Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2lplnmN Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 2lplnmN 39064
Description: If the join of two lattice planes covers one of them, their meet is a lattice line. (Contributed by NM, 30-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
2lplnm.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
2lplnm.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
2lplnm.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
2lplnm.n 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
2lplnm.p 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
2lplnmN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝑁)
Proof of Theorem 2lplnmN
StepHypRef Expression
1 simpl3 1190 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
2 simpl1 1188 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
3 hllat 38867 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
4 eqid 2728 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
5 2lplnm.p . . . . . 6 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
64, 5lplnbase 39039 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
74, 5lplnbase 39039 . . . . 5 (π‘Œ ∈ 𝑃 β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
8 2lplnm.m . . . . . 6 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
94, 8latmcl 18439 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
103, 6, 7, 9syl3an 1157 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1110adantr 479 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1273ad2ant3 1132 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1312adantr 479 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
14 simp1 1133 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ 𝐾 ∈ HL)
1563ad2ant2 1131 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
16 2lplnm.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
17 2lplnm.c . . . . . 6 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
184, 16, 8, 17cvrexch 38925 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ ↔ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ π‘Œ)))
1914, 15, 12, 18syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ ↔ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ π‘Œ)))
2019biimpar 476 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ)
21 2lplnm.n . . . 4 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
224, 17, 21, 5llncvrlpln 39063 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝑁 ↔ π‘Œ ∈ 𝑃))
232, 11, 13, 20, 22syl31anc 1370 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ π‘Œ)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝑁 ↔ π‘Œ ∈ 𝑃))
241, 23mpbird 256 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  joincjn 18310  meetcmee 18311  Latclat 18430   β‹– ccvr 38766  HLchlt 38854  LLinesclln 38996  LPlanesclpl 38997
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-proset 18294  df-poset 18312  df-plt 18329  df-lub 18345  df-glb 18346  df-join 18347  df-meet 18348  df-p0 18424  df-lat 18431  df-clat 18498  df-oposet 38680  df-ol 38682  df-oml 38683  df-covers 38770  df-ats 38771  df-atl 38802  df-cvlat 38826  df-hlat 38855  df-llines 39003  df-lplanes 39004
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator