Theorem lhpocnel 41212

Description: The orthocomplement of a co-atom is an atom not under it. Provides a convenient construction when we need the existence of any object with this property. (Contributed by NM, 25-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpocnel.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lhpocnel.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
lhpocnel.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpocnel.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpocnel	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (( ⊥ ‘𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊))

Proof of Theorem lhpocnel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lhpocnel.o	. . 3 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
2		lhpocnel.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3		lhpocnel.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4	1, 2, 3	lhpocat 41211	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( ⊥ ‘𝑊) ∈ 𝐴)
5		lhpocnel.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
6	5, 1, 3	lhpocnle 41210	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ¬ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊)
7	4, 6	jca 521	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (( ⊥ ‘𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ‘cfv 6543  lecple 17444  occoc 17445  Atomscatm 40457  HLchlt 40544  LHypclh 41178

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-proset 18477  df-poset 18496  df-plt 18511  df-lub 18527  df-glb 18528  df-meet 18530  df-p0 18606  df-p1 18607  df-lat 18615  df-oposet 40370  df-ol 40372  df-oml 40373  df-covers 40460  df-ats 40461  df-atl 40492  df-cvlat 40516  df-hlat 40545  df-lhyp 41182

This theorem is used by:  lhpocnel2  41213  trlcl  41358  trlle  41378  cdlemk19w  42166  dia2dimlem8  42265  dicssdvh  42380  dicvaddcl  42384  dicvscacl  42385  dicn0  42386  dih1  42480  dihatlat  42528