Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcvatlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lsatcvatlem 37919
Description: Lemma for lsatcvat 37920. (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcvat.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lsatcvat.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lsatcvat.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
lsatcvat.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
lsatcvat.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lsatcvat.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
lsatcvat.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
lsatcvat.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
lsatcvat.n (πœ‘ β†’ π‘ˆ β‰  { 0 })
lsatcvat.l (πœ‘ β†’ π‘ˆ ⊊ (𝑄 βŠ• 𝑅))
lsatcvat.m (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
lsatcvatlem (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
Proof of Theorem lsatcvatlem
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsatcvat.s . . 3 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
2 lsatcvat.o . . 3 0 = (0gβ€˜π‘Š)
3 lsatcvat.a . . 3 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
4 lsatcvat.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
5 lveclmod 20717 . . . 4 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
64, 5syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
7 lsatcvat.u . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
8 lsatcvat.n . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ β‰  { 0 })
91, 2, 3, 6, 7, 8lssatomic 37881 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 π‘₯ βŠ† π‘ˆ)
10 eqid 2733 . . . . 5 ( β‹–L β€˜π‘Š) = ( β‹–L β€˜π‘Š)
1143ad2ant1 1134 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘Š ∈ LVec)
1263ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘Š ∈ LMod)
13 simp2 1138 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
141, 3, 12, 13lsatlssel 37867 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
15 lsatcvat.q . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
161, 3, 6, 15lsatlssel 37867 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝑆)
17163ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑄 ∈ 𝑆)
18 lsatcvat.p . . . . . . 7 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
191, 18lsmcl 20694 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑄 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (𝑄 βŠ• π‘₯) ∈ 𝑆)
2012, 17, 14, 19syl3anc 1372 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ (𝑄 βŠ• π‘₯) ∈ 𝑆)
2173ad2ant1 1134 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
22 lsatcvat.m . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ)
23223ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ)
24 sseq1 4008 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑄 β†’ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ↔ 𝑄 βŠ† π‘ˆ))
2524biimpcd 248 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ βŠ† π‘ˆ β†’ (π‘₯ = 𝑄 β†’ 𝑄 βŠ† π‘ˆ))
2625necon3bd 2955 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ βŠ† π‘ˆ β†’ (Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ β†’ π‘₯ β‰  𝑄))
27263ad2ant3 1136 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ (Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ β†’ π‘₯ β‰  𝑄))
2823, 27mpd 15 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘₯ β‰  𝑄)
29153ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
302, 3, 11, 13, 29lsatnem0 37915 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘₯ β‰  𝑄 ↔ (π‘₯ ∩ 𝑄) = { 0 }))
3128, 30mpbid 231 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘₯ ∩ 𝑄) = { 0 })
321, 18, 2, 3, 10, 11, 14, 29lcvp 37910 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ ((π‘₯ ∩ 𝑄) = { 0 } ↔ π‘₯( β‹–L β€˜π‘Š)(π‘₯ βŠ• 𝑄)))
3331, 32mpbid 231 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘₯( β‹–L β€˜π‘Š)(π‘₯ βŠ• 𝑄))
34 lmodabl 20519 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Abel)
3512, 34syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘Š ∈ Abel)
361lsssssubg 20569 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
3712, 36syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
3837, 14sseldd 3984 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
3937, 17sseldd 3984 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑄 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
4018lsmcom 19726 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Abel ∧ π‘₯ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘₯ βŠ• 𝑄) = (𝑄 βŠ• π‘₯))
4135, 38, 39, 40syl3anc 1372 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘₯ βŠ• 𝑄) = (𝑄 βŠ• π‘₯))
4233, 41breqtrd 5175 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘₯( β‹–L β€˜π‘Š)(𝑄 βŠ• π‘₯))
43 simp3 1139 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘₯ βŠ† π‘ˆ)
44 lsatcvat.l . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ⊊ (𝑄 βŠ• 𝑅))
45443ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ⊊ (𝑄 βŠ• 𝑅))
4618lsmub1 19525 . . . . . . . 8 ((𝑄 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ π‘₯ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑄 βŠ† (𝑄 βŠ• π‘₯))
4739, 38, 46syl2anc 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑄 βŠ† (𝑄 βŠ• π‘₯))
48 lsatcvat.r . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
49483ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
5044pssssd 4098 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† (𝑄 βŠ• 𝑅))
51503ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ βŠ† (𝑄 βŠ• 𝑅))
5243, 51sstrd 3993 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘₯ βŠ† (𝑄 βŠ• 𝑅))
5318, 3, 11, 13, 49, 29, 52, 28lsatexch1 37916 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑅 βŠ† (𝑄 βŠ• π‘₯))
541, 3, 6, 48lsatlssel 37867 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑆)
55543ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑅 ∈ 𝑆)
5637, 55sseldd 3984 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑅 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
5737, 20sseldd 3984 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ (𝑄 βŠ• π‘₯) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
5818lsmlub 19532 . . . . . . . 8 ((𝑄 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ (𝑄 βŠ• π‘₯) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ ((𝑄 βŠ† (𝑄 βŠ• π‘₯) ∧ 𝑅 βŠ† (𝑄 βŠ• π‘₯)) ↔ (𝑄 βŠ• 𝑅) βŠ† (𝑄 βŠ• π‘₯)))
5939, 56, 57, 58syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ ((𝑄 βŠ† (𝑄 βŠ• π‘₯) ∧ 𝑅 βŠ† (𝑄 βŠ• π‘₯)) ↔ (𝑄 βŠ• 𝑅) βŠ† (𝑄 βŠ• π‘₯)))
6047, 53, 59mpbi2and 711 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ (𝑄 βŠ• 𝑅) βŠ† (𝑄 βŠ• π‘₯))
6145, 60psssstrd 4110 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ⊊ (𝑄 βŠ• π‘₯))
621, 10, 11, 14, 20, 21, 42, 43, 61lcvnbtwn3 37898 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ = π‘₯)
6362, 13eqeltrd 2834 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
6463rexlimdv3a 3160 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 π‘₯ βŠ† π‘ˆ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴))
659, 64mpd 15 1 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆƒwrex 3071   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949   ⊊ wpss 3950  {csn 4629   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  0gc0g 17385  SubGrpcsubg 19000  LSSumclsm 19502  Abelcabl 19649  LModclmod 20471  LSubSpclss 20542  LVecclvec 20713  LSAtomsclsa 37844   β‹–L clcv 37888
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-0g 17387  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-subg 19003  df-cntz 19181  df-oppg 19210  df-lsm 19504  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-drng 20359  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lsp 20583  df-lvec 20714  df-lsatoms 37846  df-lcv 37889
This theorem is referenced by:  lsatcvat  37920
  Copyright terms: Public domain W3C validator