Theorem 2lplnmN 40301

Description: If the join of two lattice planes covers one of them, their meet is a lattice line. (Contributed by NM, 30-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
2lplnm.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
2lplnm.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
2lplnm.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
2lplnm.n	⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
2lplnm.p	⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2lplnmN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑌)) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝑁)

Proof of Theorem 2lplnmN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl3 1210	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
2		simpl1 1208	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
3		hllat 40105	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
4		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5		2lplnm.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
6	4, 5	lplnbase 40276	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
7	4, 5	lplnbase 40276	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
8		2lplnm.m	. . . . . 6 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
9	4, 8	latmcl 18495	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
10	3, 6, 7, 9	syl3an 1176	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
11	10	adantr 485	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑌)) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
12	7	3ad2ant3 1151	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
13	12	adantr 485	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑌)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
14		simp1 1152	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → 𝐾 ∈ HL)
15	6	3ad2ant2 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
16		2lplnm.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
17		2lplnm.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
18	4, 16, 8, 17	cvrexch 40162	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑌)))
19	14, 15, 12, 18	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑌)))
20	19	biimpar 482	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑌)) → (𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌)
21		2lplnm.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
22	4, 17, 21, 5	llncvrlpln 40300	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝑁 ↔ 𝑌 ∈ 𝑃))
23	2, 11, 13, 20, 22	syl31anc 1398	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑌)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝑁 ↔ 𝑌 ∈ 𝑃))
24	1, 23	mpbird 260	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑌)) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17268  joincjn 18366  meetcmee 18367  Latclat 18486   ⋖ ccvr 40004  HLchlt 40092  LLinesclln 40233  LPlanesclpl 40234

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-proset 18349  df-poset 18368  df-plt 18383  df-lub 18399  df-glb 18400  df-join 18401  df-meet 18402  df-p0 18478  df-lat 18487  df-clat 18554  df-oposet 39918  df-ol 39920  df-oml 39921  df-covers 40008  df-ats 40009  df-atl 40040  df-cvlat 40064  df-hlat 40093  df-llines 40240  df-lplanes 40241

This theorem is referenced by: (None)