Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lplnexatN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lplnexatN 39520
Description: Given a lattice line on a lattice plane, there is an atom whose join with the line equals the plane. (Contributed by NM, 29-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lplnexat.l = (le‘𝐾)
lplnexat.j = (join‘𝐾)
lplnexat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lplnexat.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
lplnexat.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lplnexatN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑁) ∧ 𝑌 𝑋) → ∃𝑞𝐴𝑞 𝑌𝑋 = (𝑌 𝑞)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝐾,𝑞   ,𝑞   𝑌,𝑞   𝑋,𝑞
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑞)   (𝑞)   𝑁(𝑞)

Proof of Theorem lplnexatN
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑁) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp3 1138 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑁) → 𝑌𝑁)
3 simp2 1137 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑁) → 𝑋𝑃)
41, 2, 33jca 1128 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑁) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝑁𝑋𝑃))
5 lplnexat.l . . . 4 = (le‘𝐾)
6 eqid 2740 . . . 4 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
7 lplnexat.n . . . 4 𝑁 = (LLines‘𝐾)
8 lplnexat.p . . . 4 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
95, 6, 7, 8llncvrlpln2 39514 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝑁𝑋𝑃) ∧ 𝑌 𝑋) → 𝑌( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
104, 9sylan 579 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑁) ∧ 𝑌 𝑋) → 𝑌( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
11 simpl1 1191 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑁) ∧ 𝑌 𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
12 simpl3 1193 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑁) ∧ 𝑌 𝑋) → 𝑌𝑁)
13 eqid 2740 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1413, 7llnbase 39466 . . . . 5 (𝑌𝑁𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
1512, 14syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑁) ∧ 𝑌 𝑋) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
16 simpl2 1192 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑁) ∧ 𝑌 𝑋) → 𝑋𝑃)
1713, 8lplnbase 39491 . . . . 5 (𝑋𝑃𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
1816, 17syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑁) ∧ 𝑌 𝑋) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
19 lplnexat.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
20 lplnexat.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2113, 5, 19, 6, 20cvrval3 39370 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑌( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑞𝐴𝑞 𝑌 ∧ (𝑌 𝑞) = 𝑋)))
2211, 15, 18, 21syl3anc 1371 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑁) ∧ 𝑌 𝑋) → (𝑌( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑞𝐴𝑞 𝑌 ∧ (𝑌 𝑞) = 𝑋)))
23 eqcom 2747 . . . . 5 ((𝑌 𝑞) = 𝑋𝑋 = (𝑌 𝑞))
2423anbi2i 622 . . . 4 ((¬ 𝑞 𝑌 ∧ (𝑌 𝑞) = 𝑋) ↔ (¬ 𝑞 𝑌𝑋 = (𝑌 𝑞)))
2524rexbii 3100 . . 3 (∃𝑞𝐴𝑞 𝑌 ∧ (𝑌 𝑞) = 𝑋) ↔ ∃𝑞𝐴𝑞 𝑌𝑋 = (𝑌 𝑞)))
2622, 25bitrdi 287 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑁) ∧ 𝑌 𝑋) → (𝑌( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑞𝐴𝑞 𝑌𝑋 = (𝑌 𝑞))))
2710, 26mpbid 232 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑁) ∧ 𝑌 𝑋) → ∃𝑞𝐴𝑞 𝑌𝑋 = (𝑌 𝑞)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1537  wcel 2108  wrex 3076   class class class wbr 5166  cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  lecple 17318  joincjn 18381  ccvr 39218  Atomscatm 39219  HLchlt 39306  LLinesclln 39448  LPlanesclpl 39449
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-proset 18365  df-poset 18383  df-plt 18400  df-lub 18416  df-glb 18417  df-join 18418  df-meet 18419  df-p0 18495  df-lat 18502  df-clat 18569  df-oposet 39132  df-ol 39134  df-oml 39135  df-covers 39222  df-ats 39223  df-atl 39254  df-cvlat 39278  df-hlat 39307  df-llines 39455  df-lplanes 39456
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator