Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcvatlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatcvatlem 37263
Description: Lemma for lsatcvat 37264. (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcvat.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lsatcvat.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lsatcvat.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
lsatcvat.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
lsatcvat.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lsatcvat.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
lsatcvat.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
lsatcvat.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
lsatcvat.n (πœ‘ β†’ π‘ˆ β‰  { 0 })
lsatcvat.l (πœ‘ β†’ π‘ˆ ⊊ (𝑄 βŠ• 𝑅))
lsatcvat.m (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
lsatcvatlem (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)

Proof of Theorem lsatcvatlem
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsatcvat.s . . 3 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
2 lsatcvat.o . . 3 0 = (0gβ€˜π‘Š)
3 lsatcvat.a . . 3 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
4 lsatcvat.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
5 lveclmod 20417 . . . 4 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
64, 5syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
7 lsatcvat.u . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
8 lsatcvat.n . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ β‰  { 0 })
91, 2, 3, 6, 7, 8lssatomic 37225 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 π‘₯ βŠ† π‘ˆ)
10 eqid 2736 . . . . 5 ( β‹–L β€˜π‘Š) = ( β‹–L β€˜π‘Š)
1143ad2ant1 1133 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘Š ∈ LVec)
1263ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘Š ∈ LMod)
13 simp2 1137 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
141, 3, 12, 13lsatlssel 37211 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
15 lsatcvat.q . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
161, 3, 6, 15lsatlssel 37211 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝑆)
17163ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑄 ∈ 𝑆)
18 lsatcvat.p . . . . . . 7 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
191, 18lsmcl 20394 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑄 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (𝑄 βŠ• π‘₯) ∈ 𝑆)
2012, 17, 14, 19syl3anc 1371 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ (𝑄 βŠ• π‘₯) ∈ 𝑆)
2173ad2ant1 1133 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
22 lsatcvat.m . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ)
23223ad2ant1 1133 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ)
24 sseq1 3951 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑄 β†’ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ↔ 𝑄 βŠ† π‘ˆ))
2524biimpcd 249 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ βŠ† π‘ˆ β†’ (π‘₯ = 𝑄 β†’ 𝑄 βŠ† π‘ˆ))
2625necon3bd 2955 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ βŠ† π‘ˆ β†’ (Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ β†’ π‘₯ β‰  𝑄))
27263ad2ant3 1135 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ (Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ β†’ π‘₯ β‰  𝑄))
2823, 27mpd 15 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘₯ β‰  𝑄)
29153ad2ant1 1133 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
302, 3, 11, 13, 29lsatnem0 37259 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘₯ β‰  𝑄 ↔ (π‘₯ ∩ 𝑄) = { 0 }))
3128, 30mpbid 231 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘₯ ∩ 𝑄) = { 0 })
321, 18, 2, 3, 10, 11, 14, 29lcvp 37254 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ ((π‘₯ ∩ 𝑄) = { 0 } ↔ π‘₯( β‹–L β€˜π‘Š)(π‘₯ βŠ• 𝑄)))
3331, 32mpbid 231 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘₯( β‹–L β€˜π‘Š)(π‘₯ βŠ• 𝑄))
34 lmodabl 20219 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Abel)
3512, 34syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘Š ∈ Abel)
361lsssssubg 20269 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
3712, 36syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
3837, 14sseldd 3927 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
3937, 17sseldd 3927 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑄 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
4018lsmcom 19508 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Abel ∧ π‘₯ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘₯ βŠ• 𝑄) = (𝑄 βŠ• π‘₯))
