Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcvatlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatcvatlem 39050
Description: Lemma for lsatcvat 39051. (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcvat.o 0 = (0g𝑊)
lsatcvat.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsatcvat.p = (LSSum‘𝑊)
lsatcvat.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatcvat.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lsatcvat.u (𝜑𝑈𝑆)
lsatcvat.q (𝜑𝑄𝐴)
lsatcvat.r (𝜑𝑅𝐴)
lsatcvat.n (𝜑𝑈 ≠ { 0 })
lsatcvat.l (𝜑𝑈 ⊊ (𝑄 𝑅))
lsatcvat.m (𝜑 → ¬ 𝑄𝑈)
Assertion
Ref Expression
lsatcvatlem (𝜑𝑈𝐴)

Proof of Theorem lsatcvatlem
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsatcvat.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2 lsatcvat.o . . 3 0 = (0g𝑊)
3 lsatcvat.a . . 3 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
4 lsatcvat.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
5 lveclmod 21105 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
64, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
7 lsatcvat.u . . 3 (𝜑𝑈𝑆)
8 lsatcvat.n . . 3 (𝜑𝑈 ≠ { 0 })
91, 2, 3, 6, 7, 8lssatomic 39012 . 2 (𝜑 → ∃𝑥𝐴 𝑥𝑈)
10 eqid 2737 . . . . 5 ( ⋖L𝑊) = ( ⋖L𝑊)
1143ad2ant1 1134 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑊 ∈ LVec)
1263ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
13 simp2 1138 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑥𝐴)
141, 3, 12, 13lsatlssel 38998 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑥𝑆)
15 lsatcvat.q . . . . . . . 8 (𝜑𝑄𝐴)
161, 3, 6, 15lsatlssel 38998 . . . . . . 7 (𝜑𝑄𝑆)
17163ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑄𝑆)
18 lsatcvat.p . . . . . . 7 = (LSSum‘𝑊)
191, 18lsmcl 21082 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑄𝑆𝑥𝑆) → (𝑄 𝑥) ∈ 𝑆)
2012, 17, 14, 19syl3anc 1373 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → (𝑄 𝑥) ∈ 𝑆)
2173ad2ant1 1134 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑈𝑆)
22 lsatcvat.m . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ 𝑄𝑈)
23223ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → ¬ 𝑄𝑈)
24 sseq1 4009 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑄 → (𝑥𝑈𝑄𝑈))
2524biimpcd 249 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝑈 → (𝑥 = 𝑄𝑄𝑈))
2625necon3bd 2954 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝑈 → (¬ 𝑄𝑈𝑥𝑄))
27263ad2ant3 1136 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → (¬ 𝑄𝑈𝑥𝑄))
2823, 27mpd 15 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑥𝑄)
29153ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑄𝐴)
302, 3, 11, 13, 29lsatnem0 39046 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → (𝑥𝑄 ↔ (𝑥𝑄) = { 0 }))
3128, 30mpbid 232 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → (𝑥𝑄) = { 0 })
321, 18, 2, 3, 10, 11, 14, 29lcvp 39041 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → ((𝑥𝑄) = { 0 } ↔ 𝑥( ⋖L𝑊)(𝑥 𝑄)))
3331, 32mpbid 232 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑥( ⋖L𝑊)(𝑥 𝑄))
34 lmodabl 20907 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
3512, 34syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑊 ∈ Abel)
361lsssssubg 20956 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
3712, 36syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
3837, 14sseldd 3984 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑊))
3937, 17sseldd 3984 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊))
4018lsmcom 19876 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑥 𝑄) = (𝑄 𝑥))
4135, 38, 39, 40syl3anc 1373 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → (𝑥 𝑄) = (𝑄 𝑥))
4233, 41breqtrd 5169 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑥( ⋖L𝑊)(𝑄 𝑥))
43 simp3 1139 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑥𝑈)
44 lsatcvat.l . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ⊊ (𝑄 𝑅))
45443ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑈 ⊊ (𝑄 𝑅))
4618lsmub1 19675 . . . . . . . 8 ((𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → 𝑄 ⊆ (𝑄 𝑥))
4739, 38, 46syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑄 ⊆ (𝑄 𝑥))
48 lsatcvat.r . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅𝐴)
49483ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑅𝐴)
5044pssssd 4100 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 ⊆ (𝑄 𝑅))
51503ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑈 ⊆ (𝑄 𝑅))
5243, 51sstrd 3994 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑥 ⊆ (𝑄 𝑅))
5318, 3, 11, 13, 49, 29, 52, 28lsatexch1 39047 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑅 ⊆ (𝑄 𝑥))
541, 3, 6, 48lsatlssel 38998 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅𝑆)
55543ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑅𝑆)
5637, 55sseldd 3984 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊))
5737, 20sseldd 3984 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → (𝑄 𝑥) ∈ (SubGrp‘𝑊))
5818lsmlub 19682 . . . . . . . 8 ((𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑄 𝑥) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → ((𝑄 ⊆ (𝑄 𝑥) ∧ 𝑅 ⊆ (𝑄 𝑥)) ↔ (𝑄 𝑅) ⊆ (𝑄 𝑥)))
5939, 56, 57, 58syl3anc 1373 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → ((𝑄 ⊆ (𝑄 𝑥) ∧ 𝑅 ⊆ (𝑄 𝑥)) ↔ (𝑄 𝑅) ⊆ (𝑄 𝑥)))
6047, 53, 59mpbi2and 712 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → (𝑄 𝑅) ⊆ (𝑄 𝑥))
6145, 60psssstrd 4112 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑈 ⊊ (𝑄 𝑥))
621, 10, 11, 14, 20, 21, 42, 43, 61lcvnbtwn3 39029 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑈 = 𝑥)
6362, 13eqeltrd 2841 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑈𝐴)
6463rexlimdv3a 3159 . 2 (𝜑 → (∃𝑥𝐴 𝑥𝑈𝑈𝐴))
659, 64mpd 15 1 (𝜑𝑈𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wrex 3070  cin 3950  wss 3951  wpss 3952  {csn 4626   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  0gc0g 17484  SubGrpcsubg 19138  LSSumclsm 19652  Abelcabl 19799  LModclmod 20858  LSubSpclss 20929  LVecclvec 21101  LSAtomsclsa 38975  L clcv 39019
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-0g 17486  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-cntz 19335  df-oppg 19364  df-lsm 19654  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-drng 20731  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lvec 21102  df-lsatoms 38977  df-lcv 39020
This theorem is referenced by:  lsatcvat  39051
  Copyright terms: Public domain W3C validator