Theorem 2lplnmj 40870

Description: The meet of two lattice planes is a lattice line iff their join is a lattice volume. (Contributed by NM, 13-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
2lplnmj.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
2lplnmj.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
2lplnmj.n	⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
2lplnmj.p	⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
2lplnmj.v	⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2lplnmj	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝑁 ↔ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝑉))

Proof of Theorem 2lplnmj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → 𝐾 ∈ HL)
2		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		2lplnmj.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
4	2, 3	lplnbase 40782	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
5	4	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
6	2, 3	lplnbase 40782	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
7	6	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
8		2lplnmj.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
9		2lplnmj.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
10		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
11	2, 8, 9, 10	cvrexch 40668	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑋 ∧ 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌 ↔ 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)))
12	1, 5, 7, 11	syl3anc 1399	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑋 ∧ 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌 ↔ 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)))
13		simpl1 1210	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝑁) → 𝐾 ∈ HL)
14		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝑁) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝑁)
15		simpl3 1212	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ 𝑃)
16		hllat 40611	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
17		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
18	2, 17, 9	latmle2 18665	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
19	16, 4, 6, 18	syl3an 1178	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
20	19	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝑁) → (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
21		2lplnmj.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
22	17, 10, 21, 3	llncvrlpln2 40805	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑌) → (𝑋 ∧ 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌)
23	13, 14, 15, 20, 22	syl31anc 1401	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝑁) → (𝑋 ∧ 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌)
24		simpl3 1212	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌) → 𝑌 ∈ 𝑃)
25	2, 9	latmcl 18640	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
26	16, 4, 6, 25	syl3an 1178	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
27	1, 26, 7	3jca 1146	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)))
28	2, 10, 21, 3	llncvrlpln 40806	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝑁 ↔ 𝑌 ∈ 𝑃))
29	27, 28	sylan 592	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝑁 ↔ 𝑌 ∈ 𝑃))
30	24, 29	mpbird 260	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝑁)
31	23, 30	impbida 813	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝑁 ↔ (𝑋 ∧ 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌))
32		simpl1 1210	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝑉) → 𝐾 ∈ HL)
33		simpl2 1211	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑃)
34		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝑉)
35	2, 17, 8	latlej1 18648	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))
36	16, 4, 6, 35	syl3an 1178	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))
37	36	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝑉) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))
38		2lplnmj.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)
39	17, 10, 3, 38	lplncvrlvol2 40863	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝑉) ∧ 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)) → 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))
40	32, 33, 34, 37, 39	syl31anc 1401	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝑉) → 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))
41		simpl2 1211	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
42	2, 8	latjcl 18639	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
43	16, 4, 6, 42	syl3an 1178	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
44	1, 5, 43	3jca 1146	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ (Base‘𝐾)))
45	2, 10, 3, 38	lplncvrlvol 40864	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)) → (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝑉))
46	44, 45	sylan 592	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)) → (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝑉))
47	41, 46	mpbid 235	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝑉)
48	40, 47	impbida 813	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝑉 ↔ 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)))
49	12, 31, 48	3bitr4d 314	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝑁 ↔ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝑉))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  Basecbs 17413  lecple 17461  joincjn 18511  meetcmee 18512  Latclat 18631   ⋖ ccvr 40510  HLchlt 40598  LLinesclln 40739  LPlanesclpl 40740  LVolsclvol 40741

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-proset 18494  df-poset 18513  df-plt 18528  df-lub 18544  df-glb 18545  df-join 18546  df-meet 18547  df-p0 18623  df-lat 18632  df-clat 18699  df-oposet 40424  df-ol 40426  df-oml 40427  df-covers 40514  df-ats 40515  df-atl 40546  df-cvlat 40570  df-hlat 40599  df-llines 40746  df-lplanes 40747  df-lvols 40748

This theorem is used by:  dalem15  40926