Theorem lhpocnel 39977

Description: The orthocomplement of a co-atom is an atom not under it. Provides a convenient construction when we need the existence of any object with this property. (Contributed by NM, 25-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpocnel.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lhpocnel.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
lhpocnel.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpocnel.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpocnel	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (( ⊥ ‘𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊))

Proof of Theorem lhpocnel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lhpocnel.o	. . 3 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
2		lhpocnel.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3		lhpocnel.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4	1, 2, 3	lhpocat 39976	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( ⊥ ‘𝑊) ∈ 𝐴)
5		lhpocnel.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
6	5, 1, 3	lhpocnle 39975	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ¬ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊)
7	4, 6	jca 511	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (( ⊥ ‘𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  ‘cfv 6575  lecple 17320  occoc 17321  Atomscatm 39221  HLchlt 39308  LHypclh 39943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-proset 18367  df-poset 18385  df-plt 18402  df-lub 18418  df-glb 18419  df-meet 18421  df-p0 18497  df-p1 18498  df-lat 18504  df-oposet 39134  df-ol 39136  df-oml 39137  df-covers 39224  df-ats 39225  df-atl 39256  df-cvlat 39280  df-hlat 39309  df-lhyp 39947

This theorem is referenced by:  lhpocnel2  39978  trlcl  40123  trlle  40143  cdlemk19w  40931  dia2dimlem8  41030  dicssdvh  41145  dicvaddcl  41149  dicvscacl  41150  dicn0  41151  dih1  41245  dihatlat  41293