Theorem islpln5 39795

Description: The predicate "is a lattice plane" in terms of atoms. (Contributed by NM, 24-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
islpln5.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
islpln5.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
islpln5.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
islpln5.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
islpln5.p	⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
islpln5	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑋 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))

Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝑟,𝐴   𝐵,𝑝,𝑞,𝑟   ∨ ,𝑝,𝑞,𝑟   𝐾,𝑝,𝑞,𝑟   ≤ ,𝑝,𝑞,𝑟   𝑋,𝑝,𝑞,𝑟

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑟,𝑞,𝑝)

Proof of Theorem islpln5

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islpln5.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		islpln5.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		islpln5.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		islpln5.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5		eqid 2736	. . 3 ⊢ (LLines‘𝐾) = (LLines‘𝐾)
6		islpln5.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	islpln3 39793	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ ∃𝑦 ∈ (LLines‘𝐾)∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))))
8		df-rex 3061	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ (LLines‘𝐾)∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟)) ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))))
9		r19.41v 3166	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))) ↔ (∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))))
10		an13 647	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))) ↔ (𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))))))
11	9, 10	bitri 275	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))) ↔ (𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))))))
12	11	exbii 1849	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑦∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))) ↔ ∃𝑦(𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))))))
13		ovex 7391	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ V
14		an12 645	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟)))) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟)))))
15		eleq1 2824	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ 𝐵))
16		breq2 5102	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞) → (𝑟 ≤ 𝑦 ↔ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)))
17	16	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞) → (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ↔ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)))
18		oveq1 7365	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞) → (𝑦 ∨ 𝑟) = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))
19	18	eqeq2d 2747	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞) → (𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟) ↔ 𝑋 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
20	17, 19	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞) → ((¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟)) ↔ (¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑋 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
21	20	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞) → ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ↔ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑋 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))))
22		3anass 1094	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑋 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑋 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
23	21, 22	bitr4di 289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞) → ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ↔ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑋 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
24	15, 23	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞) → ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟)))) ↔ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∈ 𝐵 ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑋 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))))
25	14, 24	bitrid 283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞) → ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟)))) ↔ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∈ 𝐵 ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑋 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))))
26	25	rexbidv 3160	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞) → (∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟)))) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∈ 𝐵 ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑋 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))))
27		r19.42v 3168	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟)))) ↔ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟)))))
28		r19.42v 3168	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∈ 𝐵 ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑋 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑋 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
29	26, 27, 28	3bitr3g 313	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞) → ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟)))) ↔ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑋 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))))
30	13, 29	ceqsexv 3490	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑦(𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))))) ↔ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑋 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
31	12, 30	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))) ↔ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑋 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
32		simpll 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
33		simprl 770	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → 𝑝 ∈ 𝐴)
34		simprr 772	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → 𝑞 ∈ 𝐴)
35	1, 3, 4	hlatjcl 39627	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ 𝐵)
36	32, 33, 34, 35	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ 𝐵)
37	36	biantrurd 532	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → (∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑋 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑋 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))))
38	31, 37	bitr4id 290	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → (∃𝑦∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑋 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
39	38	2rexbidva 3199	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑦∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑋 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
40		rexcom4 3263	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑦∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))) ↔ ∃𝑦∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))))
41	40	rexbii 3083	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑦∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑦∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))))
42		rexcom4 3263	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑦∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))) ↔ ∃𝑦∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))))
43	41, 42	bitri 275	. . . . 5 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑦∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))) ↔ ∃𝑦∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))))
44	39, 43	bitr3di 286	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑋 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ ∃𝑦∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞)))))
45		rexcom 3265	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))))
46	45	rexbii 3083	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))))
47		rexcom 3265	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))))
48	46, 47	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))))
49	1, 3, 4, 5	islln2 39771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑦 ∈ (LLines‘𝐾) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞)))))
50	49	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ (LLines‘𝐾) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞)))))
51	50	anbi1d 631	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑦 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ↔ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))) ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟)))))
52		r19.42v 3168	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))) ↔ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))))
53		r19.42v 3168	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))) ↔ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))))
54	53	rexbii 3083	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))))
55		an32 646	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))) ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ↔ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))))
56	52, 54, 55	3bitr4ri 304	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))) ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))))
57	51, 56	bitrdi 287	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑦 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞)))))
58	57	rexbidv 3160	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞)))))
59	48, 58	bitr4id 290	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟)))))
60		r19.42v 3168	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ↔ (𝑦 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))))
61	59, 60	bitrdi 287	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))) ↔ (𝑦 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟)))))
62	61	exbidv 1922	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑦∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))) ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟)))))
63	44, 62	bitrd 279	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑋 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟)))))
64	8, 63	bitr4id 290	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑦 ∈ (LLines‘𝐾)∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟)) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑋 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
65	7, 64	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑋 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∃wrex 3060   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  lecple 17184  joincjn 18234  Atomscatm 39523  HLchlt 39610  LLinesclln 39751  LPlanesclpl 39752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-proset 18217  df-poset 18236  df-plt 18251  df-lub 18267  df-glb 18268  df-join 18269  df-meet 18270  df-p0 18346  df-lat 18355  df-clat 18422  df-oposet 39436  df-ol 39438  df-oml 39439  df-covers 39526  df-ats 39527  df-atl 39558  df-cvlat 39582  df-hlat 39611  df-llines 39758  df-lplanes 39759

This theorem is referenced by:  islpln2  39796  lplni2  39797