Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lplnexatN Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lplnexatN 38947
Description: Given a lattice line on a lattice plane, there is an atom whose join with the line equals the plane. (Contributed by NM, 29-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lplnexat.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
lplnexat.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
lplnexat.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
lplnexat.n 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
lplnexat.p 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lplnexatN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (Β¬ π‘ž ≀ π‘Œ ∧ 𝑋 = (π‘Œ ∨ π‘ž)))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘ž   𝐾,π‘ž   ≀ ,π‘ž   π‘Œ,π‘ž   𝑋,π‘ž
Allowed substitution hints:   𝑃(π‘ž)   ∨ (π‘ž)   𝑁(π‘ž)
Proof of Theorem lplnexatN
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simp3 1135 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ π‘Œ ∈ 𝑁)
3 simp2 1134 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
41, 2, 33jca 1125 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃))
5 lplnexat.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
6 eqid 2726 . . . 4 ( β‹– β€˜πΎ) = ( β‹– β€˜πΎ)
7 lplnexat.n . . . 4 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
8 lplnexat.p . . . 4 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
95, 6, 7, 8llncvrlpln2 38941 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ π‘Œ( β‹– β€˜πΎ)𝑋)
104, 9sylan 579 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ π‘Œ( β‹– β€˜πΎ)𝑋)
11 simpl1 1188 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ HL)
12 simpl3 1190 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ π‘Œ ∈ 𝑁)
13 eqid 2726 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
1413, 7llnbase 38893 . . . . 5 (π‘Œ ∈ 𝑁 β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1512, 14syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
16 simpl2 1189 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
1713, 8lplnbase 38918 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1816, 17syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
19 lplnexat.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
20 lplnexat.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
2113, 5, 19, 6, 20cvrval3 38797 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (π‘Œ( β‹– β€˜πΎ)𝑋 ↔ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (Β¬ π‘ž ≀ π‘Œ ∧ (π‘Œ ∨ π‘ž) = 𝑋)))
2211, 15, 18, 21syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (π‘Œ( β‹– β€˜πΎ)𝑋 ↔ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (Β¬ π‘ž ≀ π‘Œ ∧ (π‘Œ ∨ π‘ž) = 𝑋)))
23 eqcom 2733 . . . . 5 ((π‘Œ ∨ π‘ž) = 𝑋 ↔ 𝑋 = (π‘Œ ∨ π‘ž))
2423anbi2i 622 . . . 4 ((Β¬ π‘ž ≀ π‘Œ ∧ (π‘Œ ∨ π‘ž) = 𝑋) ↔ (Β¬ π‘ž ≀ π‘Œ ∧ 𝑋 = (π‘Œ ∨ π‘ž)))
2524rexbii 3088 . . 3 (βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (Β¬ π‘ž ≀ π‘Œ ∧ (π‘Œ ∨ π‘ž) = 𝑋) ↔ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (Β¬ π‘ž ≀ π‘Œ ∧ 𝑋 = (π‘Œ ∨ π‘ž)))
2622, 25bitrdi 287 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (π‘Œ( β‹– β€˜πΎ)𝑋 ↔ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (Β¬ π‘ž ≀ π‘Œ ∧ 𝑋 = (π‘Œ ∨ π‘ž))))
2710, 26mpbid 231 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (Β¬ π‘ž ≀ π‘Œ ∧ 𝑋 = (π‘Œ ∨ π‘ž)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3064   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  lecple 17213  joincjn 18276   β‹– ccvr 38645  Atomscatm 38646  HLchlt 38733  LLinesclln 38875  LPlanesclpl 38876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-lat 18397  df-clat 18464  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-llines 38882  df-lplanes 38883
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator