Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcvatlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lsatcvatlem 38222
Description: Lemma for lsatcvat 38223. (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcvat.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lsatcvat.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lsatcvat.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
lsatcvat.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
lsatcvat.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lsatcvat.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
lsatcvat.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
lsatcvat.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
lsatcvat.n (πœ‘ β†’ π‘ˆ β‰  { 0 })
lsatcvat.l (πœ‘ β†’ π‘ˆ ⊊ (𝑄 βŠ• 𝑅))
lsatcvat.m (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
lsatcvatlem (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
Proof of Theorem lsatcvatlem
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsatcvat.s . . 3 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
2 lsatcvat.o . . 3 0 = (0gβ€˜π‘Š)
3 lsatcvat.a . . 3 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
4 lsatcvat.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
5 lveclmod 20861 . . . 4 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
64, 5syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
7 lsatcvat.u . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
8 lsatcvat.n . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ β‰  { 0 })
91, 2, 3, 6, 7, 8lssatomic 38184 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 π‘₯ βŠ† π‘ˆ)
10 eqid 2730 . . . . 5 ( β‹–L β€˜π‘Š) = ( β‹–L β€˜π‘Š)
1143ad2ant1 1131 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘Š ∈ LVec)
1263ad2ant1 1131 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘Š ∈ LMod)
13 simp2 1135 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
141, 3, 12, 13lsatlssel 38170 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
15 lsatcvat.q . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
161, 3, 6, 15lsatlssel 38170 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝑆)
17163ad2ant1 1131 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑄 ∈ 𝑆)
18 lsatcvat.p . . . . . . 7 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
191, 18lsmcl 20838 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑄 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (𝑄 βŠ• π‘₯) ∈ 𝑆)
2012, 17, 14, 19syl3anc 1369 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ (𝑄 βŠ• π‘₯) ∈ 𝑆)
2173ad2ant1 1131 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
22 lsatcvat.m . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ)
23223ad2ant1 1131 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ)
24 sseq1 4006 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑄 β†’ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ↔ 𝑄 βŠ† π‘ˆ))
2524biimpcd 248 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ βŠ† π‘ˆ β†’ (π‘₯ = 𝑄 β†’ 𝑄 βŠ† π‘ˆ))
2625necon3bd 2952 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ βŠ† π‘ˆ β†’ (Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ β†’ π‘₯ β‰  𝑄))
27263ad2ant3 1133 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ (Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ β†’ π‘₯ β‰  𝑄))
2823, 27mpd 15 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘₯ β‰  𝑄)
29153ad2ant1 1131 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
302, 3, 11, 13, 29lsatnem0 38218 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘₯ β‰  𝑄 ↔ (π‘₯ ∩ 𝑄) = { 0 }))
3128, 30mpbid 231 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘₯ ∩ 𝑄) = { 0 })
321, 18, 2, 3, 10, 11, 14, 29lcvp 38213 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ ((π‘₯ ∩ 𝑄) = { 0 } ↔ π‘₯( β‹–L β€˜π‘Š)(π‘₯ βŠ• 𝑄)))
3331, 32mpbid 231 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘₯( β‹–L β€˜π‘Š)(π‘₯ βŠ• 𝑄))
34 lmodabl 20663 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Abel)
3512, 34syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘Š ∈ Abel)
361lsssssubg 20713 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
3712, 36syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
3837, 14sseldd 3982 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
3937, 17sseldd 3982 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑄 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
4018lsmcom 19767 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Abel ∧ π‘₯ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘₯ βŠ• 𝑄) = (𝑄 βŠ• π‘₯))
4135, 38, 39, 40syl3anc 1369 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘₯ βŠ• 𝑄) = (𝑄 βŠ• π‘₯))
4233, 41breqtrd 5173 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘₯( β‹–L β€˜π‘Š)(𝑄 βŠ• π‘₯))
43 simp3 1136 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘₯ βŠ† π‘ˆ)
44 lsatcvat.l . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ⊊ (𝑄 βŠ• 𝑅))
45443ad2ant1 1131 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ⊊ (𝑄 βŠ• 𝑅))
4618lsmub1 19566 . . . . . . . 8 ((𝑄 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ π‘₯ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑄 βŠ† (𝑄 βŠ• π‘₯))
4739, 38, 46syl2anc 582 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑄 βŠ† (𝑄 βŠ• π‘₯))
48 lsatcvat.r . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
49483ad2ant1 1131 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
5044pssssd 4096 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† (𝑄 βŠ• 𝑅))
51503ad2ant1 1131 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ βŠ† (𝑄 βŠ• 𝑅))
5243, 51sstrd 3991 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘₯ βŠ† (𝑄 βŠ• 𝑅))
5318, 3, 11, 13, 49, 29, 52, 28lsatexch1 38219 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑅 βŠ† (𝑄 βŠ• π‘₯))
541, 3, 6, 48lsatlssel 38170 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑆)
55543ad2ant1 1131 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑅 ∈ 𝑆)
5637, 55sseldd 3982 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑅 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
5737, 20sseldd 3982 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ (𝑄 βŠ• π‘₯) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
5818lsmlub 19573 . . . . . . . 8 ((𝑄 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ (𝑄 βŠ• π‘₯) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ ((𝑄 βŠ† (𝑄 βŠ• π‘₯) ∧ 𝑅 βŠ† (𝑄 βŠ• π‘₯)) ↔ (𝑄 βŠ• 𝑅) βŠ† (𝑄 βŠ• π‘₯)))
5939, 56, 57, 58syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ ((𝑄 βŠ† (𝑄 βŠ• π‘₯) ∧ 𝑅 βŠ† (𝑄 βŠ• π‘₯)) ↔ (𝑄 βŠ• 𝑅) βŠ† (𝑄 βŠ• π‘₯)))
6047, 53, 59mpbi2and 708 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ (𝑄 βŠ• 𝑅) βŠ† (𝑄 βŠ• π‘₯))
6145, 60psssstrd 4108 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ⊊ (𝑄 βŠ• π‘₯))
621, 10, 11, 14, 20, 21, 42, 43, 61lcvnbtwn3 38201 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ = π‘₯)
6362, 13eqeltrd 2831 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
6463rexlimdv3a 3157 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 π‘₯ βŠ† π‘ˆ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴))
659, 64mpd 15 1 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆƒwrex 3068   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947   ⊊ wpss 3948  {csn 4627   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  0gc0g 17389  SubGrpcsubg 19036  LSSumclsm 19543  Abelcabl 19690  LModclmod 20614  LSubSpclss 20686  LVecclvec 20857  LSAtomsclsa 38147   β‹–L clcv 38191
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-0g 17391  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-subg 19039  df-cntz 19222  df-oppg 19251  df-lsm 19545  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-drng 20502  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-lsp 20727  df-lvec 20858  df-lsatoms 38149  df-lcv 38192
This theorem is referenced by:  lsatcvat  38223
  Copyright terms: Public domain W3C validator