MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulsge0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulsge0d 27965
Description: The product of two non-negative surreals is non-negative. (Contributed by Scott Fenton, 6-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
mulsge0d.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ No )
mulsge0d.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ No )
mulsge0d.3 (๐œ‘ โ†’ 0s โ‰คs ๐ด)
mulsge0d.4 (๐œ‘ โ†’ 0s โ‰คs ๐ต)
Assertion
Ref Expression
mulsge0d (๐œ‘ โ†’ 0s โ‰คs (๐ด ยทs ๐ต))

Proof of Theorem mulsge0d
StepHypRef Expression
1 0sno 27678 . . . . 5 0s โˆˆ No
21a1i 11 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง 0s <s ๐ด) โˆง 0s <s ๐ต) โ†’ 0s โˆˆ No )
3 mulsge0d.1 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ No )
4 mulsge0d.2 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ No )
53, 4mulscld 27954 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) โˆˆ No )
65ad2antrr 723 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง 0s <s ๐ด) โˆง 0s <s ๐ต) โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) โˆˆ No )
73ad2antrr 723 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง 0s <s ๐ด) โˆง 0s <s ๐ต) โ†’ ๐ด โˆˆ No )
84ad2antrr 723 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง 0s <s ๐ด) โˆง 0s <s ๐ต) โ†’ ๐ต โˆˆ No )
9 simplr 766 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง 0s <s ๐ด) โˆง 0s <s ๐ต) โ†’ 0s <s ๐ด)
10 simpr 484 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง 0s <s ๐ด) โˆง 0s <s ๐ต) โ†’ 0s <s ๐ต)
117, 8, 9, 10mulsgt0d 27964 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง 0s <s ๐ด) โˆง 0s <s ๐ต) โ†’ 0s <s (๐ด ยทs ๐ต))
122, 6, 11sltled 27621 . . 3 (((๐œ‘ โˆง 0s <s ๐ด) โˆง 0s <s ๐ต) โ†’ 0s โ‰คs (๐ด ยทs ๐ต))
13 slerflex 27615 . . . . . 6 ( 0s โˆˆ No โ†’ 0s โ‰คs 0s )
141, 13ax-mp 5 . . . . 5 0s โ‰คs 0s
15 oveq2 7410 . . . . . . 7 ( 0s = ๐ต โ†’ (๐ด ยทs 0s ) = (๐ด ยทs ๐ต))
1615adantl 481 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0s = ๐ต) โ†’ (๐ด ยทs 0s ) = (๐ด ยทs ๐ต))
17 muls01 27931 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ No โ†’ (๐ด ยทs 0s ) = 0s )
183, 17syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยทs 0s ) = 0s )
1918adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0s = ๐ต) โ†’ (๐ด ยทs 0s ) = 0s )
2016, 19eqtr3d 2766 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 0s = ๐ต) โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) = 0s )
2114, 20breqtrrid 5177 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง 0s = ๐ต) โ†’ 0s โ‰คs (๐ด ยทs ๐ต))
2221adantlr 712 . . 3 (((๐œ‘ โˆง 0s <s ๐ด) โˆง 0s = ๐ต) โ†’ 0s โ‰คs (๐ด ยทs ๐ต))
23 mulsge0d.4 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0s โ‰คs ๐ต)
24 sleloe 27606 . . . . . 6 (( 0s โˆˆ No โˆง ๐ต โˆˆ No ) โ†’ ( 0s โ‰คs ๐ต โ†” ( 0s <s ๐ต โˆจ 0s = ๐ต)))
251, 4, 24sylancr 586 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ( 0s โ‰คs ๐ต โ†” ( 0s <s ๐ต โˆจ 0s = ๐ต)))
2623, 25mpbid 231 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ( 0s <s ๐ต โˆจ 0s = ๐ต))
2726adantr 480 . . 3 ((๐œ‘ โˆง 0s <s ๐ด) โ†’ ( 0s <s ๐ต โˆจ 0s = ๐ต))
2812, 22, 27mpjaodan 955 . 2 ((๐œ‘ โˆง 0s <s ๐ด) โ†’ 0s โ‰คs (๐ด ยทs ๐ต))
29 oveq1 7409 . . . . 5 ( 0s = ๐ด โ†’ ( 0s ยทs ๐ต) = (๐ด ยทs ๐ต))
3029adantl 481 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง 0s = ๐ด) โ†’ ( 0s ยทs ๐ต) = (๐ด ยทs ๐ต))
31 muls02 27960 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ No โ†’ ( 0s ยทs ๐ต) = 0s )
324, 31syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ( 0s ยทs ๐ต) = 0s )
3332adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง 0s = ๐ด) โ†’ ( 0s ยทs ๐ต) = 0s )
3430, 33eqtr3d 2766 . . 3 ((๐œ‘ โˆง 0s = ๐ด) โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) = 0s )
3514, 34breqtrrid 5177 . 2 ((๐œ‘ โˆง 0s = ๐ด) โ†’ 0s โ‰คs (๐ด ยทs ๐ต))
36 mulsge0d.3 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 0s โ‰คs ๐ด)
37 sleloe 27606 . . . 4 (( 0s โˆˆ No โˆง ๐ด โˆˆ No ) โ†’ ( 0s โ‰คs ๐ด โ†” ( 0s <s ๐ด โˆจ 0s = ๐ด)))
381, 3, 37sylancr 586 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ( 0s โ‰คs ๐ด โ†” ( 0s <s ๐ด โˆจ 0s = ๐ด)))
3936, 38mpbid 231 . 2 (๐œ‘ โ†’ ( 0s <s ๐ด โˆจ 0s = ๐ด))
4028, 35, 39mpjaodan 955 1 (๐œ‘ โ†’ 0s โ‰คs (๐ด ยทs ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5139  (class class class)co 7402   No csur 27492   <s cslt 27493   โ‰คs csle 27596   0s c0s 27674   ยทs cmuls 27925
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-ot 4630  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-1o 8462  df-2o 8463  df-nadd 8662  df-no 27495  df-slt 27496  df-bday 27497  df-sle 27597  df-sslt 27633  df-scut 27635  df-0s 27676  df-made 27693  df-old 27694  df-left 27696  df-right 27697  df-norec 27774  df-norec2 27785  df-adds 27796  df-negs 27853  df-subs 27854  df-muls 27926
This theorem is referenced by:  absmuls  28057
  Copyright terms: Public domain W3C validator