Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2lplnmj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lplnmj 37279
Description: The meet of two lattice planes is a lattice line iff their join is a lattice volume. (Contributed by NM, 13-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2lplnmj.j = (join‘𝐾)
2lplnmj.m = (meet‘𝐾)
2lplnmj.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
2lplnmj.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
2lplnmj.v 𝑉 = (LVols‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
2lplnmj ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((𝑋 𝑌) ∈ 𝑁 ↔ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉))

Proof of Theorem 2lplnmj
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → 𝐾 ∈ HL)
2 eqid 2738 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3 2lplnmj.p . . . . 5 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
42, 3lplnbase 37191 . . . 4 (𝑋𝑃𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
543ad2ant2 1135 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
62, 3lplnbase 37191 . . . 4 (𝑌𝑃𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
763ad2ant3 1136 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
8 2lplnmj.j . . . 4 = (join‘𝐾)
9 2lplnmj.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
10 eqid 2738 . . . 4 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
112, 8, 9, 10cvrexch 37077 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 𝑌)))
121, 5, 7, 11syl3anc 1372 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 𝑌)))
13 simpl1 1192 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑁) → 𝐾 ∈ HL)
14 simpr 488 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑁) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑁)
15 simpl3 1194 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑁) → 𝑌𝑃)
16 hllat 37020 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
17 eqid 2738 . . . . . . 7 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
182, 17, 9latmle2 17803 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
1916, 4, 6, 18syl3an 1161 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
2019adantr 484 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑁) → (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
21 2lplnmj.n . . . . 5 𝑁 = (LLines‘𝐾)
2217, 10, 21, 3llncvrlpln2 37214 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑁𝑌𝑃) ∧ (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑌) → (𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌)
2313, 14, 15, 20, 22syl31anc 1374 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑁) → (𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌)
24 simpl3 1194 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌) → 𝑌𝑃)
252, 9latmcl 17778 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
2616, 4, 6, 25syl3an 1161 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
271, 26, 73jca 1129 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)))
282, 10, 21, 3llncvrlpln 37215 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌) → ((𝑋 𝑌) ∈ 𝑁𝑌𝑃))
2927, 28sylan 583 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌) → ((𝑋 𝑌) ∈ 𝑁𝑌𝑃))
3024, 29mpbird 260 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑁)
3123, 30impbida 801 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((𝑋 𝑌) ∈ 𝑁 ↔ (𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌))
32 simpl1 1192 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉) → 𝐾 ∈ HL)
33 simpl2 1193 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉) → 𝑋𝑃)
34 simpr 488 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
352, 17, 8latlej1 17786 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 𝑌))
3616, 4, 6, 35syl3an 1161 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 𝑌))
3736adantr 484 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 𝑌))
38 2lplnmj.v . . . . 5 𝑉 = (LVols‘𝐾)
3917, 10, 3, 38lplncvrlvol2 37272 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃 ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉) ∧ 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 𝑌))
4032, 33, 34, 37, 39syl31anc 1374 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉) → 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 𝑌))
41 simpl2 1193 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → 𝑋𝑃)
422, 8latjcl 17777 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
4316, 4, 6, 42syl3an 1161 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
441, 5, 433jca 1129 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾)))
452, 10, 3, 38lplncvrlvol 37273 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → (𝑋𝑃 ↔ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉))
4644, 45sylan 583 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → (𝑋𝑃 ↔ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉))
4741, 46mpbid 235 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
4840, 47impbida 801 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((𝑋 𝑌) ∈ 𝑉𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 𝑌)))
4912, 31, 483bitr4d 314 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((𝑋 𝑌) ∈ 𝑁 ↔ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114   class class class wbr 5030  cfv 6339  (class class class)co 7170  Basecbs 16586  lecple 16675  joincjn 17670  meetcmee 17671  Latclat 17771  ccvr 36919  HLchlt 37007  LLinesclln 37148  LPlanesclpl 37149  LVolsclvol 37150
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5429  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-proset 17654  df-poset 17672  df-plt 17684  df-lub 17700  df-glb 17701  df-join 17702  df-meet 17703  df-p0 17765  df-lat 17772  df-clat 17834  df-oposet 36833  df-ol 36835  df-oml 36836  df-covers 36923  df-ats 36924  df-atl 36955  df-cvlat 36979  df-hlat 37008  df-llines 37155  df-lplanes 37156  df-lvols 37157
This theorem is referenced by:  dalem15  37335
  Copyright terms: Public domain W3C validator