Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2lplnmN Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 2lplnmN 38425
Description: If the join of two lattice planes covers one of them, their meet is a lattice line. (Contributed by NM, 30-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
2lplnm.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
2lplnm.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
2lplnm.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
2lplnm.n 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
2lplnm.p 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
2lplnmN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝑁)
Proof of Theorem 2lplnmN
StepHypRef Expression
1 simpl3 1193 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
2 simpl1 1191 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
3 hllat 38228 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
4 eqid 2732 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
5 2lplnm.p . . . . . 6 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
64, 5lplnbase 38400 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
74, 5lplnbase 38400 . . . . 5 (π‘Œ ∈ 𝑃 β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
8 2lplnm.m . . . . . 6 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
94, 8latmcl 18392 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
103, 6, 7, 9syl3an 1160 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1110adantr 481 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1273ad2ant3 1135 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1312adantr 481 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
14 simp1 1136 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ 𝐾 ∈ HL)
1563ad2ant2 1134 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
16 2lplnm.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
17 2lplnm.c . . . . . 6 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
184, 16, 8, 17cvrexch 38286 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ ↔ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ π‘Œ)))
1914, 15, 12, 18syl3anc 1371 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ ↔ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ π‘Œ)))
2019biimpar 478 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ)
21 2lplnm.n . . . 4 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
224, 17, 21, 5llncvrlpln 38424 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝑁 ↔ π‘Œ ∈ 𝑃))
232, 11, 13, 20, 22syl31anc 1373 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ π‘Œ)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝑁 ↔ π‘Œ ∈ 𝑃))
241, 23mpbird 256 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  joincjn 18263  meetcmee 18264  Latclat 18383   β‹– ccvr 38127  HLchlt 38215  LLinesclln 38357  LPlanesclpl 38358
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-proset 18247  df-poset 18265  df-plt 18282  df-lub 18298  df-glb 18299  df-join 18300  df-meet 18301  df-p0 18377  df-lat 18384  df-clat 18451  df-oposet 38041  df-ol 38043  df-oml 38044  df-covers 38131  df-ats 38132  df-atl 38163  df-cvlat 38187  df-hlat 38216  df-llines 38364  df-lplanes 38365
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator