Theorem islpln5 40685

Description: The predicate "is a lattice plane" in terms of atoms. (Contributed by NM, 24-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
islpln5.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
islpln5.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
islpln5.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
islpln5.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
islpln5.p	⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
islpln5	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑋 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))

Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝑟,𝐴   𝐵,𝑝,𝑞,𝑟   ∨ ,𝑝,𝑞,𝑟   𝐾,𝑝,𝑞,𝑟   ≤ ,𝑝,𝑞,𝑟   𝑋,𝑝,𝑞,𝑟

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑟, 𝑞, 𝑝)

Proof of Theorem islpln5

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islpln5.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		islpln5.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		islpln5.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		islpln5.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5		eqid 2760	. . 3 ⊢ (LLines‘𝐾) = (LLines‘𝐾)
6		islpln5.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	islpln3 40683	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ ∃𝑦 ∈ (LLines‘𝐾)∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))))
8		df-rex 3087	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ (LLines‘𝐾)∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟)) ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))))
9		r19.41v 3192	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))) ↔ (∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))))
10		an13 660	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))) ↔ (𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))))))
11	9, 10	bitri 278	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))) ↔ (𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))))))
12	11	exbii 1880	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑦∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))) ↔ ∃𝑦(𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))))))
13		ovex 7453	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ V
14		an12 658	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟)))) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟)))))
15		eleq1 2848	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ 𝐵))
16		breq2 5106	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞) → (𝑟 ≤ 𝑦 ↔ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)))
17	16	notbid 321	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞) → (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ↔ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)))
18		oveq1 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞) → (𝑦 ∨ 𝑟) = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))
19	18	eqeq2d 2771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞) → (𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟) ↔ 𝑋 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
20	17, 19	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞) → ((¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟)) ↔ (¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑋 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
21	20	anbi2d 642	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞) → ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ↔ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑋 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))))
22		3anass 1111	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑋 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑋 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
23	21, 22	bitr4di 292	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞) → ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ↔ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑋 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
24	15, 23	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞) → ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟)))) ↔ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∈ 𝐵 ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑋 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))))
25	14, 24	bitrid 286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞) → ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟)))) ↔ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∈ 𝐵 ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑋 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))))
26	25	rexbidv 3186	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞) → (∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟)))) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∈ 𝐵 ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑋 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))))
27		r19.42v 3194	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟)))) ↔ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟)))))
28		r19.42v 3194	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∈ 𝐵 ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑋 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑋 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
29	26, 27, 28	3bitr3g 316	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞) → ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟)))) ↔ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑋 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))))
30	13, 29	ceqsexv 3498	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑦(𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))))) ↔ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑋 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
31	12, 30	bitri 278	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))) ↔ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑋 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
32		simpll 779	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
33		simprl 783	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → 𝑝 ∈ 𝐴)
34		simprr 785	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → 𝑞 ∈ 𝐴)
35	1, 3, 4	hlatjcl 40517	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ 𝐵)
36	32, 33, 34, 35	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ 𝐵)
37	36	biantrurd 542	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → (∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑋 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑋 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))))
38	31, 37	bitr4id 293	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → (∃𝑦∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑋 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
39	38	2rexbidva 3225	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑦∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑋 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
40		rexcom4 3289	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑦∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))) ↔ ∃𝑦∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))))
41	40	rexbii 3109	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑦∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑦∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))))
42		rexcom4 3289	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑦∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))) ↔ ∃𝑦∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))))
43	41, 42	bitri 278	. . . . 5 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑦∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))) ↔ ∃𝑦∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))))
44	39, 43	bitr3di 289	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑋 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ ∃𝑦∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞)))))
45		rexcom 3291	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))))
46	45	rexbii 3109	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))))
47		rexcom 3291	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))))
48	46, 47	bitri 278	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))))
49	1, 3, 4, 5	islln2 40661	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑦 ∈ (LLines‘𝐾) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞)))))
50	49	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ (LLines‘𝐾) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞)))))
51	50	anbi1d 643	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑦 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ↔ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))) ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟)))))
52		r19.42v 3194	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))) ↔ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))))
53		r19.42v 3194	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))) ↔ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))))
54	53	rexbii 3109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))))
55		an32 659	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))) ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ↔ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))))
56	52, 54, 55	3bitr4ri 307	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))) ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))))
57	51, 56	bitrdi 290	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑦 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞)))))
58	57	rexbidv 3186	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞)))))
59	48, 58	bitr4id 293	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟)))))
60		r19.42v 3194	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ↔ (𝑦 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))))
61	59, 60	bitrdi 290	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))) ↔ (𝑦 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟)))))
62	61	exbidv 1953	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑦∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ 𝑞))) ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟)))))
63	44, 62	bitrd 282	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑋 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟)))))
64	8, 63	bitr4id 293	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑦 ∈ (LLines‘𝐾)∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑟)) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑋 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
65	7, 64	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑋 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17392  lecple 17440  joincjn 18490  Atomscatm 40413  HLchlt 40500  LLinesclln 40641  LPlanesclpl 40642

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-proset 18473  df-poset 18492  df-plt 18507  df-lub 18523  df-glb 18524  df-join 18525  df-meet 18526  df-p0 18602  df-lat 18611  df-clat 18678  df-oposet 40326  df-ol 40328  df-oml 40329  df-covers 40416  df-ats 40417  df-atl 40448  df-cvlat 40472  df-hlat 40501  df-llines 40648  df-lplanes 40649

This theorem is used by:  islpln2  40686  lplni2  40687