Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2lplnmj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lplnmj 35642
Description: The meet of two lattice planes is a lattice line iff their join is a lattice volume. (Contributed by NM, 13-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2lplnmj.j = (join‘𝐾)
2lplnmj.m = (meet‘𝐾)
2lplnmj.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
2lplnmj.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
2lplnmj.v 𝑉 = (LVols‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
2lplnmj ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((𝑋 𝑌) ∈ 𝑁 ↔ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉))

Proof of Theorem 2lplnmj
StepHypRef Expression
1 simp1 1167 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → 𝐾 ∈ HL)
2 eqid 2800 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3 2lplnmj.p . . . . 5 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
42, 3lplnbase 35554 . . . 4 (𝑋𝑃𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
543ad2ant2 1165 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
62, 3lplnbase 35554 . . . 4 (𝑌𝑃𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
763ad2ant3 1166 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
8 2lplnmj.j . . . 4 = (join‘𝐾)
9 2lplnmj.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
10 eqid 2800 . . . 4 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
112, 8, 9, 10cvrexch 35440 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 𝑌)))
121, 5, 7, 11syl3anc 1491 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 𝑌)))
13 simpl1 1243 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑁) → 𝐾 ∈ HL)
14 simpr 478 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑁) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑁)
15 simpl3 1247 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑁) → 𝑌𝑃)
16 hllat 35383 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
17 eqid 2800 . . . . . . 7 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
182, 17, 9latmle2 17391 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
1916, 4, 6, 18syl3an 1200 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
2019adantr 473 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑁) → (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
21 2lplnmj.n . . . . 5 𝑁 = (LLines‘𝐾)
2217, 10, 21, 3llncvrlpln2 35577 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑁𝑌𝑃) ∧ (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑌) → (𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌)
2313, 14, 15, 20, 22syl31anc 1493 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑁) → (𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌)
24 simpl3 1247 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌) → 𝑌𝑃)
252, 9latmcl 17366 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
2616, 4, 6, 25syl3an 1200 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
271, 26, 73jca 1159 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)))
282, 10, 21, 3llncvrlpln 35578 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌) → ((𝑋 𝑌) ∈ 𝑁𝑌𝑃))
2927, 28sylan 576 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌) → ((𝑋 𝑌) ∈ 𝑁𝑌𝑃))
3024, 29mpbird 249 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑁)
3123, 30impbida 836 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((𝑋 𝑌) ∈ 𝑁 ↔ (𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌))
32 simpl1 1243 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉) → 𝐾 ∈ HL)
33 simpl2 1245 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉) → 𝑋𝑃)
34 simpr 478 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
352, 17, 8latlej1 17374 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 𝑌))
3616, 4, 6, 35syl3an 1200 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 𝑌))
3736adantr 473 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 𝑌))
38 2lplnmj.v . . . . 5 𝑉 = (LVols‘𝐾)
3917, 10, 3, 38lplncvrlvol2 35635 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃 ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉) ∧ 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 𝑌))
4032, 33, 34, 37, 39syl31anc 1493 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉) → 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 𝑌))
41 simpl2 1245 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → 𝑋𝑃)
422, 8latjcl 17365 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
4316, 4, 6, 42syl3an 1200 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
441, 5, 433jca 1159 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾)))
452, 10, 3, 38lplncvrlvol 35636 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → (𝑋𝑃 ↔ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉))
4644, 45sylan 576 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → (𝑋𝑃 ↔ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉))
4741, 46mpbid 224 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
4840, 47impbida 836 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((𝑋 𝑌) ∈ 𝑉𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 𝑌)))
4912, 31, 483bitr4d 303 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((𝑋 𝑌) ∈ 𝑁 ↔ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157   class class class wbr 4844  cfv 6102  (class class class)co 6879  Basecbs 16183  lecple 16273  joincjn 17258  meetcmee 17259  Latclat 17359  ccvr 35282  HLchlt 35370  LLinesclln 35511  LPlanesclpl 35512  LVolsclvol 35513
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-rep 4965  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-op 4376  df-uni 4630  df-iun 4713  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-id 5221  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-riota 6840  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-proset 17242  df-poset 17260  df-plt 17272  df-lub 17288  df-glb 17289  df-join 17290  df-meet 17291  df-p0 17353  df-lat 17360  df-clat 17422  df-oposet 35196  df-ol 35198  df-oml 35199  df-covers 35286  df-ats 35287  df-atl 35318  df-cvlat 35342  df-hlat 35371  df-llines 35518  df-lplanes 35519  df-lvols 35520
This theorem is referenced by:  dalem15  35698
  Copyright terms: Public domain W3C validator