝑊) 𝑊)
74, 6jca 504 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (( 𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( 𝑊) 𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050   class class class wbr 4925  cfv 6185  lecple 16426  occoc 16427  Atomscatm 35873  HLchlt 35960  LHypclh 36594
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-id 5308  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-proset 17408  df-poset 17426  df-plt 17438  df-lub 17454  df-glb 17455  df-meet 17457  df-p0 17519  df-p1 17520  df-lat 17526  df-oposet 35786  df-ol 35788  df-oml 35789  df-covers 35876  df-ats 35877  df-atl 35908  df-cvlat 35932  df-hlat 35961  df-lhyp 36598
This theorem is referenced by:  lhpocnel2  36629  trlcl  36774  trlle  36794  cdlemk19w  37582  dia2dimlem8  37681  dicssdvh  37796  dicvaddcl  37800  dicvscacl  37801  dicn0  37802  dih1  37896  dihatlat  37944
  Copyright terms: Public domain W3C validator