Theorem 2lplnmj 36752

Description: The meet of two lattice planes is a lattice line iff their join is a lattice volume. (Contributed by NM, 13-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
2lplnmj.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
2lplnmj.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
2lplnmj.n	⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
2lplnmj.p	⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
2lplnmj.v	⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2lplnmj	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝑁 ↔ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝑉))

Proof of Theorem 2lplnmj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1132	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → 𝐾 ∈ HL)
2		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		2lplnmj.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
4	2, 3	lplnbase 36664	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
5	4	3ad2ant2 1130	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
6	2, 3	lplnbase 36664	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
7	6	3ad2ant3 1131	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
8		2lplnmj.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
9		2lplnmj.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
10		eqid 2821	. . . 4 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
11	2, 8, 9, 10	cvrexch 36550	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑋 ∧ 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌 ↔ 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)))
12	1, 5, 7, 11	syl3anc 1367	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑋 ∧ 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌 ↔ 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)))
13		simpl1 1187	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝑁) → 𝐾 ∈ HL)
14		simpr 487	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝑁) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝑁)
15		simpl3 1189	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ 𝑃)
16		hllat 36493	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
17		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
18	2, 17, 9	latmle2 17681	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
19	16, 4, 6, 18	syl3an 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
20	19	adantr 483	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝑁) → (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
21		2lplnmj.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
22	17, 10, 21, 3	llncvrlpln2 36687	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑌) → (𝑋 ∧ 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌)
23	13, 14, 15, 20, 22	syl31anc 1369	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝑁) → (𝑋 ∧ 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌)
24		simpl3 1189	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌) → 𝑌 ∈ 𝑃)
25	2, 9	latmcl 17656	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
26	16, 4, 6, 25	syl3an 1156	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
27	1, 26, 7	3jca 1124	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)))
28	2, 10, 21, 3	llncvrlpln 36688	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝑁 ↔ 𝑌 ∈ 𝑃))
29	27, 28	sylan 582	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝑁 ↔ 𝑌 ∈ 𝑃))
30	24, 29	mpbird 259	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝑁)
31	23, 30	impbida 799	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝑁 ↔ (𝑋 ∧ 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌))
32		simpl1 1187	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝑉) → 𝐾 ∈ HL)
33		simpl2 1188	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑃)
34		simpr 487	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝑉)
35	2, 17, 8	latlej1 17664	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))
36	16, 4, 6, 35	syl3an 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))
37	36	adantr 483	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝑉) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))
38		2lplnmj.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)
39	17, 10, 3, 38	lplncvrlvol2 36745	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝑉) ∧ 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)) → 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))
40	32, 33, 34, 37, 39	syl31anc 1369	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝑉) → 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))
41		simpl2 1188	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
42	2, 8	latjcl 17655	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
43	16, 4, 6, 42	syl3an 1156	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
44	1, 5, 43	3jca 1124	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ (Base‘𝐾)))
45	2, 10, 3, 38	lplncvrlvol 36746	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)) → (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝑉))
46	44, 45	sylan 582	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)) → (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝑉))
47	41, 46	mpbid 234	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝑉)
48	40, 47	impbida 799	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝑉 ↔ 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)))
49	12, 31, 48	3bitr4d 313	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝑁 ↔ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5058  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  Basecbs 16477  lecple 16566  joincjn 17548  meetcmee 17549  Latclat 17649   ⋖ ccvr 36392  HLchlt 36480  LLinesclln 36621  LPlanesclpl 36622  LVolsclvol 36623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-proset 17532  df-poset 17550  df-plt 17562  df-lub 17578  df-glb 17579  df-join 17580  df-meet 17581  df-p0 17643  df-lat 17650  df-clat 17712  df-oposet 36306  df-ol 36308  df-oml 36309  df-covers 36396  df-ats 36397  df-atl 36428  df-cvlat 36452  df-hlat 36481  df-llines 36628  df-lplanes 36629  df-lvols 36630

This theorem is referenced by:  dalem15  36808