Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islpln5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islpln5 38027
Description: The predicate "is a lattice plane" in terms of atoms. (Contributed by NM, 24-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
islpln5.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
islpln5.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
islpln5.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
islpln5.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
islpln5.p 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
islpln5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ 𝑋 = ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ))))
Distinct variable groups:   π‘ž,𝑝,π‘Ÿ,𝐴   𝐡,𝑝,π‘ž,π‘Ÿ   ∨ ,𝑝,π‘ž,π‘Ÿ   𝐾,𝑝,π‘ž,π‘Ÿ   ≀ ,𝑝,π‘ž,π‘Ÿ   𝑋,𝑝,π‘ž,π‘Ÿ
Allowed substitution hints:   𝑃(π‘Ÿ,π‘ž,𝑝)

Proof of Theorem islpln5
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islpln5.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 islpln5.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 islpln5.j . . 3 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
4 islpln5.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
5 eqid 2737 . . 3 (LLinesβ€˜πΎ) = (LLinesβ€˜πΎ)
6 islpln5.p . . 3 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
71, 2, 3, 4, 5, 6islpln3 38025 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ (LLinesβ€˜πΎ)βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ π‘Ÿ))))
8 df-rex 3075 . . 3 (βˆƒπ‘¦ ∈ (LLinesβ€˜πΎ)βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ π‘Ÿ)) ↔ βˆƒπ‘¦(𝑦 ∈ (LLinesβ€˜πΎ) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ π‘Ÿ))))
9 r19.41v 3186 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ π‘Ÿ))) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ π‘ž))) ↔ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ π‘Ÿ))) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ π‘ž))))
10 an13 646 . . . . . . . . . 10 ((βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ π‘Ÿ))) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ π‘ž))) ↔ (𝑦 = (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ π‘Ÿ))))))
119, 10bitri 275 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ π‘Ÿ))) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ π‘ž))) ↔ (𝑦 = (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ π‘Ÿ))))))
1211exbii 1851 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘¦βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ π‘Ÿ))) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ π‘ž))) ↔ βˆƒπ‘¦(𝑦 = (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ π‘Ÿ))))))
13 ovex 7395 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∨ π‘ž) ∈ V
14 an12 644 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ π‘Ÿ)))) ↔ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ π‘Ÿ)))))
15 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑝 ∨ π‘ž) β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↔ (𝑝 ∨ π‘ž) ∈ 𝐡))
16 breq2 5114 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝑝 ∨ π‘ž) β†’ (π‘Ÿ ≀ 𝑦 ↔ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)))
1716notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝑝 ∨ π‘ž) β†’ (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑦 ↔ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)))
18 oveq1 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝑝 ∨ π‘ž) β†’ (𝑦 ∨ π‘Ÿ) = ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ))
1918eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝑝 ∨ π‘ž) β†’ (𝑋 = (𝑦 ∨ π‘Ÿ) ↔ 𝑋 = ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
2017, 19anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑝 ∨ π‘ž) β†’ ((Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ π‘Ÿ)) ↔ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ 𝑋 = ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ))))
2120anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑝 ∨ π‘ž) β†’ ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ π‘Ÿ))) ↔ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ 𝑋 = ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))))
22 3anass 1096 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ 𝑋 = ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ↔ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ 𝑋 = ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ))))
2321, 22bitr4di 289 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑝 ∨ π‘ž) β†’ ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ π‘Ÿ))) ↔ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ 𝑋 = ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ))))
2415, 23anbi12d 632 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝑝 ∨ π‘ž) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ π‘Ÿ)))) ↔ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∈ 𝐡 ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ 𝑋 = ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))))
2514, 24bitrid 283 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑝 ∨ π‘ž) β†’ ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ π‘Ÿ)))) ↔ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∈ 𝐡 ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ 𝑋 = ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))))
2625rexbidv 3176 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑝 ∨ π‘ž) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ π‘Ÿ)))) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∈ 𝐡 ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ 𝑋 = ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))))
27 r19.42v 3188 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ π‘Ÿ)))) ↔ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ π‘Ÿ)))))
28 r19.42v 3188 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∈ 𝐡 ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ 𝑋 = ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ))) ↔ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∈ 𝐡 ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ 𝑋 = ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ))))
2926, 27, 283bitr3g 313 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑝 ∨ π‘ž) β†’ ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ π‘Ÿ)))) ↔ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∈ 𝐡 ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ 𝑋 = ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))))
3013, 29ceqsexv 3497 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘¦(𝑦 = (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ π‘Ÿ))))) ↔ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∈ 𝐡 ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ 𝑋 = ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ))))
3112, 30bitri 275 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘¦βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ π‘Ÿ))) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ π‘ž))) ↔ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∈ 𝐡 ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ 𝑋 = ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ))))
32 simpll 766 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
33 simprl 770 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴)) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
34 simprr 772 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴)) β†’ π‘ž ∈ 𝐴)
351, 3, 4hlatjcl 37858 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ (𝑝 ∨ π‘ž) ∈ 𝐡)
3632, 33, 34, 35syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴)) β†’ (𝑝 ∨ π‘ž) ∈ 𝐡)
3736biantrurd 534 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴)) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ 𝑋 = ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ↔ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∈ 𝐡 ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ 𝑋 = ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))))
