Theorem lsatcvatlem 39923

Description: Lemma for lsatcvat 39924. (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatcvat.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsatcvat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsatcvat.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lsatcvat.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatcvat.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lsatcvat.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lsatcvat.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
lsatcvat.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)
lsatcvat.n	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ { 0 })
lsatcvat.l	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊊ (𝑄 ⊕ 𝑅))
lsatcvat.m	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lsatcvatlem	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem lsatcvatlem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsatcvat.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2		lsatcvat.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
3		lsatcvat.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
4		lsatcvat.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
5		lveclmod 21291	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
6	4, 5	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
7		lsatcvat.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
8		lsatcvat.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ { 0 })
9	1, 2, 3, 6, 7, 8	lssatomic 39885	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝑈)
10		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ( ⋖L ‘𝑊) = ( ⋖L ‘𝑊)
11	4	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑊 ∈ LVec)
12	6	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
13		simp2 1155	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝐴)
14	1, 3, 12, 13	lsatlssel 39871	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑆)
15		lsatcvat.q	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
16	1, 3, 6, 15	lsatlssel 39871	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)
17	16	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑄 ∈ 𝑆)
18		lsatcvat.p	. . . . . . 7 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
19	1, 18	lsmcl 21268	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑄 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑄 ⊕ 𝑥) ∈ 𝑆)
20	12, 17, 14, 19	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → (𝑄 ⊕ 𝑥) ∈ 𝑆)
21	7	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑆)
22		lsatcvat.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈)
23	22	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈)
24		sseq1 3956	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑄 → (𝑥 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑄 ⊆ 𝑈))
25	24	biimpcd 252	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝑈 → (𝑥 = 𝑄 → 𝑄 ⊆ 𝑈))
26	25	necon3bd 2969	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝑈 → (¬ 𝑄 ⊆ 𝑈 → 𝑥 ≠ 𝑄))
27	26	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → (¬ 𝑄 ⊆ 𝑈 → 𝑥 ≠ 𝑄))
28	23, 27	mpd 16	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑥 ≠ 𝑄)
29	15	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑄 ∈ 𝐴)
30	2, 3, 11, 13, 29	lsatnem0 39919	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → (𝑥 ≠ 𝑄 ↔ (𝑥 ∩ 𝑄) = { 0 }))
31	28, 30	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → (𝑥 ∩ 𝑄) = { 0 })
32	1, 18, 2, 3, 10, 11, 14, 29	lcvp 39914	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → ((𝑥 ∩ 𝑄) = { 0 } ↔ 𝑥( ⋖L ‘𝑊)(𝑥 ⊕ 𝑄)))
33	31, 32	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑥( ⋖L ‘𝑊)(𝑥 ⊕ 𝑄))
34		lmodabl 21094	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
35	12, 34	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑊 ∈ Abel)
36	1	lsssssubg 21143	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
37	12, 36	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
38	37, 14	sseldd 3932	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑊))
39	37, 17	sseldd 3932	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊))
40	18	lsmcom 19986	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑥 ⊕ 𝑄) = (𝑄 ⊕ 𝑥))
41	35, 38, 39, 40	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → (𝑥 ⊕ 𝑄) = (𝑄 ⊕ 𝑥))
42	33, 41	breqtrd 5131	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑥( ⋖L ‘𝑊)(𝑄 ⊕ 𝑥))
43		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑥 ⊆ 𝑈)
44		lsatcvat.l	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊊ (𝑄 ⊕ 𝑅))
45	44	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑈 ⊊ (𝑄 ⊕ 𝑅))
46	18	lsmub1 19785	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → 𝑄 ⊆ (𝑄 ⊕ 𝑥))
47	39, 38, 46	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑄 ⊆ (𝑄 ⊕ 𝑥))
48		lsatcvat.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)
49	48	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑅 ∈ 𝐴)
50	44	pssssd 4048	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝑄 ⊕ 𝑅))
51	50	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑈 ⊆ (𝑄 ⊕ 𝑅))
52	43, 51	sstrd 3941	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑥 ⊆ (𝑄 ⊕ 𝑅))
53	18, 3, 11, 13, 49, 29, 52, 28	lsatexch1 39920	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑅 ⊆ (𝑄 ⊕ 𝑥))
54	1, 3, 6, 48	lsatlssel 39871	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑆)
55	54	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑅 ∈ 𝑆)
56	37, 55	sseldd 3932	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊))
57	37, 20	sseldd 3932	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → (𝑄 ⊕ 𝑥) ∈ (SubGrp‘𝑊))
58	18	lsmlub 19792	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑄 ⊕ 𝑥) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → ((𝑄 ⊆ (𝑄 ⊕ 𝑥) ∧ 𝑅 ⊆ (𝑄 ⊕ 𝑥)) ↔ (𝑄 ⊕ 𝑅) ⊆ (𝑄 ⊕ 𝑥)))
59	39, 56, 57, 58	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → ((𝑄 ⊆ (𝑄 ⊕ 𝑥) ∧ 𝑅 ⊆ (𝑄 ⊕ 𝑥)) ↔ (𝑄 ⊕ 𝑅) ⊆ (𝑄 ⊕ 𝑥)))
60	47, 53, 59	mpbi2and 725	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → (𝑄 ⊕ 𝑅) ⊆ (𝑄 ⊕ 𝑥))
61	45, 60	psssstrd 4061	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑈 ⊊ (𝑄 ⊕ 𝑥))
62	1, 10, 11, 14, 20, 21, 42, 43, 61	lcvnbtwn3 39902	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑈 = 𝑥)
63	62, 13	eqeltrd 2860	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝐴)
64	63	rexlimdv3a 3167	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝑈 → 𝑈 ∈ 𝐴))
65	9, 64	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899   ⊊ wpss 3900  {csn 4584   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  0_gc0g 17525  SubGrpcsubg 19244  LSSumclsm 19762  Abelcabl 19909  LModclmod 21045  LSubSpclss 21116  LVecclvec 21287  LSAtomsclsa 39848   ⋖_L clcv 39892

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-2o 8457  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-ress 17324  df-plusg 17356  df-mulr 17357  df-0g 17527  df-mre 17671  df-mrc 17672  df-acs 17674  df-mgm 18731  df-sgrp 18822  df-mnd 18838  df-submnd 18893  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-sbg 19063  df-subg 19247  df-cntz 19445  df-oppg 19474  df-lsm 19764  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-ring 20375  df-oppr 20479  df-dvdsr 20499  df-unit 20500  df-invr 20530  df-drng 20893  df-lmod 21047  df-lss 21117  df-lsp 21157  df-lvec 21288  df-lsatoms 39850  df-lcv 39893

This theorem is used by:  lsatcvat  39924