Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2lplnmj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lplnmj 38085
Description: The meet of two lattice planes is a lattice line iff their join is a lattice volume. (Contributed by NM, 13-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2lplnmj.j = (join‘𝐾)
2lplnmj.m = (meet‘𝐾)
2lplnmj.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
2lplnmj.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
2lplnmj.v 𝑉 = (LVols‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
2lplnmj ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((𝑋 𝑌) ∈ 𝑁 ↔ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉))

Proof of Theorem 2lplnmj
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → 𝐾 ∈ HL)
2 eqid 2736 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3 2lplnmj.p . . . . 5 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
42, 3lplnbase 37997 . . . 4 (𝑋𝑃𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
543ad2ant2 1134 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
62, 3lplnbase 37997 . . . 4 (𝑌𝑃𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
763ad2ant3 1135 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
8 2lplnmj.j . . . 4 = (join‘𝐾)
9 2lplnmj.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
10 eqid 2736 . . . 4 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
112, 8, 9, 10cvrexch 37883 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 𝑌)))
121, 5, 7, 11syl3anc 1371 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 𝑌)))
13 simpl1 1191 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑁) → 𝐾 ∈ HL)
14 simpr 485 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑁) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑁)
15 simpl3 1193 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑁) → 𝑌𝑃)
16 hllat 37825 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
17 eqid 2736 . . . . . . 7 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
182, 17, 9latmle2 18354 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
1916, 4, 6, 18syl3an 1160 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
2019adantr 481 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑁) → (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
21 2lplnmj.n . . . . 5 𝑁 = (LLines‘𝐾)
2217, 10, 21, 3llncvrlpln2 38020 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑁𝑌𝑃) ∧ (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑌) → (𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌)
2313, 14, 15, 20, 22syl31anc 1373 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑁) → (𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌)
24 simpl3 1193 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌) → 𝑌𝑃)
252, 9latmcl 18329 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
2616, 4, 6, 25syl3an 1160 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
271, 26, 73jca 1128 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)))
282, 10, 21, 3llncvrlpln 38021 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌) → ((𝑋 𝑌) ∈ 𝑁𝑌𝑃))
2927, 28sylan 580 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌) → ((𝑋 𝑌) ∈ 𝑁𝑌𝑃))
3024, 29mpbird 256 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑁)
3123, 30impbida 799 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((𝑋 𝑌) ∈ 𝑁 ↔ (𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌))
32 simpl1 1191 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉) → 𝐾 ∈ HL)
33 simpl2 1192 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉) → 𝑋𝑃)
34 simpr 485 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
352, 17, 8latlej1 18337 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 𝑌))
3616, 4, 6, 35syl3an 1160 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 𝑌))
3736adantr 481 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 𝑌))
38 2lplnmj.v . . . . 5 𝑉 = (LVols‘𝐾)
3917, 10, 3, 38lplncvrlvol2 38078 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃 ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉) ∧ 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 𝑌))
4032, 33, 34, 37, 39syl31anc 1373 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉) → 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 𝑌))
41 simpl2 1192 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → 𝑋𝑃)
422, 8latjcl 18328 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
4316, 4, 6, 42syl3an 1160 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
441, 5, 433jca 1128 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾)))
452, 10, 3, 38lplncvrlvol 38079 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → (𝑋𝑃 ↔ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉))
4644, 45sylan 580 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → (𝑋𝑃 ↔ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉))
4741, 46mpbid 231 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
4840, 47impbida 799 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((𝑋 𝑌) ∈ 𝑉𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 𝑌)))
4912, 31, 483bitr4d 310 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((𝑋 𝑌) ∈ 𝑁 ↔ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  lecple 17140  joincjn 18200  meetcmee 18201  Latclat 18320  ccvr 37724  HLchlt 37812  LLinesclln 37954  LPlanesclpl 37955  LVolsclvol 37956
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-proset 18184  df-poset 18202  df-plt 18219  df-lub 18235  df-glb 18236  df-join 18237  df-meet 18238  df-p0 18314  df-lat 18321  df-clat 18388  df-oposet 37638  df-ol 37640  df-oml 37641  df-covers 37728  df-ats 37729  df-atl 37760  df-cvlat 37784  df-hlat 37813  df-llines 37961  df-lplanes 37962  df-lvols 37963
This theorem is referenced by:  dalem15  38141
  Copyright terms: Public domain W3C validator