Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elringlsm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elringlsm 32222
Description: Membership in a product of two subsets of a ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
elringlsm.1 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
elringlsm.2 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
elringlsm.3 ๐บ = (mulGrpโ€˜๐‘…)
elringlsm.4 ร— = (LSSumโ€˜๐บ)
elringlsm.6 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โŠ† ๐ต)
elringlsm.7 (๐œ‘ โ†’ ๐น โŠ† ๐ต)
Assertion
Ref Expression
elringlsm (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ (๐ธ ร— ๐น) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ธ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐น ๐‘ = (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ, ยท ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ธ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐น,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐บ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐‘…(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ร— (๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem elringlsm
StepHypRef Expression
1 elringlsm.3 . . 3 ๐บ = (mulGrpโ€˜๐‘…)
21fvexi 6857 . 2 ๐บ โˆˆ V
3 elringlsm.6 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โŠ† ๐ต)
4 elringlsm.7 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐น โŠ† ๐ต)
5 elringlsm.1 . . . 4 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
61, 5mgpbas 19907 . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
7 elringlsm.2 . . . 4 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
81, 7mgpplusg 19905 . . 3 ยท = (+gโ€˜๐บ)
9 elringlsm.4 . . 3 ร— = (LSSumโ€˜๐บ)
106, 8, 9lsmelvalx 19427 . 2 ((๐บ โˆˆ V โˆง ๐ธ โŠ† ๐ต โˆง ๐น โŠ† ๐ต) โ†’ (๐‘ โˆˆ (๐ธ ร— ๐น) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ธ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐น ๐‘ = (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)))
112, 3, 4, 10mp3an2i 1467 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ (๐ธ ร— ๐น) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ธ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐น ๐‘ = (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3070  Vcvv 3444   โŠ† wss 3911  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  .rcmulr 17139  LSSumclsm 19421  mulGrpcmgp 19901
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-plusg 17151  df-lsm 19423  df-mgp 19902
This theorem is referenced by:  elringlsmd  32223  ringlsmss1  32225  ringlsmss2  32226
  Copyright terms: Public domain W3C validator