Theorem lplnexatN 40812

Description: Given a lattice line on a lattice plane, there is an atom whose join with the line equals the plane. (Contributed by NM, 29-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lplnexat.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lplnexat.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
lplnexat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lplnexat.n	⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
lplnexat.p	⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lplnexatN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞 ≤ 𝑌 ∧ 𝑋 = (𝑌 ∨ 𝑞)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝐾,𝑞   ≤ ,𝑞   𝑌,𝑞   𝑋,𝑞

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑞)   ∨ (𝑞)   𝑁(𝑞)

Proof of Theorem lplnexatN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → 𝐾 ∈ HL)
2		simp3 1156	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ 𝑁)
3		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → 𝑋 ∈ 𝑃)
4	1, 2, 3	3jca 1146	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃))
5		lplnexat.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
6		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
7		lplnexat.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
8		lplnexat.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
9	5, 6, 7, 8	llncvrlpln2 40806	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → 𝑌( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
10	4, 9	sylan 592	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → 𝑌( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
11		simpl1 1210	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
12		simpl3 1212	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → 𝑌 ∈ 𝑁)
13		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
14	13, 7	llnbase 40758	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑁 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
15	12, 14	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
16		simpl2 1211	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑃)
17	13, 8	lplnbase 40783	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
18	16, 17	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
19		lplnexat.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
20		lplnexat.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
21	13, 5, 19, 6, 20	cvrval3 40662	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑌( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞 ≤ 𝑌 ∧ (𝑌 ∨ 𝑞) = 𝑋)))
22	11, 15, 18, 21	syl3anc 1399	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → (𝑌( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞 ≤ 𝑌 ∧ (𝑌 ∨ 𝑞) = 𝑋)))
23		eqcom 2770	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∨ 𝑞) = 𝑋 ↔ 𝑋 = (𝑌 ∨ 𝑞))
24	23	anbi2i 635	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑞 ≤ 𝑌 ∧ (𝑌 ∨ 𝑞) = 𝑋) ↔ (¬ 𝑞 ≤ 𝑌 ∧ 𝑋 = (𝑌 ∨ 𝑞)))
25	24	rexbii 3113	. . 3 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞 ≤ 𝑌 ∧ (𝑌 ∨ 𝑞) = 𝑋) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞 ≤ 𝑌 ∧ 𝑋 = (𝑌 ∨ 𝑞)))
26	22, 25	bitrdi 290	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → (𝑌( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞 ≤ 𝑌 ∧ 𝑋 = (𝑌 ∨ 𝑞))))
27	10, 26	mpbid 235	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞 ≤ 𝑌 ∧ 𝑋 = (𝑌 ∨ 𝑞)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090   class class class wbr 5106  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Basecbs 17416  lecple 17464  joincjn 18514   ⋖ ccvr 40511  Atomscatm 40512  HLchlt 40599  LLinesclln 40740  LPlanesclpl 40741

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-proset 18497  df-poset 18516  df-plt 18531  df-lub 18547  df-glb 18548  df-join 18549  df-meet 18550  df-p0 18626  df-lat 18635  df-clat 18702  df-oposet 40425  df-ol 40427  df-oml 40428  df-covers 40515  df-ats 40516  df-atl 40547  df-cvlat 40571  df-hlat 40600  df-llines 40747  df-lplanes 40748

This theorem is used by: (None)