Theorem lplnexatN 40444

Description: Given a lattice line on a lattice plane, there is an atom whose join with the line equals the plane. (Contributed by NM, 29-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lplnexat.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lplnexat.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
lplnexat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lplnexat.n	⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
lplnexat.p	⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lplnexatN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞 ≤ 𝑌 ∧ 𝑋 = (𝑌 ∨ 𝑞)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝐾,𝑞   ≤ ,𝑞   𝑌,𝑞   𝑋,𝑞

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑞)   ∨ (𝑞)   𝑁(𝑞)

Proof of Theorem lplnexatN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → 𝐾 ∈ HL)
2		simp3 1156	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ 𝑁)
3		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → 𝑋 ∈ 𝑃)
4	1, 2, 3	3jca 1146	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃))
5		lplnexat.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
6		eqid 2762	. . . 4 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
7		lplnexat.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
8		lplnexat.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
9	5, 6, 7, 8	llncvrlpln2 40438	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → 𝑌( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
10	4, 9	sylan 592	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → 𝑌( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
11		simpl1 1210	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
12		simpl3 1212	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → 𝑌 ∈ 𝑁)
13		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
14	13, 7	llnbase 40390	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑁 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
15	12, 14	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
16		simpl2 1211	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑃)
17	13, 8	lplnbase 40415	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
18	16, 17	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
19		lplnexat.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
20		lplnexat.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
21	13, 5, 19, 6, 20	cvrval3 40294	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑌( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞 ≤ 𝑌 ∧ (𝑌 ∨ 𝑞) = 𝑋)))
22	11, 15, 18, 21	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → (𝑌( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞 ≤ 𝑌 ∧ (𝑌 ∨ 𝑞) = 𝑋)))
23		eqcom 2769	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∨ 𝑞) = 𝑋 ↔ 𝑋 = (𝑌 ∨ 𝑞))
24	23	anbi2i 635	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑞 ≤ 𝑌 ∧ (𝑌 ∨ 𝑞) = 𝑋) ↔ (¬ 𝑞 ≤ 𝑌 ∧ 𝑋 = (𝑌 ∨ 𝑞)))
25	24	rexbii 3111	. . 3 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞 ≤ 𝑌 ∧ (𝑌 ∨ 𝑞) = 𝑋) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞 ≤ 𝑌 ∧ 𝑋 = (𝑌 ∨ 𝑞)))
26	22, 25	bitrdi 290	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → (𝑌( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞 ≤ 𝑌 ∧ 𝑋 = (𝑌 ∨ 𝑞))))
27	10, 26	mpbid 235	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞 ≤ 𝑌 ∧ 𝑋 = (𝑌 ∨ 𝑞)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3088   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Basecbs 17307  lecple 17355  joincjn 18405   ⋖ ccvr 40143  Atomscatm 40144  HLchlt 40231  LLinesclln 40372  LPlanesclpl 40373

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-proset 18388  df-poset 18407  df-plt 18422  df-lub 18438  df-glb 18439  df-join 18440  df-meet 18441  df-p0 18517  df-lat 18526  df-clat 18593  df-oposet 40057  df-ol 40059  df-oml 40060  df-covers 40147  df-ats 40148  df-atl 40179  df-cvlat 40203  df-hlat 40232  df-llines 40379  df-lplanes 40380

This theorem is used by: (None)