Theorem lsatcvatlem 39005

Description: Lemma for lsatcvat 39006. (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatcvat.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsatcvat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsatcvat.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lsatcvat.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatcvat.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lsatcvat.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lsatcvat.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
lsatcvat.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)
lsatcvat.n	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ { 0 })
lsatcvat.l	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊊ (𝑄 ⊕ 𝑅))
lsatcvat.m	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lsatcvatlem	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem lsatcvatlem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsatcvat.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2		lsatcvat.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
3		lsatcvat.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
4		lsatcvat.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
5		lveclmod 21128	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
7		lsatcvat.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
8		lsatcvat.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ { 0 })
9	1, 2, 3, 6, 7, 8	lssatomic 38967	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝑈)
10		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ ( ⋖L ‘𝑊) = ( ⋖L ‘𝑊)
11	4	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑊 ∈ LVec)
12	6	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
13		simp2 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝐴)
14	1, 3, 12, 13	lsatlssel 38953	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑆)
15		lsatcvat.q	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
16	1, 3, 6, 15	lsatlssel 38953	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)
17	16	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑄 ∈ 𝑆)
18		lsatcvat.p	. . . . . . 7 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
19	1, 18	lsmcl 21105	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑄 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑄 ⊕ 𝑥) ∈ 𝑆)
20	12, 17, 14, 19	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → (𝑄 ⊕ 𝑥) ∈ 𝑆)
21	7	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑆)
22		lsatcvat.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈)
23	22	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈)
24		sseq1 4034	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑄 → (𝑥 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑄 ⊆ 𝑈))
25	24	biimpcd 249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝑈 → (𝑥 = 𝑄 → 𝑄 ⊆ 𝑈))
26	25	necon3bd 2960	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝑈 → (¬ 𝑄 ⊆ 𝑈 → 𝑥 ≠ 𝑄))
27	26	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → (¬ 𝑄 ⊆ 𝑈 → 𝑥 ≠ 𝑄))
28	23, 27	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑥 ≠ 𝑄)
29	15	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑄 ∈ 𝐴)
30	2, 3, 11, 13, 29	lsatnem0 39001	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → (𝑥 ≠ 𝑄 ↔ (𝑥 ∩ 𝑄) = { 0 }))
31	28, 30	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → (𝑥 ∩ 𝑄) = { 0 })
32	1, 18, 2, 3, 10, 11, 14, 29	lcvp 38996	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → ((𝑥 ∩ 𝑄) = { 0 } ↔ 𝑥( ⋖L ‘𝑊)(𝑥 ⊕ 𝑄)))
33	31, 32	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑥( ⋖L ‘𝑊)(𝑥 ⊕ 𝑄))
34		lmodabl 20929	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
35	12, 34	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑊 ∈ Abel)
36	1	lsssssubg 20979	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
37	12, 36	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
38	37, 14	sseldd 4009	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑊))
39	37, 17	sseldd 4009	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊))
40	18	lsmcom 19900	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑥 ⊕ 𝑄) = (𝑄 ⊕ 𝑥))
41	35, 38, 39, 40	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → (𝑥 ⊕ 𝑄) = (𝑄 ⊕ 𝑥))
42	33, 41	breqtrd 5192	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑥( ⋖L ‘𝑊)(𝑄 ⊕ 𝑥))
43		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑥 ⊆ 𝑈)
44		lsatcvat.l	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊊ (𝑄 ⊕ 𝑅))
45	44	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑈 ⊊ (𝑄 ⊕ 𝑅))
46	18	lsmub1 19699	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → 𝑄 ⊆ (𝑄 ⊕ 𝑥))
47	39, 38, 46	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑄 ⊆ (𝑄 ⊕ 𝑥))
48		lsatcvat.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)
49	48	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑅 ∈ 𝐴)
50	44	pssssd 4123	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝑄 ⊕ 𝑅))
51	50	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑈 ⊆ (𝑄 ⊕ 𝑅))
52	43, 51	sstrd 4019	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑥 ⊆ (𝑄 ⊕ 𝑅))
53	18, 3, 11, 13, 49, 29, 52, 28	lsatexch1 39002	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑅 ⊆ (𝑄 ⊕ 𝑥))
54	1, 3, 6, 48	lsatlssel 38953	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑆)
55	54	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑅 ∈ 𝑆)
56	37, 55	sseldd 4009	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊))
57	37, 20	sseldd 4009	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → (𝑄 ⊕ 𝑥) ∈ (SubGrp‘𝑊))
58	18	lsmlub 19706	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑄 ⊕ 𝑥) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → ((𝑄 ⊆ (𝑄 ⊕ 𝑥) ∧ 𝑅 ⊆ (𝑄 ⊕ 𝑥)) ↔ (𝑄 ⊕ 𝑅) ⊆ (𝑄 ⊕ 𝑥)))
59	39, 56, 57, 58	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → ((𝑄 ⊆ (𝑄 ⊕ 𝑥) ∧ 𝑅 ⊆ (𝑄 ⊕ 𝑥)) ↔ (𝑄 ⊕ 𝑅) ⊆ (𝑄 ⊕ 𝑥)))
60	47, 53, 59	mpbi2and 711	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → (𝑄 ⊕ 𝑅) ⊆ (𝑄 ⊕ 𝑥))
61	45, 60	psssstrd 4135	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑈 ⊊ (𝑄 ⊕ 𝑥))
62	1, 10, 11, 14, 20, 21, 42, 43, 61	lcvnbtwn3 38984	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑈 = 𝑥)
63	62, 13	eqeltrd 2844	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝐴)
64	63	rexlimdv3a 3165	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝑈 → 𝑈 ∈ 𝐴))
65	9, 64	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∃wrex 3076   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976   ⊊ wpss 3977  {csn 4648   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  0_gc0g 17499  SubGrpcsubg 19160  LSSumclsm 19676  Abelcabl 19823  LModclmod 20880  LSubSpclss 20952  LVecclvec 21124  LSAtomsclsa 38930   ⋖_L clcv 38974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-0g 17501  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-subg 19163  df-cntz 19357  df-oppg 19386  df-lsm 19678  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-invr 20414  df-drng 20753  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-lsp 20993  df-lvec 21125  df-lsatoms 38932  df-lcv 38975

This theorem is referenced by:  lsatcvat  39006