Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lplnexatN Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lplnexatN 38422
Description: Given a lattice line on a lattice plane, there is an atom whose join with the line equals the plane. (Contributed by NM, 29-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lplnexat.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
lplnexat.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
lplnexat.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
lplnexat.n 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
lplnexat.p 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lplnexatN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (Β¬ π‘ž ≀ π‘Œ ∧ 𝑋 = (π‘Œ ∨ π‘ž)))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘ž   𝐾,π‘ž   ≀ ,π‘ž   π‘Œ,π‘ž   𝑋,π‘ž
Allowed substitution hints:   𝑃(π‘ž)   ∨ (π‘ž)   𝑁(π‘ž)
Proof of Theorem lplnexatN
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simp3 1138 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ π‘Œ ∈ 𝑁)
3 simp2 1137 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
41, 2, 33jca 1128 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃))
5 lplnexat.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
6 eqid 2732 . . . 4 ( β‹– β€˜πΎ) = ( β‹– β€˜πΎ)
7 lplnexat.n . . . 4 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
8 lplnexat.p . . . 4 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
95, 6, 7, 8llncvrlpln2 38416 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ π‘Œ( β‹– β€˜πΎ)𝑋)
104, 9sylan 580 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ π‘Œ( β‹– β€˜πΎ)𝑋)
11 simpl1 1191 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ HL)
12 simpl3 1193 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ π‘Œ ∈ 𝑁)
13 eqid 2732 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
1413, 7llnbase 38368 . . . . 5 (π‘Œ ∈ 𝑁 β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1512, 14syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
16 simpl2 1192 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
1713, 8lplnbase 38393 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1816, 17syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
19 lplnexat.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
20 lplnexat.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
2113, 5, 19, 6, 20cvrval3 38272 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (π‘Œ( β‹– β€˜πΎ)𝑋 ↔ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (Β¬ π‘ž ≀ π‘Œ ∧ (π‘Œ ∨ π‘ž) = 𝑋)))
2211, 15, 18, 21syl3anc 1371 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (π‘Œ( β‹– β€˜πΎ)𝑋 ↔ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (Β¬ π‘ž ≀ π‘Œ ∧ (π‘Œ ∨ π‘ž) = 𝑋)))
23 eqcom 2739 . . . . 5 ((π‘Œ ∨ π‘ž) = 𝑋 ↔ 𝑋 = (π‘Œ ∨ π‘ž))
2423anbi2i 623 . . . 4 ((Β¬ π‘ž ≀ π‘Œ ∧ (π‘Œ ∨ π‘ž) = 𝑋) ↔ (Β¬ π‘ž ≀ π‘Œ ∧ 𝑋 = (π‘Œ ∨ π‘ž)))
2524rexbii 3094 . . 3 (βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (Β¬ π‘ž ≀ π‘Œ ∧ (π‘Œ ∨ π‘ž) = 𝑋) ↔ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (Β¬ π‘ž ≀ π‘Œ ∧ 𝑋 = (π‘Œ ∨ π‘ž)))
2622, 25bitrdi 286 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (π‘Œ( β‹– β€˜πΎ)𝑋 ↔ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (Β¬ π‘ž ≀ π‘Œ ∧ 𝑋 = (π‘Œ ∨ π‘ž))))
2710, 26mpbid 231 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (Β¬ π‘ž ≀ π‘Œ ∧ 𝑋 = (π‘Œ ∨ π‘ž)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  lecple 17200  joincjn 18260   β‹– ccvr 38120  Atomscatm 38121  HLchlt 38208  LLinesclln 38350  LPlanesclpl 38351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-lat 18381  df-clat 18448  df-oposet 38034  df-ol 38036  df-oml 38037  df-covers 38124  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209  df-llines 38357  df-lplanes 38358
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator