Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lplnexatN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lplnexatN 36817
Description: Given a lattice line on a lattice plane, there is an atom whose join with the line equals the plane. (Contributed by NM, 29-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lplnexat.l = (le‘𝐾)
lplnexat.j = (join‘𝐾)
lplnexat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lplnexat.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
lplnexat.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lplnexatN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑁) ∧ 𝑌 𝑋) → ∃𝑞𝐴𝑞 𝑌𝑋 = (𝑌 𝑞)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝐾,𝑞   ,𝑞   𝑌,𝑞   𝑋,𝑞
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑞)   (𝑞)   𝑁(𝑞)

Proof of Theorem lplnexatN
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑁) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp3 1135 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑁) → 𝑌𝑁)
3 simp2 1134 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑁) → 𝑋𝑃)
41, 2, 33jca 1125 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑁) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝑁𝑋𝑃))
5 lplnexat.l . . . 4 = (le‘𝐾)
6 eqid 2822 . . . 4 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
7 lplnexat.n . . . 4 𝑁 = (LLines‘𝐾)
8 lplnexat.p . . . 4 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
95, 6, 7, 8llncvrlpln2 36811 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝑁𝑋𝑃) ∧ 𝑌 𝑋) → 𝑌( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
104, 9sylan 583 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑁) ∧ 𝑌 𝑋) → 𝑌( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
11 simpl1 1188 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑁) ∧ 𝑌 𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
12 simpl3 1190 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑁) ∧ 𝑌 𝑋) → 𝑌𝑁)
13 eqid 2822 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1413, 7llnbase 36763 . . . . 5 (𝑌𝑁𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
1512, 14syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑁) ∧ 𝑌 𝑋) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
16 simpl2 1189 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑁) ∧ 𝑌 𝑋) → 𝑋𝑃)
1713, 8lplnbase 36788 . . . . 5 (𝑋𝑃𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
1816, 17syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑁) ∧ 𝑌 𝑋) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
19 lplnexat.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
20 lplnexat.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2113, 5, 19, 6, 20cvrval3 36667 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑌( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑞𝐴𝑞 𝑌 ∧ (𝑌 𝑞) = 𝑋)))
2211, 15, 18, 21syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑁) ∧ 𝑌 𝑋) → (𝑌( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑞𝐴𝑞 𝑌 ∧ (𝑌 𝑞) = 𝑋)))
23 eqcom 2829 . . . . 5 ((𝑌 𝑞) = 𝑋𝑋 = (𝑌 𝑞))
2423anbi2i 625 . . . 4 ((¬ 𝑞 𝑌 ∧ (𝑌 𝑞) = 𝑋) ↔ (¬ 𝑞 𝑌𝑋 = (𝑌 𝑞)))
2524rexbii 3235 . . 3 (∃𝑞𝐴𝑞 𝑌 ∧ (𝑌 𝑞) = 𝑋) ↔ ∃𝑞𝐴𝑞 𝑌𝑋 = (𝑌 𝑞)))
2622, 25syl6bb 290 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑁) ∧ 𝑌 𝑋) → (𝑌( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑞𝐴𝑞 𝑌𝑋 = (𝑌 𝑞))))
2710, 26mpbid 235 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑁) ∧ 𝑌 𝑋) → ∃𝑞𝐴𝑞 𝑌𝑋 = (𝑌 𝑞)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2114  wrex 3131   class class class wbr 5042  cfv 6334  (class class class)co 7140  Basecbs 16474  lecple 16563  joincjn 17545  ccvr 36516  Atomscatm 36517  HLchlt 36604  LLinesclln 36745  LPlanesclpl 36746
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-proset 17529  df-poset 17547  df-plt 17559  df-lub 17575  df-glb 17576  df-join 17577  df-meet 17578  df-p0 17640  df-lat 17647  df-clat 17709  df-oposet 36430  df-ol 36432  df-oml 36433  df-covers 36520  df-ats 36521  df-atl 36552  df-cvlat 36576  df-hlat 36605  df-llines 36752  df-lplanes 36753
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator