Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2lplnmN Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 2lplnmN 38942
Description: If the join of two lattice planes covers one of them, their meet is a lattice line. (Contributed by NM, 30-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
2lplnm.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
2lplnm.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
2lplnm.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
2lplnm.n 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
2lplnm.p 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
2lplnmN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝑁)
Proof of Theorem 2lplnmN
StepHypRef Expression
1 simpl3 1190 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
2 simpl1 1188 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
3 hllat 38745 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
4 eqid 2726 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
5 2lplnm.p . . . . . 6 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
64, 5lplnbase 38917 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
74, 5lplnbase 38917 . . . . 5 (π‘Œ ∈ 𝑃 β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
8 2lplnm.m . . . . . 6 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
94, 8latmcl 18402 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
103, 6, 7, 9syl3an 1157 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1110adantr 480 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1273ad2ant3 1132 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1312adantr 480 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
14 simp1 1133 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ 𝐾 ∈ HL)
1563ad2ant2 1131 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
16 2lplnm.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
17 2lplnm.c . . . . . 6 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
184, 16, 8, 17cvrexch 38803 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ ↔ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ π‘Œ)))
1914, 15, 12, 18syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ ↔ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ π‘Œ)))
2019biimpar 477 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ)
21 2lplnm.n . . . 4 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
224, 17, 21, 5llncvrlpln 38941 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝑁 ↔ π‘Œ ∈ 𝑃))
232, 11, 13, 20, 22syl31anc 1370 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ π‘Œ)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝑁 ↔ π‘Œ ∈ 𝑃))
241, 23mpbird 257 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17150  joincjn 18273  meetcmee 18274  Latclat 18393   β‹– ccvr 38644  HLchlt 38732  LLinesclln 38874  LPlanesclpl 38875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-proset 18257  df-poset 18275  df-plt 18292  df-lub 18308  df-glb 18309  df-join 18310  df-meet 18311  df-p0 18387  df-lat 18394  df-clat 18461  df-oposet 38558  df-ol 38560  df-oml 38561  df-covers 38648  df-ats 38649  df-atl 38680  df-cvlat 38704  df-hlat 38733  df-llines 38881  df-lplanes 38882
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator