Theorem lsatcvatlem 39042

Description: Lemma for lsatcvat 39043. (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatcvat.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsatcvat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsatcvat.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lsatcvat.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatcvat.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lsatcvat.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lsatcvat.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
lsatcvat.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)
lsatcvat.n	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ { 0 })
lsatcvat.l	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊊ (𝑄 ⊕ 𝑅))
lsatcvat.m	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lsatcvatlem	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem lsatcvatlem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsatcvat.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2		lsatcvat.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
3		lsatcvat.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
4		lsatcvat.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
5		lveclmod 21013	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
7		lsatcvat.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
8		lsatcvat.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ { 0 })
9	1, 2, 3, 6, 7, 8	lssatomic 39004	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝑈)
10		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ( ⋖L ‘𝑊) = ( ⋖L ‘𝑊)
11	4	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑊 ∈ LVec)
12	6	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
13		simp2 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝐴)
14	1, 3, 12, 13	lsatlssel 38990	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑆)
15		lsatcvat.q	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
16	1, 3, 6, 15	lsatlssel 38990	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)
17	16	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑄 ∈ 𝑆)
18		lsatcvat.p	. . . . . . 7 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
19	1, 18	lsmcl 20990	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑄 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑄 ⊕ 𝑥) ∈ 𝑆)
20	12, 17, 14, 19	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → (𝑄 ⊕ 𝑥) ∈ 𝑆)
21	7	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑆)
22		lsatcvat.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈)
23	22	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈)
24		sseq1 3972	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑄 → (𝑥 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑄 ⊆ 𝑈))
25	24	biimpcd 249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝑈 → (𝑥 = 𝑄 → 𝑄 ⊆ 𝑈))
26	25	necon3bd 2939	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝑈 → (¬ 𝑄 ⊆ 𝑈 → 𝑥 ≠ 𝑄))
27	26	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → (¬ 𝑄 ⊆ 𝑈 → 𝑥 ≠ 𝑄))
28	23, 27	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑥 ≠ 𝑄)
29	15	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑄 ∈ 𝐴)
30	2, 3, 11, 13, 29	lsatnem0 39038	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → (𝑥 ≠ 𝑄 ↔ (𝑥 ∩ 𝑄) = { 0 }))
31	28, 30	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → (𝑥 ∩ 𝑄) = { 0 })
32	1, 18, 2, 3, 10, 11, 14, 29	lcvp 39033	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → ((𝑥 ∩ 𝑄) = { 0 } ↔ 𝑥( ⋖L ‘𝑊)(𝑥 ⊕ 𝑄)))
33	31, 32	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑥( ⋖L ‘𝑊)(𝑥 ⊕ 𝑄))
34		lmodabl 20815	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
35	12, 34	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑊 ∈ Abel)
36	1	lsssssubg 20864	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
37	12, 36	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
38	37, 14	sseldd 3947	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑊))
39	37, 17	sseldd 3947	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊))
40	18	lsmcom 19788	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑥 ⊕ 𝑄) = (𝑄 ⊕ 𝑥))
41	35, 38, 39, 40	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → (𝑥 ⊕ 𝑄) = (𝑄 ⊕ 𝑥))
42	33, 41	breqtrd 5133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑥( ⋖L ‘𝑊)(𝑄 ⊕ 𝑥))
43		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑥 ⊆ 𝑈)
44		lsatcvat.l	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊊ (𝑄 ⊕ 𝑅))
45	44	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑈 ⊊ (𝑄 ⊕ 𝑅))
46	18	lsmub1 19587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → 𝑄 ⊆ (𝑄 ⊕ 𝑥))
47	39, 38, 46	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑄 ⊆ (𝑄 ⊕ 𝑥))
48		lsatcvat.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)
49	48	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑅 ∈ 𝐴)
50	44	pssssd 4063	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝑄 ⊕ 𝑅))
51	50	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑈 ⊆ (𝑄 ⊕ 𝑅))
52	43, 51	sstrd 3957	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑥 ⊆ (𝑄 ⊕ 𝑅))
53	18, 3, 11, 13, 49, 29, 52, 28	lsatexch1 39039	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑅 ⊆ (𝑄 ⊕ 𝑥))
54	1, 3, 6, 48	lsatlssel 38990	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑆)
55	54	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑅 ∈ 𝑆)
56	37, 55	sseldd 3947	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊))
57	37, 20	sseldd 3947	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → (𝑄 ⊕ 𝑥) ∈ (SubGrp‘𝑊))
58	18	lsmlub 19594	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑄 ⊕ 𝑥) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → ((𝑄 ⊆ (𝑄 ⊕ 𝑥) ∧ 𝑅 ⊆ (𝑄 ⊕ 𝑥)) ↔ (𝑄 ⊕ 𝑅) ⊆ (𝑄 ⊕ 𝑥)))
59	39, 56, 57, 58	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → ((𝑄 ⊆ (𝑄 ⊕ 𝑥) ∧ 𝑅 ⊆ (𝑄 ⊕ 𝑥)) ↔ (𝑄 ⊕ 𝑅) ⊆ (𝑄 ⊕ 𝑥)))
60	47, 53, 59	mpbi2and 712	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → (𝑄 ⊕ 𝑅) ⊆ (𝑄 ⊕ 𝑥))
61	45, 60	psssstrd 4075	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑈 ⊊ (𝑄 ⊕ 𝑥))
62	1, 10, 11, 14, 20, 21, 42, 43, 61	lcvnbtwn3 39021	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑈 = 𝑥)
63	62, 13	eqeltrd 2828	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝐴)
64	63	rexlimdv3a 3138	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝑈 → 𝑈 ∈ 𝐴))
65	9, 64	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053   ∩ cin 3913   ⊆ wss 3914   ⊊ wpss 3915  {csn 4589   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  0_gc0g 17402  SubGrpcsubg 19052  LSSumclsm 19564  Abelcabl 19711  LModclmod 20766  LSubSpclss 20837  LVecclvec 21009  LSAtomsclsa 38967   ⋖_L clcv 39011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-tpos 8205  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-0g 17404  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-subg 19055  df-cntz 19249  df-oppg 19278  df-lsm 19566  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-ring 20144  df-oppr 20246  df-dvdsr 20266  df-unit 20267  df-invr 20297  df-drng 20640  df-lmod 20768  df-lss 20838  df-lsp 20878  df-lvec 21010  df-lsatoms 38969  df-lcv 39012

This theorem is referenced by:  lsatcvat  39043