MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulsge0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulsge0d 28039
Description: The product of two non-negative surreals is non-negative. (Contributed by Scott Fenton, 6-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
mulsge0d.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ No )
mulsge0d.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ No )
mulsge0d.3 (๐œ‘ โ†’ 0s โ‰คs ๐ด)
mulsge0d.4 (๐œ‘ โ†’ 0s โ‰คs ๐ต)
Assertion
Ref Expression
mulsge0d (๐œ‘ โ†’ 0s โ‰คs (๐ด ยทs ๐ต))

Proof of Theorem mulsge0d
StepHypRef Expression
1 0sno 27752 . . . . 5 0s โˆˆ No
21a1i 11 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง 0s <s ๐ด) โˆง 0s <s ๐ต) โ†’ 0s โˆˆ No )
3 mulsge0d.1 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ No )
4 mulsge0d.2 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ No )
53, 4mulscld 28028 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) โˆˆ No )
65ad2antrr 725 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง 0s <s ๐ด) โˆง 0s <s ๐ต) โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) โˆˆ No )
73ad2antrr 725 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง 0s <s ๐ด) โˆง 0s <s ๐ต) โ†’ ๐ด โˆˆ No )
84ad2antrr 725 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง 0s <s ๐ด) โˆง 0s <s ๐ต) โ†’ ๐ต โˆˆ No )
9 simplr 768 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง 0s <s ๐ด) โˆง 0s <s ๐ต) โ†’ 0s <s ๐ด)
10 simpr 484 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง 0s <s ๐ด) โˆง 0s <s ๐ต) โ†’ 0s <s ๐ต)
117, 8, 9, 10mulsgt0d 28038 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง 0s <s ๐ด) โˆง 0s <s ๐ต) โ†’ 0s <s (๐ด ยทs ๐ต))
122, 6, 11sltled 27695 . . 3 (((๐œ‘ โˆง 0s <s ๐ด) โˆง 0s <s ๐ต) โ†’ 0s โ‰คs (๐ด ยทs ๐ต))
13 slerflex 27689 . . . . . 6 ( 0s โˆˆ No โ†’ 0s โ‰คs 0s )
141, 13ax-mp 5 . . . . 5 0s โ‰คs 0s
15 oveq2 7422 . . . . . . 7 ( 0s = ๐ต โ†’ (๐ด ยทs 0s ) = (๐ด ยทs ๐ต))
1615adantl 481 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0s = ๐ต) โ†’ (๐ด ยทs 0s ) = (๐ด ยทs ๐ต))
17 muls01 28005 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ No โ†’ (๐ด ยทs 0s ) = 0s )
183, 17syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยทs 0s ) = 0s )
1918adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0s = ๐ต) โ†’ (๐ด ยทs 0s ) = 0s )
2016, 19eqtr3d 2770 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 0s = ๐ต) โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) = 0s )
2114, 20breqtrrid 5180 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง 0s = ๐ต) โ†’ 0s โ‰คs (๐ด ยทs ๐ต))
2221adantlr 714 . . 3 (((๐œ‘ โˆง 0s <s ๐ด) โˆง 0s = ๐ต) โ†’ 0s โ‰คs (๐ด ยทs ๐ต))
23 mulsge0d.4 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0s โ‰คs ๐ต)
24 sleloe 27680 . . . . . 6 (( 0s โˆˆ No โˆง ๐ต โˆˆ No ) โ†’ ( 0s โ‰คs ๐ต โ†” ( 0s <s ๐ต โˆจ 0s = ๐ต)))
251, 4, 24sylancr 586 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ( 0s โ‰คs ๐ต โ†” ( 0s <s ๐ต โˆจ 0s = ๐ต)))
2623, 25mpbid 231 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ( 0s <s ๐ต โˆจ 0s = ๐ต))
2726adantr 480 . . 3 ((๐œ‘ โˆง 0s <s ๐ด) โ†’ ( 0s <s ๐ต โˆจ 0s = ๐ต))
2812, 22, 27mpjaodan 957 . 2 ((๐œ‘ โˆง 0s <s ๐ด) โ†’ 0s โ‰คs (๐ด ยทs ๐ต))
29 oveq1 7421 . . . . 5 ( 0s = ๐ด โ†’ ( 0s ยทs ๐ต) = (๐ด ยทs ๐ต))
3029adantl 481 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง 0s = ๐ด) โ†’ ( 0s ยทs ๐ต) = (๐ด ยทs ๐ต))
31 muls02 28034 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ No โ†’ ( 0s ยทs ๐ต) = 0s )
324, 31syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ( 0s ยทs ๐ต) = 0s )
3332adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง 0s = ๐ด) โ†’ ( 0s ยทs ๐ต) = 0s )
3430, 33eqtr3d 2770 . . 3 ((๐œ‘ โˆง 0s = ๐ด) โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) = 0s )
3514, 34breqtrrid 5180 . 2 ((๐œ‘ โˆง 0s = ๐ด) โ†’ 0s โ‰คs (๐ด ยทs ๐ต))
36 mulsge0d.3 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 0s โ‰คs ๐ด)
37 sleloe 27680 . . . 4 (( 0s โˆˆ No โˆง ๐ด โˆˆ No ) โ†’ ( 0s โ‰คs ๐ด โ†” ( 0s <s ๐ด โˆจ 0s = ๐ด)))
381, 3, 37sylancr 586 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ( 0s โ‰คs ๐ด โ†” ( 0s <s ๐ด โˆจ 0s = ๐ด)))
3936, 38mpbid 231 . 2 (๐œ‘ โ†’ ( 0s <s ๐ด โˆจ 0s = ๐ด))
4028, 35, 39mpjaodan 957 1 (๐œ‘ โ†’ 0s โ‰คs (๐ด ยทs ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 846   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   class class class wbr 5142  (class class class)co 7414   No csur 27566   <s cslt 27567   โ‰คs csle 27670   0s c0s 27748   ยทs cmuls 27999
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-1o 8480  df-2o 8481  df-nadd 8680  df-no 27569  df-slt 27570  df-bday 27571  df-sle 27671  df-sslt 27707  df-scut 27709  df-0s 27750  df-made 27767  df-old 27768  df-left 27770  df-right 27771  df-norec 27848  df-norec2 27859  df-adds 27870  df-negs 27927  df-subs 27928  df-muls 28000
This theorem is referenced by:  absmuls  28131
  Copyright terms: Public domain W3C validator