Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2lplnmj Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 2lplnmj 39005
Description: The meet of two lattice planes is a lattice line iff their join is a lattice volume. (Contributed by NM, 13-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2lplnmj.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
2lplnmj.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
2lplnmj.n 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
2lplnmj.p 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
2lplnmj.v 𝑉 = (LVolsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
2lplnmj ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝑁 ↔ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝑉))
Proof of Theorem 2lplnmj
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 eqid 2726 . . . . 5 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
3 2lplnmj.p . . . . 5 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
42, 3lplnbase 38917 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
543ad2ant2 1131 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
62, 3lplnbase 38917 . . . 4 (π‘Œ ∈ 𝑃 β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
763ad2ant3 1132 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
8 2lplnmj.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
9 2lplnmj.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
10 eqid 2726 . . . 4 ( β‹– β€˜πΎ) = ( β‹– β€˜πΎ)
112, 8, 9, 10cvrexch 38803 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)( β‹– β€˜πΎ)π‘Œ ↔ 𝑋( β‹– β€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)))
121, 5, 7, 11syl3anc 1368 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)( β‹– β€˜πΎ)π‘Œ ↔ 𝑋( β‹– β€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)))
13 simpl1 1188 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝑁) β†’ 𝐾 ∈ HL)
14 simpr 484 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝑁) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝑁)
15 simpl3 1190 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝑁) β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
16 hllat 38745 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
17 eqid 2726 . . . . . . 7 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
182, 17, 9latmle2 18427 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)π‘Œ)
1916, 4, 6, 18syl3an 1157 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)π‘Œ)
2019adantr 480 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝑁) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)π‘Œ)
21 2lplnmj.n . . . . 5 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
2217, 10, 21, 3llncvrlpln2 38940 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ)( β‹– β€˜πΎ)π‘Œ)
2313, 14, 15, 20, 22syl31anc 1370 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝑁) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ)( β‹– β€˜πΎ)π‘Œ)
24 simpl3 1190 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ)( β‹– β€˜πΎ)π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
252, 9latmcl 18402 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2616, 4, 6, 25syl3an 1157 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
271, 26, 73jca 1125 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)))
282, 10, 21, 3llncvrlpln 38941 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ)( β‹– β€˜πΎ)π‘Œ) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝑁 ↔ π‘Œ ∈ 𝑃))
2927, 28sylan 579 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ)( β‹– β€˜πΎ)π‘Œ) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝑁 ↔ π‘Œ ∈ 𝑃))
3024, 29mpbird 257 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ)( β‹– β€˜πΎ)π‘Œ) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝑁)
3123, 30impbida 798 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝑁 ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ)( β‹– β€˜πΎ)π‘Œ))
32 simpl1 1188 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝑉) β†’ 𝐾 ∈ HL)
33 simpl2 1189 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
34 simpr 484 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝑉)
352, 17, 8latlej1 18410 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))
3616, 4, 6, 35syl3an 1157 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))
3736adantr 480 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝑉) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))
38 2lplnmj.v . . . . 5 𝑉 = (LVolsβ€˜πΎ)
3917, 10, 3, 38lplncvrlvol2 38998 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝑉) ∧ 𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)) β†’ 𝑋( β‹– β€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))
4032, 33, 34, 37, 39syl31anc 1370 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝑉) β†’ 𝑋( β‹– β€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))
41 simpl2 1189 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ 𝑋( β‹– β€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
422, 8latjcl 18401 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4316, 4, 6, 42syl3an 1157 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
441, 5, 433jca 1125 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)))
452, 10, 3, 38lplncvrlvol 38999 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑋( β‹– β€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝑉))
4644, 45sylan 579 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ 𝑋( β‹– β€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝑉))
4741, 46mpbid 231 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ 𝑋( β‹– β€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝑉)
4840, 47impbida 798 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝑉 ↔ 𝑋( β‹– β€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)))
4912, 31, 483bitr4d 311 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝑁 ↔ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17150  lecple 17210  joincjn 18273  meetcmee 18274  Latclat 18393   β‹– ccvr 38644  HLchlt 38732  LLinesclln 38874  LPlanesclpl 38875  LVolsclvol 38876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-proset 18257  df-poset 18275  df-plt 18292  df-lub 18308  df-glb 18309  df-join 18310  df-meet 18311  df-p0 18387  df-lat 18394  df-clat 18461  df-oposet 38558  df-ol 38560  df-oml 38561  df-covers 38648  df-ats 38649  df-atl 38680  df-cvlat 38704  df-hlat 38733  df-llines 38881  df-lplanes 38882  df-lvols 38883
This theorem is referenced by:  dalem15  39061
  Copyright terms: Public domain W3C validator