Theorem elringlsm 33423

Description: Membership in a product of two subsets of a ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
elringlsm.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
elringlsm.2	⊢ · = (.r‘𝑅)
elringlsm.3	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
elringlsm.4	⊢ × = (LSSum‘𝐺)
elringlsm.6	⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ 𝐵)
elringlsm.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
elringlsm	⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝐸 × 𝐹) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐸 ∃𝑦 ∈ 𝐹 𝑍 = (𝑥 · 𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥, · ,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐸,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑍,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   × (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem elringlsm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elringlsm.3	. . 3 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
2	1	fvexi 6846	. 2 ⊢ 𝐺 ∈ V
3		elringlsm.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ 𝐵)
4		elringlsm.7	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐵)
5		elringlsm.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6	1, 5	mgpbas 20078	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7		elringlsm.2	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
8	1, 7	mgpplusg 20077	. . 3 ⊢ · = (+g‘𝐺)
9		elringlsm.4	. . 3 ⊢ × = (LSSum‘𝐺)
10	6, 8, 9	lsmelvalx 19567	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐸 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → (𝑍 ∈ (𝐸 × 𝐹) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐸 ∃𝑦 ∈ 𝐹 𝑍 = (𝑥 · 𝑦)))
11	2, 3, 4, 10	mp3an2i 1468	1 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝐸 × 𝐹) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐸 ∃𝑦 ∈ 𝐹 𝑍 = (𝑥 · 𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3058  Vcvv 3438   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Basecbs 17134  ._rcmulr 17176  LSSumclsm 19561  mulGrpcmgp 20073

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-plusg 17188  df-lsm 19563  df-mgp 20074

This theorem is referenced by:  elringlsmd  33424  ringlsmss1  33426  ringlsmss2  33427