Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2lplnmj Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 2lplnmj 39127
Description: The meet of two lattice planes is a lattice line iff their join is a lattice volume. (Contributed by NM, 13-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2lplnmj.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
2lplnmj.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
2lplnmj.n 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
2lplnmj.p 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
2lplnmj.v 𝑉 = (LVolsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
2lplnmj ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝑁 ↔ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝑉))
Proof of Theorem 2lplnmj
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 eqid 2728 . . . . 5 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
3 2lplnmj.p . . . . 5 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
42, 3lplnbase 39039 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
543ad2ant2 1131 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
62, 3lplnbase 39039 . . . 4 (π‘Œ ∈ 𝑃 β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
763ad2ant3 1132 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
8 2lplnmj.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
9 2lplnmj.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
10 eqid 2728 . . . 4 ( β‹– β€˜πΎ) = ( β‹– β€˜πΎ)
112, 8, 9, 10cvrexch 38925 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)( β‹– β€˜πΎ)π‘Œ ↔ 𝑋( β‹– β€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)))
121, 5, 7, 11syl3anc 1368 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)( β‹– β€˜πΎ)π‘Œ ↔ 𝑋( β‹– β€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)))
13 simpl1 1188 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝑁) β†’ 𝐾 ∈ HL)
14 simpr 483 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝑁) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝑁)
15 simpl3 1190 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝑁) β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
16 hllat 38867 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
17 eqid 2728 . . . . . . 7 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
182, 17, 9latmle2 18464 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)π‘Œ)
1916, 4, 6, 18syl3an 1157 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)π‘Œ)
2019adantr 479 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝑁) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)π‘Œ)
21 2lplnmj.n . . . . 5 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
2217, 10, 21, 3llncvrlpln2 39062 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ)( β‹– β€˜πΎ)π‘Œ)
2313, 14, 15, 20, 22syl31anc 1370 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝑁) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ)( β‹– β€˜πΎ)π‘Œ)
24 simpl3 1190 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ)( β‹– β€˜πΎ)π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
252, 9latmcl 18439 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2616, 4, 6, 25syl3an 1157 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
271, 26, 73jca 1125 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)))
282, 10, 21, 3llncvrlpln 39063 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ)( β‹– β€˜πΎ)π‘Œ) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝑁 ↔ π‘Œ ∈ 𝑃))
2927, 28sylan 578 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ)( β‹– β€˜πΎ)π‘Œ) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝑁 ↔ π‘Œ ∈ 𝑃))
3024, 29mpbird 256 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ)( β‹– β€˜πΎ)π‘Œ) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝑁)
3123, 30impbida 799 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝑁 ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ)( β‹– β€˜πΎ)π‘Œ))
32 simpl1 1188 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝑉) β†’ 𝐾 ∈ HL)
33 simpl2 1189 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
34 simpr 483 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝑉)
352, 17, 8latlej1 18447 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))
3616, 4, 6, 35syl3an 1157 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))
3736adantr 479 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝑉) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))
38 2lplnmj.v . . . . 5 𝑉 = (LVolsβ€˜πΎ)
3917, 10, 3, 38lplncvrlvol2 39120 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝑉) ∧ 𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)) β†’ 𝑋( β‹– β€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))
4032, 33, 34, 37, 39syl31anc 1370 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝑉) β†’ 𝑋( β‹– β€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))
41 simpl2 1189 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ 𝑋( β‹– β€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
422, 8latjcl 18438 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4316, 4, 6, 42syl3an 1157 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
441, 5, 433jca 1125 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)))
452, 10, 3, 38lplncvrlvol 39121 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑋( β‹– β€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝑉))
4644, 45sylan 578 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ 𝑋( β‹– β€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝑉))
4741, 46mpbid 231 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ 𝑋( β‹– β€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝑉)
4840, 47impbida 799 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝑉 ↔ 𝑋( β‹– β€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)))
4912, 31, 483bitr4d 310 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝑁 ↔ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  lecple 17247  joincjn 18310  meetcmee 18311  Latclat 18430   β‹– ccvr 38766  HLchlt 38854  LLinesclln 38996  LPlanesclpl 38997  LVolsclvol 38998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-proset 18294  df-poset 18312  df-plt 18329  df-lub 18345  df-glb 18346  df-join 18347  df-meet 18348  df-p0 18424  df-lat 18431  df-clat 18498  df-oposet 38680  df-ol 38682  df-oml 38683  df-covers 38770  df-ats 38771  df-atl 38802  df-cvlat 38826  df-hlat 38855  df-llines 39003  df-lplanes 39004  df-lvols 39005
This theorem is referenced by:  dalem15  39183
  Copyright terms: Public domain W3C validator