Theorem 2lplnmN 39546

Description: If the join of two lattice planes covers one of them, their meet is a lattice line. (Contributed by NM, 30-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
2lplnm.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
2lplnm.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
2lplnm.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
2lplnm.n	⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
2lplnm.p	⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2lplnmN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑌)) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝑁)

Proof of Theorem 2lplnmN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl3 1194	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
2		simpl1 1192	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
3		hllat 39349	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
4		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5		2lplnm.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
6	4, 5	lplnbase 39521	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
7	4, 5	lplnbase 39521	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
8		2lplnm.m	. . . . . 6 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
9	4, 8	latmcl 18381	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
10	3, 6, 7, 9	syl3an 1160	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
11	10	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑌)) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
12	7	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
13	12	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑌)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
14		simp1 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → 𝐾 ∈ HL)
15	6	3ad2ant2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
16		2lplnm.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
17		2lplnm.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
18	4, 16, 8, 17	cvrexch 39407	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑌)))
19	14, 15, 12, 18	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑌)))
20	19	biimpar 477	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑌)) → (𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌)
21		2lplnm.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
22	4, 17, 21, 5	llncvrlpln 39545	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝑁 ↔ 𝑌 ∈ 𝑃))
23	2, 11, 13, 20, 22	syl31anc 1375	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑌)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝑁 ↔ 𝑌 ∈ 𝑃))
24	1, 23	mpbird 257	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑌)) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  joincjn 18252  meetcmee 18253  Latclat 18372   ⋖ ccvr 39248  HLchlt 39336  LLinesclln 39478  LPlanesclpl 39479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-proset 18235  df-poset 18254  df-plt 18269  df-lub 18285  df-glb 18286  df-join 18287  df-meet 18288  df-p0 18364  df-lat 18373  df-clat 18440  df-oposet 39162  df-ol 39164  df-oml 39165  df-covers 39252  df-ats 39253  df-atl 39284  df-cvlat 39308  df-hlat 39337  df-llines 39485  df-lplanes 39486

This theorem is referenced by: (None)