Theorem lhpocnel 38884

Description: The orthocomplement of a co-atom is an atom not under it. Provides a convenient construction when we need the existence of any object with this property. (Contributed by NM, 25-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpocnel.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lhpocnel.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
lhpocnel.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpocnel.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpocnel	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (( ⊥ ‘𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊))

Proof of Theorem lhpocnel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lhpocnel.o	. . 3 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
2		lhpocnel.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3		lhpocnel.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4	1, 2, 3	lhpocat 38883	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( ⊥ ‘𝑊) ∈ 𝐴)
5		lhpocnel.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
6	5, 1, 3	lhpocnle 38882	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ¬ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊)
7	4, 6	jca 512	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (( ⊥ ‘𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  lecple 17203  occoc 17204  Atomscatm 38128  HLchlt 38215  LHypclh 38850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-proset 18247  df-poset 18265  df-plt 18282  df-lub 18298  df-glb 18299  df-meet 18301  df-p0 18377  df-p1 18378  df-lat 18384  df-oposet 38041  df-ol 38043  df-oml 38044  df-covers 38131  df-ats 38132  df-atl 38163  df-cvlat 38187  df-hlat 38216  df-lhyp 38854

This theorem is referenced by:  lhpocnel2  38885  trlcl  39030  trlle  39050  cdlemk19w  39838  dia2dimlem8  39937  dicssdvh  40052  dicvaddcl  40056  dicvscacl  40057  dicn0  40058  dih1  40152  dihatlat  40200