Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lplnexatN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lplnexatN 37831
Description: Given a lattice line on a lattice plane, there is an atom whose join with the line equals the plane. (Contributed by NM, 29-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lplnexat.l = (le‘𝐾)
lplnexat.j = (join‘𝐾)
lplnexat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lplnexat.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
lplnexat.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lplnexatN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑁) ∧ 𝑌 𝑋) → ∃𝑞𝐴𝑞 𝑌𝑋 = (𝑌 𝑞)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝐾,𝑞   ,𝑞   𝑌,𝑞   𝑋,𝑞
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑞)   (𝑞)   𝑁(𝑞)

Proof of Theorem lplnexatN
StepHypRef Expression
1 simp1 1135 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑁) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp3 1137 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑁) → 𝑌𝑁)
3 simp2 1136 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑁) → 𝑋𝑃)
41, 2, 33jca 1127 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑁) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝑁𝑋𝑃))
5 lplnexat.l . . . 4 = (le‘𝐾)
6 eqid 2736 . . . 4 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
7 lplnexat.n . . . 4 𝑁 = (LLines‘𝐾)
8 lplnexat.p . . . 4 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
95, 6, 7, 8llncvrlpln2 37825 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝑁𝑋𝑃) ∧ 𝑌 𝑋) → 𝑌( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
104, 9sylan 580 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑁) ∧ 𝑌 𝑋) → 𝑌( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
11 simpl1 1190 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑁) ∧ 𝑌 𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
12 simpl3 1192 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑁) ∧ 𝑌 𝑋) → 𝑌𝑁)
13 eqid 2736 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1413, 7llnbase 37777 . . . . 5 (𝑌𝑁𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
1512, 14syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑁) ∧ 𝑌 𝑋) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
16 simpl2 1191 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑁) ∧ 𝑌 𝑋) → 𝑋𝑃)
1713, 8lplnbase 37802 . . . . 5 (𝑋𝑃𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
1816, 17syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑁) ∧ 𝑌 𝑋) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
19 lplnexat.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
20 lplnexat.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2113, 5, 19, 6, 20cvrval3 37681 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑌( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑞𝐴𝑞 𝑌 ∧ (𝑌 𝑞) = 𝑋)))
2211, 15, 18, 21syl3anc 1370 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑁) ∧ 𝑌 𝑋) → (𝑌( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑞𝐴𝑞 𝑌 ∧ (𝑌 𝑞) = 𝑋)))
23 eqcom 2743 . . . . 5 ((𝑌 𝑞) = 𝑋𝑋 = (𝑌 𝑞))
2423anbi2i 623 . . . 4 ((¬ 𝑞 𝑌 ∧ (𝑌 𝑞) = 𝑋) ↔ (¬ 𝑞 𝑌𝑋 = (𝑌 𝑞)))
2524rexbii 3093 . . 3 (∃𝑞𝐴𝑞 𝑌 ∧ (𝑌 𝑞) = 𝑋) ↔ ∃𝑞𝐴𝑞 𝑌𝑋 = (𝑌 𝑞)))
2622, 25bitrdi 286 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑁) ∧ 𝑌 𝑋) → (𝑌( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑞𝐴𝑞 𝑌𝑋 = (𝑌 𝑞))))
2710, 26mpbid 231 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑁) ∧ 𝑌 𝑋) → ∃𝑞𝐴𝑞 𝑌𝑋 = (𝑌 𝑞)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wrex 3070   class class class wbr 5092  cfv 6479  (class class class)co 7337  Basecbs 17009  lecple 17066  joincjn 18126  ccvr 37529  Atomscatm 37530  HLchlt 37617  LLinesclln 37759  LPlanesclpl 37760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-id 5518  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-proset 18110  df-poset 18128  df-plt 18145  df-lub 18161  df-glb 18162  df-join 18163  df-meet 18164  df-p0 18240  df-lat 18247  df-clat 18314  df-oposet 37443  df-ol 37445  df-oml 37446  df-covers 37533  df-ats 37534  df-atl 37565  df-cvlat 37589  df-hlat 37618  df-llines 37766  df-lplanes 37767
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator