Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lplnexatN Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lplnexatN 39092
Description: Given a lattice line on a lattice plane, there is an atom whose join with the line equals the plane. (Contributed by NM, 29-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lplnexat.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
lplnexat.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
lplnexat.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
lplnexat.n 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
lplnexat.p 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lplnexatN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (Β¬ π‘ž ≀ π‘Œ ∧ 𝑋 = (π‘Œ ∨ π‘ž)))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘ž   𝐾,π‘ž   ≀ ,π‘ž   π‘Œ,π‘ž   𝑋,π‘ž
Allowed substitution hints:   𝑃(π‘ž)   ∨ (π‘ž)   𝑁(π‘ž)
Proof of Theorem lplnexatN
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simp3 1135 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ π‘Œ ∈ 𝑁)
3 simp2 1134 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
41, 2, 33jca 1125 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃))
5 lplnexat.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
6 eqid 2725 . . . 4 ( β‹– β€˜πΎ) = ( β‹– β€˜πΎ)
7 lplnexat.n . . . 4 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
8 lplnexat.p . . . 4 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
95, 6, 7, 8llncvrlpln2 39086 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ π‘Œ( β‹– β€˜πΎ)𝑋)
104, 9sylan 578 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ π‘Œ( β‹– β€˜πΎ)𝑋)
11 simpl1 1188 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ HL)
12 simpl3 1190 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ π‘Œ ∈ 𝑁)
13 eqid 2725 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
1413, 7llnbase 39038 . . . . 5 (π‘Œ ∈ 𝑁 β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1512, 14syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
16 simpl2 1189 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
1713, 8lplnbase 39063 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1816, 17syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
19 lplnexat.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
20 lplnexat.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
2113, 5, 19, 6, 20cvrval3 38942 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (π‘Œ( β‹– β€˜πΎ)𝑋 ↔ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (Β¬ π‘ž ≀ π‘Œ ∧ (π‘Œ ∨ π‘ž) = 𝑋)))
2211, 15, 18, 21syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (π‘Œ( β‹– β€˜πΎ)𝑋 ↔ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (Β¬ π‘ž ≀ π‘Œ ∧ (π‘Œ ∨ π‘ž) = 𝑋)))
23 eqcom 2732 . . . . 5 ((π‘Œ ∨ π‘ž) = 𝑋 ↔ 𝑋 = (π‘Œ ∨ π‘ž))
2423anbi2i 621 . . . 4 ((Β¬ π‘ž ≀ π‘Œ ∧ (π‘Œ ∨ π‘ž) = 𝑋) ↔ (Β¬ π‘ž ≀ π‘Œ ∧ 𝑋 = (π‘Œ ∨ π‘ž)))
2524rexbii 3084 . . 3 (βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (Β¬ π‘ž ≀ π‘Œ ∧ (π‘Œ ∨ π‘ž) = 𝑋) ↔ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (Β¬ π‘ž ≀ π‘Œ ∧ 𝑋 = (π‘Œ ∨ π‘ž)))
2622, 25bitrdi 286 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (π‘Œ( β‹– β€˜πΎ)𝑋 ↔ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (Β¬ π‘ž ≀ π‘Œ ∧ 𝑋 = (π‘Œ ∨ π‘ž))))
2710, 26mpbid 231 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (Β¬ π‘ž ≀ π‘Œ ∧ 𝑋 = (π‘Œ ∨ π‘ž)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3060   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  lecple 17239  joincjn 18302   β‹– ccvr 38790  Atomscatm 38791  HLchlt 38878  LLinesclln 39020  LPlanesclpl 39021
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-proset 18286  df-poset 18304  df-plt 18321  df-lub 18337  df-glb 18338  df-join 18339  df-meet 18340  df-p0 18416  df-lat 18423  df-clat 18490  df-oposet 38704  df-ol 38706  df-oml 38707  df-covers 38794  df-ats 38795  df-atl 38826  df-cvlat 38850  df-hlat 38879  df-llines 39027  df-lplanes 39028
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator