Theorem lsatcvatlem 39673

Description: Lemma for lsatcvat 39674. (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatcvat.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsatcvat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsatcvat.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lsatcvat.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatcvat.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lsatcvat.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lsatcvat.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
lsatcvat.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)
lsatcvat.n	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ { 0 })
lsatcvat.l	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊊ (𝑄 ⊕ 𝑅))
lsatcvat.m	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lsatcvatlem	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem lsatcvatlem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsatcvat.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2		lsatcvat.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
3		lsatcvat.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
4		lsatcvat.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
5		lveclmod 21173	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
7		lsatcvat.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
8		lsatcvat.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ { 0 })
9	1, 2, 3, 6, 7, 8	lssatomic 39635	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝑈)
10		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ ( ⋖L ‘𝑊) = ( ⋖L ‘𝑊)
11	4	3ad2ant1 1146	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑊 ∈ LVec)
12	6	3ad2ant1 1146	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
13		simp2 1150	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝐴)
14	1, 3, 12, 13	lsatlssel 39621	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑆)
15		lsatcvat.q	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
16	1, 3, 6, 15	lsatlssel 39621	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)
17	16	3ad2ant1 1146	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑄 ∈ 𝑆)
18		lsatcvat.p	. . . . . . 7 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
19	1, 18	lsmcl 21150	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑄 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑄 ⊕ 𝑥) ∈ 𝑆)
20	12, 17, 14, 19	syl3anc 1390	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → (𝑄 ⊕ 𝑥) ∈ 𝑆)
21	7	3ad2ant1 1146	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑆)
22		lsatcvat.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈)
23	22	3ad2ant1 1146	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈)
24		sseq1 3961	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑄 → (𝑥 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑄 ⊆ 𝑈))
25	24	biimpcd 251	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝑈 → (𝑥 = 𝑄 → 𝑄 ⊆ 𝑈))
26	25	necon3bd 2971	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝑈 → (¬ 𝑄 ⊆ 𝑈 → 𝑥 ≠ 𝑄))
27	26	3ad2ant3 1148	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → (¬ 𝑄 ⊆ 𝑈 → 𝑥 ≠ 𝑄))
28	23, 27	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑥 ≠ 𝑄)
29	15	3ad2ant1 1146	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑄 ∈ 𝐴)
30	2, 3, 11, 13, 29	lsatnem0 39669	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → (𝑥 ≠ 𝑄 ↔ (𝑥 ∩ 𝑄) = { 0 }))
31	28, 30	mpbid 234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → (𝑥 ∩ 𝑄) = { 0 })
32	1, 18, 2, 3, 10, 11, 14, 29	lcvp 39664	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → ((𝑥 ∩ 𝑄) = { 0 } ↔ 𝑥( ⋖L ‘𝑊)(𝑥 ⊕ 𝑄)))
33	31, 32	mpbid 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑥( ⋖L ‘𝑊)(𝑥 ⊕ 𝑄))
34		lmodabl 20976	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
35	12, 34	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑊 ∈ Abel)
36	1	lsssssubg 21025	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
37	12, 36	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
38	37, 14	sseldd 3937	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑊))
39	37, 17	sseldd 3937	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊))
40	18	lsmcom 19898	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑥 ⊕ 𝑄) = (𝑄 ⊕ 𝑥))
41	35, 38, 39, 40	syl3anc 1390	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → (𝑥 ⊕ 𝑄) = (𝑄 ⊕ 𝑥))
42	33, 41	breqtrd 5126	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑥( ⋖L ‘𝑊)(𝑄 ⊕ 𝑥))
43		simp3 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑥 ⊆ 𝑈)
44		lsatcvat.l	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊊ (𝑄 ⊕ 𝑅))
45	44	3ad2ant1 1146	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑈 ⊊ (𝑄 ⊕ 𝑅))
46	18	lsmub1 19697	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → 𝑄 ⊆ (𝑄 ⊕ 𝑥))
47	39, 38, 46	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑄 ⊆ (𝑄 ⊕ 𝑥))
48		lsatcvat.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)
49	48	3ad2ant1 1146	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑅 ∈ 𝐴)
50	44	pssssd 4053	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝑄 ⊕ 𝑅))
51	50	3ad2ant1 1146	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑈 ⊆ (𝑄 ⊕ 𝑅))
52	43, 51	sstrd 3946	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑥 ⊆ (𝑄 ⊕ 𝑅))
53	18, 3, 11, 13, 49, 29, 52, 28	lsatexch1 39670	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑅 ⊆ (𝑄 ⊕ 𝑥))
54	1, 3, 6, 48	lsatlssel 39621	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑆)
55	54	3ad2ant1 1146	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑅 ∈ 𝑆)
56	37, 55	sseldd 3937	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊))
57	37, 20	sseldd 3937	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → (𝑄 ⊕ 𝑥) ∈ (SubGrp‘𝑊))
58	18	lsmlub 19704	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑄 ⊕ 𝑥) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → ((𝑄 ⊆ (𝑄 ⊕ 𝑥) ∧ 𝑅 ⊆ (𝑄 ⊕ 𝑥)) ↔ (𝑄 ⊕ 𝑅) ⊆ (𝑄 ⊕ 𝑥)))
59	39, 56, 57, 58	syl3anc 1390	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → ((𝑄 ⊆ (𝑄 ⊕ 𝑥) ∧ 𝑅 ⊆ (𝑄 ⊕ 𝑥)) ↔ (𝑄 ⊕ 𝑅) ⊆ (𝑄 ⊕ 𝑥)))
60	47, 53, 59	mpbi2and 722	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → (𝑄 ⊕ 𝑅) ⊆ (𝑄 ⊕ 𝑥))
61	45, 60	psssstrd 4066	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑈 ⊊ (𝑄 ⊕ 𝑥))
62	1, 10, 11, 14, 20, 21, 42, 43, 61	lcvnbtwn3 39652	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑈 = 𝑥)
63	62, 13	eqeltrd 2862	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝐴)
64	63	rexlimdv3a 3167	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝑈 → 𝑈 ∈ 𝐴))
65	9, 64	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∃wrex 3086   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904   ⊊ wpss 3905  {csn 4582   class class class wbr 5100  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  0_gc0g 17468  SubGrpcsubg 19162  LSSumclsm 19674  Abelcabl 19821  LModclmod 20927  LSubSpclss 20998  LVecclvec 21169  LSAtomsclsa 39598   ⋖_L clcv 39642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-tpos 8206  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-0g 17470  df-mre 17614  df-mrc 17615  df-acs 17617  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-submnd 18818  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-sbg 18980  df-subg 19165  df-cntz 19357  df-oppg 19386  df-lsm 19676  df-cmn 19822  df-abl 19823  df-mgp 20187  df-rng 20199  df-ur 20232  df-ring 20285  df-oppr 20386  df-dvdsr 20406  df-unit 20407  df-invr 20437  df-drng 20781  df-lmod 20929  df-lss 20999  df-lsp 21039  df-lvec 21170  df-lsatoms 39600  df-lcv 39643

This theorem is referenced by:  lsatcvat  39674