Theorem lplnexatN 40199

Description: Given a lattice line on a lattice plane, there is an atom whose join with the line equals the plane. (Contributed by NM, 29-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lplnexat.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lplnexat.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
lplnexat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lplnexat.n	⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
lplnexat.p	⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lplnexatN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞 ≤ 𝑌 ∧ 𝑋 = (𝑌 ∨ 𝑞)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝐾,𝑞   ≤ ,𝑞   𝑌,𝑞   𝑋,𝑞

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑞)   ∨ (𝑞)   𝑁(𝑞)

Proof of Theorem lplnexatN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1152	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → 𝐾 ∈ HL)
2		simp3 1154	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ 𝑁)
3		simp2 1153	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → 𝑋 ∈ 𝑃)
4	1, 2, 3	3jca 1144	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃))
5		lplnexat.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
6		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
7		lplnexat.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
8		lplnexat.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
9	5, 6, 7, 8	llncvrlpln2 40193	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → 𝑌( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
10	4, 9	sylan 591	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → 𝑌( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
11		simpl1 1208	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
12		simpl3 1210	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → 𝑌 ∈ 𝑁)
13		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
14	13, 7	llnbase 40145	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑁 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
15	12, 14	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
16		simpl2 1209	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑃)
17	13, 8	lplnbase 40170	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
18	16, 17	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
19		lplnexat.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
20		lplnexat.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
21	13, 5, 19, 6, 20	cvrval3 40049	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑌( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞 ≤ 𝑌 ∧ (𝑌 ∨ 𝑞) = 𝑋)))
22	11, 15, 18, 21	syl3anc 1394	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → (𝑌( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞 ≤ 𝑌 ∧ (𝑌 ∨ 𝑞) = 𝑋)))
23		eqcom 2772	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∨ 𝑞) = 𝑋 ↔ 𝑋 = (𝑌 ∨ 𝑞))
24	23	anbi2i 634	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑞 ≤ 𝑌 ∧ (𝑌 ∨ 𝑞) = 𝑋) ↔ (¬ 𝑞 ≤ 𝑌 ∧ 𝑋 = (𝑌 ∨ 𝑞)))
25	24	rexbii 3112	. . 3 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞 ≤ 𝑌 ∧ (𝑌 ∨ 𝑞) = 𝑋) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞 ≤ 𝑌 ∧ 𝑋 = (𝑌 ∨ 𝑞)))
26	22, 25	bitrdi 290	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → (𝑌( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞 ≤ 𝑌 ∧ 𝑋 = (𝑌 ∨ 𝑞))))
27	10, 26	mpbid 235	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞 ≤ 𝑌 ∧ 𝑋 = (𝑌 ∨ 𝑞)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3089   class class class wbr 5105  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17259  lecple 17307  joincjn 18357   ⋖ ccvr 39898  Atomscatm 39899  HLchlt 39986  LLinesclln 40127  LPlanesclpl 40128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18374  df-lub 18390  df-glb 18391  df-join 18392  df-meet 18393  df-p0 18469  df-lat 18478  df-clat 18545  df-oposet 39812  df-ol 39814  df-oml 39815  df-covers 39902  df-ats 39903  df-atl 39934  df-cvlat 39958  df-hlat 39987  df-llines 40134  df-lplanes 40135

This theorem is referenced by: (None)