MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzsind Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzsind 28391
Description: Induction on the upper surreal integers that start at 𝑀. (Contributed by Scott Fenton, 25-Jul-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
uzsind.1 (𝑗 = 𝑀 → (𝜑𝜓))
uzsind.2 (𝑗 = 𝑘 → (𝜑𝜒))
uzsind.3 (𝑗 = (𝑘 +s 1s ) → (𝜑𝜃))
uzsind.4 (𝑗 = 𝑁 → (𝜑𝜏))
uzsind.5 (𝑀 ∈ ℤs𝜓)
uzsind.6 ((𝑀 ∈ ℤs𝑘 ∈ ℤs𝑀 ≤s 𝑘) → (𝜒𝜃))
Assertion
Ref Expression
uzsind ((𝑀 ∈ ℤs𝑁 ∈ ℤs𝑀 ≤s 𝑁) → 𝜏)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑁   𝜓,𝑗   𝜒,𝑗   𝜃,𝑗   𝜏,𝑗   𝜑,𝑘   𝑗,𝑘,𝑀
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝜓(𝑘)   𝜒(𝑘)   𝜃(𝑘)   𝜏(𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem uzsind
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤs𝑀 ∈ ℤs)
2 zno 28368 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤs𝑀 No )
3 slerflex 27808 . . . . . . . . 9 (𝑀 No 𝑀 ≤s 𝑀)
42, 3syl 17 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤs𝑀 ≤s 𝑀)
5 uzsind.5 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤs𝜓)
61, 4, 5jca32 515 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤs → (𝑀 ∈ ℤs ∧ (𝑀 ≤s 𝑀𝜓)))
7 breq2 5147 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑀 → (𝑀 ≤s 𝑗𝑀 ≤s 𝑀))
8 uzsind.1 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑀 → (𝜑𝜓))
97, 8anbi12d 632 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑀 → ((𝑀 ≤s 𝑗𝜑) ↔ (𝑀 ≤s 𝑀𝜓)))
109elrab 3692 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ {𝑗 ∈ ℤs ∣ (𝑀 ≤s 𝑗𝜑)} ↔ (𝑀 ∈ ℤs ∧ (𝑀 ≤s 𝑀𝜓)))
116, 10sylibr 234 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤs𝑀 ∈ {𝑗 ∈ ℤs ∣ (𝑀 ≤s 𝑗𝜑)})
12 simpl 482 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤs ∧ (𝑘 ∈ ℤs ∧ (𝑀 ≤s 𝑘𝜒))) → 𝑀 ∈ ℤs)
13 simprl 771 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤs ∧ (𝑘 ∈ ℤs ∧ (𝑀 ≤s 𝑘𝜒))) → 𝑘 ∈ ℤs)
14 simprrl 781 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤs ∧ (𝑘 ∈ ℤs ∧ (𝑀 ≤s 𝑘𝜒))) → 𝑀 ≤s 𝑘)
15 simprrr 782 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤs ∧ (𝑘 ∈ ℤs ∧ (𝑀 ≤s 𝑘𝜒))) → 𝜒)
16 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℤs𝑘 ∈ ℤs)
17 1zs 28377 . . . . . . . . . . . . 13 1s ∈ ℤs
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℤs → 1s ∈ ℤs)
1916, 18zaddscld 28381 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℤs → (𝑘 +s 1s ) ∈ ℤs)
20193ad2ant2 1135 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤs𝑘 ∈ ℤs𝑀 ≤s 𝑘) → (𝑘 +s 1s ) ∈ ℤs)
2120adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤs𝑘 ∈ ℤs𝑀 ≤s 𝑘) ∧ 𝜒) → (𝑘 +s 1s ) ∈ ℤs)
2223ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℤs𝑘 ∈ ℤs𝑀 ≤s 𝑘) → 𝑀 No )
2319znod 28369 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℤs → (𝑘 +s 1s ) ∈ No )
24233ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℤs𝑘 ∈ ℤs𝑀 ≤s 𝑘) → (𝑘 +s 1s ) ∈ No )
25 zno 28368 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℤs𝑘 No )
26253ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤs𝑘 ∈ ℤs𝑀 ≤s 𝑘) → 𝑘 No )
27 simp3 1139 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤs𝑘 ∈ ℤs𝑀 ≤s 𝑘) → 𝑀 ≤s 𝑘)
2825sltp1d 28048 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℤs𝑘 <s (𝑘 +s 1s ))
29283ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤs𝑘 ∈ ℤs𝑀 ≤s 𝑘) → 𝑘 <s (𝑘 +s 1s ))
3022, 26, 24, 27, 29slelttrd 27806 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℤs𝑘 ∈ ℤs𝑀 ≤s 𝑘) → 𝑀 <s (𝑘 +s 1s ))
