Theorem 2lplnmj 39605

Description: The meet of two lattice planes is a lattice line iff their join is a lattice volume. (Contributed by NM, 13-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
2lplnmj.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
2lplnmj.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
2lplnmj.n	⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
2lplnmj.p	⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
2lplnmj.v	⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2lplnmj	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝑁 ↔ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝑉))

Proof of Theorem 2lplnmj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1135	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → 𝐾 ∈ HL)
2		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		2lplnmj.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
4	2, 3	lplnbase 39517	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
5	4	3ad2ant2 1133	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
6	2, 3	lplnbase 39517	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
7	6	3ad2ant3 1134	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
8		2lplnmj.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
9		2lplnmj.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
10		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
11	2, 8, 9, 10	cvrexch 39403	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑋 ∧ 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌 ↔ 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)))
12	1, 5, 7, 11	syl3anc 1370	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑋 ∧ 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌 ↔ 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)))
13		simpl1 1190	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝑁) → 𝐾 ∈ HL)
14		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝑁) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝑁)
15		simpl3 1192	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ 𝑃)
16		hllat 39345	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
17		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
18	2, 17, 9	latmle2 18523	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
19	16, 4, 6, 18	syl3an 1159	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
20	19	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝑁) → (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
21		2lplnmj.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
22	17, 10, 21, 3	llncvrlpln2 39540	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑌) → (𝑋 ∧ 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌)
23	13, 14, 15, 20, 22	syl31anc 1372	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝑁) → (𝑋 ∧ 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌)
24		simpl3 1192	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌) → 𝑌 ∈ 𝑃)
25	2, 9	latmcl 18498	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
26	16, 4, 6, 25	syl3an 1159	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
27	1, 26, 7	3jca 1127	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)))
28	2, 10, 21, 3	llncvrlpln 39541	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝑁 ↔ 𝑌 ∈ 𝑃))
29	27, 28	sylan 580	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝑁 ↔ 𝑌 ∈ 𝑃))
30	24, 29	mpbird 257	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝑁)
31	23, 30	impbida 801	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝑁 ↔ (𝑋 ∧ 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌))
32		simpl1 1190	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝑉) → 𝐾 ∈ HL)
33		simpl2 1191	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑃)
34		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝑉)
35	2, 17, 8	latlej1 18506	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))
36	16, 4, 6, 35	syl3an 1159	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))
37	36	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝑉) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))
38		2lplnmj.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)
39	17, 10, 3, 38	lplncvrlvol2 39598	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝑉) ∧ 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)) → 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))
40	32, 33, 34, 37, 39	syl31anc 1372	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝑉) → 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))
41		simpl2 1191	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
42	2, 8	latjcl 18497	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
43	16, 4, 6, 42	syl3an 1159	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
44	1, 5, 43	3jca 1127	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ (Base‘𝐾)))
45	2, 10, 3, 38	lplncvrlvol 39599	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)) → (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝑉))
46	44, 45	sylan 580	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)) → (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝑉))
47	41, 46	mpbid 232	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝑉)
48	40, 47	impbida 801	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝑉 ↔ 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)))
49	12, 31, 48	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝑁 ↔ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  lecple 17305  joincjn 18369  meetcmee 18370  Latclat 18489   ⋖ ccvr 39244  HLchlt 39332  LLinesclln 39474  LPlanesclpl 39475  LVolsclvol 39476

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-lat 18490  df-clat 18557  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-llines 39481  df-lplanes 39482  df-lvols 39483

This theorem is referenced by:  dalem15  39661