Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcvatlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lsatcvatlem 37907
Description: Lemma for lsatcvat 37908. (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcvat.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lsatcvat.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lsatcvat.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
lsatcvat.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
lsatcvat.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lsatcvat.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
lsatcvat.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
lsatcvat.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
lsatcvat.n (πœ‘ β†’ π‘ˆ β‰  { 0 })
lsatcvat.l (πœ‘ β†’ π‘ˆ ⊊ (𝑄 βŠ• 𝑅))
lsatcvat.m (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
lsatcvatlem (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
Proof of Theorem lsatcvatlem
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsatcvat.s . . 3 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
2 lsatcvat.o . . 3 0 = (0gβ€˜π‘Š)
3 lsatcvat.a . . 3 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
4 lsatcvat.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
5 lveclmod 20709 . . . 4 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
64, 5syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
7 lsatcvat.u . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
8 lsatcvat.n . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ β‰  { 0 })
91, 2, 3, 6, 7, 8lssatomic 37869 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 π‘₯ βŠ† π‘ˆ)
10 eqid 2732 . . . . 5 ( β‹–L β€˜π‘Š) = ( β‹–L β€˜π‘Š)
1143ad2ant1 1133 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘Š ∈ LVec)
1263ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘Š ∈ LMod)
13 simp2 1137 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
141, 3, 12, 13lsatlssel 37855 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
15 lsatcvat.q . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
161, 3, 6, 15lsatlssel 37855 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝑆)
17163ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑄 ∈ 𝑆)
18 lsatcvat.p . . . . . . 7 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
191, 18lsmcl 20686 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑄 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (𝑄 βŠ• π‘₯) ∈ 𝑆)
2012, 17, 14, 19syl3anc 1371 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ (𝑄 βŠ• π‘₯) ∈ 𝑆)
2173ad2ant1 1133 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
22 lsatcvat.m . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ)
23223ad2ant1 1133 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ)
24 sseq1 4006 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑄 β†’ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ↔ 𝑄 βŠ† π‘ˆ))
2524biimpcd 248 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ βŠ† π‘ˆ β†’ (π‘₯ = 𝑄 β†’ 𝑄 βŠ† π‘ˆ))
2625necon3bd 2954 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ βŠ† π‘ˆ β†’ (Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ β†’ π‘₯ β‰  𝑄))
27263ad2ant3 1135 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ (Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ β†’ π‘₯ β‰  𝑄))
2823, 27mpd 15 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘₯ β‰  𝑄)
29153ad2ant1 1133 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
302, 3, 11, 13, 29lsatnem0 37903 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘₯ β‰  𝑄 ↔ (π‘₯ ∩ 𝑄) = { 0 }))
3128, 30mpbid 231 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘₯ ∩ 𝑄) = { 0 })
321, 18, 2, 3, 10, 11, 14, 29lcvp 37898 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ ((π‘₯ ∩ 𝑄) = { 0 } ↔ π‘₯( β‹–L β€˜π‘Š)(π‘₯ βŠ• 𝑄)))
3331, 32mpbid 231 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘₯( β‹–L β€˜π‘Š)(π‘₯ βŠ• 𝑄))
34 lmodabl 20511 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Abel)
3512, 34syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘Š ∈ Abel)
361lsssssubg 20561 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
3712, 36syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
3837, 14sseldd 3982 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
3937, 17sseldd 3982 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑄 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
4018lsmcom 19720 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Abel ∧ π‘₯ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘₯ βŠ• 𝑄) = (𝑄 βŠ• π‘₯))
4135, 38, 39, 40syl3anc 1371 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘₯ βŠ• 𝑄) = (𝑄 βŠ• π‘₯))
4233, 41breqtrd 5173 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘₯( β‹–L β€˜π‘Š)(𝑄 βŠ• π‘₯))
43 simp3 1138 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘₯ βŠ† π‘ˆ)
44 lsatcvat.l . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ⊊ (𝑄 βŠ• 𝑅))
45443ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ⊊ (𝑄 βŠ• 𝑅))
4618lsmub1 19519 . . . . . . . 8 ((𝑄 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ π‘₯ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑄 βŠ† (𝑄 βŠ• π‘₯))
4739, 38, 46syl2anc 584 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑄 βŠ† (𝑄 βŠ• π‘₯))
48 lsatcvat.r . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
49483ad2ant1 1133 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
5044pssssd 4096 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† (𝑄 βŠ• 𝑅))
51503ad2ant1 1133 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ βŠ† (𝑄 βŠ• 𝑅))
5243, 51sstrd 3991 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘₯ βŠ† (𝑄 βŠ• 𝑅))
5318, 3, 11, 13, 49, 29, 52, 28lsatexch1 37904 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑅 βŠ† (𝑄 βŠ• π‘₯))
541, 3, 6, 48lsatlssel 37855 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑆)
55543ad2ant1 1133 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑅 ∈ 𝑆)
5637, 55sseldd 3982 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑅 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
5737, 20sseldd 3982 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ (𝑄 βŠ• π‘₯) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
5818lsmlub 19526 . . . . . . . 8 ((𝑄 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ (𝑄 βŠ• π‘₯) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ ((𝑄 βŠ† (𝑄 βŠ• π‘₯) ∧ 𝑅 βŠ† (𝑄 βŠ• π‘₯)) ↔ (𝑄 βŠ• 𝑅) βŠ† (𝑄 βŠ• π‘₯)))
5939, 56, 57, 58syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ ((𝑄 βŠ† (𝑄 βŠ• π‘₯) ∧ 𝑅 βŠ† (𝑄 βŠ• π‘₯)) ↔ (𝑄 βŠ• 𝑅) βŠ† (𝑄 βŠ• π‘₯)))
6047, 53, 59mpbi2and 710 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ (𝑄 βŠ• 𝑅) βŠ† (𝑄 βŠ• π‘₯))
6145, 60psssstrd 4108 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ⊊ (𝑄 βŠ• π‘₯))
621, 10, 11, 14, 20, 21, 42, 43, 61lcvnbtwn3 37886 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ = π‘₯)
6362, 13eqeltrd 2833 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
6463rexlimdv3a 3159 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 π‘₯ βŠ† π‘ˆ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴))
659, 64mpd 15 1 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947   ⊊ wpss 3948  {csn 4627   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  0gc0g 17381  SubGrpcsubg 18994  LSSumclsm 19496  Abelcabl 19643  LModclmod 20463  LSubSpclss 20534  LVecclvec 20705  LSAtomsclsa 37832   β‹–L clcv 37876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-0g 17383  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-cntz 19175  df-oppg 19204  df-lsm 19498  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-drng 20309  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-lvec 20706  df-lsatoms 37834  df-lcv 37877
This theorem is referenced by:  lsatcvat  37908
  Copyright terms: Public domain W3C validator