3122, 24, 30sltled 27814 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤs𝑘 ∈ ℤs𝑀 ≤s 𝑘) → 𝑀 ≤s (𝑘 +s 1s ))
3231adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤs𝑘 ∈ ℤs𝑀 ≤s 𝑘) ∧ 𝜒) → 𝑀 ≤s (𝑘 +s 1s ))
33 uzsind.6 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤs𝑘 ∈ ℤs𝑀 ≤s 𝑘) → (𝜒𝜃))
3433imp 406 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤs𝑘 ∈ ℤs𝑀 ≤s 𝑘) ∧ 𝜒) → 𝜃)
3521, 32, 34jca32 515 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤs𝑘 ∈ ℤs𝑀 ≤s 𝑘) ∧ 𝜒) → ((𝑘 +s 1s ) ∈ ℤs ∧ (𝑀 ≤s (𝑘 +s 1s ) ∧ 𝜃)))
3612, 13, 14, 15, 35syl31anc 1375 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤs ∧ (𝑘 ∈ ℤs ∧ (𝑀 ≤s 𝑘𝜒))) → ((𝑘 +s 1s ) ∈ ℤs ∧ (𝑀 ≤s (𝑘 +s 1s ) ∧ 𝜃)))
37 breq2 5147 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → (𝑀 ≤s 𝑗𝑀 ≤s 𝑘))
38 uzsind.2 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → (𝜑𝜒))
3937, 38anbi12d 632 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑀 ≤s 𝑗𝜑) ↔ (𝑀 ≤s 𝑘𝜒)))
4039elrab 3692 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ {𝑗 ∈ ℤs ∣ (𝑀 ≤s 𝑗𝜑)} ↔ (𝑘 ∈ ℤs ∧ (𝑀 ≤s 𝑘𝜒)))
4140anbi2i 623 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤs𝑘 ∈ {𝑗 ∈ ℤs ∣ (𝑀 ≤s 𝑗𝜑)}) ↔ (𝑀 ∈ ℤs ∧ (𝑘 ∈ ℤs ∧ (𝑀 ≤s 𝑘𝜒))))
42 breq2 5147 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑘 +s 1s ) → (𝑀 ≤s 𝑗𝑀 ≤s (𝑘 +s 1s )))
43 uzsind.3 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑘 +s 1s ) → (𝜑𝜃))
4442, 43anbi12d 632 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑘 +s 1s ) → ((𝑀 ≤s 𝑗𝜑) ↔ (𝑀 ≤s (𝑘 +s 1s ) ∧ 𝜃)))
4544elrab 3692 . . . . . . 7 ((𝑘 +s 1s ) ∈ {𝑗 ∈ ℤs ∣ (𝑀 ≤s 𝑗𝜑)} ↔ ((𝑘 +s 1s ) ∈ ℤs ∧ (𝑀 ≤s (𝑘 +s 1s ) ∧ 𝜃)))
4636, 41, 453imtr4i 292 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤs𝑘 ∈ {𝑗 ∈ ℤs ∣ (𝑀 ≤s 𝑗𝜑)}) → (𝑘 +s 1s ) ∈ {𝑗 ∈ ℤs ∣ (𝑀 ≤s 𝑗𝜑)})
471, 11, 46peano5uzs 28390 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤs → {𝑤 ∈ ℤs𝑀 ≤s 𝑤} ⊆ {𝑗 ∈ ℤs ∣ (𝑀 ≤s 𝑗𝜑)})
4847sseld 3982 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤs → (𝑁 ∈ {𝑤 ∈ ℤs𝑀 ≤s 𝑤} → 𝑁 ∈ {𝑗 ∈ ℤs ∣ (𝑀 ≤s 𝑗𝜑)}))
49 breq2 5147 . . . . 5 (𝑤 = 𝑁 → (𝑀 ≤s 𝑤𝑀 ≤s 𝑁))
5049elrab 3692 . . . 4 (𝑁 ∈ {𝑤 ∈ ℤs𝑀 ≤s 𝑤} ↔ (𝑁 ∈ ℤs𝑀 ≤s 𝑁))
51 breq2 5147 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → (𝑀 ≤s 𝑗𝑀 ≤s 𝑁))
52 uzsind.4 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → (𝜑𝜏))
5351, 52anbi12d 632 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → ((𝑀 ≤s 𝑗𝜑) ↔ (𝑀 ≤s 𝑁𝜏)))
5453elrab 3692 . . . 4 (𝑁 ∈ {𝑗 ∈ ℤs ∣ (𝑀 ≤s 𝑗𝜑)} ↔ (𝑁 ∈ ℤs ∧ (𝑀 ≤s 𝑁𝜏)))
5548, 50, 543imtr3g 295 . . 3 (𝑀 ∈ ℤs → ((𝑁 ∈ ℤs𝑀 ≤s 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤs ∧ (𝑀 ≤s 𝑁𝜏))))
56553impib 1117 . 2 ((𝑀 ∈ ℤs𝑁 ∈ ℤs𝑀 ≤s 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤs ∧ (𝑀 ≤s 𝑁𝜏)))
5756simprrd 774 1 ((𝑀 ∈ ℤs𝑁 ∈ ℤs𝑀 ≤s 𝑁) → 𝜏)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  {crab 3436   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431   No csur 27684   <s cslt 27685   ≤s csle 27789   1s c1s 27868   +s cadds 27992  sczs 28364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-nadd 8704  df-no 27687  df-slt 27688  df-bday 27689  df-sle 27790  df-sslt 27826  df-scut 27828  df-0s 27869  df-1s 27870  df-made 27886  df-old 27887  df-left 27889  df-right 27890  df-norec 27971  df-norec2 27982  df-adds 27993  df-negs 28053  df-subs 28054  df-n0s 28320  df-nns 28321  df-zs 28365
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator