Theorem elringlsm 33408

Description: Membership in a product of two subsets of a ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
elringlsm.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
elringlsm.2	⊢ · = (.r‘𝑅)
elringlsm.3	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
elringlsm.4	⊢ × = (LSSum‘𝐺)
elringlsm.6	⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ 𝐵)
elringlsm.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
elringlsm	⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝐸 × 𝐹) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐸 ∃𝑦 ∈ 𝐹 𝑍 = (𝑥 · 𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥, · ,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐸,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑍,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   × (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem elringlsm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elringlsm.3	. . 3 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
2	1	fvexi 6918	. 2 ⊢ 𝐺 ∈ V
3		elringlsm.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ 𝐵)
4		elringlsm.7	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐵)
5		elringlsm.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6	1, 5	mgpbas 20138	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7		elringlsm.2	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
8	1, 7	mgpplusg 20137	. . 3 ⊢ · = (+g‘𝐺)
9		elringlsm.4	. . 3 ⊢ × = (LSSum‘𝐺)
10	6, 8, 9	lsmelvalx 19654	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐸 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → (𝑍 ∈ (𝐸 × 𝐹) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐸 ∃𝑦 ∈ 𝐹 𝑍 = (𝑥 · 𝑦)))
11	2, 3, 4, 10	mp3an2i 1468	1 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝐸 × 𝐹) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐸 ∃𝑦 ∈ 𝐹 𝑍 = (𝑥 · 𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3069  Vcvv 3479   ⊆ wss 3950  ‘cfv 6559  (class class class)co 7429  Basecbs 17243  ._rcmulr 17294  LSSumclsm 19648  mulGrpcmgp 20133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5277  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751  ax-cnex 11207  ax-resscn 11208  ax-1cn 11209  ax-icn 11210  ax-addcl 11211  ax-addrcl 11212  ax-mulcl 11213  ax-mulrcl 11214  ax-mulcom 11215  ax-addass 11216  ax-mulass 11217  ax-distr 11218  ax-i2m1 11219  ax-1ne0 11220  ax-1rid 11221  ax-rnegex 11222  ax-rrecex 11223  ax-cnre 11224  ax-pre-lttri 11225  ax-pre-lttrn 11226  ax-pre-ltadd 11227  ax-pre-mulgt0 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4906  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6319  df-ord 6385  df-on 6386  df-lim 6387  df-suc 6388  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-riota 7386  df-ov 7432  df-oprab 7433  df-mpo 7434  df-om 7884  df-1st 8010  df-2nd 8011  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8741  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-pnf 11293  df-mnf 11294  df-xr 11295  df-ltxr 11296  df-le 11297  df-sub 11490  df-neg 11491  df-nn 12263  df-2 12325  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17244  df-plusg 17306  df-lsm 19650  df-mgp 20134

This theorem is referenced by:  elringlsmd  33409  ringlsmss1  33411  ringlsmss2  33412