Theorem lplnexatN 40056

Description: Given a lattice line on a lattice plane, there is an atom whose join with the line equals the plane. (Contributed by NM, 29-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lplnexat.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lplnexat.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
lplnexat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lplnexat.n	⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
lplnexat.p	⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lplnexatN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞 ≤ 𝑌 ∧ 𝑋 = (𝑌 ∨ 𝑞)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝐾,𝑞   ≤ ,𝑞   𝑌,𝑞   𝑋,𝑞

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑞)   ∨ (𝑞)   𝑁(𝑞)

Proof of Theorem lplnexatN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1142	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → 𝐾 ∈ HL)
2		simp3 1144	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ 𝑁)
3		simp2 1143	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → 𝑋 ∈ 𝑃)
4	1, 2, 3	3jca 1134	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃))
5		lplnexat.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
6		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
7		lplnexat.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
8		lplnexat.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
9	5, 6, 7, 8	llncvrlpln2 40050	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → 𝑌( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
10	4, 9	sylan 586	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → 𝑌( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
11		simpl1 1198	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
12		simpl3 1200	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → 𝑌 ∈ 𝑁)
13		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
14	13, 7	llnbase 40002	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑁 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
15	12, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
16		simpl2 1199	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑃)
17	13, 8	lplnbase 40027	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
18	16, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
19		lplnexat.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
20		lplnexat.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
21	13, 5, 19, 6, 20	cvrval3 39906	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑌( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞 ≤ 𝑌 ∧ (𝑌 ∨ 𝑞) = 𝑋)))
22	11, 15, 18, 21	syl3anc 1379	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → (𝑌( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞 ≤ 𝑌 ∧ (𝑌 ∨ 𝑞) = 𝑋)))
23		eqcom 2747	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∨ 𝑞) = 𝑋 ↔ 𝑋 = (𝑌 ∨ 𝑞))
24	23	anbi2i 629	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑞 ≤ 𝑌 ∧ (𝑌 ∨ 𝑞) = 𝑋) ↔ (¬ 𝑞 ≤ 𝑌 ∧ 𝑋 = (𝑌 ∨ 𝑞)))
25	24	rexbii 3087	. . 3 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞 ≤ 𝑌 ∧ (𝑌 ∨ 𝑞) = 𝑋) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞 ≤ 𝑌 ∧ 𝑋 = (𝑌 ∨ 𝑞)))
26	22, 25	bitrdi 288	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → (𝑌( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞 ≤ 𝑌 ∧ 𝑋 = (𝑌 ∨ 𝑞))))
27	10, 26	mpbid 233	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞 ≤ 𝑌 ∧ 𝑋 = (𝑌 ∨ 𝑞)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∃wrex 3064   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Basecbs 17177  lecple 17225  joincjn 18275   ⋖ ccvr 39755  Atomscatm 39756  HLchlt 39843  LLinesclln 39984  LPlanesclpl 39985

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-proset 18258  df-poset 18277  df-plt 18292  df-lub 18308  df-glb 18309  df-join 18310  df-meet 18311  df-p0 18387  df-lat 18396  df-clat 18463  df-oposet 39669  df-ol 39671  df-oml 39672  df-covers 39759  df-ats 39760  df-atl 39791  df-cvlat 39815  df-hlat 39844  df-llines 39991  df-lplanes 39992

This theorem is referenced by: (None)