4135, 38, 39, 40syl3anc 1371 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘₯ βŠ• 𝑄) = (𝑄 βŠ• π‘₯))
4233, 41breqtrd 5107 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘₯( β‹–L β€˜π‘Š)(𝑄 βŠ• π‘₯))
43 simp3 1138 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘₯ βŠ† π‘ˆ)
44 lsatcvat.l . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ⊊ (𝑄 βŠ• 𝑅))
45443ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ⊊ (𝑄 βŠ• 𝑅))
4618lsmub1 19311 . . . . . . . 8 ((𝑄 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ π‘₯ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑄 βŠ† (𝑄 βŠ• π‘₯))
4739, 38, 46syl2anc 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑄 βŠ† (𝑄 βŠ• π‘₯))
48 lsatcvat.r . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
49483ad2ant1 1133 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
5044pssssd 4038 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† (𝑄 βŠ• 𝑅))
51503ad2ant1 1133 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ βŠ† (𝑄 βŠ• 𝑅))
5243, 51sstrd 3936 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘₯ βŠ† (𝑄 βŠ• 𝑅))
5318, 3, 11, 13, 49, 29, 52, 28lsatexch1 37260 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑅 βŠ† (𝑄 βŠ• π‘₯))
541, 3, 6, 48lsatlssel 37211 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑆)
55543ad2ant1 1133 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑅 ∈ 𝑆)
5637, 55sseldd 3927 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑅 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
5737, 20sseldd 3927 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ (𝑄 βŠ• π‘₯) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
5818lsmlub 19319 . . . . . . . 8 ((𝑄 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ (𝑄 βŠ• π‘₯) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ ((𝑄 βŠ† (𝑄 βŠ• π‘₯) ∧ 𝑅 βŠ† (𝑄 βŠ• π‘₯)) ↔ (𝑄 βŠ• 𝑅) βŠ† (𝑄 βŠ• π‘₯)))
5939, 56, 57, 58syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ ((𝑄 βŠ† (𝑄 βŠ• π‘₯) ∧ 𝑅 βŠ† (𝑄 βŠ• π‘₯)) ↔ (𝑄 βŠ• 𝑅) βŠ† (𝑄 βŠ• π‘₯)))
6047, 53, 59mpbi2and 710 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ (𝑄 βŠ• 𝑅) βŠ† (𝑄 βŠ• π‘₯))
6145, 60psssstrd 4050 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ⊊ (𝑄 βŠ• π‘₯))
621, 10, 11, 14, 20, 21, 42, 43, 61lcvnbtwn3 37242 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ = π‘₯)
6362, 13eqeltrd 2837 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
6463rexlimdv3a 3153 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 π‘₯ βŠ† π‘ˆ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴))
659, 64mpd 15 1 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1087   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2941  βˆƒwrex 3071   ∩ cin 3891   βŠ† wss 3892   ⊊ wpss 3893  {csn 4565   class class class wbr 5081  β€˜cfv 6458  (class class class)co 7307  0gc0g 17199  SubGrpcsubg 18798  LSSumclsm 19288  Abelcabl 19436  LModclmod 20172  LSubSpclss 20242  LVecclvec 20413  LSAtomsclsa 37188   β‹–L clcv 37232
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10977  ax-resscn 10978  ax-1cn 10979  ax-icn 10980  ax-addcl 10981  ax-addrcl 10982  ax-mulcl 10983  ax-mulrcl 10984  ax-mulcom 10985  ax-addass 10986  ax-mulass 10987  ax-distr 10988  ax-i2m1 10989  ax-1ne0 10990  ax-1rid 10991  ax-rnegex 10992  ax-rrecex 10993  ax-cnre 10994  ax-pre-lttri 10995  ax-pre-lttrn 10996  ax-pre-ltadd 10997  ax-pre-mulgt0 10998
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3304  df-reu 3305  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-iin 4934  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-tpos 8073  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-pnf 11061  df-mnf 11062  df-xr 11063  df-ltxr 11064  df-le 11065  df-sub 11257  df-neg 11258  df-nn 12024  df-2 12086  df-3 12087  df-sets 16914  df-slot 16932  df-ndx 16944  df-base 16962  df-ress 16991  df-plusg 17024  df-mulr 17025  df-0g 17201  df-mre 17344  df-mrc 17345  df-acs 17347  df-mgm 18375  df-sgrp 18424  df-mnd 18435  df-submnd 18480  df-grp 18629  df-minusg 18630  df-sbg 18631  df-subg 18801  df-cntz 18972  df-oppg 18999  df-lsm 19290  df-cmn 19437  df-abl 19438  df-mgp 19770  df-ur 19787  df-ring 19834  df-oppr 19911  df-dvdsr 19932  df-unit 19933  df-invr 19963  df-drng 20042  df-lmod 20174  df-lss 20243  df-lsp 20283  df-lvec 20414  df-lsatoms 37190  df-lcv 37233
This theorem is referenced by:  lsatcvat  37264
  Copyright terms: Public domain W3C validator