3831, 37bitr4id 290 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴)) β†’ (βˆƒπ‘¦βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ π‘Ÿ))) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ π‘ž))) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ 𝑋 = ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ))))
39382rexbidva 3212 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘¦βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ π‘Ÿ))) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ π‘ž))) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ 𝑋 = ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ))))
40 rexcom4 3274 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘¦βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ π‘Ÿ))) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ π‘ž))) ↔ βˆƒπ‘¦βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ π‘Ÿ))) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ π‘ž))))
4140rexbii 3098 . . . . . 6 (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘¦βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ π‘Ÿ))) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ π‘ž))) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘¦βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ π‘Ÿ))) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ π‘ž))))
42 rexcom4 3274 . . . . . 6 (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘¦βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ π‘Ÿ))) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ π‘ž))) ↔ βˆƒπ‘¦βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ π‘Ÿ))) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ π‘ž))))
4341, 42bitri 275 . . . . 5 (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘¦βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ π‘Ÿ))) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ π‘ž))) ↔ βˆƒπ‘¦βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ π‘Ÿ))) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ π‘ž))))
4439, 43bitr3di 286 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ 𝑋 = ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ↔ βˆƒπ‘¦βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ π‘Ÿ))) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ π‘ž)))))
45 rexcom 3276 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ π‘Ÿ))) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ π‘ž))) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ π‘Ÿ))) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ π‘ž))))
4645rexbii 3098 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ π‘Ÿ))) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ π‘ž))) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ π‘Ÿ))) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ π‘ž))))
47 rexcom 3276 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ π‘Ÿ))) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ π‘ž))) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ π‘Ÿ))) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ π‘ž))))
4846, 47bitri 275 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ π‘Ÿ))) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ π‘ž))) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ π‘Ÿ))) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ π‘ž))))
491, 3, 4, 5islln2 38003 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ HL β†’ (𝑦 ∈ (LLinesβ€˜πΎ) ↔ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ π‘ž)))))
5049adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ (LLinesβ€˜πΎ) ↔ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ π‘ž)))))
5150anbi1d 631 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑦 ∈ (LLinesβ€˜πΎ) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ π‘Ÿ))) ↔ ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ π‘ž))) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ π‘Ÿ)))))
52 r19.42v 3188 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ π‘Ÿ))) ∧ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ π‘ž))) ↔ ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ π‘Ÿ))) ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ π‘ž))))
53 r19.42v 3188 . . . . . . . . . . 11 (βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ π‘Ÿ))) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ π‘ž))) ↔ ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ π‘Ÿ))) ∧ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ π‘ž))))
5453rexbii 3098 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ π‘Ÿ))) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ π‘ž))) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ π‘Ÿ))) ∧ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ π‘ž))))
55 an32 645 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ π‘ž))) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ π‘Ÿ))) ↔ ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ π‘Ÿ))) ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ π‘ž))))
5652, 54, 553bitr4ri 304 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ π‘ž))) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ π‘Ÿ))) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ π‘Ÿ))) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ π‘ž))))
5751, 56bitrdi 287 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑦 ∈ (LLinesβ€˜πΎ) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ π‘Ÿ))) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ π‘Ÿ))) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ π‘ž)))))
5857rexbidv 3176 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ (LLinesβ€˜πΎ) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ π‘Ÿ))) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ π‘Ÿ))) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ π‘ž)))))
5948, 58bitr4id 290 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ π‘Ÿ))) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ π‘ž))) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ (LLinesβ€˜πΎ) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ π‘Ÿ)))))
60 r19.42v 3188 . . . . . 6 (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ (LLinesβ€˜πΎ) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ π‘Ÿ))) ↔ (𝑦 ∈ (LLinesβ€˜πΎ) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ π‘Ÿ))))
6159, 60bitrdi 287 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ π‘Ÿ))) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ π‘ž))) ↔ (𝑦 ∈ (LLinesβ€˜πΎ) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ π‘Ÿ)))))
6261exbidv 1925 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘¦βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ π‘Ÿ))) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑦 = (𝑝 ∨ π‘ž))) ↔ βˆƒπ‘¦(𝑦 ∈ (LLinesβ€˜πΎ) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ π‘Ÿ)))))
6344, 62bitrd 279 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ 𝑋 = ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ↔ βˆƒπ‘¦(𝑦 ∈ (LLinesβ€˜πΎ) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ π‘Ÿ)))))
648, 63bitr4id 290 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ (LLinesβ€˜πΎ)βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ π‘Ÿ)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ 𝑋 = ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ))))
657, 64bitrd 279 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ 𝑋 = ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆƒwrex 3074   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Basecbs 17090  lecple 17147  joincjn 18207  Atomscatm 37754  HLchlt 37841  LLinesclln 37983  LPlanesclpl 37984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-proset 18191  df-poset 18209  df-plt 18226  df-lub 18242  df-glb 18243  df-join 18244  df-meet 18245  df-p0 18321  df-lat 18328  df-clat 18395  df-oposet 37667  df-ol 37669  df-oml 37670  df-covers 37757  df-ats 37758  df-atl 37789  df-cvlat 37813  df-hlat 37842  df-llines 37990  df-lplanes 37991
This theorem is referenced by:  islpln2  38028  lplni2  38029
  Copyright terms: Public domain W3C validator