Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2lplnmj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lplnmj 35426
Description: The meet of two lattice planes is a lattice line iff their join is a lattice volume. (Contributed by NM, 13-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2lplnmj.j = (join‘𝐾)
2lplnmj.m = (meet‘𝐾)
2lplnmj.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
2lplnmj.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
2lplnmj.v 𝑉 = (LVols‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
2lplnmj ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((𝑋 𝑌) ∈ 𝑁 ↔ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉))

Proof of Theorem 2lplnmj
StepHypRef Expression
1 simp1 1130 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → 𝐾 ∈ HL)
2 eqid 2771 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3 2lplnmj.p . . . . 5 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
42, 3lplnbase 35338 . . . 4 (𝑋𝑃𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
543ad2ant2 1128 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
62, 3lplnbase 35338 . . . 4 (𝑌𝑃𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
763ad2ant3 1129 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
8 2lplnmj.j . . . 4 = (join‘𝐾)
9 2lplnmj.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
10 eqid 2771 . . . 4 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
112, 8, 9, 10cvrexch 35224 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 𝑌)))
121, 5, 7, 11syl3anc 1476 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 𝑌)))
13 simpl1 1227 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑁) → 𝐾 ∈ HL)
14 simpr 471 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑁) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑁)
15 simpl3 1231 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑁) → 𝑌𝑃)
16 hllat 35168 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
17 eqid 2771 . . . . . . 7 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
182, 17, 9latmle2 17284 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
1916, 4, 6, 18syl3an 1163 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
2019adantr 466 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑁) → (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
21 2lplnmj.n . . . . 5 𝑁 = (LLines‘𝐾)
2217, 10, 21, 3llncvrlpln2 35361 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑁𝑌𝑃) ∧ (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑌) → (𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌)
2313, 14, 15, 20, 22syl31anc 1479 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑁) → (𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌)
24 simpl3 1231 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌) → 𝑌𝑃)
252, 9latmcl 17259 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
2616, 4, 6, 25syl3an 1163 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
271, 26, 73jca 1122 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)))
282, 10, 21, 3llncvrlpln 35362 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌) → ((𝑋 𝑌) ∈ 𝑁𝑌𝑃))
2927, 28sylan 561 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌) → ((𝑋 𝑌) ∈ 𝑁𝑌𝑃))
3024, 29mpbird 247 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑁)
3123, 30impbida 794 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((𝑋 𝑌) ∈ 𝑁 ↔ (𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌))
32 simpl1 1227 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉) → 𝐾 ∈ HL)
33 simpl2 1229 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉) → 𝑋𝑃)
34 simpr 471 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
352, 17, 8latlej1 17267 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 𝑌))
3616, 4, 6, 35syl3an 1163 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 𝑌))
3736adantr 466 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 𝑌))
38 2lplnmj.v . . . . 5 𝑉 = (LVols‘𝐾)
3917, 10, 3, 38lplncvrlvol2 35419 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃 ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉) ∧ 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 𝑌))
4032, 33, 34, 37, 39syl31anc 1479 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉) → 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 𝑌))
41 simpl2 1229 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → 𝑋𝑃)
422, 8latjcl 17258 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
4316, 4, 6, 42syl3an 1163 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
441, 5, 433jca 1122 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾)))
452, 10, 3, 38lplncvrlvol 35420 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → (𝑋𝑃 ↔ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉))
4644, 45sylan 561 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → (𝑋𝑃 ↔ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉))
4741, 46mpbid 222 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
4840, 47impbida 794 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((𝑋 𝑌) ∈ 𝑉𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 𝑌)))
4912, 31, 483bitr4d 300 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((𝑋 𝑌) ∈ 𝑁 ↔ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145   class class class wbr 4786  cfv 6031  (class class class)co 6792  Basecbs 16063  lecple 16155  joincjn 17151  meetcmee 17152  Latclat 17252  ccvr 35067  HLchlt 35155  LLinesclln 35295  LPlanesclpl 35296  LVolsclvol 35297
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7095
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-preset 17135  df-poset 17153  df-plt 17165  df-lub 17181  df-glb 17182  df-join 17183  df-meet 17184  df-p0 17246  df-lat 17253  df-clat 17315  df-oposet 34981  df-ol 34983  df-oml 34984  df-covers 35071  df-ats 35072  df-atl 35103  df-cvlat 35127  df-hlat 35156  df-llines 35302  df-lplanes 35303  df-lvols 35304
This theorem is referenced by:  dalem15  35482
  Copyright terms: Public domain W3C validator