Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpocnel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhpocnel 38011
Description: The orthocomplement of a co-atom is an atom not under it. Provides a convenient construction when we need the existence of any object with this property. (Contributed by NM, 25-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpocnel.l = (le‘𝐾)
lhpocnel.o = (oc‘𝐾)
lhpocnel.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpocnel.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lhpocnel ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (( 𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( 𝑊) 𝑊))

Proof of Theorem lhpocnel
StepHypRef Expression
1 lhpocnel.o . . 3 = (oc‘𝐾)
2 lhpocnel.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3 lhpocnel.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
41, 2, 3lhpocat 38010 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( 𝑊) ∈ 𝐴)
5 lhpocnel.l . . 3 = (le‘𝐾)
65, 1, 3lhpocnle 38009 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ¬ ( 𝑊) 𝑊)
74, 6jca 511 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (( 𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( 𝑊) 𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1541  wcel 2109   class class class wbr 5078  cfv 6430  lecple 16950  occoc 16951  Atomscatm 37256  HLchlt 37343  LHypclh 37977
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-proset 17994  df-poset 18012  df-plt 18029  df-lub 18045  df-glb 18046  df-meet 18048  df-p0 18124  df-p1 18125  df-lat 18131  df-oposet 37169  df-ol 37171  df-oml 37172  df-covers 37259  df-ats 37260  df-atl 37291  df-cvlat 37315  df-hlat 37344  df-lhyp 37981
This theorem is referenced by:  lhpocnel2  38012  trlcl  38157  trlle  38177  cdlemk19w  38965  dia2dimlem8  39064  dicssdvh  39179  dicvaddcl  39183  dicvscacl  39184  dicn0  39185  dih1  39279  dihatlat  39327
  Copyright terms: Public domain W3C validator