Theorem lhpocnel 39531

Description: The orthocomplement of a co-atom is an atom not under it. Provides a convenient construction when we need the existence of any object with this property. (Contributed by NM, 25-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpocnel.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lhpocnel.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
lhpocnel.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpocnel.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpocnel	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (( ⊥ ‘𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊))

Proof of Theorem lhpocnel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lhpocnel.o	. . 3 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
2		lhpocnel.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3		lhpocnel.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4	1, 2, 3	lhpocat 39530	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( ⊥ ‘𝑊) ∈ 𝐴)
5		lhpocnel.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
6	5, 1, 3	lhpocnle 39529	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ¬ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊)
7	4, 6	jca 510	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (( ⊥ ‘𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5152  ‘cfv 6553  lecple 17249  occoc 17250  Atomscatm 38775  HLchlt 38862  LHypclh 39497

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-proset 18296  df-poset 18314  df-plt 18331  df-lub 18347  df-glb 18348  df-meet 18350  df-p0 18426  df-p1 18427  df-lat 18433  df-oposet 38688  df-ol 38690  df-oml 38691  df-covers 38778  df-ats 38779  df-atl 38810  df-cvlat 38834  df-hlat 38863  df-lhyp 39501

This theorem is referenced by:  lhpocnel2  39532  trlcl  39677  trlle  39697  cdlemk19w  40485  dia2dimlem8  40584  dicssdvh  40699  dicvaddcl  40703  dicvscacl  40704  dicn0  40705  dih1  40799  dihatlat  40847