Theorem lhpocnel 40510

Description: The orthocomplement of a co-atom is an atom not under it. Provides a convenient construction when we need the existence of any object with this property. (Contributed by NM, 25-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpocnel.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lhpocnel.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
lhpocnel.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpocnel.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpocnel	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (( ⊥ ‘𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊))

Proof of Theorem lhpocnel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lhpocnel.o	. . 3 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
2		lhpocnel.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3		lhpocnel.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4	1, 2, 3	lhpocat 40509	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( ⊥ ‘𝑊) ∈ 𝐴)
5		lhpocnel.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
6	5, 1, 3	lhpocnle 40508	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ¬ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊)
7	4, 6	jca 516	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (( ⊥ ‘𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  lecple 17218  occoc 17219  Atomscatm 39755  HLchlt 39842  LHypclh 40476

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-proset 18251  df-poset 18270  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-meet 18304  df-p0 18380  df-p1 18381  df-lat 18389  df-oposet 39668  df-ol 39670  df-oml 39671  df-covers 39758  df-ats 39759  df-atl 39790  df-cvlat 39814  df-hlat 39843  df-lhyp 40480

This theorem is referenced by:  lhpocnel2  40511  trlcl  40656  trlle  40676  cdlemk19w  41464  dia2dimlem8  41563  dicssdvh  41678  dicvaddcl  41682  dicvscacl  41683  dicn0  41684  dih1  41778  dihatlat  41826